北京大学：高等代数（推荐下载）：第五章　参变量积分

数学分析讲义 13.113 第五章 参变量积分 所谓含参量的积分是指如下两大类积分 ： 1. ( ) ( ),Fxfxydyb a = ∫ 若对于 [ ],xab?∈ 上述积分均是有意义的 ， 即 [ ],ab可以到无穷 ， 积分是收敛的 （ 若为广义积分的话 ）。 也就是说 ， 作为 y 的函数 ， ( ),fxy在 [ ],ab上可积或广 义可积 ， 则 ( )Fx在 [ ],ab 上就是关于 x 的函数 ， 从积分本身的性质来讨论这类积 分与以往介绍的积分没有什么两样 ， 但这里我们所关心的是 ： 作为 x 的函数 ， ( )Fx 与 ( ),fxy的性质有哪些关系 ？ ( )Fx何时是可积的 ？ 连续的 ？ 可导的 ？ 等等这一 系列的函数性质正是这一章我们要讨论的问题 。 2. ( ) ( )( )( ) ,x x Gxfxydyb a = ∫ 这种形式的积分与上面说的积分之不同之处在于 ( )Gx的性质不但依赖于 ( ),fxy 之性质 ， 而且与 ( )xa ， ( )xb 之性质相关 。 另外 ， 上面所介绍的含参量积分一般说来是非初等函数 。 因而在这里我们又可以接触到 非初等函数的具体形式 。 § 1 含参量的定积分 我们先从最简单的情形开始讨论 。 先看含参量的定积分 ， 即 ( ),fxy作为 y 的函数无瑕 点 ， [ ],ab是有限区间的情形 （ 或 ( ) ( ),xxab????均为有限区间 ）。 为便于书写 ， 记 [ ] [ ],,ab ab=×D 。 1 连续性 定理 1： ( ) ( ),fxyC∈ D ， 则 ( ) ( ) ( ),,yIxyfxtdtC a =∈∫ D 。 证明 ： 由连续定义 ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 000 0 ,,,, ,,, yy y IxyIxyfxtdtfxtdt fxtfxtdtfxtdt aa a ?=? ≤?+???? ∫∫ 上式 中 ， 第一项可利用函数之连续性 ， 第二项利用函数的可积性说明为小量 ： 由 ( ) ( ),fxyC∈ D ， D 是有界闭集 ， 所以 ( ),fxy在 D 上一致连续 。 因而 ： 0e?>， 1 0d?>， 当 01xx d?<， 01yy d?<时 ， 有 ： 含参量的积分 13.114 ( ) ( ) ( )00,,2fxyfxy eba?<?， 令 ： 1min,2Medd??= ?? ?? ， ( ) ( ) , max, xy Mfxy ∈ = D ， 则当 0xx d?<， 0yy d?<时 ， 有 ： ( ) ( ) ( )0000,,222IxyIxyyMyyMMeeeaeba?<?+?<+=? 所以 ( ) ( ),IxyC∈ D 。 证毕 定理 1 可以有如下形式之推论 ： 推论 ： ( ) ( ),fxyC∈ D ， 则 ( ) ( ) [ ],,FxfxydyCabb a =∈∫ ， 即 ： ( ) ( ) ( ) 00 0lim,,lim,x xxfxydyfxydyfxydy bbb aaa→→ ==∫∫∫ 。 推论可以简称为 ： 极限号与积分号可以交换次序 。 定理 2： ( ) ( ),fxyC∈ D ， ( ) ( ) [ ],,xxCabjy∈ ， 且 [ ],xab∈ 时 ， ( ) ( ),xxajyb≤≤， 则 ： ( ) ( )( )( ) [ ],,x x GxfxydyCaby j =∈∫ 。 证明 ： 由于 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ),,,,xxGxfxydyfxydyIxxIxxyj aa yj=?=?∫∫ 由复合函数之连续性知 ： ( ) [ ],GxCab∈ 。 2 可导性 定理 3： 设 ( ) ( ) ( ),,,xfxyfxyC∈ D ， 则 ( ) ( ) ( ) [ ]1,,FxfxydyCabb a =∈∫ ， 且 ( ) ( ),xFxfxydyb a ′ = ∫ ， 即求导与积分可以交换次序 。 证明 ： 由导数定义 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,, ,01x FxxFxfxxyfxy dy fxxydy b a b a qq +??+??= ?? =+?<< ∫ ∫中值定理 由于 ( ) ( ),xfxyC∈ D ， 由上一段推论知 ： ( ) ( )0lim,,xxx fxxydyfxydybbaaq?→ +?=∫∫ 所以 ( ) ( ),xFxfxydyb a ′ = ∫ 。 数学分析讲义 13.115 同样由于由于 ( ) ( ),xfxyC∈ D ， 由上一段推 论知 ： ( ) [ ],FxCab′ ∈ ， 所以 ( ) ( ) [ ]1 ,FxCab∈ 。 证毕 定理 4： ( ) ( ) ( ),,,xfxyfxyC∈ D ， ( ) ( ),xxjy在 [ ],ab 上可导 ， 且 [ ],xab∈ 时 ， ( ) ( ),xxajyb≤≤， 则 ( ) ( )( )( ) ,x x Gxfxydyy j = ∫ 在 [ ],ab 上可导 ， 并且 ： ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )()() ,,,x xxGxfxydyfxxxfxxxyj yyjj′′′=+???∫ 。 证明 ： 令 ( ) ( ),,,u v Fuvxfxydy= ∫ ， 则 ( ) ( ) ( )( ),,GxFxxxyj= 。 利用复合函数之求导法则 ， 有 ： ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ),,, ux vx x xx FduFdvFGx udxvdxx fxxxfxxxfxydy y j y j yyjj = = ???′ =?++ ??? ′′=???+∫ 证毕 例 1： ( ) ( ) 2 sinx x xyFxdy y= ∫ ， 求 ( )Fx′ 。 解 ： 由定理 4， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 32 3232 sincossin21 2sinsincos 2sinsin3sin2sinsin x x x x x x xxyx xxF dyx xxxydy x xxxxxy xx ? ?′ =+??? ?=+ ??=+= ∫ ∫ 例 2： 求积分 ( ) ( ) 0 ln1cosIxdxpqq=+∫ ， 1q < 。 解 ： 在 11qd≤?<内 ， 由定理 3 知 ( )I q 可导 ， 因此 ： ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2tan2 2200 220 21cos 1cos 111 211 111 x t t xId dt x tt dttt pq q qq qqq = +∞ +∞ ?′ == + +++? ??=? ??+++? ?? ∫∫ ∫ 含参量的积分 13.116 所以 ： ( ) ( ) 2 22 21 221 111I pppqq q q qq ??′ =?=? ??? ??+?? ， 因而 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0022 22 0 111 ln11ln11ln2 IIIddqq q pqqq qq pqpqp ?′=+=+ ?+? =+?=+?? ∫∫ 例 3： 设 ( ) ( ) 0 cossinuxnxdp qqq=?∫ ， 求证 ： ( )ux满足方程 ( )222 0xuxuxnu′′′++?=。 证明 ： 由定理 3， ( ) ( ) ( ) ( )00sinsinsinsinsinsinuxnxdnxdppqqqqqqqq′ =???=?∫∫ ( ) ( ) 20 cossinsinuxnxdp qqqq′′ =??∫ 因而 ： ( )222xuxuxnu′′′++? ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) 2222 0 222 0 0 0 sincossinsinsinsin coscossinsinsinsin cossinsinsinsincos cossinsin0 xxnnxxnxd xnnxxnxd nxdnxnxdnx nxnx p p p p qqqqqqq qqqqqqq qqqqqq qqq ??