第二学期第六次课 第六章 §3 对称变换 设A是n维欧氏空间V内的一个线性变换，如果对V，都有 （A,）=(, A) 则称A是V内的对称变换. 命题 维欧氏空间V上的线性变换A是对称变换当且仅当它在标准正交基下的矩阵A是实对称矩阵. 证明 设=()X, =()Y,则 （A,）=,(, A)= 由（A,）=(, A)可得. 命题 实对称矩阵A的特征根都是实数. 证明 设是A的特征多项式在C内的根.则存在n维非零复向量X,使AX=X.于是,从而;另一方面, .得到. 命题 维欧氏空间V上的对称变换A的属于不同特征值的特征向量必正交. 证明 A=,A=,于是 ()=(A,)=(,A)=() 由于,故()=0. 命题 维欧氏空间上V的对称变换A的不变子空间M的正交补仍是不变子空间. 证明 M, ,因AM,有 0=（A,）=(, A), 这表明A,故是不变子空间. 定理 设维欧氏空间上的对称变换某组标准正交基下的矩阵呈对角形. 证明 对维数n做数学归纳法. 推论 设是阶实对称矩阵，则存在阶正交矩阵，使得为对角阵. 证明 把 A看作V上对称变换A在一组标准正交基下的矩阵,由上述定理, A在另一组标准正交基下的矩阵是对角阵.设过渡矩阵为T,则易证是对角阵. 推论 元实二次型经过适当的正交线性变数替换可以化为标准形. 提示: 元实二次型的矩阵是实对称矩阵,由上一推论可得. 最后介绍用正交矩阵将实对称矩阵化成对角形的计算方法（亦即用正交线性变数替换将元实二次型化为标准形的计算方法）。 计算特征多项式,并求出他的全部根(两两不同者) ; 对每个,求齐次线性方程组(E-A)X=0的一个基础解系,,….它们 是解空间的一组基. 3）在欧氏空间R内将,,…正交化,再单位化,得的一组标准正交基.此时 (j=1,2,…,) 即为V的一组标准正交基.而所寻求的正交矩阵T应为到  的过渡矩阵,其列向量组应为  此时相应的对角矩阵D为