北京大学：高等代数（推荐下载）：第三章　幂级数

86 第 三 章 幂级数 在函数级数 ∑ +∞ =1 )( n n xu 中令 n nn xxaxu )()( 0?= ， 为最简单的幂级数 ， 则我们得到形为 ∑+∞ = ? 0 0 )( n n n xxa 的函数级数 ， 称之为 0x 处展开的幂级数 . 本章中我们将讨论幂级数的性质 ， 并证明从可导性而言 ， 幂级数构成所有函数中最好的一类函数 . 幂级数更进一步的理论将在 《 复变函数论 》 中讲授 . 从形式上看 ， 幂级数 ∑ +∞ = ? 0 0 )( n n n xxa 是多项式的推广 ， 利用变换 0xxx ?= ， 我们可 以仅考虑形如 ∑ +∞ =0n n n xa 的幂级数 . § 3 . 1 幂级数的收敛半径 定理 5. 1. 1： 设幂级数 ∑ +∞ =0n n n xa 在 0x 收敛 ， 则对于任意 00 xr <≤ ， ∑+∞ =0n n n xa 在 ],[ rr? 上绝对一致收敛 . 证明 ： 当 ],[ rrx ?∈ 时 ， n n n n n n n x xxaxa ??? ? ??? ?= ∑∑ ∞+ = ∞+ = 00 0 0 . ∑ +∞ =0 0 n n n xa 收敛 ， 因而 00 → n n xa ， 得存在 M ， 使对于任意 n ， 恒有 Mxa nn ≤0 ， 因而 n n n x rMxa ??? ? ??? ?≤ 0 . 但 ∑ ∞+ = ??? ? ??? ? 0 0n n x rM 收 敛 ， 由控制收敛判别法 ， 得 ∑ +∞ =0n n n xa 在 ],[ rr? 上绝对一致收敛 . 设 ∑ +∞ =0n n n xa 是给定的幂级数 ， 定义 ?? ? ?? ?= ∑+∞ =0 sup n n n xxaxR 收敛在 . 由于 0=x 时总是收敛的 ， 因而 R 是有意义的 ， 并且 +∞≤≤ R0 . R 称为幂级数 ∑ +∞ =0n n n xa 的 收敛半径 ， 其意义是 87 定理 5. 1. 2： 设 0>R 是幂级数 ∑ +∞ =0n n n xa 的收敛半径 ， 则对于任意 Rr <<0 ， ∑+∞ =0n n n xa 在 ],[ rr? 上一致收敛 ； 而对 ],[ RRx ?? ， ∑ +∞ =0n n n xa 在 x 发散 . 例 5. 1. 1： 令 ∑∑ +∞ = +∞ = = 00 !n n n n n n xxa ， 对于任意 ),( +∞?∞∈x ， 由达郎倍尔判别法 ， 01!)!1( 1 →+=+ + n x n x n x nn ， 因而 ∑+∞ =0 !n n n x 收敛 ， 得 ∑+∞ =0 !n n n x 的收敛半径为 +∞=R . 例 5. 1. 2： 对任意 0≠x ， 由 nnxn ∞→! 得 n n xn∑ +∞ =0 ! 发散 ， 因而其收敛半径为 0=R . 例 5. 1. 3： ∑ +∞ =0n n n x 在 )1,1(? 内收敛 ， 在 1=x 时发散 ， 因而其收敛半径 1=R . ∑+∞ =0n n n x 在 收敛区域 )1,1(? 的一个端点 1?=x 收敛 ， 而在另一端点 1=x 时发散 . 例 5. 1. 4： ∑ +∞ =0n nx 在 )1,1(? 内收敛 ， 但在两个端点都不收敛 . 例 5. 1. 5： 利用达郎倍尔判别法不难看出 ， ∑ +∞ =0 2 n n n x 在 1<x 时收敛 ， 1>x 时发散 ， 因 而收敛半径为 1， 其在收敛区域 )1,1(? 的两个端点都是收敛的 . 达郎倍尔判别法可以用来求给定幂级数的收敛半径 . 定理 5. 1. 3： 对给定的幂级数 ∑ +∞ =0n n n xa ， 如果 r= + +∞→ n n n a a 1lim ， 则 r 1=R . 证明 ： 如果 r=+ +∞→ n n n a a 1lim ， 则当 r 1<x 时 1lim 11 <=++ +∞→ xxa xa n n n n n r ， 因而 ∑ +∞ =0n n n xa 收 敛 . 而 r1>x 时 1lim 1 1 >= + + +∞→ xxa xa n n n n n r ， ∑ +∞ =0n n n xa 发散 ， 因而 r 1=R . 同理 ， 我们也可用 Cauchy 判别法给出幂级数的收敛半径 . 