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第 6章 电路的暂态分析
6.1 换路定则与电压和电流初始值的确定
6.2 RC电路的响应
6.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
6.5 RL电路的响应
6.4 微分电路和积分电路
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教学要求：
稳定状态：
在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。
暂态过程：
电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。
1,理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状
态响应、全响应的概念，以及时间常数的物
理意义。
2,掌握换路定则及初始值的求法。
3,掌握一阶线性电路分析的三要素法。
第 6章 电路的暂态分析
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电路暂态分析的内容
1,利用电路暂态过程产生特定波形的电信号
如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。
研究暂态过程的实际意义
2,控制、预防可能产生的危害
暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使
电气设备或元件损坏。
(1) 暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。
直流电路、交流电路都存在暂态过程,我们讲课的
重点是直流电路的暂态过程。
(2) 影响暂态过程快慢的电路的时间常数。
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6.1 换路定则与电压和电流初始值的确定
1,电路中产生暂态过程的原因
电流 i 随电压 u 比例变化。合 S后：
所以电阻电路不存在 暂态 过程 (R耗能元件 )。
图 (a)：
合 S前,00
322 ???? RRR uuui
例：
t
I
O
(a)
S
+
-U
R3R2 u2
i
+
-
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6.1 换路定则与初始值的确定
图 (b)
合 S后,由零逐渐增加到 U
Cu
所以电容电路存在暂态过程
uC
+
- C
iC
(b)
U +-
S R
,0?Ci 0?Cu合 S前,
U
暂态
稳态
o t
Cu
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产生暂态过程的必要条件：
∵ L储能,2
2
1
LL LiW ?
换路, 电路状态的改变。如：
电路接通、切断,短路、电压改变或参数改变
不能突变Cu\
不能突变Li\
∵ C 储能,2
2
1
CC CuW ?
产生暂态过程的原因：
由于物体所具有的能量不能跃变而造成
在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变
若 cu 发生突变，
??? dtdui CC
不可能！一般电路
则
(1) 电路中含有储能元件 (内因 )
(2) 电路发生换路 (外因 )
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电容电路, )0()0(
?? ? CC uu
注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中
uC,iL初始值。
设,t=0 — 表示换路瞬间 (定为计时起点 )
t=0-— 表示换路前的终了瞬间
t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）
2,换路定则
电感电路,)0()0(
?? ? LL ?? ??
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3,初始值的确定
求解要点：
(2) 其它电量初始值的求法。
初始值：电路中各 u,i 在 t =0+ 时的数值。
(1) uC( 0+),iL ( 0+) 的求法。
1) 先由 t =0-的电路求出 uC ( 0–), iL ( 0– )；
2) 根据换路定律求出 uC( 0+),iL ( 0+) 。
1) 由 t =0+的电路求其它电量的初始值 ；
2) 在 t =0+时 的电压方程中 uC = uC( 0+)、
t =0+时的电流方程中 iL = iL ( 0+)。
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暂态过程初始值的确定例 1．
解,(1)由换路前电路求 )0(),0(
?? LC iu
由已知条件知 0000 ??
?? )(,)( LC iu
根据换路定则得,0)0()0( ?? ?? CC uu
0)0()0( ?? ?? LL ?? ??
已知：换路前电路处稳态，
C,L 均未储能。
试求：电路中各电压和电
流的初始值。
S
(a)
C
U
R2
R1
t=0+
-
L
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暂态过程初始值的确定例 1:
00 ?? )(Cu,换路瞬间，电容元件可视为短路。
00 ?? )(L??,换路瞬间，电感元件可视为开路。
R
U
C ?? ?? )()( 00 1?? ?? )0)0(( ??C??
0)0(2 ??uUuu L ?? ?? )0()0( 1 )0)0(( ??Lu
iC, uL产生突变
(2) 由 t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值
S C
U
R2
R1
t=0+
- L
(a) 电路
iL(0+ )
U
iC (0+ ) uC (0+)
uL(0+)_
u2(0+)
u1(0+)
i1(0+ ) R2
R1
++
+ _
_
+
-
(b) t = 0+等效电路
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例 2,换路前电路处于稳态。
试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
解,(1) 由 t = 0-电路求 uC(0–),iL (0–)
换路前电路已处于稳态,电容元件视为开路；
电感元件视为短路。由 t = 0-电路可求得：
A1
44
44
244
4
)0(
31
3131
1 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
U
RR
RR
R
U
RR
R
i L
4?
2?+
_
R
R2
R1U8V ++
4?
i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
LC
t = 0 -等效电路
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
4?
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例 2：
V414)0()0( 3 ???? ?? LC iRu
换路前电路处于稳态。
试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
解,A1)0()1( ??Li
4?
2?+
_
R
R2
R1U8V ++
4?
i1
4?ic
_uc _uL
iL R3
LC
t = 0 -等效电路
由换路定则：
V4)0()0( ?? ?? CC uu
A1)0()0( ?? ?? LL ii
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?ic
_uc _uL
iL R3
4?
C L
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例 2,换路前电路处稳态。
试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
解,(2) 由 t = 0+电路求 iC(0+),uL (0+) uc (0+)
由图可列出 )0()0()0(
2 ??? ??? CC uiRiRU
)0()0()0( ??? ?? LC iii
带入数据 4)0(4)0(28 ???
?? Cii
1)0()0( ?? ?? Cii
iL (0+)
C
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
4?
L
t = 0+时等效电路
4V 1A
4?
2?+
_
R
R2
R1
U
8V +
4?
iC
_
iL R3
i
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例 2,换路前电路处稳态。
试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
t = 0+时等效电路
4V 1A
4?
2?+
_
R
R2
R1
U
8V +
4?
ic
_
iL R3
i
解,解之得 A
3
1)0( ?
?Ci并可求出
)0()0()0()0( 32 ???? ??? LCCL iRuiRu
V311144314 ??????
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
4?
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计算结果：
电量 A/
Li A/CiV/Cu V/Lu
??0t
??0t 4 1
1
0
3
1
0
4
3
11
换路瞬间，
LC iu,
不能跃变，但 可以跃变。
LC ui,
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
4?
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结论
1,换路瞬间,uC,iL 不能跃变,但其它电量均可以跃
变。
3,换路前,若 uC(0-)?0,换路瞬间 (t=0+等效电路中 ),
电容元件可用一理想电压源替代,其电压为 uc(0+);
换路前,若 iL(0-)?0,在 t=0+等效电路中,电感元件
可用一理想电流源替代,其电流为 iL(0+)。
2,换路前,若储能元件没有储能,换路瞬间 (t=0+的等
效电路中 )，可视电容元件短路，电感元件开路。
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6.2 RC电路的响应
一阶电路暂态过程的求解方法
1,经典法, 根据激励 (电源电压或电流 )，通过求解
电路的微分方程得出电路的响应 (电压和电流 )。
2,三要素法 初始值
稳态值
时间常数
求 （三要素）
仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线
性电路,且由一阶微分方程描述，称为 一阶线性电
路。
一阶电路
求解方法
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代入上式得 0
d
d ??
C
C u
t
uRC
t
uC C
C d
d???Ru
R ???
换路前电路已处稳态 Uu
C ?? )0(t =0时开关,电容 C 经电阻 R 放电
1S ?