=?+??+??? =??+? =?+???+ =? ?= ∫ ∫ ∫ 故命题得证 。 3 可积性 定理 5： ( ) ( ),fxyC∈ D ， [ ],zab?∈ 有 ： ( ) ( ),,zz aa fxydydxfxydxdybb????=????????∫ ∫∫ 。 证明 ： 令 ： ( ) ( ),z a Fzfxydydxb a ??= ?? ??∫∫ ， ( ) ( ), z a Gzfxydxdyb a ??= ?? ??∫∫ 。 一方面 ， 由于 ( ) ( ),fxyC∈ D ， 所以 ( ) [ ],,fxydyCabb a ∈∫ 因而变上限积分 ( )Fz可导 ， 且 ( ) ( ),Fzfzydyb a ′ = ∫ ； 另一方面 ， [ ],y ab?∈ ， 变上限积分 ( ) ( ) [ ]1,,z a fxydxCab∈∫ ， 所以 ： ( ) ( ) ( ),zaaGzfxdxdyfzydyzbba???′ ==?????∫∫∫。 所以 ： ( ) ( )FzGz′′= ， 因此有 ( ) ( )FzGzC=+。 又 ： za= 时 ， ( ) ( )FaGa= ， 所以 ： 0C = ， 数学分析讲义 13.117 即 ： ( ) ( ),,zz aa fxydydxfxydxdybb????=????????∫ ∫∫ 。 证毕 推论 ： ( ) ( ),fxyC∈ D ， 则 ： ( ) ( ),,bb aa fxydydxfxydxdy????=????????∫ ∫∫ 。 例 4： 设 ba <<0 ， 求积分 ∫ ?= 1 0 ln dxxxxI ab 。 解 ： 由于 ∫=? b a y ab dyxxxx ln ， 所以 ： 111 000 11 0 ln 1ln 111 ba bb yy aa ybb aa xxIdxxdydxxdxdy x dybdy yya + ? ????=== ???????? +=== +++ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 例 5： 设 ( ) ( ) ( ),nfxC∈?∞+∞ ， ( )1n ≥ ， 令 ( ) ( ) ( ) ( ) fxfa xa gx xa faxa ?? ≠? = ?? ? ′ =? 求证 ： ( ) ( ) ( )1 ,ngxC?∈?∞+∞ 。 证明 ： ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )11 00 dfxfafatxadtfatxaxadt dt ′?=+?=+??∫∫ 所以 ： ( ) ( ) ( )( )1 0 fxfa fatxadt xa ? ′=+? ? ∫ ， xa≠ 又因为 ： ( ) ( )( )1 0 fafataadt′′=+?∫ ， 所以 ： ( ) ( )( )1 0 gxfatxadt′=+?∫ 。 由于 ( ) ( ) ( )1 ,nfxC?′ ∈?∞+∞ ， 所以 ( ) ( ) ( )1 ,ngxC?∈?∞+∞ 。 例 6： 计算积分 ( ) ( )2 0 ln12cosIrrrdp qq=?+∫ ， 1r < 。 解 ： 在 11r d≤?<内 ( )Ir可导 ， 因此 ： ( ) 2 0 22cos 12cos rI rr p q q q ?′ = ?+∫ 。 ( ) ( )002cos0Idp qq′ =?=∫ ， 而当 0r ≠ 时 ， ( ) 2 20 0 11112arctantan0 12cos12 rrIrd rrrrr p p qqq q ????????′ =?=?= ??????++??????∫ 所以 ： ( ) 0Ir′ ≡ ， ( ) ( )00IrI≡=。 含参量的积分 13.118 § 2 一致收敛与极限函数之性质 1 一致收敛的概念 在讲授函数项级数之时 ， 曾经介绍过函数序列的一致收敛的概念 ， 我们说 ： ( ) ( )nfxfx?X 是指 ： 0e?>， N? ， 当 nN> 时 ， x?∈X ， 有 ： ( ) ( )nfxfx e?<。 由于有了一致收敛性 ， 极限函数 ( )fx的性质就可以由函数 ( )nfx的性质推得 ， 如一致 收敛之函数序列保持连续性 、 可导性 、 可积性等等 。 这里我们要讨论另一种形式的一致收敛性 ， 它不再是指函数列的收敛性 ， 而是一般函数 极限的一致收敛问题 ， 即将函数列的一致收敛的过程推广至一般的极限过 程之一致收敛性 。 对于含参量的广义积分 ， 一般其收敛收是指积分 ： ( ) 0 ,fxydy+∞∫ 的收敛性 ， 上述积分 之收敛性等价于函数 ( ) ( ),,A a FxAfxydy= ∫ 当 A →+∞时的极限性质 ， 我们在这里试图 引入函数 ( ),FxA的一致收敛性来讨论极限函数 ( ) 0 ,fxydy+∞∫ 之性质 。 定义 1： 设 ( )xj 在 X上定义 ， 若 0e?>， 0d?>， 当 y∈Y ， 00 yy d<?<时 ， x?∈X ， 有 ( ) ( ),fxyxje?< 则称 ( ),fxy对于 X在 0yy→ （ y∈Y ） 时一致收敛到 ( )xj ， 记作 ： ( ) ( ) 0 , yy fxyxj → ?X 。 类似地 ， 可定义 y →+∞时的一致收敛性 ： 若 0e?>， 0M?>， 当 y∈Y ， yM> 时 ， x?∈X ， 有 ( ) ( ),fxyxje?<， 称 ( ),fxy对于 X在 y →+∞（ y∈Y ） 时一致收敛到 ( )xj ， 记作 ( ) ( ), y fxyxj →+∞ ?X 。 例 1： 求证 ( ),22 0y xyx ?∞+∞ → +?。 证明 ： 由于 ： 22 22yxyxyy xyx +?=≤ ++ ， 所以 ： 0e?>， 0de?=>， 当 y d< 时 ， ( ),x?∈?∞+∞ ， 22xyxe+?<， 所以 ： ( ),22 0y xyx ?∞+∞ → +?。 例 2： 求证 0c?> ， y →+∞时 ， 1 1xy+ 在 [ ),c +∞ 上一致收敛性 ； 但在 ( )0,+∞ 上不一致 收敛 。 数学分析讲义 13.119 证明 ： 当 0 cx<≤<+∞时 ， 1110 11xycycy<≤<++，（ 0y > ）， 所以 [ ),1 01 c yxy +∞ →+∞ ?+ ； 而对于 ( )0,=+∞X ， 显然 1 01 y xy →+∞ →+ ， 但它不是一 致收敛的 ， 这是因为 ： 0 1 0 2e?=>， 对于 0M?>， yM> 时 ， ( )0 1 0,x y?=∈+∞ ， 使得 ： 0 110 12xy e?==+ ， 这是一致收敛定义的逆否命题 。 下面我们来讨论一致收敛之充要条件 ： 定理 1： 0yy→ （ y →+∞） 时 ， ( ),fxy在 x∈X 上一致收敛 。 ? 0e?>， 0d?>，（ 0M?>）， 当 ,yy′′′ ∈Y ， 且 0 0 0 yyyyd′ ?<<′′ ? （ yMyM′ >′′ > ） 时 ， x?∈X ， 有 ： ( ) ( ),,fxyfxy e′′′?< 证明 ： 由一致收敛的定义 ， 必要性是显然的 ； 充分性 ： 针对 0yy→ 证明 。 由条件知 ( )xj? ， 使得 ： ( ) ( ) 0 lim, yy fxyxj → = ； 在条件中 ， 令 0yy′′ → ， 则我们得到 ： 0e?> ， 0d?>， 当 y′∈Y ， 且 00 yy d′<?<时 ， x?∈X ， 有 ： ( ) ( ),fxyxje′ ?≤， 这就是一致收敛的定义 ， 所以 ： ( ) ( ) 0 , yy fxyxj → ?X 。 证毕 定理 2： y →+∞（ 0yy→ ） 时 ， ( ),fxy在 x∈X 上一致收敛到 ( )xj 。 ? ny?∈Y ， ny →+∞（ 0nyy→ ）， 均有 ： ( ) ( ), n nfxyxj→∞? X 证明 ： 由一致收敛的定义 ， 必要性也是显然的 ； 充分性 ： 针对 y →+∞证明 。 采用反证法 ， 假设 ( ),fxy在 x∈X 上不一致收敛 ， 则 ： 0 0e?>， n? ， ny?∈Y ， nyn> ， nx?∈X ， 使得 ： ( ) ( ) 0,nnnfxyxje?≥ 这样构造出的 ny ∈Y ， ny →+∞， 但 ( ),nnfxy 不一致收敛于 ( )xj ， 与条件矛盾 。 所以反证法假设不成立 。 证毕 含参量的积分 13.120 2 极限函数之性质 定理 3：（ 极限交换次序定理 ） 若 ( ) ( ) 0 lim, xx Fxyyj → = ， y?