设 R 是幂级数 ∑ +∞ =0n n n xa 的收敛半径 ， 则 ∑+∞ =0n n n xa 在 ),( RR? 中任意闭区间上一致收敛 88 （ 称 ∑ +∞ =0n n n xa 在 ),( RR? 上内闭一致收敛 ） . ∑+∞ =0n n n xa 在 ],[ RR? 外发散 ， 在 R± 处可能发 散也可能收敛 . 定理 5. 1. 4： ∑ +∞ =0n n n xa 在 R （ R? ） 处收敛的充分必要条件是 ∑+∞ =0n n n xa 在 ),0[ R （ ]0,( R? ） 上一致收敛 . 证明 ： 设 ∑ +∞ =0n n n xa 收敛 ， 则 ),0[ Rx ∈ 时 ， ∑∑ +∞ = +∞ = ??????= 00 n n n n n n n R xRaxa . ∑+∞ =0n n nRa 收敛 ， 因而对 ),0[ Rx ∈ 一致收敛 . 而 n R x ? ? ?? ? ? 在 ),0[ Rx ∈ 时是单调有界的 ， 由 Abel 判别法 ， 得 ∑+∞ =0n n n xa 在 ),0[ R 上一致收敛 . 反之 ， 设 ∑ +∞ =0n n n xa 在 ),0[ R 上一致收敛 ， 由 Cauchy 准则 ， N?>? ,0e ， 使 L,2,1, => kNn 时 ， 有 e<∑ + = kn ni i i xa 在 ),0[ R 上成立 . 令 Rx → ， 得 e≤∑+ = kn ni i i Ra . ∑+∞ =0n n n Ra 满足 Cauchy 准则 ， 因而收敛 . § 5. 2 收 敛幂级数的性质 函数 )( xf 称在点 0x 处可展为幂级数 ， 如果存在幂级数 ∑ +∞ = ? 0 0 )( n n n xxa 使在 0x 邻域上 ∑+∞ = ?= 0 0 )()( n n n xxaxf . 这时 ∑+∞ = ? 0 0 )( n n n xxa 称为 )( xf 在 0x 处的 Taylor 级数 . 如果 00 =x ， 则其又称为 )( xf 的 Maclaurin（ 麦克劳林 ） 级数 . 称 )( xf 在 ),( ba 上可展为幂级 数 . 如果 )( xf 在 ),( ba 的每一点都可展为幂级数 . 下面定理是关于收敛幂级数的基本定理 . 定理 5. 2. 1： 幂级数 ∑ +∞ = ? 0 0 )( n n n xxa 与其逐项求导所得的幂级数 89 ∑∑ ∞+ = ? ∞+ = ?= ′ ? ? ?? ? ? ? 0 1 0 0 0 )()( n n n n n n xxnaxxa 有相同的收敛半径 . 证明 ： 利用洛必达法则易得 1→n n . 因此 n n n n n n aan +∞→+∞→ = limlim . 设 ∑ +∞ = ?= 0 0 )()( n n n xxaxf 是 )( xf 在 0x 处展开的幂级数 ， 设 ∑+∞ = ? 0 0 )( n n n xxa 的收敛 半径为 R ， 则对于任意 Rr <<0 ， ∑ +∞ = ? 0 0 )( n n n xxa 与 ∑+∞ = ?? 0 1 0 )( n n n xxna 都在 ],[ rr? 上 一致收敛 ， 因此 )( xf 可导并可逐项求导 . 但另一方面 ， ∑ +∞ = ?? 0 1 0 )( n n n xxna 逐项求导所得 的幂级数与 ∑ +∞ = ?? 0 1 0 )( n n n xxna 仍有相同的收敛半径 . 因此仍然可以逐项求导 ， 以此类推 ， 我们得到 定理 5. 2. 2： 设 )( xf 在 ),( 00 RxRx +? 上可展为收敛半径为 R 的幂级数 ∑+∞ = ?= 0 0 )()( n n n xxaxf ， 则 ∑+∞ = ? 0 0 )( n n n xxa 任意阶逐项求导所得的幂级数有相同的收敛 半径 R . 因此 )( xf 任意阶可导 ， 并且 ( )∑+∞ = ?= 0 )( 0 )( )()( n mn n m xxaxf . 特别地 ， 如果令 0xx = ， 则得 )(! 1 0 )( xf na n n = ， 即 ∑∑ +∞ = +∞ = ?=? 0 0 0 )( 0 0 )(! )()( n n n n n n xxn xfxxa . 以 ),( baCw 表示 ),( ba 上可展为幂级数的函数全体 . 