第二学期第一次课 第五章 §3实与复二次型的分类 1．复、实二次型的规范形： 定理 复数域上的任一二次型在可逆变数替换下都可化为规范形  其中是的秩. 复二次型的规范形是唯一的. 证明 复数域C上给定二次型)  () 设它在可逆线性变数替换X＝TZ下变为标准型 … 这相当于在C上n维线性空间V内做一个基变换  使对称双线性函数f（α，β）在新基下的矩阵成对角形，即  设…中有r个不为零。只要把的次序重新排列一下，就可以使不为零的排在前面，而后面n－r个全为零。因此，不妨设f的标准型为 … （， f的矩阵为A=(),有 ＝＝ 因T可逆，r（D）=r(A).故D中主对角线上非零元素个数r＝r（D）＝r（A）＝f的秩。 因为在复数域内任意一个数都可以开平方，所以可以对上述标准型再做如下可逆线性变数替换（其中为的任一平方根）：  于是f变作   定理 实数域上的任一二次型在可逆变数替换下都可化为规范形  其中正平方项的个数称为的正惯性指数，负平方项的个数称为的负惯性指数（称为的符号差），是的秩. 实二次型的规范形是唯一的. 证明 在实数域R上给定二次型  () 设f的秩为r，由上一定理的证明可知，存在R上可逆线性变数替换X＝TZ，使f化为标准型 … 其中…为非零实数。按同样的道理，不妨设前p个: …为正数，而余下r－p个：为负数。因为在R内任何正数均可开平方，故可做R内可逆线性变数替换  于是二次型化作  其中. 现在证规范型的唯一性。规范型中的r等于f的秩，是唯一确定的，我们只需证明正平方项的个数p也是唯一确定的就可以了。 设f有两个规范型   按命题2.2的推论，这表明在R上n维线性空间V内存在一组基，使当时  在V内又存在一组基，使当时，  现令M=L()，则当时，  (不全为零)。 于是。又令N＝L（）。则当时，有  于是。这表明。按维数公式，我们有  这表明，即。由于p，q地位对称，同理应有，于是p＝q。