∈Y ， 且 ( ) ( ) 0 , yy Fxyxy → ?X ， 则 ： ( ) ( ) 0 00 limlim,limlim, xxyyyyxx FxyFxy → →→ = （ 00,xy可以为无穷 ） 证明 ： ny?∈Y ， 0nyy→ ， 由定理 2 知 ( ) ( ), n n Fxyxy →∞ ? X 又由于 ( ) ( ) 0 lim,nn xx Fxyyj → = ， 由序列 （ 函数序列 ） 极限性质 ， 我们得到 ： ( ) ( ) ( ) ( ) 000 limlimlim,limlim,limnnn x xxnnxxn xFxyFxyyyj →→→+∞→+∞→→+∞ === 其中第二个等式用到了函数列的一致收敛性质 。 又由数列极限与函数极限之关系 ， 已知 ny?∈Y ， ( ) ( ) 0 limlimn nxx yxjy →∞→ = ， 所以 ( ) ( ) 00 limlim y xx yxjy →→ = ， 即 ： ( ) ( ) 0 00 limlim,limlim, xxyyyyxx FxyFxy → →→ = 。 证毕 定理 4：（ 连续性与可积性定理 ） 设 { }0\yy?∈Y ， ( ),Fxy对于 x∈X 是连续的 ， 且 ( ) ( ) 0 , yy Fxyxj → ?X 则 ( ) ( )xCj ∈ X ， 且 [ ],ab??X， ( ) ( ) 0 lim,bb aayy Fxydxxdxj → =∫∫。 证明 ： 连续性 ： 0,xx?∈X， { }0\yy?∈Y ， 有 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000 000 ,,,, ,,,, xxxFxyFxyFxyFxyx xFxyFxyFxyFxyx jjjj?=?+?+? ≤?+?+? 由于 ( ) ( ) 0 , yy Fxyxj → ?X ， 我们有 ： 0e?>， 0d?>， 0yy d?<时 ， x?∈X ， 有 ( ) ( ),3Fxyxje?<， 所以 ， ( )0,yOyd?′?∈ ， ( ) ( ),3Fxyxje′ ?<， ( ) ( )00,3Fxyxje′ ?< 对于上述 y′， 由于 ( ),Fxy对于 x∈X 是连续的 ， 所以 0d′?>， 0xx d′?<时 ， ( ) ( )0,,3FxyFxy e′′?<， 因此 ： ( ) ( )0 333xxjjeeee?<++=， 即 ( ) ( )xCj ∈ X 。 可积性 ： 数学分析讲义 13.121 由于函数 ( )xj 是连续的 ， 所以也是 Riemann 可积的 。 并且 ： ( ) ( ) ( ) ( ),,bbbaaaFxydxxdxFxyxdxjj?≤?∫∫∫ 由于 ( ) ( ) 0 , yy Fxyxj → ?X ， 我们有 ： 0e?>， 0d?>， 0yy d?<时 ， x?∈X ， 有 ( ) ( ) ( ),Fxyxbaje?<?， 所以 ： ( ) ( ),bbb aaa Fxydxxd dxbaeje?<=?∫∫∫， 即 ： ( ) ( ) 0 lim,bb aayy Fxydxxdxj → =∫∫ 证毕 定理 5：（ 可导性 ） 设 ( ),Fxy， ( ),xFxy在 ×XY（ X为有界集 ） 上定义 ， 且满足 ： 1) ( ) ( ) 0 lim, yy Fxyxj → = ， 2) ( ) ( ) 0 ,x yy Fxyx → ?ΦX ， 则 ： ( )xj 在 X上可微 ， 且 ( ) ( )xxj′ =Φ 。 证明 ： 先证 ： ( ) ( ) 0 lim, yy Fxyxj → = 是一致收敛的 。 x?∈X ， ,yy′′′?∈Y ， 取定 0x ∈X ， 则有 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0000 ,, ,,,,,, FxyFxy FxyFxyFxyFxyFxyFxy ′′′? ′′′′′ ′′′≤??++? 由收敛性 ， 0e?>， 1 0d?>， 01yy d′?<， 01yy d′′ ?<时 ， ( ) ( )00,,2FxyFxy e′′′?< 又因为 ： ( ) ( ),,FxyFxy′′′? 对 x 可导 ， 由 Lagrange 中值定理 ： ( )0,1q?∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 00 00000 ,,,, ,,xx FxyFxyFxyFxy FxxxyFxxxyxxqq ′′′′′′??+ ′′=+??+??? 由于 ( ) ( ) 0 ,x yy Fxyx → ?ΦX ， 所以 2 0d?>， 02yy d′?<， 02yy d′′ ?<时 ( )( ) ( )( )0 00,,2xxFxxxyFxxxyMqqe′′′+??+?≤ 其中 M 为有界集 X的直径 。 令 ： { }12min,ddd= ， 则当 0yy d′?<， 0yy d′′ ?<时 ， 有 ： ( ) ( ),,FxyFxy e′′′?<， 即 ： ( ) ( ) 0 , yy Fxyxj → ?X 。 含参量的积分 13.122 其次 ， 令 ： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 00 ,, , ,x FxyFxy xx xxGxy Fxyxx ?? ≠ ? ?= ? ? =? 显然 ： ( ) ( ) 0 0lim,,xxxGxyFxy→ = ， ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 000 lim, , yy x xxxx xxGxy Fxyxx jj → ?? ≠ ? ?= ? ? =? 所以 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000 000 00 0 0 0 lim,limlim, limlim,lim xy yyxx xxyyxx xFxyGxy xxGxyx xx jj j →→→ →→→ Φ== ? ′=== ? 证毕 § 3 含参量的广义积分 有了上一节关于一致收敛性的讨论 ， 我们可以开始研究含参量之广义积分的性质了 。 含 参量的广义积分有两类 ： 一类是无穷积分 ， ( ) ( ), a Fxfxydy+∞= ∫ ， 另一类是瑕积分 ， ( ) ( ),baGxfxydy= ∫ 。 一般地广义积分的两类情形是可以通过变量替换互换的 ， 因而 这里我们着重考虑无穷积 分的情形 。 1 含参量无穷积分的一致收敛性 令 ： ( ) ( ),,A a FxAfxydy= ∫ ， 这是一个二元函数 ， 当 A →+∞时该函数关于 x 的一 致收敛性也就是广义积分的一致收敛性 ， 因此 ： 定义 ： 若函数 ( ) ( ),,A a FxAfxydy= ∫ 当 A →+∞时 ， 对 x∈X 一致收敛 ， 则称积 分 ( ), a fxydy+∞∫ 对 x∈X 一致收敛 。 例 1： 讨论积分 0 xyxedy+∞ ?∫ 的一致收敛性 。 解 ： 显然 ， 0x > 时上述积分总是收敛的 ， 但是否一致收敛呢 ？ 按定义 ， ( ) 0 ,1A xyxAFxAxedye??==?∫ 若 0xc≥>， 则 ： ( ),10xAcAFxAee???=≤→， ( )A →+∞ 所以 0 xyxedy+∞ ?∫ 在 [ ),c +∞ 上一致收敛 ； 数学分析讲义 13.123 若 0x > ， 则 ： 对于 10 ee ?= ， 0A?>， 0 1x A?= ， 使得 ( ) 10,1FxAe??> ， 因而不是一致收敛的 。 2 一致收敛判别法 1) 一致收敛原理 ( ),a fxydy+∞∫ 对 x∈X 一致收敛的充分必要条件为 ： 0e?>， Aa?>， 当 ,AAA′′′ > 时 ， x?∈X ， ( ),A A fxydy e′′′ <∫ 。 一致收敛原理的证明可由上一节得定理 1 直接得到 。 2) Weierstrass 判别法 （ M 判别法 ） 类似于无穷积分的比较判别法 ， 我们有如下的 Weierstrass 判别法 ： 若 x?∈X ， ya≥ 时 ， 有 ( ) ( ),fxyMy≤ ， 并且 ( ) a Mydy+∞∫ 收敛 ， 则 ( ), a fxydy+∞∫ 对于 x∈X 一致收敛 。 3) Abel判别法 命题 1： 1) ( ), a fxydy+∞∫ 对于 x∈X 一致收敛 ； 2) ( ),gxy对于国定的 x∈X ， 是 y 的单调函数 ， 且 ( ),gxy一致有界 ， 即 ： 0M?