上面定理表示 ),(),( baCbaC ∞?w . 但反之并不成立 . 例 5. 2. 1： 令 ?? ??? = ≠= ? .0,0 ,0,)( 2 1 x xexf x 利用洛必达法则我们知道 ， )( xf 任意阶可导 ， 并且 L,2,1,0,0)0()( == nf n . 如果 )( xf 在 0=x 处可展为幂级数 ， 则必须 90 ∑+∞ = = 0 )( ! )0()( n n n xnfxf 在 0=x 的邻域成立 . 但 0! )0( 0 )( ≡∑ +∞ =n n n xnf ， 矛盾 . 因而 )( xf 在 0=x 的邻域上不能展为幂级数 . 例 5. 2. 2： 令 xxf ?= 1 1)( ， 则对于任意 10 ≠x ， n n x xx x x xxxxxxxf ??? ? ??? ? ? ? ?= ? ????=???= ∑ ∞+ = 0 0 0 0 0 0000 11 1 11 1 1 1 )(1 1)( 在 )12,1( 0 ?x 上成立 ， 因而 )( xf 在 )1,(?∞ ， ),1( +∞ 上可展为幂级数 . § 5. 3 基本初等函数的幂级数展开 设 )( xf 在区间 ),( ba 上任意阶可导 . 设 ),(0 bax ∈ ， 利用 )( xf 在 0x 处的导数 ， 则我 们得幂级数 ∑ +∞ = ? 0 0 0 )( )(! )( n n n xxn xf . 如果 )( xf 可在 0x 的邻域上展为幂级数 ， 则在此邻域上 必须 ∑ +∞ = ?= 0 0 0 )( )(! )()( n n n xxn xfxf ， 即幂级数展开是唯一的 . 但要使 ∑+∞ = ?= 0 0 0 )( )(! )()( n n n xxn xfxf ， 必须 0)(! )()(lim 0 0 0 )( =?? ? ? ??? ? ?? ∑ =+∞→ n k k k n xxk xfxf . 令 ∑ = ??= n k k k n xxk xfxfxR 0 0 0 )( )(! )()()( ， )(xRn 是 )( xf n 阶展开的余项 . 要使 )( xf 在 0x 邻域上可展为幂级数 ， 其充分必要条件是 在此邻域上 0)( →xRn . 但这并不是总成立的 . 例 5. 3. 1： 令 ?? ??? = ≠= ? .0,0 ,0,)( 2 1 x xexf x 91 则 0! )0( 0 )( ≡∑ = n k k k xkf ， 因此 )()( xRxf n= . 0≠x 时 0)()(lim ≠=+∞→ xfxRnn ， )( xf 不能 展为幂级数 . 例 5. 3. 2： 设 xxf ?= 1 1)( ， 取 10 >x ， 则当 12 0 ?> xx 时 ， )( xf 在 0x 处的幂级数 展开在 x 不收敛 . 因而 )(xRn 不趋于零 . 对于基本初等函数 ， 利用 )(xRn 的拉格郎日余项公式或积分余项公式 ， 我们可得到这些 函数的 Taylor 展开 . 这些展开不论在理论还是实际应用中都是十分重要的 . 指数函数 ： 设 xexf =)( ， 由 xn exf =)()( ， 利用拉格郎日余项公式 1 )1( )!1( )()( ++ += n n n xn xfxR q ， 得 1 )!1()( + += nx n xn exR q ， 其中 10 <<q . 因此 0)!1(lim)(lim 1 =+≤ + +∞→+∞→ n x nnn xnexR ， 得 ∑ +∞ = = 0 ! 1 n nx x ne 在 ),( +∞?∞ 上成立 . 对数函数 ： 设 )1ln( xy += ， 则 ∑ +∞ = ?=+=′ 0 )1(1 1 n nn x xy ， 收敛半径为 1. 由于其在 )1,1( ? 上是内闭一致收敛的 ， 因而可逐项积分 ， 即 )1,1(?∈?x ， 恒有 ∑∑∑ ∫∫ +∞ = ? +∞ = ++∞ = ?=+?=?=′+=+ 1 1 0 1 0 00 )1(1)1()1())1(ln()1ln( n n n n n n n x nnx n x n xdttdttx ， 即 ∑ +∞ = ??=+ 1 1)1()1ln( n n n n xx 在 )1,1( ? 上成立 . 任取 0>R ， 则 ∑+∞ = ??