第十三章－－第十九章
工程力学讲义（ 2）
材料力学
第十三章 材力的基本内容
? 学习与应该掌握的内容
? 材料力学的基本知识
? 基本变形的主要特点
? 内力计算及内力图
? 应力计算
? 二向应力状态及强度理论
? 强度、刚度设计
材料力学的基本知识
? 材料力学的研究模型
? 材料力学研究的物体均为 变形固体,简称, 构
件, ；现实中的构件形状大致可简化为四类，即
杆、板、壳 和 块 。
? 杆 ---长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的
几何形状可用其 轴线 （截面形心的连线）和垂直
于轴线的几何图形（ 横截面 ）表示。轴线是直线
的杆，称为直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。
各横截面相同的直杆，称为 等直杆 ；
? 材料力学的主要研究对象就是 等直杆 。
材料力学的基本知识
? 变形
? 构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的现
象； 变形固体的变形通常可分为两种,
? 弹性变形 ---载荷解除后变形随之消失的变形
? 塑性变形 ---载荷解除后变形不能消失的变形
? 材料力学研究的主要是弹性变形，并且只限于弹
性 小变形,即变形量远远小于其自身尺寸的变形
? 变形固体的基本假设
? 连续性假设
? 假设在固体所占有的空间内毫无空隙的充满了物质
? 均匀性假设
? 假设材料的力学性能在各处都是相同的。
? 各向同性假设
? 假设变形固体各个方向的力学性能都相同
材料力学的基本知识
? 材料的力学性能
? -----指变形固体在力的作用下所表现的力学性能。
? 构件的承载能力：
? 强度 ---构件抵抗破坏的能力
? 刚度 ---构件抵抗变形的能力
? 稳定性 ---构件保持原有平衡状态的能力
? 内力的概念
? 构件在外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质点
之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起
构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。
横截面上内力分析
其中,Mx,My,Mz为主矩
在 x,y,z轴方向上的分量。
FNx,FQy,FQz为主矢在 x,y、
z轴方向上的分量。
?FNx使杆件延 x方向产生轴向拉压变形，称为 轴力
?FQy,FQz使杆件延 y,z方向产生剪切变形，称为 剪力
?Mx 使杆件绕 x轴发生扭转变形，称为 扭矩
?My,Mz使得杆件分别绕 y z轴产生弯曲变形，称为 弯矩
利用力系简化原理，截面 m-m向形心 C点简化后，得到
一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图
横截面上内力计算 --截面法
? 截面法求内力步骤
? 将杆件在欲求内力的截面处假想的切开；
? 取其中任一部分并在截面上画出相应内力；
? 由平衡条件确定内力大小。
例：左图
左半部分：
∑Fx=0 FP=FN
右半部分：
∑Fx=0 FP
,=F
N
,
例 13-1
? 已知小型压力机机架受力 F的作用，如图，试求立柱截面
m-n上的内力
解：
1、假想从 m-n面将机架截
开（如图）；
2、取上部，建立如图坐标
系，画出内力 FN,MZ （ 方
向如图示）。
（水平部分 /竖直部分的变形？）
3、由平衡方程得：
∑Fy=0 FP-FN=0 FN=FP
∑Mo=0 Fp ·a - Mz=0 Mz =Fp · a
基本变形 —(轴向 )拉伸,压缩
载荷特点,受轴向力作用
变形特点,各横截面沿轴
向做平动
内力特点,内力方向沿轴向，简称 轴力 FN
轴力正负规定,轴力与截面法向相同为正
FN=P
基本变形 ---剪切
? 载荷特点,作用力与截面平
行（垂直于轴线）
? 变形特点,各横截面发生相
互错动
? 内力特点,内力沿截面方向
（与轴向垂直），简称 剪力 FQ
剪力正负规定：左下（右上）为正
左下：指左截面（左半边物体）剪力向下
基本变形 ---扭转
? 载荷特点,受绕轴线方向力
偶作用（力偶作用面平行于
横截面）
? 变形特点,横截面绕轴线
转动