一阶线性常系数
齐次微分方程
(1) 列 KVL方程 0?? CR uu
1,电容电压 uC 的变化规律 (t ? 0)
零输入响应, 无电源激励,输
入信号为零,仅由电容元件的
初始储能所产生的电路的响应。
图示电路
实质,RC电路的放电过程
6,2,1 RC电路的零输入响应
Uu C ?? )0(
+
-
S R
U
2
1 +
–Ci Cu
0?t
Ru
+ –
c
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RCP
1??\
(2) 解方程,0
d
d ??
C
C u
t
uRC
01 ??RCP特征方程
RC
t
Au C ?? e
由初始值确定积分常数 A
可得时，，根据换路定则,)0()0( Uut C ?? ??
UA ?
RC
t
Uu C ?? e
齐次微分方程的通解：
电容电压 uC 从初始值按指数规律衰减，
衰减的快慢由 RC 决定。
0 )0( e ?? ?? tCu ?
t
(3) 电容电压 uC 的变化规律
ptAu
C e,?通解
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电阻电压：
RC
t
URiu CR
?
??? e
RC
t
R
U
t
uCi C
C
?
??? e
d
d
放电电流
RC
t
Uu C ?? e
电容电压
Cu
Ci
Ru
2,电流及 电阻电压的变化规律
3.,, 变化曲线
Ru
CiCu
tO
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4,时间常数
(2) 物理意义
RC??令, 单位, S
(1) 量纲 s
V
AΩ s ??
UUu C 008.36e 1 ?? ???t当 时
RC
t
Utu C ?? e)(
时间常数 ? 决定电路暂态过程变化的快慢
0
08.36\ ?时间常数 等于电压 Cu 衰减到初始值 U0 的
所需的时间。
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0.368U
2? 3?
越大，曲线变化越慢,达到稳态所需要的
时间越长。
Cu?
时间常数 的物理意义?
1?
U
RCτ ? ?tRC
t
UUu C ??? ee
321 ??? ??
t0
uc
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当 t =5? 时，过渡过程基本结束,uC达到稳态值。
(3) 暂态时间
理论上认为, 电路达稳态0?
Cu??t
0?Cu工程上认为 ~, 电容放电基本结束。?)53(?t
t ?
Cu 0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
?2 ?3 ?4 ?6?5
1e? 2e? 3e? 4e? 5e? 6e??t?e
?
t?
e 随时间而衰减
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6.2.2 RC电路的零状态响应
零状态响应, 储能元件的初
始能量为零,仅由电源激励
所产生的电路的响应。
实质,RC电路的充电过程
分析,在 t = 0时，合上开关 s，
此时,电路实为输入一
个阶跃电压 u，如图。
与恒定电压不同，其
电压 u表达式
?
?
?
?
?
?
0
00
tU
t
u
uC (0 -) = 0
s R
U
+
_ C
+
_
i
0?t
uC
U
t
u
阶跃电压O
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UutuRC CC ??dd
一阶线性常系数
非齐次微分方程
Uuu CR ??
方程的通解 =方程的特解 + 对应齐次方程的通解
CCC uutu ?????)(即
1,uC的变化规律
(1) 列 KVL方程
6.2.2 RC电路的零状态响应
uC (0 -) = 0
s R
U
+
_ C
+
_
i
0?t
uc
(2) 解方程
求特解,
Cu' Uut
uRC
C
C ??
d
d
Uu'UK C ?? 即：解得,
KdtdKRCUKu' C ???,代入方程设：
方程的通解, RC tCCC AeUuuu ????????
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Uutu' CC ??? )()(
求对应齐次微分方程的通解
Cu??
?
t
AUuuu CCC ???????? e
0dd ?? CC utuRC通解即,的解
微分方程的通解为
）（令 RC??
Cu'求特解 ----
（方法二）
RC
t
pt AAu
C
?
???? ee其解：
确定积分常数 A
0)0( ??Cu根据换路定则在 t=0+时，
UA ??则
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(3) 电容电压 uC 的变化规律
)0()() e1e1( ?? ?? ??? t
tRC t UUu
C
?
RC tC UUu e ???
暂态分量
稳态分量
电路达到
稳定状态
时的电压
-U
Cu?
Cu?
+U
Cu
仅存在
于暂态
过程中?63.2%U
-36.8%U t
Cu
o
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3., 变化曲线Cu Ci
Ci
Cu
t
CuCi
当 t = ? 时
UeUu C %2.63)1()( 1 ??? ??
? 表示电容电压 uC 从初始值 上升到 稳态值的
63.2% 时所需的时间。
)e1( RC
t
Uu C ???
2,电流 iC 的变化规律
0 e
d
d
???
?
t
R
U
t
u
Ci
t
C
C
?
4,时间常数 ? 的 物理意义
为什么在 t = 0时
电流最大？
?
U
R
U
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6,2,3 RC电路的全响应
1,uC 的变化规律
全响应, 电源激励、储能元
件的初始能量均不为零时，电
路中的响应。
根据叠加定理
全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
)0()e1(e
0 ????\
??
tUUu RC
t
RC
t
C
uC (0 -) = U0
s R
U
+
_ C
+
_
i
0?t
uC
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)0()e1(e 0 ???? ?? tUUu RC
t
RC
t
C
)0( )e( 0 ???? ? tUUU RC
t
稳态分量
零输入响应 零状态响应
暂态分量
结论 2,全响应 = 稳态分量 +暂态分量
全响应
结论 1,全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
稳态值 初始值
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U
0.632U
1? 2? 3?
321 ??? ??
? 越大，曲线变化越慢,达到稳态时间越长 。
结论：
Cu
当 t = 5?时,暂态基本结束,uC 达到稳态值。
0.998U
t 0
Cu 0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U
?2? ?6?4 ?5?3
t
Cu
O
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Uu C ?? )( 稳态解
初始值
0)0()0( Uuu CC ?? ??
?
t
C UUUu
???? e)(
0
6.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
仅含一个储能元件或可等效
为一个储能元件的线性电路,
且由一阶微分方程描述，称为
一阶线性电路。
据经典法推导结果
全响应
RC
t
CCCC uuuu
?
? ????? e)]()0([)(
uC (0 -) = Uo
s R
U
+
_ C
+
_
i
0?t uc
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)(tf,代表一阶电路中任一电压、电流函数
式中,
初始值--
（三要素）)(?f 稳态值--
)0( ?f
时间常数? --
?tffftf ?? ????? e)]()0([)()(
在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方
程解的通用表达式：
利用求三要素的方法求解暂态过程，称为 三要素法 。
一阶电路都可以应用三要素法求解,在求得,
和 ?的基础上,可直接写出电路的响应 (电压或电流 )。
)0( ?f
)(?f
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电路响应的变化曲线
?
)0( ?f
? t
)(tf
O
)(?f
)0( ?f
0)0()a( ??f 0)0()b( ??f
0)()c( ??f
t
)(tf
O
t
)(tf
O
)(?f
?
0)()d( ??f
t
)(tf
O
)0( ?f
)(?f
?
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?
三要素法求解暂态过程的要点
终点 )(?f
起点 )0( ?f
(1) 求初始值、稳态值、时间常数；
(3) 画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。
(2) 将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；
)0()]0()([ 6320 ?? ??? fff.
t
f(t)
O
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求换路后电路中的电压和电流, 其中 电容 C 视
为开路,电感 L视为短路，即求解直流电阻性电路
中的电压和电流。
V5
5
55
10
)(
?
?
?
??Cu
66
66)(
????Li
mA3?