+=? ? ?? ? ? ++=+ 1 1)1(ln1lnln)ln( n n n n xR R xRxR 在 ),( RR? 上成立 . 三角函数 ： 由 ? ? ?? ? ? += p 2sinsin )( nxxn ， 得 0)!1()0(sin!1sin 1 0 )( → +≤? + = ∑ nxxkx nn k kk . 因而 ∑∑ +∞ = ? ?+∞ = ? ?== 1 12 1 0 )( )!12( )1( ! )0(sinsin n n n n n n xnxnx 在 ),( +∞?∞ 上成立 . 92 同理得 ∑ +∞ = ?= 0 2 )!2( )1(cos n n n xnx 在 ),( +∞?∞ 上成立 . 幂函数 ： 为了要得到幂函数在 0=x 处的 Taylor 展开 ， 我们将其表示为 a)1()( xxf += 的形式 ， 其又称为二项式函数 . 由 nn xnxf ?++??= aaaa )1)(1()1()()( L ， 得 )( xf 在 0=x 的 Taylor 展开为 LLL ++??++?++ nxn nxx ! )1()1(!2 )1(1 2 aaaaaa . 而 11! )1()1()!1( )()1( →+?=+??+ ?? n nn nn n aaaaaaa LL ， 因此其收敛半径为 1. 我们仅 需在 )1,1( ? 上讨论其是否收敛到 )( xf . 如果直接利用拉格郎日余项 ， 得 ,)1()!1( )()1( )(! )1()1(!2 )1(1)( 11 2 +??+ + ??= =?????? +??++?++? nn n n xxn n xRxn nxxxf aqaaa aaaaaa L LL 其中 10 <<q . 但 )1,1(?∈x 时 ， 不能直接得到余项趋于零 . 因此我们采用积分余项公式对 余项进行估计 . 在定积分中我们曾将 n 阶 Taylor 展开的余项用积分表示为 ∫ ?= +x nnn dttxtfnxR 0 )1( ))((!1)( . 利用 ],0(,1 xtx ∈< 时 1)1( ≤+? tx tx ， 我们得到 .1)1()!1( )()1( )1( )()1( ! )()1( )()1(! )()1()( 0 1 0 1 0 1 ≤++ ??≤ + ?+??= ?+??= ∫ ∫ ∫ ? ? ?? xn x nn n n x nn n dttxn n dttx txtxn n dttxtn nxR a a a aaaa aaaa aaa L L L 上面已证 1<x 时 ∑ +∞ = +?? 0 ! )1()1( n nx n naaa L 收敛 ， 因而 93 0! )1()1(lim =+?? +∞→ n n xn naaa L . 而 ∫ ?+x dtt 0 1)1( a 有界 ， 从而我们得到 0)(lim = +∞→ xRn n . 因而在 )1,1( ? 上 LLL ++??++?++=+ nxn nxxx ! )1()1(!2 )1(1)1( 2 aaaaaaa . 反三角函数 ： 由 ),1,1(,)1(1 1)(arctan 0 2 2 ?∈?=+=′ ∑ +∞ = xxxx n nn 得 ∑∑∫∫ +∞ = ++∞ = + ?=?=′= 0 12 0 0 2 0 12 )1()1()(arctanarctan n n n n x nnx n xdttdttx . 同理 ,)(!2 12112121 )(!2 12121 )(211 )1( 1 1)(arcsin 2 222 2 1 2 2 L L L +? ?????? +???????? ???????? ? + +? ?????? ???????? ? +??= ?= ? =′ ? nx n xx x x x 逐项积分得 ∑+∞ = + + ?+= 1 12 12!)!2( !)!12(arcsin n n n x n nxx . 最后还要说明的是 ， 如果 )(),( xgxf 在某点 0x 上可展为幂级数 ， 则 )0)(()( )(),()(),()( ≠?± xgxg xfxgxfxgxf 可展为幂级数 . 如果 )(uf 在 )( 00 xgu = 邻 域上可展为幂级数 ， 则 )(xgf o 在 0x 上可展为幂级数 . § 5. 