142 第 六 章 Fourier级数 § 6 . 1 周期函数 Fourier级数 1.1 引言 在科学与工程中时常遇到周期现象 , 自然地 , 通常用周期函数刻画它们 . 蒸汽机和各种 转动设备都是周期现象的实例 , 由发电机产生的交流电也是周期现象的实例 . 这样 , 如蒸汽 机中十字头的路程 、 速度 、 加速度 、 蒸汽压力和交流电中的电压 、 电流等都用周期函数来刻 画 . 如果存在一个正数 0>T , 使得 )()( tTt jj =+ , 我们就称 )(tj 为周期函数 , T 称为一个周期 . 如果存在最小的周期 0T , 我们称 )(tj 是以 0T 为周期的周期函数 . 最简单的周期函数是正弦型函数 ： )sin( aw +tA , （ 1） 它正好刻画了力学上的调和振动 （ 或简谐振 动 ） . 其中 w 是频率 , 它与周期的关系是 Tpw 2= , （ 2） A是振幅 , a 是初始相位 . 用这类简单的周期函数可以组成比较复杂的周期函数 . 因为频率相等的正弦型函数之 和仍是一个同频率的正弦型函数 , 所以用以组成复杂函数的各 正弦型函数必须有不同的频 率 . 例如三个正弦型函数之和 ttt 3sin412sin21sin ++ , 图形就已经相当复杂了 . 在 Mathematica 软件中可画它的图形 . Plot[Sin[t]+1/2Sin[2t]+1/4Sin[3t], {t,-2Pi,2Pi}]. 可以想象如果用无穷级数 , 就可以表示各种各样的复杂函数了 ： ∑ +∞ = ++= 1 0 )sin()( n nn tnAAt awj , （ 3） 几何上看 , （ 3） 表明周期函数 )(tj 的图形可以由一系列正弦型函数图形叠加而成 . 力学上 看 , 由函数 )(tj 表示的复杂振动可以分解成调和振动的和 . 将周期函数分解成调和振动函 数的过程称为调和分析 . 作简单变量替换 tx w= , 得函数 ? ? ?? ? ?= wj xxf )( , 则 （ 3） 式成为 143 ∑ +∞ = ++= 1 0 )sin()( n nn nxAAxf a . （ 4） 由和差 化积公式 , 我们可把 （ 4） 改写为 ∑ +∞ = ++= 1 0 )sincos()( n nn nxbnxaaxf , （ 5） 其中 nnnnnn bAaAaA ==? aa cos,sin,00 . （ 5） 式称为周期函数 )(xf 的 Fourier 级数 展开 . 这里产生一系列基本的数学问题 ： （ 1） 给定一个周期 p2 的函数 , 在什么条件下它有 Fourier 级数展开式 ？ （ 2） 如果一个函数存在 Fourier 级数展开式 , 如何获得 这种展开 , 即如何确定展开系数 nn ba , , 它们也称为 Fourier 系数 . （ 3） Fourier 级数展开式何时在某种意义下收敛 ？ 收敛到什么值 ？ （ 4） 何种条件下 Fourier 级数展开式收敛到 )(xf ？ 本章将部分地解决这些问题 , 它们的完全解决须要一门专业课程 . 1.2 Fourier 级数展开 函数 )(xf 在 ],[ pp? 上 Riemann 可积 , 我们可以推出 )(xf 在 ],[ pp? 上也 Riemann 可 积 . 当积分 ∫ ? p p dxxf )( 有瑕点时 , 我们假设它绝对可积 . 这两种情况合在一起 , 我们称之为 绝对可积 . 定义 ： 以 p2 为周期的函数 )(xf 在 ],[ pp? 上绝对可积 , 则存在它的 Fourier 级数展开 ∑ +∞ = ++ 1 0 )sincos(~)( n nn nxbnxaaxf , 其中 .,3,2,1,sin)(1 ,,3,2,1,cos)(1 ,)(210 L L == == = ∫ ∫ ∫ ? ? ? mmxdxxfb mmxdxxfa dxxfa m m p p p p p p p p p （ 6） 需要说明公式 （ 6） 中三个积分有意义 ： )(xf 在 ],[ pp? 上绝对可积 , 即 ∫? +∞<pp dxxf )( , 则 144 .)(1sin)(1sin)(1 ,)(1cos)(1cos)(1 ,)(21)(21 ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ??? ??? ?? +∞<≤≤ +∞<≤≤ +∞<≤ p p p p p p p p p p p p p p p p ppp ppp pp dxxfdxmxxfmxdxxf dxxfdxmxxfmxdxxf dxxfdxxf 这时我们不知道 Fourier 级数是否收敛 , 更不知道它是否收敛到 )(xf . 如果我们假设它收敛 , 即 （ 5） 式成立 , 且可逐项积分 （ 一致收敛可保证这一点 ） , 则我们有 ∑ ∫∫∫ +∞ = ??? ?? ?? ? ? ++= 1 0 sincos2)( n nn nxdxbnxdxaadxxf p p p p p p p . 容易看出 ,0cossin ,0sincos =??= =?= ∫ ∫ ? ? p p p p p p p p n nxnxdx n nxnxdx 因而 ∫ ? = p pp dxxfa )(210 . 类似地 , .cossincoscoscoscos)( 1 0 ∑ ∫∫∫∫ +∞ = ???? ?? ?? ? ? ++= n nn mxdxnxbmxdxnxamxdxamxdxxf p p p p p p p p 右端第一项等于零 , 且不论 mn, 如何 , 有 [ ] 0)sin()sin(21cossin =?++= ∫∫ ?? p p p p dxxmnxmnmxdxnx , 而当 mn ≠ 时 [ ] 0)cos()cos(21coscos =?++= ∫∫ ?? p p p p dxxmnxmnmxdxnx , 最后当 mn = 时有 pp p p p =+= ∫∫ ?? dxmxmxdx 2 2cos121cos 2 . 