(1) 稳态值 的计算)(?f
响应中“三要素”的确定
uC+-
t=0
C10V
5k?
1? F
S例：
5k? +-
Lit =0 3?
6?
6?
6mA
S
1H
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1) 由 t=0- 电路求 )0()0( ?? LC iu,
2) 根据换路定则求出
)0()0(
)0()0(
??
??
?
?
LL
CC
ii
uu
3) 由 t=0+时 的电路，求所需其它各量的 )0( ?i)0( ?u 或
在换路瞬间 t =(0+) 的等效电路中
电容元件视为短路。;
0U
其值等于,若 0)0( ?
?Cu
(1) 若, 0)0(
0 ??? Uu C
电容元件用恒压源代替，
0 )0( 0 ??? Ii L
0)0( ??Li若其值等于 I0,,电感元件视为开路。
(2) 若,电感元件用恒流源代替,
注意：
)0( ?f(2) 初始值 的计算
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1) 对于简单的一阶电路, R0=R ;
CR 0??
2) 对于较复杂的一阶电路,R0为换路后的电路
除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的
无源二端网络的等效电阻。
(3) 时间常数 ?的计算
对于一阶 RC电路
对于一阶 RL电路
0R
L??注意：
若不画 t =(0+) 的等效电路，则在所列 t =0+
时 的方程中应有 uC = uC( 0+),iL = iL ( 0+)。
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R0
3210 )//( RRRR ??
U0
+
-
C
R0
R0的计算类似于应用戴
维宁定理解题时计算电路
等效电阻的方法。即从储
能元件两端看进去的等效
电阻，如图所示。
CR 0??
R1
U
+
-
t=0
C
R2 R3
S R1
R2 R3
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例 1：
解,用三要素法求解
? ? ?
t
euuuu CCCC
?
????? ? )()0()(
cu Ci2i
电路如图,t=0时合上开关 S，合 S前电路已处于
稳态。试求电容电压 和电流, 。
(1)确定初始值 )0(
?Cu由 t=0
-电路可求得 V54106109)0( 33 ????? ??Cu
由换路定则 V54)0()0( ??
?? CC uu
应用举例
t=0-等效电路
)0( ?Cu9mA
+
-6k?
R
S
9mA 6k? 2?F 3k?
t=0
Ci 2
i
Cu
+
- CR
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(2) 确定稳态值 )(?
cu由换路后电路求稳态值
)(?cu
V18
10
36
36
109)( 33
?
?
?
?
???? ?Cu
(3) 由换路后电路求
时间常数 ?
s3
63
0
104
10210
36
36
?
?
??
???
?
?
?
? CR?
)(?Cu
t?∞ 电路
9mA
+
-6k?
R 3k?
t=0-等效电路
)0( ?Cu9mA
+
-6k?
R
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V54)0( ??Cu
V18)( ??Cu
s3104 ????
三要素
Ve3618
e)1854(18
2 5 0
3104
t
t
Cu
?
??
?
??
???\
t
t
uCi C
C
250e)250(36102
d
d 6 ??????? ?
Ae0 1 8.0 t2 5 0???
uC 的变化曲线如图
18V
54V
uC变化曲线 t
Cu
O
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? ? ?tCCCC iiii ?????? ? e)()0()(
用三要素法求
Ci
0)( ??Ci
mAe126 250 t??? 32 103 )()( ?? tuti C
mAe18)( 2 5 0 tti C ???
mA18102 5418)0( 3 ??? ???Ci
54V
18V
2k?
)0( ?Ci
t =0+
+
+
-
-
S
9mA 6k? 2?F 3k?
t=0
Ci 2
i
Cu
+
- CR 3k?6k?
)0( ?Ci
+
- 54 V9mA
t=0+等效电路
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例 2：
由 t=0-时电路
电路如图，开关 S闭合前电路已处于稳态。
t=0时 S闭合, 试求,t ≧ 0时电容电压 uC和电流 iC、
i1和 i2 。
解,用三要素法求解
V33321 6)0( ??????Cu
求初始值 )0(
?Cu
V3)0()0( ?? ?? CC uu
+
-
S
t=0
C??
Fμ5
6V
1? 2?
Cu 3?
2??1?? +
-
)0( ?Cu
t=0-等效电路
1? 2?
+
-6V 3?
)0( ?i +
-
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Ve3 5107.1 t???
t6
610
3e0
?
??
? ? ?tCCCC Uuuutu ?? ?????\ e)()0()()(
s660 01610532 32 ?? ???????? CR?
求时间常数 ?
由右图电路可求得
求稳态值 ? ??
Cu ? ? 0??Cu
+
-
S
t=0
C??
Fμ5
6V
1? 2?
Cu 3?
2??1?? +
-
C??
f?5
2?
Cu
3?
2??
1??
+
-
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t
uCti C
C d
d)( ?
A
3
51071
2
t.eu)t(i C ????
Ciiti ?? 21 )(
tt 5107.15107.1 e5.2e ???? ??
A5107.1e5.1 t????
(, 关联 )CC iu
Ae5.2 5107.1 t???? +
-
S
t=0
C??
Fμ5
6V
1? 2?
Cu 3?
2??1?? +
-
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6.4 微分电路和积分电路
6.4.1 微分电路
微分电路与积分电路是矩形 脉冲激励下的 RC电
路 。 若选取不同的时间常数，可构成输出电压波形
与输入电压波形之间的特定（微分或积分）的关系。
1,电路
条件
p)1( tRC ????
(2) 输出电压从电阻 R端取出
1u
T t
U
0 tp
V0)0( _ ?Cu
C
R
1u 2u
+
_
+
_
i
Cu
+ _
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2,分析
由 KVL定律
21 uuu C ??
很小，很小时当 RuuR ?? 2
Cuu ?1
t
uRCRiu C
C d
d
2 ??\
t
uRC
d
d 1?
由公式可知
输出电压近似与输入电
压对时间的微分成正比。
3,波形
1u
tt1
U t
pO
t
2u
O
V0)0( _ ?Cu
C
R
1u 2u
+
_
+
_
i
Cu
+ _
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不同 τ时的 u2波形
τ=0.05tp
τ=10tp
τ=0.2tp
应用,
用于波形变
换,作为触发
信号。
U
T 2T
2u
t
U
U
T 2T t
2u
2TT t
U2u
2TT
U
tT/2
1u
tp
t
Cu
T 2T
C
R1u 2u
+
_
+
_
i
Cu
+ _
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6.4.2 积分电路
条件;p)1( tRC ????
(2) 从电容器两端输出。
由图,Riuuuu
RR ???? 21
R
ui 1?
1,电路
)( pt???
输出电压与输入电
压近似成积分关系。
2,分析
1u
T t
U
0 tp
tu
RC
ti
C
uu C d1d1 12 ?? ???\
V0)0( _ ?Cu
C
R
1u 2u
+
_
+
_
i
Ru+
_
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3.波形
t2
U
tt1
2u
tt2t1
U
2u
tt2t1
U
用作示波器的扫描锯齿波电压
应用,
u1
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6.5 RL电路的响应
6.5.1 RL 电路的零输入响应
1,RL 短接
(1) 的变化规律Li
?tLLLL iiii ?? ????? e)]()0([)( (三要素公式 )
1) 确定初始值 )0( ?Li
R
Uii
LL ?? ?? )0()0(
0)( ??Li2) 确定稳态值 )(?Li
3) 确定电路的时间常数 ?
