第二学期第九次课 第六章 §4四维时空空间与辛空间 在狭义相对论中,用三个空间坐标和一个时间坐标来刻画一个物体的运动,称为四维时空空间. 在R上规定一个特殊的度量f()= (其中=(,=(),称为四维时空空间的度量. 令  在R内取定基 ＝（1，0，0，0）， ＝（0，1，0，0）， ＝（0，0，1，0）， ＝（0，0，0，1） 设＝(，，，)X, =(，，，)Y,则f()=. 如果R上的线性变换A关于上述内积是正交变换,则称为广义洛仑兹变换. 命题4.1 设A是四维时空空间R上的一个线性变换,则有: (i)A为广义洛仑兹变换它在基，，，下的矩阵A满足; (ii)实数域上4阶方阵A满足它满足; (iii)如果A为广义洛仑兹变换,设它在基，，，下的矩阵为,则 ||1. 证明 (i) A为广义洛仑兹变换f(A,A)=f(,),而这又等价于. (ii)若,则,这说明,两边左乘I,得. 反之,若,则得. (iii) 按(i),有,考察两边方阵的第四行第四列元素,得  即. 向量( 如果满足 则则称为类时向量,若还有则称为正类时向量. 若,则称A为洛仑兹变换. 命题 广义洛仑兹变换是洛仑兹变换的充分必要条件是它在正类时向量上的作用封闭. 证明 设A在基，，，下的矩阵为A,如果为正类时向量,则A在，，，下的坐标为  因A为广义洛仑兹变换,故 =f(A,A)=f(,) =<0 即A仍为类时向量.而  由于,比较两边第四行第四列元素,有  由柯西-布尼雅可夫斯基不等式,得 ()() <( 即.现因为正类时向量,故.由此可知  命题得证. 命题 洛仑兹变换所组成的集合L（关于映射的复合）构成群（称为洛仑兹群）. 证明 (i)显然EL; (ii)若A,BL,对R有 (AB,AB)=(B,B)=(,) 故AB是广义洛仑兹变换.现设为一正类时向量,则B是正类时向量,,同理,AB也是正类时向量,故ABL. (iii)设AL,显然A可逆, 对R有 (,)=(AA,AA)=(A,A) 于是A是广义洛仑兹变换. 现设为一正类时向量,假如A不是正类时向量,但它仍为类时向量.由于AL,故A(A)=不是正类时向量,矛盾. 由(i)、（ii）、（iii）可知,L是一个群. 定义 设V是复数域C上n=2m维线性空间,f()是V内一个满秩的反对称双线性函数.定义V内两个向量的内积为 ()=f() 具有这种内积的线性空间称为辛空间. 若()=0,则称正交. 设为V的一组基.令 = (i,j=1,2,…，n) 称为这组基的度量矩阵，它就是f在这组基下的矩阵. 命题 设V是n=2m维辛空间,则在V内存在一组基,其度量矩阵为 ,其中 这样的基称为第一类辛基. 证明 对m作数学归纳法. 推论 设V是n=2m维辛空间,则在V内存在一组基,其度量矩阵为  其中E为m阶单位矩阵.这种基称为第二类辛基. 证明 设是V的一组第一类辛基.令  通过计算,不难验证即为所求的基. 定义 设V是n=2m维辛空间,A是V上一个线性变换.如果A满足 (A,A)=(,) ,V 则称A是V内一个辛变换(偶数维辛空间上的正交变换）. 命题 偶数维辛空间上的线性变换A是辛变换的充分必要条件是A可逆且它的逆等于它的共轭变换. 证明 如果A是辛变换,则V,有 (A,A)=(,AA)=(,) 从而(,(AA-E))=0,由于内积是满秩的,故(AA-E)=0对V成立.故AA=E,A可逆且它的逆等于它的共轭变换. 反之,若A可逆且它的逆等于它的共轭变换,则有 (A,A)=(,AA)=(,) A是辛变换. 设A是辛空间V内一个辛变换,又设为V内一组第一类辛基.此时其度量矩阵为  A在此组基下的矩阵为A,则有.满足此条件的n=2m阶复方阵A称为一个2m阶辛矩阵. 命题 维辛空间上所有辛变换构成群S，称为维辛变换群，所有的阶辛矩阵的全体构成群，称为阶辛群。 证明 (i)显然ES; (ii)如果A,BS,则(AB,AB)=(B,B)=(,),从而ABS. (iii) 如果AS,则(,)=(AA,AA)=(A,A),从而AS. 于是S是一个群. 阶辛矩阵的全体构成群的证明作为练习.