这样我们得到 L,3,2,1,cos)(1 == ∫ ? mmxdxxfam p pp , 同样我们可得到 L,3,2,1,sin)(1 == ∫ ? mmxdxxfbm p pp . 1.3 正交函数系 定义 2： 区间 ],[ ba 上函数系 { })(xnj , 如果满足 145 （ 1） +∞<∫ b a n dxx 2)(j , （ 2） mndxxxb a mn ≠=∫ ,0)()( jj , （ 3） 0)(2 >=∫ nb a n dxx lj , 则称 { })(xnj 为正交函数系 , 进而如果 1=nl , 称之为规范正交函数系 . 如果 { })(xnj 是一正交函数系 , 则 ?? ??? ?? ??? )(1 x n n jl 就是一规范正交函数系了 . 例 1： { }LL ,sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1 nxnxxxxx 就是 ],[ pp? 上一正交函数系 , 由此 可得一规范正交函数系 ?? ? ?? ? LL ,sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos, 2 1 ppppppp nxnxxxxx . 例 2： { }LL ,cos,,2cos,cos,1 nxxx 或者 { }LL ,sin,,2sin,sin nxxx 是 ],0[ p 上的正交函数 系 , 由此可得规范正交函数系 ?? ? ?? ? LL ,cos,,2cos,cos, 2 1 pppp nxxx 或 ?? ? ?? ? LL ,sin,,2sin,sin ppp nxxx . 例 3： ?? ? ?? ? LL ,cos,,2cos,cos,1 l xn l x l x ppp 或者 ?? ? ?? ? LL ,sin,,2sin,sin l xn l x l x ppp 是 区间 ],0[ l 上的正交系 . 例 4： Legendre 多项式 [ ] L,3,2,1,)1(!21)(,1)( 20 =?== nxdxdnxXxX nn n nn 是区间 ]1,1[? 上的正交系 , 这时 ∫? +== 11 2 12 2)( ndxxX nnl . 例 5： Haar 系 . 定义 Haar 函数 ?? ?? ? ≤≤ <≤? = .121,1 ,210,1 )( x x xy 考虑二进伸缩和整点平移 ?????? ?= ? jki kxx j 22)( 2, yy , 146 则 { } Z∈kjki x ,, )(y 是 ),( +∞?∞ 上规范正交函数系 . 定义 3： 对于区间 ],[ ba 上正交函数系 { })(xnj 和函数 +∞<∫ b a dxxfxf 2)(:)( , 级数 ∑+∞ =0 )( n nn xc j 其中 ∫= b a nnn dxxxfc )()(1 jl 称为函数 )(xf 关于正交函数系 { })(xnj 的 （ 广义 ） Fourier 级数 , nc 为 （ 广义 ） Fourier 系数 , 记为 ∑+∞ =0 )(~)( n nn xcxf j . 如果 ∑ +∞ = = 0 )()( n nn xcxf j 一致收敛 , 就可逐项积分 , 我们有 m b a mmm b a mm adxxadxxxf == ∫∫ )(1,)()(1 2jljl . 当 { })(xnj 是规范正交函数系时 , ∑+∞ =0 )(~)( n nn xcxf j , 其中 ∫= b a nn dxxxfc )()( j . 如果 ∑ +∞ = = 0 )()( n nn xcxf j 一致收敛 , 我们还可得到 ∑ ∑ ∫∑ ∫∫ ∞+ = ≠ +∞ = = += 0 2 0 222 . )()()()( n n nm b a mnmnn b a nn b a c dxxxccdxxcdxxf jjj 这可以看成勾股定理向无穷维的推广 . 勾股定理 222 bac += 几何上可以看成二维向量 ),( bac = , 向量长度的平方等于分量平方和 . 在 n 维空间 ),,( 1 naax L= , 也有 ∑ = = n i iax 1 22 . 147 用 ],[2 baL 表示区间 ],[ ba 上所有平方可积函数的空间 , 其中用 ∫>=< ba dxxgxfgf )()(, 定义内积 , 它成为一个内积空间 . 如果 { }nj 是一个完备的规范正交函数系 , 则对任何 ],[)( 2 baLxf ∈ , 有 >=<∑ +∞ = nn n nn fcxcxf jj ,,)(~)( 0 , 且有 ∑∫ +∞ = == 0 222 )( n n b a cdxxff . 这就是无穷维的勾股定理 , 即无穷维向量 )(xf 长度的平方等于分量平方和 . 这时级数 ∑+∞ =0 )( n nn xc j 在 ],[ 2 baL 范数下收敛到函数 )(xf . 有几个概念目前还没讲清楚 ： 何谓完备的 规范正交函数系 ； 何谓 ],[2 baL 范数收敛 ； 还有 ],[2 baL 在 Riemann 积分意义也不完备 , 其 完备化需要 Lebesgue 积分概念 , 这些学完实变函数论和泛函分析课程后可以解决 . 不过这 个观点对理解 Fourier 级数还是非常有用的 . § 8. 2 Fourier级数的例子 上节定义指出只要 )(xf 是 p2 周期 （ 广义 ） 绝对可积的函数 , ∫ +∞<p2 0 )( dxxf , 就 有 Fourier 级数展开式 ∑+∞ = ++ 1 0 )sincos(~)( n nn nxbnxaaxf . 现在我们计算一些例子 . 例 1： 在区间 ],[ pp? 内展开函数 )0()( 常数≠= aexf ax . 解 ： pppp ppp p a a a eedxea aaax sh21 0 = ?== ? ?∫ , pppppp p p ana aena nxnnxanxdxea n axax n sh 2)1(sincos1cos1 2222 + ?= ?+ +== ∫ ? , 148 pppppp p p ana nena nxnnxanxdxeb n axax n sh 2)1(cossin1sin1 22 1 22 + ?