R
L??
tLRtLR
L R
U
R
Ui ?? ????\ ee)0(0
Ru
LuU
+
-
S R
L
2
1
t=0
Li
+ -
+
-
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tLR
U
t
iLu
L
?
??? e
d
d
tLRURiu
L
??? e
R
(2) 变化曲线
Li
O t
Ru
O
u
tLu
tLR
R
Ui
L
?
? e
R
U
-U
U
R
U%8.36
Ru
LuU
+
-
S R
L
2
1
t=0
Li
+ -
+
-
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2,RL直接从直流电源断开
?????\ tiLeu LL dd
(1) 可能产生的现象
1)刀闸处产生电弧
R
Ui
L ?? )0(?
0)0( ??Li
2)电压表瞬间过电压
R
Uii
LL ?? ?? )0()0(?
表表表 RR
URiV
L ???? ?? )0()0(
Ru
LuU
+
-
S R
L
2
1
t=0
Li
+ -
+
-
Ru
LuU
+
-
S R
L
2
1
t=0
Li
+ -
+
-V
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(2) 解决措施
2) 接续流二极管 VD
1) 接放电电阻 R?
VD
Ru
LuU
+
-
S R
L
2
1
t=0
Li
+ -
+
-
R?
Ru
LuU
+
-
S R
L
2
1
t=0
Li
+ -
+
-
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图示电路中,RL是发电机的励磁绕组，其电感
较大。 Rf是调节励磁电流用的。当将电源开关断开时，
为了不至由于励磁线圈所储的磁能消失过快而烧坏
开关触头，往往用一个泄放电阻 R′与线圈联接。开
关接通 R′同时将电源断开。经过一段时间后，再将
开关扳到 3的位置，此时电路完全断开。
例,
(1) R′=1000?,试求开关 S由 1合
向 2瞬间线圈两端的电压 uRL。
。已知 ?????? 30,80 H,10,V220 fRRLU电路稳态时 S由 1合向 2。
(2) 在 (1)中,若使 U不超过 220V,
则泄放电阻 R′应选多大？
U
L
RF+
_
R
R′
1S
2 3
i
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解,
A2
3080
2 2 0
F
?
?
?
?
?
RR
UI
V2 0 6 02)1 0 0 030()()0( F ??????? IRRu RL
(3) 根据 (2)中所选用的电阻 R′,试求开关接通 R′后经
过多长时间，线圈才能将所储的磁能放出 95%？
(4) 写出 (3) 中 uRL随时间变化的表示式。
换路前，线圈中的电流为
(1) 开关接通 R′瞬间线圈两端的电压为
(2) 如果不使 uRL (0) 超过 220V,则
2202)30( ???? R即
??? 80R
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(3) 求当磁能已放出 95%时的电流
22
2
1)95.01(
2
1 LILi ??
22 210
2
105.010
2
1 ???? i
A446.0?i求所经过的 时间
ttL
RRR
Iei 19e2
F
???
????
t19e24 4 6.0 ?? s078.0?t
)( F RRiu RL ????
计算若按 ??? 80)4( R
V19220 e)8030( tiu RL ??????
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6,5,2 RL电路的零状态响应
?
t
LLLL iiii
??????
? e)]()0([)(
1,变化规律
Li
三要素法
)e1()0(
tLRtLR
R
Ue
R
U
R
Ui
L
??
?????
R
Ui
L ?? )( 0)0()0( ?? ?? LL ii R
L??
)0)0(0( ?? ?LiU
LuU
+
-
S R
L
t=0
LiRu +
-
+ -
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t
L
Rt
L UUdt
diLu ?? ??? ee ?
)e1( tL
R
LR URiu
????
2.,, 变化曲线RuLi Lu
Ru
O
u
t
Lu
U
Li
O
t
R
U
)e1(
t
L
R
L R
Ui ???
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6,5,3 RL电路的全响应 )0)0(0( ?? ?LiU
Li
1,变化规律 （三要素法）
?
t
LLLL iiii
?
? ????? e)]()0([)(
A2.1
64
12)0()0(
21
?
?
?
?
?? ??
RR
Uii
LL
+
-
R2
R1
4?
6?U 12V
)0( ?Li
t=0-时等效电路
Li t=0
12V
+
-
R1
L S
)(ti1H
U 6?R2 3?
4?
R3 )(tu+-
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A2?
32
32
1
)(
RR
RR
R
U
i L
?
?
?
??
s61?
32
32
1
RR
RR
R
L
?
?
?
?
0R
L??
ttLi 66 e8.02e)22.1(2 ?? ?????\ )0( ?t
)(?Li
)(?u12V+
-
R1
L S
U 6?R2 3?
4? R
3
t = ? 时等效电路
+
-
R1
L
6?
R2
3?4?
R3
1H
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)e8.02(36 36 6 tu ????? )0(Ve6.14 6 ??? ? tt
用三要素法求 u
?
t
uuuu ?????? ? e)]()0([)(
32.136
6)0( Ru ??
???
V4.232.132 ????
2,变化规律)(tu
3
32
2
3 RiRR
RiRu
L ?????
)0( ?u
+
-
R1 1.2A
U 6?
R2
3?
4?
R3
t=0+等效电路
+
-
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sRL 61
0
???
V43296 ????
3
32
2 )()( Ri
RR
Ru
L ?????
)0( ?t
tu 6e)44.2(4 ????
Ve6.14 6 t???
2
1.2
t
A/Li
O
Li 变化曲线
Ae8.02 6 tLi ???
u 变化曲线
Ve6.14 6 tu ???
4
2.4
t
/Vu
0
)(?u
+
-
R1 i L
U 6?
R2
3?
4?
R3
t= ?时 等效电路
+
-
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A2321 2)0( ?????Li
A2)0()0( ?? ?? LL ii
用三要素法求解解,
已知,S 在 t=0时闭合，换路前电路处于稳态。
求, 电感电流 。和电压
LL ui
例,
t = 0ˉ等效电路
Li
2? 1?
3A
R1
2?
由 t = 0ˉ等效电路可求得
(1) 求 uL(0+),iL(0+)
t=03A
Lu
R3
IS
2? 1?
1H _
+L
S R2
R1
2?
Li
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t=03A
Lu
R3
IS
2? 1?
1H _
+L
S R2
R1
2?
由 t = 0+等效电路可求得
V4
)1
22
22
()0()0(
??
?
?
?
??? ?? LL iu
A2)0()0( ?? ?? LL ii
(2) 求稳态值 )()( ??
LL ui 和
t = 0+等效电路
2? 1?
2A
R1
2?
Lu
+
_
R3
R2
t = ?等效电路
2? 1?
2?
Li
R1 R3
R2
V0)( ??Li
由 t = ?等效电路可求得
V0)( ??Lu
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(3) 求时间常数 ?
s5.0
2
1
0
???
R
L?
3210 // RRRR ??
t=03A
Lu
R3
IS
2? 1?
1H _
+L
S R2
R1
2?
2? 1?
R1
2?
R3
R2
L
Ve4
)04(0
2
2e
t
t
Lu
?
?
??
????
Ae2
e)02(0
2
2
t
t
Li
?
?
?
???