>， x?∈X ， ya≥ 时 ， 有 ( ),gxyM≤ ； 则 ： ( ) ( ),, a fxygxydy+∞∫ 对于 x∈X 一致收敛 。 证明 ： 由条件 1)， 我们有 ： 0e?>， Aa?>， 当 ,AAA′′′ > 时 ， x?∈X ， ( ),2A A fxydyMe′′′ <∫ ， 由条件 2)， 应用积分第二中值定理 ， 我们有 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,,,,, ,, 22 AA A A fxygxydygxAfxydygxAfxydy MfxydyMfxydy MMMM x x x x eee ′ ′′ ′′ ′′ ′ ′′′=+ ≤+ <?+?= ∫∫∫ ∫∫ 所以 ， ( ) ( ),, a fxygxydy+∞∫ 对于 x∈X 一致收敛 。 证毕 含参量的积分 13.124 4) Dirichlet 判别法 命题 2： 若 1) 0M?>， x?∈X ， Aa≥ 时 ， 有 ( ),A a fxydyM≤∫ ； 2) ( ),gxy对于国定的 x∈X ， 是 y 的单调函数 ， 且 ( ),0 y gxy →+∞ ?X ； 则 ： ( ) ( ),, a fxygxydy+∞∫ 对于 x∈X 一致收敛 。 证明 ： 由条件 2)， 0e?>， Aa?>， 当 ,AAA′′′ > 时 ， x?∈X ， 有 ( ),4gxAMe′ < ， ( ),4gxAMe′′ < ； 同样应用积分第二中值定理 ， 利用条件 1)， 我们有 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,,,,, 2,2, AAfxygxydygxAfxydygxAfxydy MgxAMgxA x x e ′ ′′ ′′ ′′′=+ ′′′≤+< ∫∫∫ 因而 ( ) ( ),, a fxygxydy+∞∫ 对于 x∈X 一致收敛 。 证毕 3 含参量广义积分之性质 定理 1：（ 积分界内 取极限定理 ） 设 ： 1) { }0\xx?∈X ， ( ),fxy是 [ ),ya∈+∞ 上连续函数 ； 2) ( ), a fxydy+∞∫ 对于 x∈X 一致收敛 ； 3) 0x 是 X之聚点 ， 且 ba?> 有 ( ) [ ] ( ) 0 , , , ab xxx fxygy →∈ ? X ； 则 ： ( ) ( ) 0 lim, aaxx fxydygydy+∞+∞ → =∫∫（ 有限值 ）。 证明 ： 考虑函数 ( ) ( ),,b a Fxbfxydy= ∫ ， 这是一个含参量之定积分 由含参量之定积分的连续性 ， ( ) ( ) 0, xx b a Fxbgydy → → ∫ ； 又 ， 由于条件 2)， ( ) ( ),, x abFx fxydy ∈ +∞ →+∞ ? ∫ X ； 由一致收敛函数之性质 ， 有 ： ( ) ( ) 00 limlim,limlim, xxbbxx FxbFxb →→+∞→+∞→ = ， 因而 ( ) ( ) 0 lim, aaxx fxydygydy+∞+∞ → =∫∫。 证毕 数学分析讲义 13.125 定理 2：（ 连续性定理 ） 设 ( ) [ ] [ )( ),,,fxyCab a∈×+∞ ( ) ( ),Fxfxydya+∞= ∫ 在 [ ],ab 上一致收敛 ， 则 ： ( ) [ ],FxCab∈ 。 证明 ： 对于 ba?≥ ， 由含参量定积分的性质 ， 有 ： ( ) [ ],,fxydyCabb a ∈∫ ， 又因为 ： ( ) [ ] ( ), , ab fxydyFxb a b→+∞ ?∫ ， 因 而 ( ) [ ],FxCab∈ 。 证毕 定理 3：（ 积分顺序交换定理之一 ） 设 1) ( ) [ ] [ )( ),,,fxyCab a∈×+∞ ，（ [ ],ab 有限 ） 2) ( ) ( ),Fxfxydy a +∞= ∫ 在 [ ],ab 上一致收敛 ， 则有 ： ( ) ( ),,bb aa fxydydxfxydxdy+∞+∞????=????????∫ ∫∫ 证明 ： 由条件知 ba?≥ 有 ： ( ) [ ] ( ), , ab fxydyFxb a b→+∞ ?∫ 因而由一致收敛函数求极限之定理 ， 有 ： ( ) ( ) ( )lim,lim,bbbaaafxydydxfxydydxFxdxbbaa→+∞→+∞????==????????∫ ∫∫∫ 另一方面 ， 由含参量的定积分交换次序定理 ， ( ) ( ),,bbaafxydxdyfxydydx????=????????∫ ∫∫ 令 b →+∞ ， 有 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ,lim, , bb aa bb aa fxydxdyfxydydx Fxdxfxydydx b b a +∞ →+∞ +∞ ????=???? ???? ??==?? ?? ∫ ∫∫ ∫∫∫ 证毕 定理 4：（ 积分顺序交换定理之二 ） 设 1) ( ) [ ) [ )( ),,,fxyCa a∈+∞×+∞ ； 2) ( ),fxydy a +∞∫ 在 [ ),a +∞ 的任一有限子区间上一致收敛 ； 3) ( )( ), a fxydydx a +∞+∞∫∫ 与 ( )( ), a fxydxdy a +∞+∞∫∫ 两者至少有一个存在 ； 则 ： ( )( ) ( )( ),, aa fxydydxfxydxdy+∞+ +∞+∞=∫ ∫∫ 。 证明 ： za?≥ ， 令 ： ( ) ( ),,z a Fzyfxydx= ∫ ， 它满足 ： (1) ( ) [ ) [ )( ),,,FzyCa a∈+∞×+∞ （ 由含参量定积分之性质 ） 含参量的积分 13.126 (2) 积分 ( ),Fzydy a +∞∫ 对 [ ),za∈+∞ 一致收敛 ； 这是因为 ( ) ( ) ( ),,,z aa Fzyfxydxfxydx+∞≤≤∫∫， 由条件 3)以及 Weierstrass 判别法 ， 知 ( ),Fzydy a +∞∫ 对 [ ),za∈+∞ 一致收敛 (3) 有条件 2)， z →+∞ 时 ， [ ],y ab?∈ ， ( ),Fzy一致收敛到 ( ), a fxydx+∞∫ ； 因此 ， 由定理 1 知 ： ( ) ( ) ( )( )lim,lim,,azzFzydyFzydyfxydxdyaaa+∞+∞+∞+∞→+ →+∞==∫∫∫∫ 另一方面 ， 由定理 3 知 ： ( )( ) ( )( ) ( ),,,aafxydydxfxydxdyFzydyaaa+∞+∞+∞==∫ ∫∫∫ 令 z →+∞ ， 即得 ： ( )( ) ( )( )fxydydxfxydxdy aa +∞+ +∞+∞=∫ ∫∫ 证毕 推论 ： 假设 ： 1) ( ) [ ) [ )( ),,,fxyCa a∈+∞×+∞ 且非负 ，（ 即 ( ),0fxy≥ ） 2) ( ) [ ),, a fxydxCa+∞ ∈+∞∫ ， ( ) [ ),,fxydyCa a +∞ ∈+∞∫ ； 3) ( )( ), a fxydydx a +∞+∞∫∫ 与 ( )( ), a fxydxdy a +∞+∞∫∫ 至少有一个存在 ； 则 ： ( )( ) ( )( ),, aa fxydydxfxydxdy+∞+ +∞+∞=∫ ∫∫ 。 证明仿照定理 4 的证明即可 。 定理 5：（ 积分号下求导定理 ） 假设 ： 1) ( ) ( ),,,xfxyfxy 在 [ ],xab∈ ， y a≥ 上连续 ； 2) ( ),fxydy a +∞∫ 存在 ； 3) ( ),xfxydy a +∞∫ 在 [ ],ab 上一致收敛 ； 则 ： ( ) ( ) ( ) [ ]1,,FxfxydyCab a +∞=∈∫ ， 且 ( ) ( ), xFxfxydya +∞′ = ∫ 。 证明 ： 令 ： ( ) ( ),xxfxydy a j +∞= ∫ ， 显然 [ ](),xCabj ∈ ， 并且由定理 3， 有 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,, ,, xxx aaa xd fxydydxfxydxdy fxyfaydyFxFa a j +∞+∞ +∞ ????==???? ???? =?=????? ∫∫ ∫∫ ∫ 因而结论成立 。 证毕 数学分析讲义 13.127 4 几个例子 例 1： 求积分 ： 1) 0 axbxee dxx ??+∞ ? ∫ ， 2) 20 coscosaxbx dxx+∞ ?