= ?+ ?== ? ?∫ , [ ] ?? ? ?? ? ? + ?+∴ ∑+∞ =1 22 sincos )1( 2 1sh2~ n n ax nxnnxa naaae pp . 例 2： 在区间 )2,0[ p 内展开函数 2)( xxf ?= p . 解 ： 002212121 22 00 =?????? ?=?= ∫ ppppp p xxdxxa , 0sin2102sin)(21cos21 2 0 2 0 =??=?= ∫∫ pp pppppp nxdxnnnxxnxdxxan , nnxdxnn nxxnxdxxb n 1cos 2 1 0 2cos)( 2 1sin 2 1 2 0 2 0 =???=?= ∫∫ pp pppppp , ∑+∞ = ?∴ 1 sin~ 2 n n nxxp . 以下是一些常用 p2 周期函数的 Fourier 级数展 开式 ： （ 3） ?? ? <≤? <≤= .2,1 ,0,1)( pp p x xxf ∑+∞ = + + 1 12 )12sin(~)( k k xkxf . (4) )(xf 如图 ： ?????? ?+? Lxxxxf 5sin513sin31sin8~)( 222p . （ 5） )(xf 如图 ： ?????? ++++ Lxxxxf 5cos513cos31cos421~)( 222p . （ 6） )2,0[,sin)( p∈= xxxf . ?????? ??????? Lxxxxf 6cos7514cos5312cos311214~)( p . 149 （ 7） )2,0[,)( 2 p∈= xxxf . ∑∑ +∞ = +∞ = ?+ 11 2 2 sin 4cos434~)( nn n nx n nxxf pp . （ 8） ?? ? <≤ <≤??= .0,1 ,0,1)( p p x xxf ?????? +++ L55sin33sinsin4~)( xxxxf p . 由奇偶函数的性质可得它们的 Fourier 系数有如下特点 ： 1o 若周期 p2 可积函数 )(xf 是奇函数 , 则 L,2,1,0,0cos)(1 === ∫ ? nnxdxxfan p pp . 即 ∑ +∞ =1 sin~)( n n nxbxf , 奇函数 Fourier 级数只含正弦项 . 2o 若周期 p2 可积函数 )(xf 是偶函数 , 则 L,3,2,1,0sin)(1 === ∫ ? nnxdxxfbn p pp . 即 ∑ +∞ = + 1 0 cos~)( n n nxaaxf , 偶函数 Fourier 级数只含余弦项 （ 包括常数项 ） . 例子 2, 3, 4, 8为奇函数 , 其 Fourier 级数只含正弦项 ； 例子 5, 6 为偶函数 , 其 Fourier 级数只 含余弦项 . 用 Mathematica 软件可以直观地看出 Fourier 级数部分和收敛的性质 . 如 Plot[Sin[x]+1/3 Sin[3x], {x,-Pi,Pi}] Plot[Sin[x]+1/3 Sin[3x]+1/5 Sin[5x], {x,-Pi,Pi}] Plot[Sin[x]+1/3 Sin[3x]+1/5 Sin[5x]+1/7 Sin[7x], {x,-Pi,Pi}] … § 8. 3 Fourier级数的收敛性 3.1 Fourier 级数的部分和 设 )(xf 在 ],[ pp? 上绝对可积 , 那么它有 Fourier 级数 ∑+∞ = ++ 1 0 )sincos( 2~)( k kk kxbkxa axf . 为了考察 Fourier 级数的收敛性 , 我们先考察它的部分和 150 .)(cos21)(1 )sinsincos(cos)(1)(21 )sincos(2),( 1 1 1 0 duxukuf dukxkukxkuufduuf kxbkxaaxfS n k n k n k kkn ?? ? ?? ? ?+= ++= ++= ∑∫ ∑ ∫∫ ∑ =? = ?? = p p p p p p p pp 利用公式 2sin2 2 1sin cos21 1 t tn kt n k ?????? + =+ ∑ = , 我们记 2sin2 2 1sin )( t tn tDn ?????? + = , 它被称为 Dirichlet 核 , 则 duuxDufxfS nn )()(),( ?= ∫ ? p p . Dirichlet 核 )(tDn 有如下性质 ： （ 1） 1)( =∫ ? p p dttDn , （ 2） )(tDn 是偶函数 , （ 3） )(tDn 是 p2 周期函数 . 利用这三条性质我们可以改写部分和公式 [ ] .)()()( )()()()( )()( )()(),( 0 0 0 dttDtxftxf duuDuxfduuDuxf duuDuxf duuxDufxfS n nn n nn ∫ ∫∫ ∫ ∫ ?++= +++= += ?= ? ? ? p p p p p p p 3.2 Riemann-Lebesgue 引理 引理 （ Riemann-Lebesgue） 如果函数 )(tg 在 ],[ ba 上绝对可积 , 则 151 .0cos)(lim ,0sin)(lim ∫ ∫ = = +∞→ +∞→ b ap b ap ptdttg ptdttg 证明 ： 只证第一式 . 首先我们有不等 式 .2coscossin pp ppptdt ≤?=∫ bab a 先设 )(tg 在 Riemann 意义下可积 . 分割 bttttta nii =<<<<<<= + LL 110 将区间 ],[ ba 分成 n 个小区间 , 并据此分解积分 ∑∫∫ ? = += 1 0 1 sin)(sin)( n i t t b a i i ptdttgptdttg . 用 im 表示 )(tg 在 ],[ 1+ii tt 上的下确界 , 则 [ ] ∑ ∫∑∫∫ ? = ? = ++ +?= 1 0 1 0 11 sinsin)(sin)( n i t ti n i t t i b a i i i i ptdtmptdtmtgptdttg , 进而 ∑∑∫ ? = ? = +?