? 内力,作用面与横截面重
合的一个力偶，称为 扭矩 T
正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系
T=M
基本变形 ---弯曲（平面）
? 载荷特点,在梁的两端作
用有一对力偶，力偶作用
面在梁的对称纵截面内。
? 变形特点,梁的横截面绕
某轴转动一个角度。
中性轴（面）
? 内力,作用面垂直横截面的
一个力偶，简称弯矩 M
弯矩的正负规定,使得梁的变形为上凹下凸的
弯矩为正。（形象记忆：盛水的碗）
正应力、切应力
? 应力的概念
? 单位面积上内力的大小，
称为应力
? 平均应力 Pm,如图所示
△ F
△ APm=
正应力 σ
单位面积上轴力的大小，称为 正应力；
切应力 τ
单位面积上剪力的大小，称为 切应力
应力单位为,1Pa=1N/m2 （ 帕或帕斯卡 )
常用单位,MPa（ 兆帕）,1MPa=106 Pa=1N/mm2 A—截 面面积
单元体及简单应力状态
对于一个单元，在其相互垂直的两个面上，沿垂直于两面交线的切
应力必成对出现，且大小相等，方向均指向或背离两面的交线，此
关系称为 切应力互等定律 或 切应力双生定律 。
在研究变形体内某一点的应力时，通常围绕该点作一
个无限小的正六面体，简称 单元（体） ；
此单元的各截面分别代表该点在不同方向截面的应力。
单元受力最基本也是最简单的形式有两种：单向拉压
和纯剪切 -----简称单向应力状态（如图）
位移
? 构件在外力作用下，其变形的大小用位移和应变
来度量。
? 如图：
? AA’连线称为 A点的线位移
? θ角度称为截面 m-m的角位移，简称转角
? 注意，单元 K的形状也有所改变
应变
? 分析单元 K
? 单元原棱长为△ x，△ u为绝对伸长量，其相对伸长
△ u/ △ x的极限称为沿 x方向的 正应变 ε。
△ u
△ x即,εx=lim△ x→∞
2,a点的横向移动 aa’,使得
oa直线产生转角 γ,定义
转角 γ为 切应变 γ
γ= aa’oa = aa’△ x
)
胡克定律
? 实验证明：
? 当正应力小于某一极限值时，正应力与正应变存在
线性关系，
即,ζ=Εε
称为胡克定律,E为弹性模量，常用单位,Gpa（ 吉帕）
? 同理，切应变小于某一极限值时，切应力与切应变
也存在线性关系
即,η=Εγ
此为剪切胡克定律,G为切变模量，常用单位,GPa
钢与合金钢 E=200-220GPa G=75-80GPa
铝与合金铝 E=70-80GPa G=26-30GPa
木材 E=0.5-1GPa 橡胶 E=0.008GPa
总第十二讲
? 第十四章 杆件的内力
? § 14-1 轴向拉伸或压缩杆件的内力
? § 14-2 扭转圆轴的内力
§ 14-1 轴向拉压杆件的内力
? 定义
? 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为
轴向拉伸或压缩
? 内力的计算
? 截面法
? 如左图
? 内力的表示
? 轴力图 ----形象表示轴力沿轴线变化的情况
轴力图
? 例 14-1 F1=2.5kN,F3=1.5kN,画杆件轴力图。
解, 1)截面法求 AC段轴力，沿截
面 1-1处截开，取左段如图 14-1-2
所示
∑Fx=0 FN1-F1=0
得,FN1=F1=2.5kN
2)求 BC段轴力，从 2-2截面处截开，
取右段，如图 14-1-3所示
∑Fx=0 –FN2-F3=0
得,FN2= - F3=-1.5kN
（ 负号表示所画 FN2方向与实际相反）
3)图 14-1-4位 AB杆的轴力图
轴力图
? 为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的
坐标轴表示杆截面的位置，其垂直方向的另一个
坐标轴表示轴力的大小，这样得到的图形称为轴
力图。
§ 14-2 扭转圆轴的内力
? 扭转变形的定义
? 横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转
? 以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴
? 本课程主要研究圆截面轴
? 功率、转速和扭矩的关系
? M=9549
? 扭矩图
? 仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，就