∫ ， 其中 ,0ab> 。 解 ： 方法一 ， 利用交换积分次序的定理 。 1) ( ) 00 axbx b xy a eedxedydx x ??+∞+∞ ?? =∫∫∫ ， 由于 xyaxee??≤ ， 所以 0 xyedx+∞ ?∫ 在 [ ],yab∈ 上一致收敛 ， 由定理 3， ( ) 00 ln axbx bb xy aa e dybdxedxdy ya ??+∞+∞ ?? ===∫∫∫。 2) 2 00 coscossinb a axbxxyd dydx xx +∞+∞? ??= ????∫∫∫ ， 考虑积分 0 sin xy dx x +∞∫ ， 0x = 不是瑕点 ， 由于 ： 0 1cos 2sinA Ayxydx ya ?=≤∫ ， 并且 x →+∞时 ， 1x 在 [ ],yab∈ 上单调一致趋于零 ， 由 Dirichlet 判别法知 0 sin xy dx x +∞∫ 在 [ ],yab∈ 上一致收敛 ， 由定理 3， ( )2 00 coscossin 22 bb aa axbxxyd dxdydyba xx pp+∞+∞? ??===? ????∫∫∫∫。 方法二 ， 利用积分号下求导定理 。 1) 令 ： ( ) 0 axxyee Iydxx ??+∞ ? = ∫ ， 则 ： ( ) 0Ia= ， ( ) 0 axbxee Ibdxx ??+∞ ? = ∫ ； 由于 ( ) 0 1xyIyedx y +∞ ?′ ==∫ ， 所以 ( ) ( ) ( ) lnb a bIbIydyIa a′=+=∫ 。 2) 令 ： ( ) 2 0 coscosaxxyIydx x +∞ ?= ∫ ， 则 ： ( ) 0Ia= ， ( ) 2 0 coscosaxbxIbdx x +∞ ?= ∫ ； ( ) 0 sin 2 xyIydx x p+∞′ ==∫ ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 b a IbIydyIabap′=+=?∫ 。 例 2： 计算下列积分 ： 1) 0 cosaxexdxb+∞ ?∫ ， 2) 0 sinax xedx x b+∞ ?∫ ， 3) 0 sin x dx x b+∞∫ ， 其中 0a > 。 解 ： 1) 由于 [ ]22coscossin ax ax eexdxaxxC abbbbb ? ? =?++ +∫ ， 含参量的积分 13.128 所以 22 0 cosax aexdx ab b+∞ ? = +∫ 。 2) 令 ( ) 0 sinax xIedx x bb +∞ ?= ∫ ， 则 ： ( )00I = ， 22 0 ()cosax aIexdx abbb+∞ ?′ ==+∫ ， ( ) ( )22 0 0arctanaIdIaab bbbb=+=+∫ 。 3) 当 0a ≥ 时 ， 由于 0 sin x dx x b+∞∫ 一致收敛 ， 1axe? ≤ 是单调一致有界的 ， 由 Abel 判别法 ， ( )I b 对于 0a ≥ 是一致收敛的 ， 所以 ： ( ) 0 0 sin limsgn 2a x dxI x bpbb + +∞ → ==∫ 。 例 3： 计算积分 2 0 xJedx+∞ ?= ∫ 。 解 ： 方法一 ， 利用利用函数列的一致收敛性 。 因为 2 1 nx n ??? +?? ?? 在 [ ]0, A 上连续 ， [ ]2 0,xeCA? ∈ ， 2 1 nx n ??? +?? ?? 是单调下降函数 列 ， 并且 2 2 1 n xx e n ? ???+→?? ?? ， 由 Dini 定理知上述收敛在 [ ]0, A 上 是一致收敛的 ； 又由于 2 2 101 1 nx nx ??? <+≤??+ ?? ， 所以 2 0 1 nx dxn ? +∞??+ ????∫ 关于 n 是一致收敛的 ； 因此 ： 2 22 000lim1lim1 nn x nn xxdxdxedx??+∞+∞+∞ ? →+ →∞ ????+=+= ????????∫∫∫， 而积分 ： ( ) ( )( )2 2222000 23!!11cos 222!! n n n nx dxntdtnydynp p ? +∞+∞ ? ? ???+=+== ?? ???∫∫∫ 利用 Wallis 公式 ： ( )( )2!!lim 22121!! n n nn p →∞ =+? ， 我们有 ： 2 0 2 xedx p+∞ ? =∫ 。 方 法二 ， 利用积分号下求导定理 。 令 ： ( ) ( )2 1 20 1 txe Itdxx ?++∞ = +∫ ， 则有 ： ( ) 2 0 0 12dxI x p+∞==+∫ ， ( )lim0 t It →+∞ = ， ( ) ( )2 10 txItedx+∞ ?+′ =?∫ 对于 0t d≥>一致收敛 ， 并且 ： 数学分析讲义 13.129 ( ) ( )2 21001ytxtx ty tJItedxedytte=+∞+∞?+ ??′ =?=?=?∫∫ 所以 ： ( ) ( ) 22 txAAx t dtIAIJJedx teddd = ? ?=?=?∫∫ 令 0d +→ ， A →+∞， 我们有 ： 222 Jp?=? ， 所以 ： 2J p= 。 例 4： 计算积分 2 0 cos2xexdxb+∞ ?∫ 。 解 ： 令 ： ( ) 2 0 cos2xIexdxbb+∞ ?= ∫ ， ( ) 20 2sin2xIxexdx+∞ ?′ =?∫ ， 对于 ( ),b ∈?∞+∞ 一致收敛 。 因此 ： ( ) ( )2200sin 2cos22xxIxdeexdxIbbbbbb+∞+∞??′ ==??=?∫∫ ， 求得 ： ( ) 2ICe bb ?= ， 再利用 ( ) 2 0 0 2xIedx p+∞ ?==∫ ， 我们有 ： ( ) 22Iebpb ?= ， 即 ： 22 0 cos2 2xexdxebpb+∞ ??=∫ 。 例 5： 计算两个 Laplace 积分 ： ( ) 22 0 cos xIdx x bb a +∞= +∫ 及 ( ) 220 sinxxJdx x bb a +∞= +∫ ， 0a > 。 解 ： 当 0d > 时 ， 因为 0 2sinA xdxb d≤∫ ， 并且 22 x x a+ 在 [ ),bd∈+∞ 上单调一致 收敛趋于零 ， 由 Dirichlet 判别法 ， 积分 ( ) 22 0 sinxxJdx x bb a +∞= +∫ 在 [ ),bd∈+∞ 上一致收敛 。 所以由定理 5， ( ) 22 0 sinxxIdx x bb a +∞′ =? +∫ 。 考虑到 ： ( ) ( )222 22000sinsinsin2 x xxId dxdxxxxxp bbbaa a+∞+∞+∞′ +=?+=+ +∫∫∫ 由于 ( ) 22 0 cos xIdx x bb a +∞= +∫ 对于 [ ),bd∈+∞ 一致收敛 ， 再利用定理 5， 有 ： ( ) 2 220 cos2 x dxxpbbaa+∞′??′ +=?? +??∫ ， 即 ： ( ) ( )2IIbab′′ = 。 由此 ， 我们得到 ： ( ) 12ICeCeababb ?=+ 。 又因为 ： ( ) 22 0 2 dxI x pb aa +∞≤= +∫ ， 所以 ( )lim0Ia b→+∞ = ， 代回到上面 ( )I b 的表达式中 ， 我们有 1 0C = ， 因 此 ( ) 2ICeabb ?= 。 含参量的积分 13.130 最后 ， 考虑到 ( ) 22 00 lim 2dxI x b pb aa+ +∞ → ==+∫ ， 推出 2 2C pa= ， 即 ： ( ) 2Ieabpb a ?= 。 而当 0b > 时 ， ( ) ( )22 0 sin 2 xxJdxIe x abbpbb a +∞ ?′==?=? +∫ ， 因此 ， 一般地 ： 因而 ( ) sgn2Jeabpbb?=? 。 § 4 欧拉积分 ： Gamma 函数与 Beta 函数 这一节中我们介绍一类特殊的含参量广义积分 ， 即欧拉积分 ， 并引入由此定义的两种特 殊函数 ： b 函数与 Γ 函数 。 1 Gamma 函数 定义 1： 含参量的广义积分 1 0 txetdt+∞ ??∫ 定义了关于参量 x 的函数 ， 记作 ： ( ) 1 0 txxetdt+∞ ??Γ=∫ ， 称这一函数 为 Γ 函数 （ Gamma 函数 ）， 也成为第二类 Euler 积分 。 由定义可以看出 ( )xΓ 是定义在 0x > 上的函数 。 定理 1： ( ) ( )0,xCΓ∈+∞ 。 