≤ 1 0 1 0 2sin)( n i i n i ii b a mptptdttg w . 对 0>?e , 首先选一个分割 , 使得 2 1 0 ew <?∑? = n i ii t ； 是由 Riemann 可积性保证的 . 由这个分割 , im 已经确定 , 选取 ∑ ? = > 1 0 4 n i imp e , 则 e<∫ b a ptdttg sin)( . 如果 )(tg 广义绝对可积 , 假定在 ],[ ba 上只有 b 是个瑕点 . 设 ab ?<< h0 , 将积分分成两 部分 ∫ ∫∫ ? ?+= h hba bbba . 第二个积分有估计 ∫∫ ?? ≤ bbbb dttgptdttg hh )(sin)( ； 152 选 h 充分小 , 使它小于 2e . 对于第一个积分 ∫ ?hba ptdttg sin)( , 它是 Riemann 可积的 , 因此 ∫ ?+∞→ =hbap ptdttg 0sin)(lim . 可选 p 充分大 , 使 2sin)( eh <∫ ?b a ptdttg . 这样就完成了引理证明 . 推论 ： 若 )(xf 在 ],[ ba 上绝对可积 , 则它的 Fourier 系数 )(0, +∞→→ mba mm . 3.3 局部化定理 （ Riemann） 定理 ： 以 p2 为周期的绝对可积的函数 )(xf , 在一点 0x 处的收敛及发散的性质只与函数 )(xf 在点 0x 附近的性质有关 . 证明 ： 0>?d , 不妨设 pd < , 我们考虑部分和 [ ] . 2sin2 2 1sin )()(1),( 210 0 000 II dtt tn txftxfxfSn +=+= ?????? + ?++= ∫∫ ∫ p d d p p 在 2I 中 , 函数 2sin2 )()( 00 t txftxf ?++ 在 ],[ pd 绝对可积 , 由 Riemann-Lebesgue 引理 , 02 →I 当 +∞→n 时 . 这样 10 lim),(lim IxfS nnn +∞→+∞→ = , 1I 仅与 )(xf 在 0x 的邻域 ),( 00 dd +? xx 性质有关 , 证毕 . 注 ： 事实上 [ ] .2 1sin )()(1lim),(lim 0 000 dtt tn txftxfxfS nnn ?????? + ?++= ∫ +∞→+∞→ d p 为此我们注意到 153 )0(0 2sin2 )(22 2sin2 2sin21 2sin2 1 2 →→ ?????? +? = ? =? tt t tott tt tt tt . 补充函数 tt 1 2sin2 1 ? 在 0=t 时定义为 0, 则这函数在 ],0[ p 上连续有界 . 再由 Riemann- Lebesgue 引理得 [ ] 021sin1 2sin2 1)()(1lim 0 00 =?? ?? ? ? + ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??++∫ +∞→ tdtntttxftxf n d p , 由此可得 [ ] dtt tn txftxfIxfS nnnn ?????? + ?++== ∫ +∞→+∞→+∞→ 2 1sin )()(1limlim),(lim 0 0010 d p . 3.4 Dini 判别法 记 000 2)()()( Stxftxft ??++=j , 注意到 1)( 0 =∫p dttDn , 我们有 dtt tn tSxfSn 2sin2 2 1sin )(1),( 000 ?????? + =? ∫ p jp . 定理 （ Dini 判别法 ） 以 p2 为周期的绝对可积的函数 )(xf , 在 0x 附近满足 Dini 条件 ： +∞<∫ dtttd j 0 )( , 则函数 )(xf 的 Fourier 级数在 0xx = 处收敛到 0S . 证明 ： 由 Dini 条件 , 可以得出 2sin2 )( 2sin2 )( t t t t t t jj = 在区间 ],0[ d 上也绝对可积 . 另外也容易得出函数 2sin2 )( t tj 在 ],[ pd 上也绝对可积 . 这样函数 154 2sin2 )( t tj 在 ],0[ p 上绝对可积 . Riemann-Lebesgue 引理推出 ( ) ∫ =?????? +=? +∞→+∞→ p j p 000 02 1sin 2sin2 )(1lim),(lim tdtn t tSxfS nnn . 应用 1： )(xf 在 0x 点连续 , 取 )( 00 xfS = , 这时若满足 Dini 条件 , 即 +∞<±+∫ dtt xftxfd 0 00 )()( , 则 )(),( 00 xfxfSn → . 应用 2： )(xf 在 0x 有第一类间断点 , 取 [ ])0()0(21 000 ?++= xfxfS , 又设它满足 Dini 条件 , 即 +∞<±?±∫ dtt xftxfd 0 00 )0()( , 则 [ ])0()0(21),( 000 ?++→ xfxfxfSn . 定理 （ Lipschitz 判别法 ） 设 )(xf 为 p2 周期的绝对可积函数 , 在 0xx = 点满足 a 阶 Lipschitz 条件 ： 10,,)()( 00 ≤<≤≤?+ ada ttcxftxf , 则 )()(),( 00 +∞→→ nxfxfSn . 证明 ： 设 1=a , 则 t xftxfxftxf t t )()()()()( 0000 ??+?+=j . 当 d≤< t0 时 , ctt 2)( ≤j , 在 ],0[ d 上绝对可积 . 设 1<a , 则 aj ?≤ 12)( t ctt , 也在 ],0[ d 上绝对可积 . 由 Dini 判别法 , 知 )()(),( 00 +∞→→ nxfxfSn . 注 ： 设 )(xf 为 p2 周期的绝对可积函数 , 在 0x 可导 , 或单侧可导 , 甚至在 0x 间断 , 但有如下 155 意义的单侧导数 t xftxf t xftxf tt ? ???