是扭矩图。
n
P
其中：
M为外力矩 (N.m)
P为功率 (kW)
n转速 (r/min)
例 14-2 扭矩图
? 如图，主动轮 A的输入功率 PA=36kW,从动轮 B,C,D
输出功率分别为 PB=PC=11kW,PD=14kW,轴的转速
n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图
解,1)由扭矩、功率、转速关系式求得
MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.m
MB=MC=350N.m； MD=446N.m
2)分别求 1-1,2-2,3-3截面上的扭矩，
即为 BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图
a),b),c);均有 ∑ Mx=0 得：
T1+MB=0 T1=-MB= -350N.m
MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m
MD-T3=0 T3=MD=446N.m
3)画出扭矩图如 d)
总第十三讲
? § 14-3 弯曲梁的内力
? § 14-4 弯曲梁的内力图 ---剪力图和弯矩图
§ 14-3 弯曲梁的内力
? 弯曲梁的概念及其简化
? 杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到
垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线
变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的
变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。
?常见梁的力学模型
? 简支梁
? 一端为活动铰链支座，另一端为固定铰
链支座
? 外伸梁
? 一端或两端伸出支座支外的简支梁
? 悬臂梁
? 一端为固定端，另一端为自由端的梁。
梁内力的正负规定
? 梁的内力
? 剪力 FQ
? 弯矩 MC
? 梁内力的正负规定
? 内力方向
? 梁的变形
§ 14-3 弯曲梁的内力 —例
例 14-3 简支梁如左图，已知 a、
q,M=qa2； 求梁的内力
FAy FBy
1 2 3
aqF 65AY ?? aqF 61BY ??
2） 1-1截面内力,(0≤x1 ≤ a)
3） 2-2截面内力,(a≤x2<2a)
解,1） 求得 A,B处反力 FAY,FBY；
1651AY1 xaqxFM ?????
aqFF 65AyQ1 ???
22AYQ2 xqaq6
11a)(xqFF ????????
222222AY2 a)(xq21-xaq65a)(xq21-xFM ?????????
续例 14-3
4） 3-3截面内力,(0 ≤ x3 ≤ a,此处 x3的起点
为 B点，方向如图 )
aq61FF BYQ3 ?????
3
2
3BY3 xaq6
1aqxFMM ????????
§ 14-4内力图 ----剪力图
1.当,0≤x1≤a 时
AC段 FQ1=5q.a/6
2.当,a≤x2≤2a 时,即 CD段
FQ2=11q.a/6-q.x2, 直线
x2 =a； FQ2 = 5q.a/6 （ = FQ1 ）
x2 =2a； FQ2 = -q.a/6 （ = FQ3 ）
3.当,0≤x3≤a (起点在 B点）
FQ3=-q.a/6
§ 14-4内力图 ----弯矩图
? 当,0≤x1≤a 时，
M1=5q.a.x1/6为直线 2
6
5
1C1
1A1
aqMax点：C
0；M0x点：A
????
???
2
6
7
2D2
2
6
5
2C2
q, a M,a2 xD
q, a M,a xC
??
??
点：
点：
MaqM,0xB
MaqM,axD
2
B33
D2
2
6
7
D33
????
????
点：
点：
? 当,a≤x2≤2a 时，为二次曲线；
M2=5qax2-q(x2-a)2/2
? 当,0≤x3≤a时（原点在 B点，方
向向左）,M3为直线
M3=qa2+q.a.x3/6;
典型例题 -1
? 已知,G,a,b,l,画梁 AB内力图
解,1〉求 A,B支座反力 ( a+b=l )
lGbAyF ? l
GaByF ?