起始值-4V
稳态值
2A
Lu
0
Li,
t
iL,uL变化曲线
第 6章 电路的暂态分析
6.1 换路定则与电压和电流初始值的确定
6.2 RC电路的响应
6.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
6.5 RL电路的响应
6.4 微分电路和积分电路
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教学要求：
稳定状态：
在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。
暂态过程：
电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。
1,理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状
态响应、全响应的概念，以及时间常数的物
理意义。
2,掌握换路定则及初始值的求法。
3,掌握一阶线性电路分析的三要素法。
第 6章 电路的暂态分析
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电路暂态分析的内容
1,利用电路暂态过程产生特定波形的电信号
如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。
研究暂态过程的实际意义
2,控制、预防可能产生的危害
暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使
电气设备或元件损坏。
(1) 暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。
直流电路、交流电路都存在暂态过程,我们讲课的
重点是直流电路的暂态过程。
(2) 影响暂态过程快慢的电路的时间常数。
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6.1 换路定则与电压和电流初始值的确定
1,电路中产生暂态过程的原因
电流 i 随电压 u 比例变化。合 S后：
所以电阻电路不存在 暂态 过程 (R耗能元件 )。
图 (a)：
合 S前,00
322 ???? RRR uuui
例：
t
I
O
(a)
S
+
-U
R3R2 u2
i
+
-
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6.1 换路定则与初始值的确定
图 (b)
合 S后,由零逐渐增加到 U
Cu
所以电容电路存在暂态过程
uC
+
- C
iC
(b)
U +-
S R
,0?Ci 0?Cu合 S前,
U
暂态
稳态
o t
Cu
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产生暂态过程的必要条件：
∵ L储能,2
2
1
LL LiW ?
换路, 电路状态的改变。如：
电路接通、切断,短路、电压改变或参数改变
不能突变Cu\
不能突变Li\
∵ C 储能,2
2
1
CC CuW ?
产生暂态过程的原因：
由于物体所具有的能量不能跃变而造成
在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变
若 cu 发生突变，
??? dtdui CC
不可能！一般电路
则
(1) 电路中含有储能元件 (内因 )
(2) 电路发生换路 (外因 )
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电容电路, )0()0(
?? ? CC uu
注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中
uC,iL初始值。
设,t=0 — 表示换路瞬间 (定为计时起点 )
t=0-— 表示换路前的终了瞬间
t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）
2,换路定则
电感电路,)0()0(
?? ? LL ?? ??
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3,初始值的确定
求解要点：
(2) 其它电量初始值的求法。
初始值：电路中各 u,i 在 t =0+ 时的数值。
(1) uC( 0+),iL ( 0+) 的求法。
1) 先由 t =0-的电路求出 uC ( 0–), iL ( 0– )；
2) 根据换路定律求出 uC( 0+),iL ( 0+) 。
1) 由 t =0+的电路求其它电量的初始值 ；
2) 在 t =0+时 的电压方程中 uC = uC( 0+)、
t =0+时的电流方程中 iL = iL ( 0+)。
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暂态过程初始值的确定例 1．
解,(1)由换路前电路求 )0(),0(
?? LC iu
由已知条件知 0000 ??
?? )(,)( LC iu
根据换路定则得,0)0()0( ?? ?? CC uu
0)0()0( ?? ?? LL ?? ??
已知：换路前电路处稳态，
C,L 均未储能。
试求：电路中各电压和电
流的初始值。
S
(a)
C
U
R2
R1
t=0+
-
L
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暂态过程初始值的确定例 1:
00 ?? )(Cu,换路瞬间，电容元件可视为短路。
00 ?? )(L??,换路瞬间，电感元件可视为开路。
R
U
C ?? ?? )()( 00 1?? ?? )0)0(( ??C??
0)0(2 ??uUuu L ?? ?? )0()0( 1 )0)0(( ??Lu
iC, uL产生突变
(2) 由 t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值
S C
U
R2
R1
t=0+
- L
(a) 电路
iL(0+ )
U
iC (0+ ) uC (0+)
uL(0+)_
u2(0+)
u1(0+)
i1(0+ ) R2
R1
++
+ _
_
+
-
(b) t = 0+等效电路
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例 2,换路前电路处于稳态。
试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
解,(1) 由 t = 0-电路求 uC(0–),iL (0–)
换路前电路已处于稳态,电容元件视为开路；
电感元件视为短路。由 t = 0-电路可求得：
A1
44
44
244
4
)0(
31
3131
1 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
U
RR
RR
R
U
RR
R
i L
4?
2?+
_
R
R2
R1U8V ++
4?
i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
LC
t = 0 -等效电路
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
4?
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例 2：
V414)0()0( 3 ???? ?? LC iRu
换路前电路处于稳态。
试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
解,A1)0()1( ??Li
4?
2?+
_
R
R2
R1U8V ++
4?
i1
4?ic
_uc _uL
iL R3
LC
t = 0 -等效电路
由换路定则：
V4)0()0( ?? ?? CC uu
A1)0()0( ?? ?? LL ii
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?ic
_uc _uL
iL R3
4?
C L
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例 2,换路前电路处稳态。
试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
解,(2) 由 t = 0+电路求 iC(0+),uL (0+) uc (0+)
由图可列出 )0()0()0(
2 ??? ??? CC uiRiRU
)0()0()0( ??? ?? LC iii
带入数据 4)0(4)0(28 ???
?? Cii
1)0()0( ?? ?? Cii
iL (0+)
C
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
4?
L
t = 0+时等效电路
4V 1A
4?
2?+
_
R
R2
R1
U
8V +
4?
iC
_
iL R3
i
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例 2,换路前电路处稳态。
试求图示电路中各个电压和电流的初始值。
t = 0+时等效电路
4V 1A
4?
2?+
_
R
R2
R1
U
8V +
4?
ic
_
iL R3
i
解,解之得 A
3
1)0( ?
?Ci并可求出
)0()0()0()0( 32 ???? ??? LCCL iRuiRu
V311144314 ??????
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
4?
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计算结果：
电量 A/
Li A/CiV/Cu V/Lu
??0t
??0t 4 1
1
0
3
1
0
4
3
11
换路瞬间，
LC iu,
不能跃变，但 可以跃变。
LC ui,
2?+
_
R
R2
R1
U
8V
t =0
++
4?i1
4?iC
_uC _uL
iL R3
4?
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结论
1,换路瞬间,uC,iL 不能跃变,但其它电量均可以跃
变。
3,换路前,若 uC(0-)?0,换路瞬间 (t=0+等效电路中 ),
电容元件可用一理想电压源替代,其电压为 uc(0+);
换路前,若 iL(0-)?0,在 t=0+等效电路中,电感元件
可用一理想电流源替代,其电流为 iL(0+)。
2,换路前,若储能元件没有储能,换路瞬间 (t=0+的等
效电路中 )，可视电容元件短路，电感元件开路。
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6.2 RC电路的响应
一阶电路暂态过程的求解方法
1,经典法, 根据激励 (电源电压或电流 )，通过求解
电路的微分方程得出电路的响应 (电压和电流 )。
2,三要素法 初始值
稳态值
时间常数
求 （三要素）
仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线
性电路,且由一阶微分方程描述，称为 一阶线性电
路。
一阶电路
求解方法
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代入上式得 0
d
d ??
C
C u
t
uRC
t
uC C
C d
d???Ru
R ???
换路前电路已处稳态 Uu
C ?? )0(t =0时开关,电容 C 经电阻 R 放电
1S ?