+?+ ++ →→ )0()(lim,)0()(lim 00 0 00 0 , 则 [ ] ))(()0()0(21),( 0000 xfxfxfxfSn 或?++→ . 定义 （ 逐段可微 ） 在 ],[ ba 存在有 限个点 bxxxa n =<<<= L10 , 函数 )(xf 在 ),( 1+ii xx 可导 , 且存在 )0(),0( 1 ?+ +ii xfxf 及 )0(),0( 1 ?′+′ +ii xfxf , 则称 )(xf 在 ],[ ba 逐段可 微 . 定理 ： 设 )(xf 为 p2 周期函数 , 在 ],[ pp? 逐段可微 , 则 )(2 )0()0(),( 0000 +∞→?++=→ nxfxfSxfSn . 3.5 Dirichlet 判别法 引理 ： 设函数 )(xg 在 ],0[ h 上单调增加并有界 , 则 ∫ +=+∞→ h gdxx xxg0 )0(2sin)(lim pll . 证明 ： [ ] . sin)0(sin)0()(sin)( 000 JI dxx xgdxx xgxgdxx xxg hhh += +++?= ∫∫∫ lll . 对于 J , 我们有 ).0(2 sin)0(sin)0(sin)0( 000 += +→+=+= ∫∫∫ ∞+ g dtt tgdtt tgdtx xgJ hh p l l 对于 I , 我们有 [ ] [ ] 21 0 sin)0()(sin)0()( IIdx x xgxgdx x xgxgI h +=+?++?= ∫∫ d d ll . 对于 1I , 0>?e , 0>?d , 使得当 d≤< x0 时 , 有 Lgxg 4)0()(0 e<+?≤ , 其中 L 满足 Ldtt tx ≤∫0 sin . 用积分第二中值定理 , 我们有 156 [ ] [ ] [ ] .2 sinsin 4 sin)0()( sin)0()( sin)0()( 00 01 e e d ld l lhld ld lh d h d ≤ ??? ? ??? ? +< +?= +?= +?= ∫∫ ∫ ∫ ∫ dtt tdtt tL dtt tgg dxx xgg dxx xgxgI 对 于 2I , xgxg )0()( +? 在 ],[ hd 绝对可积 , 由 Riemann-Lebesgue 引理知 0lim 2 = +∞→ I l . 即 0>?? , 当 ?>l 时 , 有 .22 e<I 于是当 ?>l 时 , 有 e<+≤ 21 III , 即 0lim = +∞→ I l . 从而 ∫ +=+∞→ h gdxx xxg0 )0(2sin)(lim pll . 注 ： 若 )(xg 在 ],0[ h 上单调减少并有界 , 引理也成立 . 若把 ],[ ba 分成有限个区间 , )(xf 在每个区间单调 , 则称 )(xf 在 ],[ ba 逐段单调 . 定理 ： 设 )(xf 为 p2 周期绝对可积函数 , 且存在 0>h , 使得 )(xf 在 ],[ 00 xhx ? , ],[ 00 hxx + 分别单调 , 则 [ ] )()0()0(21),( 000 +∞→?++→ nxfxfxfSn . 证明 ： 由局部化定理只须证明 [ ] [ ].)0()0(21 2 1sin )()(1lim 00 0 00 ?++= ?????? + ?++∫ +∞→ xfxf dtt tn txftxfh n p 由条件知 )( 0 txf + 在 ],0[ h 单调 , )( 0 txf ? 在 ],0[ h 单调 , 并都有界 , 由引理得 157 [ ] [ ] [ ].)0()0(21 )0()0(21 2 1sin )()(1lim 00 00 0 00 ?++= ?++?= ?????? + ?++∫ +∞→ xfxf xfxf dtt tn txftxfh n p p p 定理 （ Dirichlet 判别法 ） 设 )(xf 为 p2 周期函数 , 在 ],[ pp? 逐段单调 , 则 [ ] )()0()0(21),( 000 +∞→?++→ nxfxfxfSn . 定义 ： 若 ∑ +∞ = ++ 1 0 )sincos( 2~)( n nn nxbnxa axf , 且在某个区间 ],[ ba 上成立 ∑+∞ = ++= 1 0 )sincos( 2)( n nn nxbnxa axf , 则 称它为 )(xf 在区间 ],[ ba 上的 Fourier 级数展开式 . 上述定理 , 即 Dini, Lipschitz, Dirichlet 判别法 , 给出函数能展开成 Fourier 级数的充分条件 . 3.6 Fourier 展开式的例 1． ).,(,sin)1(2 1 1 pp?∈?= ∑ +∞ = + x n nxx n n 特别地 , L?+?+?= 9171513114p . 2． [ ].,,cos4)1(31 1 2 22 ppp ?∈?+= ∑ +∞ = xnxnx n n 特别地 , .413121112 ,312116 222 2 22 2 L L +?+?= +++= p p 3 ． [ ]., ,cos2)1(2cos22cos121sincos 22222 pp a a a a a a ap apa ?∈ ?????? +??+??+??= x nxnxxx n LL 在上式令 p=x 后 , 再用 apsin 除两边 , 可以得到 158 ?????? +?++?+?+= LL 22222 2221211 sincos na aa aa aapapap . 再令 ap=z , 得 ( ) .,)( 2 2 221ctg 222222 pppp kznz z z z z z zz ≠+?++?+?+= LL . 类似地可得 .,11111sin1 ppppp kzmznzzzzz ≠+?????? ++?++??????? ++??= LL . 它们是有理函数的部分分式的推广 . § 8. 