第二学期第二十三次课 §4 单变量有理函数域 9.4.1 域上的一元有理分式域的定义 设为一整环，命。现在中规定为  逐一验证“反身性”、“对称性”、“传递性”可知为一等价关系。用表示与等价的元素的全体。现记关于的等价类的集合为，则是中的元素。下面在上定义二元运算：   可以验证： （1）是良定义的，即与等价类代表元的选择无关； （2）对加法构成交换群，对乘法也构成交换群，且加法和乘法满足分配律。 于是，构成域，称之为的分式域或商域，将中的元素记为，则中的元素的运算规则与通常的分式运算完全一致。 定义9.15 （域上的一元有理分式域） 若，则记为，并将其称之为域上的一元有理分式域，其元素形如。 9.4.2 有理分式的准素分解式 定义9.16 （准素分式）在内的一个分式，如果其中是首一不可约多项式，而，则称之为准素分式。 定理 内任意分式可分解为一个多项式和若干准素分式之和。 证明：设，且不妨设。设的素因子标准分解式为：  则存在，使得  于是  将表成的方幂的线性组合：  将其带入即得的准素分解式。 注：1）内的准素分式应为，又上面的定理，可知内任一真分式可分解为：  2）内的准素分式有下列两种类型：  其中，且。 多元多项式环 §2对称多项式 10．2．1 对称多项式、初等对称多项式的定义 名词 阶置换 考察前个自然数组成的集合到自身的一个一一对应称为一个阶置换。以记的所有置换组成的集合（不难知它有个元素），若，则可由下面的表来描述：  其含义是：把变为。若，定义和的乘法为连续作用，则易验证构成群。 定义10.1 对称多项式 现设定义  这样定义了内的一个变换。 如果对一切，，则称是内的一个对称多项式。 定义10.2 初等对称多项式 现考虑个不定元的多项式：  其中，  易知即都是内的对称多项式。我们把这个特殊的对称多项式称为初等对称多项式。