一阶线性常系数
齐次微分方程
(1) 列 KVL方程 0?? CR uu
1,电容电压 uC 的变化规律 (t ? 0)
零输入响应, 无电源激励,输
入信号为零,仅由电容元件的
初始储能所产生的电路的响应。
图示电路
实质,RC电路的放电过程
6,2,1 RC电路的零输入响应
Uu C ?? )0(
+
-
S R
U
2
1 +
–Ci Cu
0?t
Ru
+ –
c
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RCP
1??\
(2) 解方程,0
d
d ??
C
C u
t
uRC
01 ??RCP特征方程
RC
t
Au C ?? e
由初始值确定积分常数 A
可得时，，根据换路定则,)0()0( Uut C ?? ??
UA ?
RC
t
Uu C ?? e
齐次微分方程的通解：
电容电压 uC 从初始值按指数规律衰减，
衰减的快慢由 RC 决定。
0 )0( e ?? ?? tCu ?
t
(3) 电容电压 uC 的变化规律
ptAu
C e,?通解
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电阻电压：
RC
t
URiu CR
?
??? e
RC
t
R
U
t
uCi C
C
?
??? e
d
d
放电电流
RC
t
Uu C ?? e
电容电压
Cu
Ci
Ru
2,电流及 电阻电压的变化规律
3.,, 变化曲线
Ru
CiCu
tO
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4,时间常数
(2) 物理意义
RC??令, 单位, S
(1) 量纲 s
V
AΩ s ??
UUu C 008.36e 1 ?? ???t当 时
RC
t
Utu C ?? e)(
时间常数 ? 决定电路暂态过程变化的快慢
0
08.36\ ?时间常数 等于电压 Cu 衰减到初始值 U0 的
所需的时间。
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0.368U
2? 3?
越大，曲线变化越慢,达到稳态所需要的
时间越长。
Cu?
时间常数 的物理意义?
1?
U
RCτ ? ?tRC
t
UUu C ??? ee
321 ??? ??
t0
uc
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当 t =5? 时，过渡过程基本结束,uC达到稳态值。
(3) 暂态时间
理论上认为, 电路达稳态0?
Cu??t
0?Cu工程上认为 ~, 电容放电基本结束。?)53(?t
t ?
Cu 0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
?2 ?3 ?4 ?6?5
1e? 2e? 3e? 4e? 5e? 6e??t?e
?
t?
e 随时间而衰减
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6.2.2 RC电路的零状态响应
零状态响应, 储能元件的初
始能量为零,仅由电源激励
所产生的电路的响应。
实质,RC电路的充电过程
分析,在 t = 0时，合上开关 s，
此时,电路实为输入一
个阶跃电压 u，如图。
与恒定电压不同，其
电压 u表达式
?
?
?
?
?
?
0
00
tU
t
u
uC (0 -) = 0
s R
U
+
_ C
+
_
i
0?t
uC
U
t
u
阶跃电压O
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UutuRC CC ??dd
一阶线性常系数
非齐次微分方程
Uuu CR ??
方程的通解 =方程的特解 + 对应齐次方程的通解
CCC uutu ?????)(即
1,uC的变化规律
(1) 列 KVL方程
6.2.2 RC电路的零状态响应
uC (0 -) = 0
s R
U
+
_ C
+
_
i
0?t
uc
(2) 解方程
求特解,
Cu' Uut
uRC
C
C ??
d
d
Uu'UK C ?? 即：解得,
KdtdKRCUKu' C ???,代入方程设：
方程的通解, RC tCCC AeUuuu ????????
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Uutu' CC ??? )()(
求对应齐次微分方程的通解
Cu??
?
t
AUuuu CCC ???????? e
0dd ?? CC utuRC通解即,的解
微分方程的通解为
）（令 RC??
Cu'求特解 ----
（方法二）
RC
t
pt AAu
C
?
???? ee其解：
确定积分常数 A
0)0( ??Cu根据换路定则在 t=0+时，
UA ??则
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(3) 电容电压 uC 的变化规律
)0()() e1e1( ?? ?? ??? t
tRC t UUu
C
?
RC tC UUu e ???
暂态分量
稳态分量
电路达到
稳定状态
时的电压
-U
Cu?
Cu?
+U
Cu
仅存在
于暂态
过程中?63.2%U
-36.8%U t
Cu
o
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3., 变化曲线Cu Ci
Ci
Cu
t
CuCi
当 t = ? 时
UeUu C %2.63)1()( 1 ??? ??
? 表示电容电压 uC 从初始值 上升到 稳态值的
63.2% 时所需的时间。
)e1( RC
t
Uu C ???
2,电流 iC 的变化规律
0 e
d
d
???
?
t
R
U
t
u
Ci
t
C
C
?
4,时间常数 ? 的 物理意义
为什么在 t = 0时
电流最大？
?
U
R
U
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6,2,3 RC电路的全响应
1,uC 的变化规律
全响应, 电源激励、储能元
件的初始能量均不为零时，电
路中的响应。
根据叠加定理
全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
)0()e1(e
0 ????\
??
tUUu RC
t
RC
t
C
uC (0 -) = U0
s R
U
+
_ C
+
_
i
0?t
uC
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)0()e1(e 0 ???? ?? tUUu RC
t
RC
t
C
)0( )e( 0 ???? ? tUUU RC
t
稳态分量
零输入响应 零状态响应
暂态分量
结论 2,全响应 = 稳态分量 +暂态分量
全响应
结论 1,全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
稳态值 初始值
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U
0.632U
1? 2? 3?
321 ??? ??
? 越大，曲线变化越慢,达到稳态时间越长 。
结论：
Cu
当 t = 5?时,暂态基本结束,uC 达到稳态值。
0.998U
t 0
Cu 0 0.632U 0.865U 0.950U 0.982U 0.993U
?2? ?6?4 ?5?3
t
Cu
O
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Uu C ?? )( 稳态解
初始值
0)0()0( Uuu CC ?? ??
?
t
C UUUu
???? e)(
0
6.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
仅含一个储能元件或可等效
为一个储能元件的线性电路,
且由一阶微分方程描述，称为
一阶线性电路。
据经典法推导结果
全响应
RC
t
CCCC uuuu
?
? ????? e)]()0([)(
uC (0 -) = Uo
s R
U
+
_ C
+
_
i
0?t uc
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)(tf,代表一阶电路中任一电压、电流函数
式中,
初始值--
（三要素）)(?f 稳态值--
)0( ?f
时间常数? --
?tffftf ?? ????? e)]()0([)()(
在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方
程解的通用表达式：
利用求三要素的方法求解暂态过程，称为 三要素法 。
一阶电路都可以应用三要素法求解,在求得,
和 ?的基础上,可直接写出电路的响应 (电压或电流 )。
)0( ?f
)(?f
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电路响应的变化曲线
?
)0( ?f
? t
)(tf
O
)(?f
)0( ?f
0)0()a( ??f 0)0()b( ??f
0)()c( ??f
t
)(tf
O
t
)(tf
O
)(?f
?
0)()d( ??f
t
)(tf
O
)0( ?f
)(?f
?
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?
三要素法求解暂态过程的要点
终点 )(?f
起点 )0( ?f
(1) 求初始值、稳态值、时间常数；
(3) 画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。
(2) 将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；
)0()]0()([ 6320 ?? ??? fff.
t
f(t)
O
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求换路后电路中的电压和电流, 其中 电容 C 视
为开路,电感 L视为短路，即求解直流电阻性电路
中的电压和电流。
V5
5
55
10
)(
?