4 任意区间上的 Fourier级数 4.1 周期 l2 情形 设 )(xf 为 l2 周期绝对可积函数 , 令 pltx = , 则 ? ? ?? ? ?= pj ltft)( 为 p2 周期绝对可积函数 . 对 )(tj 我们有 Fourier 级数 ： ∑+∞ = ++ 1 0 )sincos( 2~)( n nn ntbnta atj , 其中 .sin)(1sin1 ,cos)(1cos1 ∫ ∫ ∫∫ ? ? ?? =??????= =??????= p p p p p pp p pp l ln l ln dxl xnxflntdtltfb dxl xnxflntdtltfa 由此得 ∑+∞ = ?????? ++= 1 0 sincos 2)( n nn l xnb l xnaaxf pp . 4.2 非周期函数情形 对于定义在 ],[ ll? 上的函数 )(xf , 我们可以把它开拓成周期 l2 的函数 )(* xf , 其在 ],[ ll? 修改为 ?? ? ?= ?∈= .,),( ),,(),()(* llxlf llxxfxf 我们可以针对 )(* xf 来研究 Fourier 级数和 Fourier 级数的收敛性 . 在逐段可微条件下 , 159 Fourier 级数部分和收敛到 2 )()( lflf +? . 如果 )(xf 是定义在 ],[ Taa + 上的函数 , 我们也可把它开拓成 T 周期函数 )(* xf , 然 后在 ? ? ? ?? ?? 2,2 TT 上研究 Fourier 级数及其收敛性 . ∑+∞ = ?????? ++= 1 0 2sin2cos 2)( n nn T xnb T xnaaxf pp , 其中 .2sin)(22sin)(*2 ,2cos)(22cos)(*2 ,)(2)(*2 2 2 2 2 2 2 0 ∫∫ ∫∫ ∫∫ + ? + ? + ? == == == Ta a T Tn Ta a T Tn Ta a T T dxT xnxfTdxT xnxfTb dxT xnxfTdxT xnxfTa dxxfTdxxfTa pp pp 当逐段可微时 , 在端点 Taax += , 处 , Fourier 级数收敛到 2 )0()0( ?+++ Tafaf . 即使在端点处可导 , 也是这样 . 函数的奇延拓和偶延拓 ： 如果函数 )(xf 只定义在 ],0[ l 上 , 我们可以首先把它延拓到 ],[ ll? , 然后在延拓成 l2 周期函数 . 这时常用的有两种方法 ： 偶延 拓 ： ?? ? <<?? ≤≤= .0),( ,0),()( xlxf lxxfxF e 它在 ),( ll? 上是偶函数 , 其 Fourier 级数中只有余弦项 . 奇延拓 ： ?? ? <<??? ≤≤= .0),( ,0),()( xlxf lxxfxF o 它在 ),( ll? 上是奇函数 , 其 Fourier 级数中只有正弦项 . 两种情况下 Fourier 级数在端点 ),0,( ll? 收敛性要具体分析得到 . 下面罗列几个例子 , 读者可 自行验证 . 160 例 1： [ ].,0,cos624 1 2 22 ppp ∈+?=? ∑ +∞ = xn nxxx n 例 2： ?? ?? ? ≤< ≤≤ = ,2,0 ,20,sin )( pp p x xx xf 按余弦展开 . .0,2cos14 14cos11)( 1 2 pppp ≤≤??+= ∑ +∞ = xmxmxxf m 例 3： ?? ?? ? ≤< ≤≤ = ,2,0 ,20,sin )( pp p x xx xf 按正弦展开 . .,22,0,2sin14 )1(4cos21)( 1 2 1 ?? ?? ? ?? ? ? ?? ?∈ ? ??= ∑+∞ = + pppp Uxmxm mxxf m m § 8. 5 Fourier 级数的复数形式 , 快速 Fourier 变换 , 快速 Sine 和 Cosine 变换 5.1 Fourier 级数的复数形式 利用公式 ( ) ( )inxinx inxinx eeinx eenx ? ? ?= += 2 1sin ,21cos 及 nxinxeinx sincos += , 我们可以把 Fourier 级数表 示成复数形式 ∑ +∞ ?∞=n inx necxf ~)( , （ 5.1） 其中 ∫? ?= ppp dxexfc inxn )(21 . 这里 )(xf 是复值函数 , 函数系 ?? ? ?? ? inxe p2 1 是一完全正交函数系 . 如果 )(xf 是实值的 , 对应的 nc 与 nn ba , 之间有如下关系 161 ( ) .,2,1, ,,2,1,21 ,21 00 L L == =?= = ? ncc nibac ac nn nnn 对于复数形式的 Fourier 级数 , 也有相应的 1L 理论 , 特别地有 Dini, Lipschitz, Dirichlet 判 别法 . 我们还可建立它的 2L 理论 , 借助于复数形式的 2L 理论 , 我们还可建立实 Fourier 级数 的 2L 理论 . 5.2 Fourier 级数的平均收敛性 设以 p2 为周期的函数 )(xf 在 ],[ pp? 上 Riemann 可积 , 这时我们推出 2)( xf 在 ],[ pp? 上也 Riemann 可积 , 如果有瑕点时 , 我们假设平方可积 , 即积分 ∫?pp dxxf 2)( 收敛 . 利用不等式 2 )(1)( 2xfxf +≤ , 由平方可 积立即推出 )(xf 绝对可积 , 这时它存在 Fourier 级数 ： ∑+∞ = ++ 1 0 )sincos( 2~)( k kk kxbkxa axf . 考虑这个 Fourier 级数的部分和 ∑ = ++= n k kkn kxbkxa axfS 1 0 )sincos( 2),( , 我们仍然得不到它的聚点收敛性 , 但是在平方可积条件下 , 我们可以得到它在 “ 平方可积范 数 ” 是收敛的 , 称为平均收敛 , 即 ffS Ln ?→? 2)( . 定理 ： 设以 p2 为周期的函数 )(xf 在 ],[ pp? 