证明 ： 首先 0x > 时 ， 积分 1 1 0 txetdt??∫ 是收敛的 （ 0t = 为 瑕点 ） 对于 0d > ， [ ),x d?∈+∞ ， [ ]0,1t∈ ， 有 11txte ted????≤ 因而积分 1 1 0 txetdt??∫ 在 [ ),x d∈+∞ 上是一致收敛的 ； 其次 ， 积分 1 1 txetdt+∞ ??∫ 在 ( )0,x ∈+∞ 上是一致收敛的 ， 所以 ： 1 0 txetdt+∞ ??∫ 在 [ ),x d∈+∞ 上一致收敛 ， 因此 ( ) ( )0,xCΓ∈+∞ 。 证毕 定理 2： ( ) ( ) ( )0,xC∞Γ∈+∞ ， 并且 ( ) ( ) ( )1 0 ln nn txxettdt+∞ ??Γ=∫ 。 证明 ： 0Aa>>时 ， [ ],xaA?∈ 当 [ ]0,1t∈ ， ( ) ( )11lnlnnntxae ttt???≤ ， 而积分 ( )1 1 0 ln nattdt?∫ 收敛 ， 数学分析讲义 13.131 当 [ )1,t∈+∞ ， ( )11ln ntxAnte tte? +??≤ ， 而积分 1 1 Anttedt+∞ +??∫ 收敛 ， 所以由 Weierstrass 判别法知积分 ( )1 0 ln ntxettdt+∞ ??∫ 在 [ ],aA上一致收敛 ， 所以 ( ) ( ) ( )0,xC∞Γ∈+∞ ， 并且 ( ) ( ) ( )1 0 ln nn txxettdt+∞ ??Γ=∫ 。 证毕 引理 1：（ Schwartz不等式 ） 设 ( ) ( ) [ ],,fxgxCab∈ ， 且 ( ) ( ),0fxgx≥ ， ,0lm> ， 1lm+=， 则 ： ( ) ( ) ( ) ( )bbb aaa fxgxdxfxdxgxdxlm????≤???????? ????????∫∫∫。 证明 ： 先证明 ： ,0uv> 时 ， uvuvlm lm≤+。 令 ( ) lnxxj =? ,由于 ( ) 21 0x xj′′ =>， 所以 ( )xj 是 0x > 上的下凸函数 ， 因 此 ： ( ) ( ) ( )uvuvjlmljmj+≤+， 即 ： ( )lnlnlnuvuvlmlm?+≤?? ， 所以 ： uvuvlm lm≤+。 其次 ， 令 ( )( )b a ftu ftdt = ∫ ， ( )( )b a gtv gtdt = ∫ 代入上述不等式 ， 有 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bbbb aa aa ftgt ftgt ftdtgtdtftdtgtdt lm lm lm???????? ≤+ ???????? ????∫∫∫∫ ， 两边对 t 在 [ ],ab 上积分 ， 有 ： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 b a bb aa ftgtdt ftdtgtdt lm lmlm ???????? ≤+= ???????? ???? ∫ ∫∫ ， 即 ： ( ) ( ) ( ) ( )bbb aaa fxgxdxfxdxgxdx lmlm???? ≤???????? ????????∫∫∫。 证毕 定理 3：（ Γ 函数之基本性质 ） 1) ( ) 0xΓ>， ( )0,x?∈+∞ ， 并且 ( )11Γ=； 2) ( ) ( )1xxxΓ+=Γ ， ( )0,x?∈+∞ ； 3) ( )ln xΓ 在 ( )0,+∞ 上是下凸函数 。 证明 ： 1) 显然 。 2) ( ) ( )1 000 1 txxttxxetdttdeextdtxx+∞+∞+∞????Γ+==?==Γ∫∫∫ 。 3) 利用引理 1， 0ba?>>， ,0lm> ， 1lm+=， ,0xy> ， 有 ： 含参量的积分 13.132 ( ) ( )111bbbtxytxty aaa etdtetdtetdt lm lm?+?? ??≤∫∫∫， 令 0a +→ , b →+∞ 即得 ： ( ) ( ) ( )xyxylmlmΓ+≤ΓΓ????????， 两边取对数 ， 得到 ： ( ) ( ) ( )lnlnlnxyxylmlmΓ+≤Γ+Γ， 所以 ( )xΓ 在 ( )0,+∞ 上是下凸函数 。 证毕 推论 ： n?∈N ， ( )1!nnΓ+= 定理 3 所描述的 Γ 函数的三条性质实际上是 Γ 函数之全部性质 。 也就是说它是 Γ 函数 的充分条件 ， 也可说是等价定义 。 这就是下面的定理 4： 定理 4：（ Bohr & Mollerup） 若在 ( )0,+∞ 定义的函数 ( )fx满足 ： 1) ( ) 0fx> ， ( )0,x?∈+∞ ， 并且 ( )11f = ； 2) ( ) ( )1fxxfx+= ， ( )0,x?∈+∞ ； 3) ( )ln fx在 ( )0,+∞ 上是下凸函数 ； 则 ： ( ) ( )fxx=Γ 。 证明 ： 令 ： ( ) ( )lnxfxj = ， 由条件 1)， 2)可得 ： ( )1!fnn+=， ( )1ln!nnj += ， 并且 ： ( ) ( )( ) ( ) ( )111fxnxnxnxxfx++=++?+?L ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ln11xnxnxnxxxjj++=++?++????L 。 由条件 3)， ( )xj 在 ( )0,+∞ 上是下凸函数 ， 因而 ( ]0,1x?∈ ， 有 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11121 1 21 nnxnnnn nnxnnnn jjjjjj+?++?++?+≤≤ + ++? +?+ ， 即 ： ( ) ( ) ( )11l ln1xnnxjj++?+≤≤+， 因而 ： ( ) ( )lnln!1ln1ln!x xnxnnj+≤++≤++ 将 ( )1xnj ++的表达式代入上式 ， 有 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1!!lnln 11 xx nnnn xx xnx xnj +≤≤++++LL， 因此 ： ( ) ( ) ( )!110l ln1ln11 xnn xxx xnnnj ????≤?≤+≤+????++ ????L 上式说明 ： ( ) ( ) ( ] ( )0,1! ln 1 x x n nn x x xn j ∈ →∞ ?++L 。 最后 ， 由上式及条件 2)， ( )0,+∞ 上的 ( )fx就完全确定了 ， 所以满足条件 1)， 数学分析讲义 13.133 2)， 3)的 ( )fx是存在唯一的 。 又由定理 3， ( )xΓ 满足条件 1)， 2)， 3)， 所 以 0x?> ， ( ) ( )fxx≡Γ 。 证毕 推论 ： 0x?> ， ( ) ( ) ( )!lim 1 x n nnx x xn→∞Γ= ++L 。 证明 ： 由定理 4 知 ( ]0,1x∈ 时 ( ) ( ) ( )!lim 1 x n nnx x xn→∞Γ= ++L ， 0x?> 时 ， 记 ( ) ( ) ( )!lim 1 x n nngx x xn→∞= ++L ， 则有 ： ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 ! 1lim 121 !lim 121 x n x n nngx xxxn nnnxgx xxxxnxn + →∞ →∞ += ++++ =?=+++++ L L 所以 ： 0x?> 时 ， ( ) ( )gxx=Γ ， 即 ( ) ( ) ( )!lim 1 x n nnx x xn→∞Γ= ++L 。 证毕 引理 2： ( )0,1x ∈ 时 ， 有 2 2 1 sin1 n xxx npp ∞ = ??=??? ??∏ 。 证明 ： 1) 当 a 非整数时 ， 对 cos ta 在 [ ],pp? 上 Fourier 展开 ， 得到 ： ( ) 22 1 sin12coscos1n n ntt n apaa paa ∞ = ??=+? ?????∑ ； 2) 在上述展开式中令 t p= 有 ： 22 1 12cot n n apap aa ∞ = =+ ?∑ 因而当 ( )0,1x ∈ 时 ， 有 22 1 12cot n xx xxnpp ∞ = =+ ?∑ 3) 令 ： ( ) 22 11 ln lnln1 nn xxx nnypp ∞ ∞ == ??????=?=+? ????????????