4 幂级数的应用 近似计算 由于幂级数仅有加法和乘法 ， 因此常用于作近似计算 、 给出函数的函数表等 . 例 5. 4. 1： 在 L+?+?= 753arctan 753 xxx xx 94 中令 1=x ， 得 L+?+?= 71513114p ， 可用作 p 的近似计算 . 由于其是交错级数 ， 因而有 12 1 12 1)1( 7 1 5 1 3 11 4 +≤?? ?? ? ? ??++?+?? nn nLp . 如果在上面级数中令 31=x ， 则得 ?????? +???+??= L32 37 135 13311316p . 作为 p 的计算 ， 其收敛速度更加一些 . 定积分计算 例 5. 4. 2： 求 ∫ ?1 0 2 dxe x . 解 ： 由于 ∑ +∞ = ? ?= 0 2)1( ! 12 n nnx x ne 在任意有 界区间上一致收敛 ， 因而可逐项积分 ， 得 12 1 ! )1()1( ! 1 0 1 0 2 0 1 0 2 + ?=?= ∑∫∑∫ +∞ = +∞ = ? nndxxndxe n n n n nx . 求解常微分方程 例 5. 4. 3： 求函数 )(xfy = ， 使得 yyx 2)1( 2 ?=′′? . 解 ： 用待定系数法 . 设有解 ∑ +∞ = = 0n n n xay ， 由于幂级数可逐项求导 ， 得 ∑∑ +∞ = +∞ = ? ?=?? 00 22 )2()1()1( n n n n n n xaxannx . 比较对应系数 ， 解得 ∑+∞ = + ?+??= 0 12 1 2 0 )12)(12( 1)1( n nx nnaxay ， 其中 10,aa 为任 意常数 . 由 10 )0(,)0( ayay =′= 的函数的初始值确定 . § 5. 5 Weierstrass 逼近定理 95 如果函数 )( xf 可在 ),( RR? 上表示为收敛半径为 R 的幂级数 ∑ +∞ = = 0 )( n n n xaxf . 令 ∑ = = n k k kn xaxs 0 )( ， 则 )(xsn 是一 n 次多项 式 ， 并且在 ),( RR? 中任意闭区间 ],[ ba 上 { })(xsn 一致收敛于 )( xf . 如果我们不要求 { })(xsn 是某一幂级数的部分和 ， 而仅要求 )(xsn 是一个 x 的多项式 . 我 们的问题是什么样的函数 )( xf ， 能存在一列多项式 { })(xsn ， 使在 ],[ ba 上 ， { })(xsn 一致 收敛于 )( xf . 如果对 )( xf ， 存在这样的多项式列 { })(xsn ， 由 )(xsn 连续 ， 得 )( xf 必须 在 ],[ ba 上连续 . Weierstrass 证明了连续同时也是一个成分条件 . Weierstrass 逼近定理 ： 对闭区间 ],[ ba 上的任意连续函数 )( xf ， 存在一列多项式 { })(xsn ， 使在 ],[ ba 上 ， )(xsn 一致收敛于 )( xf . 下面的证明是由伯恩斯坦给出的 ， 其证明的许多想法我们还将在后面的 Fourier 级数中 多次用到 . 引理 5. 5. 1： R∈?x ， ∑ = ? ≡?= n k knkk nn xxCxs 0 1)1()( . 证明 ： 由二项式定理得 ∑ = ??=?+= n k knkk n n xxCxx 0 )1())1((1 . 引理 5. 5. 2： R∈?x ， ∑ = ? ≤?? n k knkk n nxxCnxk 0 2 4)1()( . 证明 ： 由 ∑ = =+ n k kk n n zCz 0 )1( ， 对 z 求导并乘 z ， 得 ∑ = ? =+ n k kk n n zkCznz 0 1)1( . （ 1） 再对 z 求导并乘 z ， 得 ∑ = ? =++ n k kk n n zCkznznz 0 22)1)(1( . （ 2） 将 xxz ?= 1 代入 （ 1），（ 2）， 并乘 nx)1( ? ， 得 96 ∑ = ??= n k knkk n xxkCnx 0 )1( ， ∑ = ??=+? n k knkk n xxCknxxnx 0 2 )1()1( . 