?
?
??Cu
66
66)(
????Li
mA3?
(1) 稳态值 的计算)(?f
响应中“三要素”的确定
uC+-
t=0
C10V
5k?
1? F
S例：
5k? +-
Lit =0 3?
6?
6?
6mA
S
1H
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1) 由 t=0- 电路求 )0()0( ?? LC iu,
2) 根据换路定则求出
)0()0(
)0()0(
??
??
?
?
LL
CC
ii
uu
3) 由 t=0+时 的电路，求所需其它各量的 )0( ?i)0( ?u 或
在换路瞬间 t =(0+) 的等效电路中
电容元件视为短路。;
0U
其值等于,若 0)0( ?
?Cu
(1) 若, 0)0(
0 ??? Uu C
电容元件用恒压源代替，
0 )0( 0 ??? Ii L
0)0( ??Li若其值等于 I0,,电感元件视为开路。
(2) 若,电感元件用恒流源代替,
注意：
)0( ?f(2) 初始值 的计算
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1) 对于简单的一阶电路, R0=R ;
CR 0??
2) 对于较复杂的一阶电路,R0为换路后的电路
除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的
无源二端网络的等效电阻。
(3) 时间常数 ?的计算
对于一阶 RC电路
对于一阶 RL电路
0R
L??注意：
若不画 t =(0+) 的等效电路，则在所列 t =0+
时 的方程中应有 uC = uC( 0+),iL = iL ( 0+)。
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R0
3210 )//( RRRR ??
U0
+
-
C
R0
R0的计算类似于应用戴
维宁定理解题时计算电路
等效电阻的方法。即从储
能元件两端看进去的等效
电阻，如图所示。
CR 0??
R1
U
+
-
t=0
C
R2 R3
S R1
R2 R3
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例 1：
解,用三要素法求解
? ? ?
t
euuuu CCCC
?
????? ? )()0()(
cu Ci2i
电路如图,t=0时合上开关 S，合 S前电路已处于
稳态。试求电容电压 和电流, 。
(1)确定初始值 )0(
?Cu由 t=0
-电路可求得 V54106109)0( 33 ????? ??Cu
由换路定则 V54)0()0( ??
?? CC uu
应用举例
t=0-等效电路
)0( ?Cu9mA
+
-6k?
R
S
9mA 6k? 2?F 3k?
t=0
Ci 2
i
Cu
+
- CR
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(2) 确定稳态值 )(?
cu由换路后电路求稳态值
)(?cu
V18
10
36
36
109)( 33
?
?
?
?
???? ?Cu
(3) 由换路后电路求
时间常数 ?
s3
63
0
104
10210
36
36
?
?
??
???
?
?
?
? CR?
)(?Cu
t?∞ 电路
9mA
+
-6k?
R 3k?
t=0-等效电路
)0( ?Cu9mA
+
-6k?
R
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V54)0( ??Cu
V18)( ??Cu
s3104 ????
三要素
Ve3618
e)1854(18
2 5 0
3104
t
t
Cu
?
??
?
??
???\
t
t
uCi C
C
250e)250(36102
d
d 6 ??????? ?
Ae0 1 8.0 t2 5 0???
uC 的变化曲线如图
18V
54V
uC变化曲线 t
Cu
O
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? ? ?tCCCC iiii ?????? ? e)()0()(
用三要素法求
Ci
0)( ??Ci
mAe126 250 t??? 32 103 )()( ?? tuti C
mAe18)( 2 5 0 tti C ???
mA18102 5418)0( 3 ??? ???Ci
54V
18V
2k?
)0( ?Ci
t =0+
+
+
-
-
S
9mA 6k? 2?F 3k?
t=0
Ci 2
i
Cu
+
- CR 3k?6k?
)0( ?Ci
+
- 54 V9mA
t=0+等效电路
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例 2：
由 t=0-时电路
电路如图，开关 S闭合前电路已处于稳态。
t=0时 S闭合, 试求,t ≧ 0时电容电压 uC和电流 iC、
i1和 i2 。
解,用三要素法求解
V33321 6)0( ??????Cu
求初始值 )0(
?Cu
V3)0()0( ?? ?? CC uu
+
-
S
t=0
C??
Fμ5
6V
1? 2?
Cu 3?
2??1?? +
-
)0( ?Cu
t=0-等效电路
1? 2?
+
-6V 3?
)0( ?i +
-
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Ve3 5107.1 t???
t6
610
3e0
?
??
? ? ?tCCCC Uuuutu ?? ?????\ e)()0()()(
s660 01610532 32 ?? ???????? CR?
求时间常数 ?
由右图电路可求得
求稳态值 ? ??
Cu ? ? 0??Cu
+
-
S
t=0
C??
Fμ5
6V
1? 2?
Cu 3?
2??1?? +
-
C??
f?5
2?
Cu
3?
2??
1??
+
-
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t
uCti C
C d
d)( ?
A
3
51071
2
t.eu)t(i C ????
Ciiti ?? 21 )(
tt 5107.15107.1 e5.2e ???? ??
A5107.1e5.1 t????
(, 关联 )CC iu
Ae5.2 5107.1 t???? +
-
S
t=0
C??
Fμ5
6V
1? 2?
Cu 3?
2??1?? +
-
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6.4 微分电路和积分电路
6.4.1 微分电路
微分电路与积分电路是矩形 脉冲激励下的 RC电
路 。 若选取不同的时间常数，可构成输出电压波形
与输入电压波形之间的特定（微分或积分）的关系。
1,电路
条件
p)1( tRC ????
(2) 输出电压从电阻 R端取出
1u
T t
U
0 tp
V0)0( _ ?Cu
C
R
1u 2u
+
_
+
_
i
Cu
+ _
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2,分析
由 KVL定律
21 uuu C ??
很小，很小时当 RuuR ?? 2
Cuu ?1
t
uRCRiu C
C d
d
2 ??\
t
uRC
d
d 1?
由公式可知
输出电压近似与输入电
压对时间的微分成正比。
3,波形
1u
tt1
U t
pO
t
2u
O
V0)0( _ ?Cu
C
R
1u 2u
+
_
+
_
i
Cu
+ _
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不同 τ时的 u2波形
τ=0.05tp
τ=10tp
τ=0.2tp
应用,
用于波形变
换,作为触发
信号。
U
T 2T
2u
t
U
U
T 2T t
2u
2TT t
U2u
2TT
U
tT/2
1u
tp
t
Cu
T 2T
C
R1u 2u
+
_
+
_
i
Cu
+ _
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6.4.2 积分电路
条件;p)1( tRC ????
(2) 从电容器两端输出。
由图,Riuuuu
RR ???? 21
R
ui 1?
1,电路
)( pt???
输出电压与输入电
压近似成积分关系。
2,分析
1u
T t
U
0 tp
tu
RC
ti
C
uu C d1d1 12 ?? ???\
V0)0( _ ?Cu
C
R
1u 2u
+
_
+
_
i
Ru+
_
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3.波形
t2
U
tt1
2u
tt2t1
U
2u
tt2t1
U
用作示波器的扫描锯齿波电压
应用,
u1
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6.5 RL电路的响应
6.5.1 RL 电路的零输入响应
1,RL 短接
(1) 的变化规律Li
?tLLLL iiii ?? ????? e)]()0([)( (三要素公式 )
1) 确定初始值 )0( ?Li
R
Uii
LL ?? ?? )0()0(
0)( ??Li2) 确定稳态值 )(?Li
3) 确定电路的时间常数 ?