上平方可积 , 则 0),()(lim 2 =?∫ ?+∞→ p p dxxfSxf n n 而且 ∑∫ +∞ =? ++= 1 22 2 02 )( 2)( 1 k kk ba adxxfp pp . 162 我们不给出它的证明 , 有兴趣的同学可参考有关教科书 . 关于复数形式的 Fourier 级数 也有相同的结果 , 而且几何意义更加直观 . 设以 p2 为周期的复值函数 )(xf 在 ],[ pp? 上平 方可积 , 因而它有复数形式的 Fourier 级数 ∑ ∈Zk ikx k ecxf ~)( , 其中 ∫? ?= ppp dxexfc ikxk )(21 . 它的部分和 ∑ ?= = n nk ikx kn ecxfS ),( 在 “ 平方可积范数 ” 下收敛到 f , 即平均收敛到 f . 定理 ： 设以 p2 为周期的复值函数 )(xf 在 ],[ pp? 上平方可积 , 则 0),()(lim 2 =?∫ ?+∞→ p p dxxfSxf n n 而且 ∑∫ +∞ ?∞=? = k kcdxxf 22)( 2 1 p pp . 这两个定理的几何意义十分明显 . 我们把 ],[ pp? 上平方可积函数之全体看成一个内积 空间 , 加法和数乘都用函数加法 )()( xgxf + 和数乘 )( xcf 来定义 , 内积定义为 ∫?>=< ppp dxxgxfgf )()(21, , 范数就是 2 1 22 1 )(21, ? ? ?? ? ?=>=< ∫ ? p pp dxxffff . 那么 { } Z∈kikxe （ 或 ?? ? ?? ? L,sin,cos,1 ppp xx , 对实值函数情况 ） 就是这个内积空间的 “ 标准 正交基 ” , 即 ?? ? = ≠=∫ ? ? .1 ,,0 2 1 mn mndxee inximxp pp 而且对每一个平方可积函数存在以 “ 平方可积范数 ” 下收敛的 Fourier 级数 . 定理的最后部 分表明函数的平方可积范数可以用它的 Fourier 级数中的系数平方和来表示 , 它是勾股定理 向无穷维的推广 . 需要指出的是目前我们定义的这个平方可积函数空间是不完备的 , 它的完备化需要把 163 Riemann 积分概念推广 . 这个工作是由 Lebesgue 完成 的 , 在 “ 实变函数论 ” 课程中将建立 Lebesgue 积分理论 , 那时的平方可积函数空间 ],[2 pp?L 是完备的 , 即如果复数列 { }nc 满足 +∞<∑ +∞ ?∞=n nc 2 , 则 ∑ +∞ ?∞=n inx nec 以 2L 范数收敛到一个 2L 函数 )(xf . 5.3 离散 Fourier 变换 , 离散 Sine 和 Cosine 变换 在信号处理和图象处理中 , 函数 )(xf 经过取样变成一个 N 维向量 （ 图象可变成 MN × 的矩阵 ） , 这时需要采用离散的 Fourier 变换 （ 复值信号时 ） 和离散的 Sine 和 Cosine 变换 . 离散 Fourier 变换 ： NN CC → , { } NNnnvv C∈= ?= 10)( , ∑? = ???????= 1 0 2exp)(1)(? N j N jnijv Nnv p . 它 可以用矩阵表示为 Fvv =? , 其中矩阵 { }),( inFF = 由下式给出 ?????? ?= NjniNjnF p2exp1),( . 容易验证 ?? ? ≠ === .,0 ,,1),(),(* jn jnjnjnFF d 由此得到逆变换公式 vFv ?*= . 它有快速算法 , 称为 FFT. 离散 Sine 和 Cosine 变换 ： NN RR → , 共有八种 , 对应的矩阵元素列表如下 ： DCT-I： 11I 1 : +++ → NNNC RR ； NnmNmbnbmnCN pcos2)()(),(I 1 =+ . DCT-II： NNNC RR →:II ； ( )NmnNnbmnCN 2 1 II cos2)(),( += p . DCT-III： NNNC RR →:III ； ( )NnmNmbmnCN 2 1 III cos2)(),( += p . 164 DCT-IV： NNNC RR →:IV ； ( )( )N mnnNmnCN 2 1 2 1 IV cos2),( ++= p . DST-I： 11I 1 : ??? → NNNS RR ； NnmNmnSN psin2),(I 1 =? . DST-II： NNNS RR →:II ； ( )N mnNnbmnSN 2 1 II )1(sin2)1(),( +++= p . DST-III： NNNS RR →:III ； ( )N nmNmbmnSN 2 1 2 1 III )(sin2)1(),( +++= p . DST-IV： NNNS RR →:IV ； ( )( )N mnnNmnSN 2 1 2 1 IV sin2),( ++= p . 其中 )(kb 是保证变换正交性的一个权 , 它定义为 ??? ??? ? < == >< = < .,1 ;0,21 ;0,0 )( 0 Nk Nkk Nkk kb 如果 或如果 或如果 通过 FFT 和简单的修改 , 可以实现上述八种变换的快速算法 ； 它们的逆变换也可以通过 FFT 的逆变换的适当修正来实现 . 这里不再详述 . 很多数学软件中已经有这些程序 . 美国工 业与应用数学学会理事长 Strong 教授说 FFT 加速了现代工业化步伐 , 实际上 FFT 和 DCT, DST 已经成为信号处理和图象处理的 一个基础工具 . 习题 1． 证明下列函数系 { })(xyn 在 ],0[ l 上正交 , （ 即 mndxxyxyl mn ≠=∫ ,0)()( 0 ） , 并求 ∫ l n dxxy0 2 )( . （ 1） L,3,2,1,sin)( == nxlnxyn p ； （ 2） L,2,1,0,cos)( == nxlnxyn p ； （ 3） L,2,1,0,2 12sin)( =+= nxlnxyn p ； （ 4） L,2,1,0,2 12cos)( =+= nxlnxyn p . 