因此 .4)1(2)1( )1()2( )1()( 2222 0 222 0 2 nxnxxnxnnxxnx xxCxnnkxk xxCnxk n k knkk n n k knkk n ≤?=+?+?= ?+?= ?? ∑ ∑ = ? = ? Weierstrass 定理的证明 ： 先证 ]1,0[],[ =ba . 令 ∑ = ??? ? ?? ? ?= n k knkk nn xxCn kfxs 0 )1()( ， 我们希望证明在 ]1,0[ 上 )()( xfxsn →→ . 令 { }]1,0[)(sup ∈= xxfM . 由 )( xf 在 ]1,0[ 上一致连续知 ， 0,0 >?>? de ， 使 d<′′?′ xx 时 ， e<′′?′ )()( xfxf . 对于任意 ]1,0[∈x ， 将 nk ,,2,1,0 L= 分为两组 . ? ?? ? ?? <?= dxnkkA ； ? ?? ? ?? ≥?= dxnkkB . 则 .)1()()1()( )1()( )1()1()()()( 0 00 ∑∑ ∑ ∑∑ ∈ ? ∈ ? = ? = ? = ? ????????+????????= ????????≤ ?? ? ?? ? ???=? Bk knkk n Ak knkk n n k knkk n n k knkk n n k knkk nn xxCnkfxfxxCnkfxf xxCnkfxf xxCnkfxxCxfxsxf 97 .2)1(2 )1(2)1()( 0 ee e =?≤ ?≤???????? ∑ ∑∑ = ? ∈ ? ∈ ? n k knkk n Ak knkk n Ak knkk n xxC xxCxxCnkfxf 而由 Bk ∈ 时 ， d≥? xnk . 因此 1)( 22 2 ≥?dn knx ， 得 .2412 )1()(12 )1()(2)1()( 222 0 2 22 22 2 dd d d n Mn nM xxCknxnM xxCn knxMxxCnkfxf n k knkk n Bk knkk n Bk knkk n =??≤ ????≤ ??≤???????? ∑ ∑∑ = ? ∈ ? ∈ ? 因此只要取 22edMn > ， 就有 2)1()( e<?? ? ?? ? ??∑ ∈ ? Bk knkk n xxCn kfxf . 得 22edMn > 时 ， e<? )()( xsxf n . 作平移 ab axy ??= 将 ],[ ba 移到 ]1,0[ ， 则在 ],[ ba 上 )(xfab axsn →?????? ?? . 习题 5. 1 求下列幂级数的收敛半径 ， 并讨论收敛区间端点的收敛性 . （ 1） ∑ +∞ =0 3n n nx ； （ 2） n n xn n∑ +∞ = +1 !)!12( !)!2( ； （ 3） n n n n xnn∑ +∞ = ? ? 1 )1( ； （ 4） n n n xn∑ ∞+ = ? ?????? + 1 21 1 ； （ 5） n n n xn 2 1 21 1∑ ∞+ = ?????? + ； （ 6） )0,( 1 2 >??? ? ??? ? +∑+∞ = baxnbna n n nn ； （ 7） n n n xn∑ +∞ = ?????? + 0 4 cos21 p ； （ 8） n n n xn n )1(ln 4 cos21 1 + ?????? + ∑∞+ = p ； （ 9） ∑ +∞ = +1 75n nn nx ； （ 10） ∑ +∞ =1n p n n x ； 98 （ 11） n n xn∑ +∞ =1 ； （ 12） ∑ +∞ = +1 )1(n n nn x ； （ 13） n n nn xn )1()3(4 1 +?+∑ +∞ = ； （ 14） n n xnn∑ +∞ =1 2 )!2( )!( ； （ 15） )10( 1 2 <<∑+∞ = axa n n n ； （ 16） n n xn∑ +∞ = ?????? +++ 1 1 2 11 L ； （ 17） n n n x n∑ +∞ = ? +1 2 1 3 ； （ 18） ∑+∞ =1 2 2 n n nx . 5. 2． 设 ∑ +∞ = = 0 )( n n n xaxf 的收敛半径 为 0>R ， 求 x xfxF ?= 1 )()( 的幂级数展开式 ， 并证明新幂级数的收敛半径不会比 R 大 . 5. 