R
L??
tLRtLR
L R
U
R
Ui ?? ????\ ee)0(0
Ru
LuU
+
-
S R
L
2
1
t=0
Li
+ -
+
-
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tLR
U
t
iLu
L
?
??? e
d
d
tLRURiu
L
??? e
R
(2) 变化曲线
Li
O t
Ru
O
u
tLu
tLR
R
Ui
L
?
? e
R
U
-U
U
R
U%8.36
Ru
LuU
+
-
S R
L
2
1
t=0
Li
+ -
+
-
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2,RL直接从直流电源断开
?????\ tiLeu LL dd
(1) 可能产生的现象
1)刀闸处产生电弧
R
Ui
L ?? )0(?
0)0( ??Li
2)电压表瞬间过电压
R
Uii
LL ?? ?? )0()0(?
表表表 RR
URiV
L ???? ?? )0()0(
Ru
LuU
+
-
S R
L
2
1
t=0
Li
+ -
+
-
Ru
LuU
+
-
S R
L
2
1
t=0
Li
+ -
+
-V
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(2) 解决措施
2) 接续流二极管 VD
1) 接放电电阻 R?
VD
Ru
LuU
+
-
S R
L
2
1
t=0
Li
+ -
+
-
R?
Ru
LuU
+
-
S R
L
2
1
t=0
Li
+ -
+
-
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图示电路中,RL是发电机的励磁绕组，其电感
较大。 Rf是调节励磁电流用的。当将电源开关断开时，
为了不至由于励磁线圈所储的磁能消失过快而烧坏
开关触头，往往用一个泄放电阻 R′与线圈联接。开
关接通 R′同时将电源断开。经过一段时间后，再将
开关扳到 3的位置，此时电路完全断开。
例,
(1) R′=1000?,试求开关 S由 1合
向 2瞬间线圈两端的电压 uRL。
。已知 ?????? 30,80 H,10,V220 fRRLU电路稳态时 S由 1合向 2。
(2) 在 (1)中,若使 U不超过 220V,
则泄放电阻 R′应选多大？
U
L
RF+
_
R
R′
1S
2 3
i
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解,
A2
3080
2 2 0
F
?
?
?
?
?
RR
UI
V2 0 6 02)1 0 0 030()()0( F ??????? IRRu RL
(3) 根据 (2)中所选用的电阻 R′,试求开关接通 R′后经
过多长时间，线圈才能将所储的磁能放出 95%？
(4) 写出 (3) 中 uRL随时间变化的表示式。
换路前，线圈中的电流为
(1) 开关接通 R′瞬间线圈两端的电压为
(2) 如果不使 uRL (0) 超过 220V,则
2202)30( ???? R即
??? 80R
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(3) 求当磁能已放出 95%时的电流
22
2
1)95.01(
2
1 LILi ??
22 210
2
105.010
2
1 ???? i
A446.0?i求所经过的 时间
ttL
RRR
Iei 19e2
F
???
????
t19e24 4 6.0 ?? s078.0?t
)( F RRiu RL ????
计算若按 ??? 80)4( R
V19220 e)8030( tiu RL ??????
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6,5,2 RL电路的零状态响应
?
t
LLLL iiii
??????
? e)]()0([)(
1,变化规律
Li
三要素法
)e1()0(
tLRtLR
R
Ue
R
U
R
Ui
L
??
?????
R
Ui
L ?? )( 0)0()0( ?? ?? LL ii R
L??
)0)0(0( ?? ?LiU
LuU
+
-
S R
L
t=0
LiRu +
-
+ -
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t
L
Rt
L UUdt
diLu ?? ??? ee ?
)e1( tL
R
LR URiu
????
2.,, 变化曲线RuLi Lu
Ru
O
u
t
Lu
U
Li
O
t
R
U
)e1(
t
L
R
L R
Ui ???
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6,5,3 RL电路的全响应 )0)0(0( ?? ?LiU
Li
1,变化规律 （三要素法）
?
t
LLLL iiii
?
? ????? e)]()0([)(
A2.1
64
12)0()0(
21
?
?
?
?
?? ??
RR
Uii
LL
+
-
R2
R1
4?
6?U 12V
)0( ?Li
t=0-时等效电路
Li t=0
12V
+
-
R1
L S
)(ti1H
U 6?R2 3?
4?
R3 )(tu+-
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A2?
32
32
1
)(
RR
RR
R
U
i L
?
?
?
??
s61?
32
32
1
RR
RR
R
L
?
?
?
?
0R
L??
ttLi 66 e8.02e)22.1(2 ?? ?????\ )0( ?t
)(?Li
)(?u12V+
-
R1
L S
U 6?R2 3?
4? R
3
t = ? 时等效电路
+
-
R1
L
6?
R2
3?4?
R3
1H
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)e8.02(36 36 6 tu ????? )0(Ve6.14 6 ??? ? tt
用三要素法求 u
?
t
uuuu ?????? ? e)]()0([)(
32.136
6)0( Ru ??
???
V4.232.132 ????
2,变化规律)(tu
3
32
2
3 RiRR
RiRu
L ?????
)0( ?u
+
-
R1 1.2A
U 6?
R2
3?
4?
R3
t=0+等效电路
+
-
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sRL 61
0
???
V43296 ????
3
32
2 )()( Ri
RR
Ru
L ?????
)0( ?t
tu 6e)44.2(4 ????
Ve6.14 6 t???
2
1.2
t
A/Li
O
Li 变化曲线
Ae8.02 6 tLi ???
u 变化曲线
Ve6.14 6 tu ???
4
2.4
t
/Vu
0
)(?u
+
-
R1 i L
U 6?
R2
3?
4?
R3
t= ?时 等效电路
+
-
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A2321 2)0( ?????Li
A2)0()0( ?? ?? LL ii
用三要素法求解解,
已知,S 在 t=0时闭合，换路前电路处于稳态。
求, 电感电流 。和电压
LL ui
例,
t = 0ˉ等效电路
Li
2? 1?
3A
R1
2?
由 t = 0ˉ等效电路可求得
(1) 求 uL(0+),iL(0+)
t=03A
Lu
R3
IS
2? 1?
1H _
+L
S R2
R1
2?
Li
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t=03A
Lu
R3
IS
2? 1?
1H _
+L
S R2
R1
2?
由 t = 0+等效电路可求得
V4
)1
22
22
()0()0(
??
?
?
?
??? ?? LL iu
A2)0()0( ?? ?? LL ii
(2) 求稳态值 )()( ??
LL ui 和
t = 0+等效电路
2? 1?
2A
R1
2?
Lu
+
_
R3
R2
t = ?等效电路
2? 1?
2?
Li
R1 R3
R2
V0)( ??Li
由 t = ?等效电路可求得
V0)( ??Lu
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(3) 求时间常数 ?
s5.0
2
1
0
???
R
L?
3210 // RRRR ??
t=03A
Lu
R3
IS
2? 1?
1H _
+L
S R2
R1
2?
2? 1?
R1
2?
R3
R2
L
Ve4
)04(0
2
2e
t
t
Lu
?
?
??
????
Ae2
e)02(0
2
2
t
t
Li
?
?
?
???
起始值-4V
稳态值
2A
Lu
0
Li,
t
iL,uL变化曲线