2． 求证 ： 函数系 ?? ? ?? ? LL ,sin,cos,,sin,cos,1 l xn l xn l x l x pppp 165 在 ],[ ll? 上是正交的 . 3． 求下列周期为 p2 的函数的富里埃级数 . （ 1） 三角多项式 ∑ = += n k kkn kxbkxaxP 0 )sincos()( ； （ 2） )()( pp <≤?= xxxf ； （ 3） )()( pp <≤?= xexf ax ； （ 4） )()( 3 pp <≤?= xxxf ； （ 5） 2cos)( xxf = ； （ 6） )(sin)( pp <≤?= xxxf （ 7） ? ?? <≤ <≤?= ;0,0 ,0,)( pp xxexf ax （ 8） xxf 3cos)( = ； （ 9） )(cos)( pp <≤?= xxxxf ； （ 10） )(2sin2ln)( pp <≤?? ? ?? ? ?= xxxf . 4． 将函数 xxf 4sin)( = 展开成富里埃级数 . 5． 在区间 ),( pp? 中展开下列函数成富里埃级数 ： （ 1） xsgn ； （ 2） x2sinsgn ； （ 3） x2cossgn ； （ 4） x . 6． 在 )2,0( p 中展开下列函数成富里埃级数 ： （ 1） 2 x?p ； （ 2） 2sin2 1ln x . 7． 设 )(xf 有界 , 并在 ),( pp? 上逐段单调 . 求证 ： 166 +∞→??????=??????= nnObnOa nn 1,1 . 8． 设 )(xf 是以 p2 为周期的周期函数 , 并满足 )10(,)()( ≤<?≤? aayxLyfxf . 求证 ： +∞→??????=??????= nnObnOa nn aa 1,1 . 9． 将函数 2)( xxf = 展开成富里埃级数 ： （ 1） 按余弦展开 ； （ 2） 按正弦展开 ； （ 3） 在 区间 )2,0( p 内展开 ； （ 4） 求下列级数的和 ： ∑∑∑ +∞ = +∞ = ++∞ = ? ? 1 2 1 2 1 1 2 )12( 1,)1(,1 nn n n nnn . 10． 由展开式 )(sin)1(2 1 1 pp <<??= ∑ +∞ = + x n nxx n n , （ 1） 用逐项积分法求 432 ,, xxx 在 ),( pp? 中的富里埃展开式 ； （ 2） 求级数 ∑∑ +∞ = +∞ = +? 1 4 1 4 1 1 ,)1( nn n nn 的和 . 11． 设 ? ? ? ≤≤ ≤?= .2,0 ,2,2)( pa aa x xxxf （ 1） 求 )(xf 的富里埃级数 ； （ 2） 求级数 ∑ +∞ =1 2 2sin n n n 与 ∑+∞ =1 2 2cos n n n 的和 . 12． （ 1） 在 ),( pp? 内 , 求 xexf =)( 的富里埃展开式 ； （ 2） 求级数 ∑ +∞ = +1 21 1 n n 的和 . 167 13． 设 ∑ = ++= n k kkn kxbkxa axT 1 0 )sincos( 2)( （ )(xTn 称为 n 阶三角多项式 ） . 求证 ： dtt tn txTxT nn 2sin 2 1sin )(21)( ?????? + += ∫ ? p pp . 14． 设 )(xf 以 p2 为周期 , 已知其富里埃级数的部分和为 dtt tn txfxSn 2sin2 2 1sin )(1)( ?????? + += ∫ ? p pp , 作 )(xSn 的平均值 ∑? = = 1 0 )(1)( n k kn xSnxs . （ 1） 证明 ： 2sin 2sin 2 1sin 2 1 0 t nt tm n m =? ? ?? ? ? +∑? = ； （ 2） 证明 ： dttFtxfx nn )()()( ∫ ? += p p s , 其中 2 2sin 2sin 2 1)( ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? = t nt ntFn p ； （ 3） 证明 ： )(tFn 有下列性质 ： 1° 0)( ≥tFn ； 2° 1)( =∫ ? p p dttFn ； 3° 0>?d , )(0)( +∞→→∫ ≤≤ ndttFt npd . 15． 设 ],[)( pp?∈ Cxf , 且周期为 p2 . 求证 ： 当 +∞→n 时 )()( xfxn →→s )( pp ≤≤? x . 168 16． 设 ),()( +∞?∞∈ Cxf , 以 p2 为周期 , 它的富里埃级数在 0x 收敛 . 求证 ： )()()( 00 +∞→→ nxfxSn . 17． 将下列函数在指定区间上展开为富里埃级数 . （ 1） 在区间 )2,0( l 展开 ?? ? << <<= ,2,0 ,0,)( lxl lxAxf 其中 A 为常数 ； （ 2） ? ? ?? ? ? ?= 2,2,cos)( ppxxxf ； （ 3） ),0(,)( lxxf = . 18． 在指定区间中求下列函数的富里埃级数 , 并指出它的和函数 ： （ 1） p≤≤= xxxf 0,sin)( , 偶延拓 ； （ 2） p≤≤= xxxf 0,cos)( , 奇延拓 ； （ 3） ?? ? ? ?? ? ? ? ≤< = << = ,2,0 ,2,21 ,20,1 )( pp p p x x x xf 奇延拓与偶延拓 ； （ 4） pp <<?= xxxxf 0),()( , 奇延拓与偶延拓 . 19． 设 )(xf 的富里埃级数在 ],[ pp? 上已知收敛 于 )(xf . 求证 ： ∑∫ +∞ =? ++= 1 22 2 02 )( 2)( 1 n nn ba adxxfp pp . 20． 设 )(xf 在 ],0[ l 上平方可积 . 求证 ： ∑∫ +∞ = += 1 22 00 2 2 1)(2 n n l aadxxf l , 其中 ∫= ln dxl xnxfla 0 cos)(2 p .