3． 设 )0;,1,0( 1 0 1 >=≤∑ = xnMxa n k k k L . 求证 ： 当 10 xx << 时 ， 有 （ 1） ∑ +∞ =0n n n xa 收敛 ； （ 2） Mxa n n n ≤∑+∞ =0 . 5. 4． 两个收敛半径相等的幂级数 ， 问经过相加和相乘后得到的幂级数的 收敛半径如何变化 ? 5. 5． 设 ∑+∞ = + = 1 2 )1ln()( n n nn xxf . （ 1） 求证 ： )(],1,1[)( xfCxf ′?∈ 在 )1,1(? 内连续 ； （ 2） 求证 ： )(xf 在 1?=x 点可导 ； （ 3） 求证 ： +∞=′ ?→ )(lim 01 xf x ； （ 4） 求证 ： )(xf 在 1=x 点不可导 . 5. 6． 给定零阶贝塞耳函数 ： ∑+∞ = ?+== 1 22 2 0 2)!()1(1)( n n n n n xxJy . 99 求证它在实轴上满足方程 0=+′+′′ xyyyx . 5. 7． 用逐项微分和逐项积分求下列级数的和 ： （ 1） ∑ +∞ =1n n n x ； （ 2） n n xn∑ +∞ =1 ； （ 3） n n xnn )1( 1 +∑ +∞ = ； （ 4） n n n xnn 2 1 1 )12( )1(∑+∞ = ? ? ? ； （ 5） n n n xn n∑+∞ = + 1 2 2! 1 ； （ 6） n n n xn n∑ +∞ = + ? 1 3 )!1( )1( ； （ 7） 12 0 2 )!12( )12()1( ++∞ = ∑ + +? n n n xn n ； （ 8） ∑ +∞ = ? +0 14 14n n n x ； （ 9） k k k x∑ +∞ = + ? 0 1 )12( ； （ 10） 1 1 2 ? +∞ = ∑ n n xn ； （ 11） 12 1 2 ! )12( ++∞ = ∑ + n n xnn ； （ 12） ∑ +∞ = ? 0 2 12 k k k ； （ 13） ∑ +∞ = +1 )12( 1 n nn . 5. 8． 将下列函数在指定点附近展开为幂级数 . （ 1） abxxa ≠=? ,1 ； （ 2） 2,132 2 =+? xxx x ； （ 3） 2,1 1 2 =?? xxx ； （ 4） 0,)1( =+ ? xex x ； （ 5） 1,22 1ln 2 ?=++ xxx ； （ 6） 0),1(ln 2 =? xx ； （ 7） 0,1 2arctan 2 =? xxx . 5. 9． 利用基本初等函数展式 ， 求下列函数的幂级数 ， 并说明收敛区间 ： （ 1） 2 3)1( 2 ?+ x ； （ 2） )1ln( 32 xxx +++ ； （ 3） 2231 1 xx +? ； （ 4） 21lnarctan xxx +? ； 5. 10． 利用逐项求导和逐项积分证明下列函数展式成立 ： （ 1） ( ) )1(12!)!2( !)!12()1(1ln 12 1 2 ≤ + ??+=++ ++∞ = ∑ xnxnnxxx n n n ； 100 （ 2） [ ] )2()12(2)1(2 2arctan 12 0 2 2 ≤ +?=? ++∞ = ∑ xxxx nn n n n . 5. 11． 利用幂级数相乘求下列函数展开式 ： （ 1） )1( )1ln( xx++ ； （ 2） 2)(arctan x . 5. 12． 设 ),,1,0()()( axkMxf k ≤=≤ L . 求证 ： （ 1） )( xf 可以在 ),( aa? 上展成幂级数 ； （ 2） )( xf 可以开拓到 ),( +∞?∞ ， 且在 ),( +∞?∞ 上无穷次可微 . 5. 13． 给定数列 }{ na ， 对应有级数 ∑ +∞ =1n x n n a . 求证 ： （ 1） 若级数在 1x 点收敛 ， 则 1xx > 时也收敛 ； （ 2） 若级数在 2x 点发散 ， 则 2xx < 时也发散 ； （ 3） 存在 c （ c 可以为无穷 ）， 级数当 cx > 时收敛 ， 当 cx < 时发散 ， c 称为发散指标 ； （ 4） 级数在 )0( >+≥ eecx 上一致收敛 ； （ 5） 级数在 )0(1 >++≥ eecx 上绝对一致收敛 .