∑∏ 则有 ： ( )00y = ， 并且 ( ) 22 1 21cot n xxx xnxypp ∞ = ′ =??∑ 所以 ： ( ) sinln xx xpy = ， 即 ： 2 2 1 sin1 n xxx npp ∞ = ??=??? ??∏ 。 证毕 含参量的积分 13.134 推论 ： x?∈R ， 均有 2 2 1 sin1 n xxx npp ∞ = ??=??? ??∏ 。 证明 ： x∈R ， 令 ( ) 2 2 1 1 n xhxx np ∞ = ??=??? ??∏ ， 则 ： 1) ( ) ( )010hh==； 2) ( ) ( )hxhx?=? ， x?∈R ； 3) 因为 ： ( ) ( ) 2 2 22 11 1 11NN nn x Nxxxx nNxnpp== ??+ ??+++?=???? ??? ?? ?? ∏∏， 所以 ： ( ) ( )1hxhx+=? ， x?∈R ， 因而 x?∈R ， ( ) sinhxxp= 。 证毕 定理 5：（ 余元公式 ） ( )0,1x ∈ 时 ， ( ) ( )1 sinxx xppΓΓ?= 。 证明 ： 利用定理 4 之推论 ： ( ) ( ) ( ) ( ) !limlim 1 11 xx nn nnnx xx xn xx n →∞→∞ Γ==++?? ++????L L ， ( ) ( ) ( ) 1 1lim 11112 x n nx xxxnx n ? →∞ Γ?= ???? ???+?????????L ， 因而 ( )0,1x ∈ 时 ： ( ) ( ) ( ) ( )222 2 2 1 1lim 11112 1 sin1 n n nxx xxx nx n xxx n p p →∞ ∞ = ΓΓ?= ???? ???+????? ???? ==?? ??? ??∏ L 证毕 推论 1： 12 p??Γ=?? ?? 。 证明 ： 由余元公式 ， 2 1111 1222 sin 2 p p p ??????Γ=ΓΓ?==?????? ?????? ， 所以 1 2 p ??Γ=?? ?? 。 证毕 数学分析讲义 13.135 推论 2： 2 0 2 xedx p+∞ ? =∫ 。 证明 ： 由定义 ， 2 1 1 2 00 1 2 2 xttxetdtedt p=+∞+∞?????Γ=== ????∫∫， 所以 2 0 2 xedx p+∞ ? =∫ 。 证毕 推论 3： ( )21!!122nnn p???Γ+=?? ?? 。 证明 ： 由定理 3， ( )21!!11311222222nnnnn p?????????Γ+=??Γ=???????? ???????? L 。 证毕 定理 6：（ Legendre 公式 ， 倍元公式 ） 0x?> ， ( ) ( ) 21 2 2 x xxxp ? ?? Γ=ΓΓ+?? ?? 。 证明 ： 由定理条件 ， 只需证 ： 0x?> ， ( ) 121 22 x xx x p ? +???? Γ=ΓΓ???? ???? 。 令 ： ( ) 121 22 x xx fx p ? +???? =ΓΓ???? ???? ， 则有 ： 1) ( ) 0fx> ， 并且 ： ( ) ( )111112f p ??=ΓΓ=?? ?? ； 2) ( ) ( )212211 2 222 xxxxxxx f xfxpp+++????????+=ΓΓ=ΓΓ=???????? ???????? ； 3) ( ) ( ) 11ln1ln2lnlnln22xxfxx p +????=?++Γ+Γ???? ???? 其中每一项均 为 ( )0,+∞ 上的下凸函数 ， 因而 ( )ln fx为 ( )0,+∞ 上的下凸函数 ； 由定理 4 可知 ： 0x?> ， ( ) ( )fxx=Γ 。 证毕 2 Beta 函数 定义 2： 含两个参量 ,xy之积分 ( )1 11 0 1 yxttdt?? ?∫ 称为 Beta 函数 或第一类 Euler 积分 ， 记作 ： ( ) ( )1 11 0 ,1yxxyttdtb ??=?∫ 。 类似于 Γ 函数 ， b 函数有如下基本性质 ： 含参量的积分 13.136 命题 ： ( ),xyb 对于 ,0xy?>有定义 ， 且满足 ： 1) ( ),0xyb > ， 并且 ： ( ) 11, y yb = ； 2) ( ) ( )1,,xxyxyxybb+=+ ； 3) 0y?>， ( )ln,xyb 关于 x 为下凸函数 。 证明 ： 1) 显然 。 2) 直接计算得 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 111 00 11 20 1 11 0 11, 1 1 1 1 1, x yxyx x xy yx txyttd dt xyt ttxdt xytt xxttdtxy xyxy b b ?+ ? + ?? ??+=?=??? +??? ???=?? ??+???? =?=++ ∫∫ ∫ ∫ 3) 12,0ll?>， 121ll+=， 12,0xx> ， 0y > ， 由引理 1， 我们有 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1122 12 12 12 1 11 1122 0 1 1111 0 12 ,1 ,, yxx yyxx xxyttdt ttttdt xyxy ll ll ll bll bb ?+? ???? +=? ????=???? ≤ ???????? ∫ ∫ 因而 ( )ln,xyb 是 x 的下凸函数 。 证毕 定理 7：（ b 函数与 Γ 函数之关系 ） ,0xy?>， 有 ： ( ) ( ) ( )( ), xyxy xyb ΓΓ= Γ+ 。 证明 ： 0y?>， 令 ： ( ) ( ) ( )( ),xyxyfx yb Γ+= Γ ， 只需证明 ( )fx满足定理 4 的三个 条件 ， 即可证明 ( ) ( )fxx=Γ 。 1) ( ) 0fx> ， 并且 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1,1111yyyf yyb Γ+Γ+===ΓΓ； 2) 应用 b 函数与 Γ 函数性质 ， 有 ： ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,11 ,1 xyxyfx y x xyxyxy x xfx y b b +Γ+++= Γ ?+Γ++ ==Γ 数学分析讲义 13.137 3) 0y?>， ( )ln,xyb 与 ( )ln xyΓ+均是 x 的下凸函数 ， 而 ( )ln yΓ 与 x 无关 ， 因而 ( )ln fx是 x 的下凸函数 ； 由定理 4 知 ： ( ) ( )fxx=Γ 。 证毕 推论 ： 1) ( ) ( ),,xyyxbb= ；（ 对称性 ） 2) ( )0,1x?∈ ， ( ),1 sinxx xpb p?= ；（ 余元公式 ） 3) 0x?> ， ( ) 2111,,22xxxxbb? ??= ?? ?? 。（ 倍元公式 ） 例 1： 求证 ( ) ( ) ( ) 1111 00 , 11 xxy xyxy uduuuxydu uu b ???+∞ ++ +== ++∫∫ 。 证明 ： 利用换元法 ， 有 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1111 11 1120001,1 1111 ut xxuy x xyxy uduuduxyttdt uuuu b = ??+ +∞+∞ ?? ??+=?==++++∫∫∫ 由此 ， 继续应用换元法 ， 有 ： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1111 001 1 111 2010 , 11 xxx xyxyxy xy xyx xyxy uduuduuduxy uu uduvdvuudu vvvu b ???+∞+∞ +++ ???? + ?? ==+ +??= ?= ????+++ ∫∫∫ ∫ 例 2： 计算积分 2 0 sincosxxdx p ab∫ ， 其中 ,1ab>? 。 解 ： 利用换元法 ， 作变换 arcsinxt= ， 有 ： ( ) ( ) 112211200011sincos 212 11 1111 22, 2222 1 2 dtxxdxt ttdt tt bbaap ab ab abb ab ??=?=? ? ++????ΓΓ???? ++??????==?? +????Γ+?? ?? ∫∫∫ 例 3： 计算积分 ( )2 0 tan xdx p a ∫ ， 其中 1a < 。 解 ： 利用上题结论 ： ( )2200 111tansincos,222 2cos 2 xdxxxdx ppa aa aapb pa ? +???===?? ??∫∫ 。 含参量的积分 13.138 例 4： 计算积分 2 0 sin xdx p a∫ 及 2 0 cos xdx p a∫ ， 其中 1a >? 。 解 ： 由例 2 结论 ， 22 00 1 111 2sincos, 222 21 2 xdxxdx pp aa ap ab a +??Γ?? +????==?? ????Γ+?? ?? ∫∫= 。 习题 1． 设 D 是 mR 中的有界闭区域 ， )(),(],,[ ECtxfDE ∈×= ba ， ∫= ba dttxfxI ),()( 。 求证 ： )()( DCxI ∈ 。 2． 设 )(xf 在 ],[ ba 黎曼可积 ， )(),( )( DCyx k∈j ， 其中 ),(],[ ba×= baD ， 又设 ∫= ba dxyxxfyg ),()()( j 。 求证 ： ),()( )( bakCyg ∈ 且 ),,2,1(),()()()( kndxy yxxfyg b a n n n L= ? ?= ∫ j 。 3． 求下列极限 ： （ 1） dyyx x ∫?→ +1 1 22 0 lim ； （ 2） dyxyy x ∫→ 2 0 2 0 coslim ； （ 3） ∫ + → ++ a aa a 1 220 1lim x dx 。 4． 求 )( xF ′ ： （ 1） ∫ ?= x x yx dyexF cos sin 1 2)( ； （ 2） ∫ + + = xb xa dyyxyxF sin)( ； （ 3） ∫ ∫ ??????= x xt dtdsstfxF 0 2 2 ),()( 。 5． 设 dxyxyF ∫ += 1 0 22ln)( ， 问是否成立 ： dxyxyF y 0 1 0 22ln)0( = ∫ +??=′ 。 6． 证明 ： dxyx yxdydyyx yxdx ∫ ∫∫ ∫ +?≠+? 1 0 1 0 222 221 0 1 0 222 22 )()( 。 7． 求出下列函数的定义域 ： （ 1） ∫ ∞+ ? += 0 21)( dyy exF xy ； 数学分析讲义 13.139 （ 2） ∫ ∞+= 0 sin),( dt t tyxF x y ； （ 3） ∫= 2 0 ln )( x t dtxF 。 8． 证明下列积分在所给定的区间内一致收敛 ： （ 1） )0(1cos 0 2 >≥+∫ ∞+ axdyyxy ； （ 2） )( 1 badxex x ≤≤∫ ∞+ ? aa ； （ 3） )0,0(cos 1 ≥>∫ ∞+ ? aa pdxx xe px ； （ 4） )0(1sin 0 2 ≥+∫ ∞+ pdxxx p ； （ 5） )0(sin 0 ≥∫ ∞+ ? aa dxex x x 。 9． 叙述 ∫ ∞+ a dyyxf ),( 对 Xx ∈ 的不一致收敛原理 。 10． 设 ∫ ∞+ 0 ),( dyyxf 对 Xx ∈ 收敛 。 设有 X 的聚点 0x ， 对任意 0>A ， )(),(lim 0, Aldyyxf AxxXx =∫ ∞+ →∈ 存在 ， 且对一切 0>A ， )(Al 所成集合有正下界 。 证明 ∫ ∞+ 0 ),( dyyxf 对 Xx ∈ 不一致收敛 。 11． 证明下列积分在所给定区间内不一致收敛 ： （ 1） )0( 0 2 +∞<≤∫ ∞+ ? aa a dxe x ； （ 2） )20(1sin11 0 <<∫ ndxxx n ； （ 3） )0(sin 0 )1( 22 +∞<<∫ ∞+ +? xydye yx 。 12． 讨论下列积 分在指定区间内的一致收敛性 ： （ 1） ∫ ∞+ ∞? ?? dxe x 2)( a （ 1° ba <<a ， 2° +∞<<∞? a ）； （ 2） ∫ ?1 0 21 ln xdxx p （ 1° 0pp ≥ ， 2° 0>p ）； （ 3） ∫ ∞+ 0 sin dx x xa （ 1° ],[0],,[ baba ?∈a ， 2° ],[0],,[ baba ∈∈a ）； （ 4） ∫ ? 1 0 sin dx x x a a （ 10 ≤≤a ）。 13． 讨论下列函数在指定区间上的连续性 ： （ 1） ),(,)( 0 22 +∞?∞∈+= ∫ ∞+ xdyyx xxF ； （ 2） )2,0(,)( sin)( 0 2 ∈?= ∫ ? xdyyy yxF xxp p ； 含参量的积分 13.140 （ 3） 3,1)( 0 2 >+= ∫ ∞+ xdyyyxF x 。 14． 设 ∫ ∞+ ∞? dxxf )( 存在 。 求证 ： ∫ ∞+∞?= uxdxxfuF cos)()( 在 +∞<<∞? u 上有界且一致连续 。 15． 利用已知积分值 2,2 sin 00 2 pp == ∫∫ ∞+ ?∞+ dxedx x x x 与积分运算法则计算下列积分 ： （ 1） ∫ ∞+ 0 sin dx x ax ； （ 2） ∫ ∞+ 0 cossin2 dy y yxy p ； （ 3） ∫ ∞+ 0 2 4sin dxx x ； （ 4） )0( 0 2 2 >∫ ∞+ ? aa dxex x ； （ 5） )0()( 2 >∫ ∞+ ∞? ++? adxe cbxax ； （ 6） )0()( 2 22 >∫ ∞+ ∞? +? adxe xax ； 16． 利用对参数的微分法计算下列积分 ： （ 1） ∫ ∞+ ++= 0 122 )( )( nn ax dxaI （ n 为自然数 ， 0>a ）； （ 2） )0,0( 0 22 >>?∫ ∞+ ?? ba ba dxx ee xx ； （ 3） )0,0(sin 0 >>?∫ ∞+ ?? ba ba mxdxx ee xx ； （ 4） )0(sin 0 2 >∫ ∞+ ? aa bxdxxe x 。 16． 利用对参数的积分法计算下列积分 ： （ 1） )0,0(sin 0 >>?∫ ∞+ ?? ba ba mxdxx ee xx ； （ 2） )0,0( 0 22 >>?∫ ∞+ ?? ba ba dxx ee xx 。 17． 从已知积分出发 ， 利用对参数的微分法计算下列积分 ： （ 1） ∫ ∞+ ? 0 22 dxxe nxa （ 0>a ， n 为自然数 ）； （ 2） dxxx n∫ ?1 0 1 lna （ 0>a ， n 为自然数 ）。 18． 从等式 ∫ ∞+ +?=+ 0 )(22 221 dte x xt a a 出发 ， 计算下列积分 ： （ 1） ∫ ∞+ + 0 22 cos dx x x a b （ 0>a ）； （ 2） ∫ ∞+ +0 22 sin dx x xx a b （ 0>a ）。 19． 求下列积分 ： （ 1） dxaxa∫ +?p 0 2 )cos21ln( ； 数学分析讲义 13.141 （ 2） )1()sinln(2 0 22 >?∫ adxxa p ； （ 3） dxx x∫ ∞+ ? ? ?? ? ? 0 2sin a ； （ 4） )0()1(arctg 0 2 ≥+∫ ∞+ aa dxxx x ； （ 5） dxxJx x∫ ∞+ 0 0 )(sin a ， 其中 qqp p dxxJ ∫= 2 00 )sincos(2)( 。 20． 求下列积分的存在域并用欧拉积分表示 ： （ 1） dxxx n m ∫ ∞+ ? +0 1 1 ； （ 2） ∫ ? 1 0 1n mx dx ； （ 3） dxxx nm∫ 2 0 cossin p ； （ 4） dxxn∫ 2 0 tg p ； （ 5） ∫ ? ? ?? ? ?1 0 1ln dx x p ； （ 6） ∫ ? ??????10 11 ln dxxx n m ； （ 7） )0(ln 0 >∫ ∞+ ? aa xdxex xp 。 21． 利用欧拉积分计算下列积分 ： （ 1） ∫ ? 1 0 4 11 x dx ； （ 2） ∫ ?1 0 2 dxxx ； （ 3） ( )∫ ?1 0 3 1 dxxx ； （ 4） )0( 0 222 >?∫ adxxaxa ； （ 5） ( ) dx x x n∫ ? 1 0 2 211 （ n 为自然数 ）； （ 6） dxxx∫ 2 0 46 cossin p ； （ 7） ∫ ∞+ + 0 41 x dx ； （ 8） ∫ ∞+ ? 0 2 2 dxex xn （ n 为自然数 ）； （ 9） ∫ ?p 0 cos3 x dx 。