2〉求 x截面内力
a) 0<x<a
lGbAyQ FF ??1
xxFM lGbAy ???1
b) a<x<l
lGalGbAyQ GGFF ??????2
)xl()ax(GxFM lGaAy ??????2
典型例题 -1(续 )
? 根据以上条件，画出剪力图、
弯矩图
? 最大剪力 Qmax在 AC(b>a)（ 或
CB,a>b） 段
Qmax=Gb/l
? 最大弯矩在 C截面处
Mmax=Gab/l
? 本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上
构成了一种函数关系，这种关系称为 剪力方程 和 弯
矩方程； 即：
FQ=FQ(x) Mc=M(x)
典型例题 -2
? 简支梁受力偶作用
1,求支座反力 FAY,FBY得：
FAY=- FBY =M/l
2,AC段 X截面处剪力 FQ=Fay,
3,同理可求得 BC段剪力与 AC
段相同，剪力图如左
4,AC段弯矩方程 M1
M1=FAY·x =M ·x /L
5,BC段弯矩方程 M2
M2=FAY · x-M=M(x - L)/L
典型例题 -3
悬臂梁作用均布载荷 q,画出
梁的剪力图和弯矩图
? 写出 A点 x处截面的剪力
方程和弯矩方程
? 剪力图、弯矩图如右，最
大剪力、弯矩均发生在 B
点，且
xqF Q ??? xqM ??? 21
qlM
qlF
m ax
m axQ
2
1?
?
M,FQ与 q的关系
? 设梁上作用任意载荷，坐标
原点选在 A点（左端点形
心），现分析剪力、弯矩与
载荷集度的关系。
? 取 x处一小段 dx长度梁，如图，由平衡方程
得：
∑ Fy=0; FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0…………(a)
∑M C=0; M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0……(b)
在上式中略去高阶微量后，得
q ( x )dx ( x )dF Q ? ( x )F QdxdM ?
q ( x )dxd F Qdx Md 22 ??
使用关系式画 FQ,M图
q(x)=0的区间 q(x)=C的区间 集中力 F作用处 力偶 M作用处
FQ 图 水平线 q(x)>0,斜直线，斜率 >0q(x)<0,斜直线，斜率 <0 有突变突变量 =F 无影响
M 图
FQ >0,斜直线，斜率 >0
FQ <0,斜直线，斜率 <0
FQ =0,水平线，斜率 =0
q(x)>0,抛物线，上凹
q(x)<0,抛物线，下凹
FQ =0,抛物线有极值
斜率由突变
图形成折线 有突变突变量 =M
例题 -7
? M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m
解,求 A,B处支反力
FAY=3.5kN;FBY=14.5KN
剪力图：如图，将梁分为三段
AC,q=0,FQC= FAY
CB,q<0,FQB=-8.5kN
BD,q<0,FQB=6kN
弯矩图：
AC,q=0,FQC>0,直线,MC=7KN.M
CB,q<0,抛物线,FQ=0,MB=6.04
BD,q<0,开口向下,MB=-6kN.m
作业 (解答 )
作业 2004.3.25
? 14-5 (c)
? 14-8 (c)
14-5（ c） 解答
AC:
FQAC=-qx; |FQACmax|=qa/2
MQAC=-qx2/2; |MQACmax|=qa2/8
BC:(B点为圆点,x向左 ）
FB=qa/2-qa/8=3qa/8
FQBC=qx-FB=q(8x-3a)/8
FQBC=0,x=3a/8
MBC=q(3ax-4x2)/8;
MBC|x=3a/8=9qa2/128>0;
MBC|x=3a/4=0
21289 aq?
14-8（ c） 解答
A,B支反力：
FA=qa/2; FB=5qa/2
AB段,q<0； 斜直线（左上右下）
A点,FQA=FA=qa/2；
B点,FQB=FA-2qa=-3qa/2
D点,FQAB=0； x=a/2
BC段,q=0； 直线（水平）
C点,FQC=F=qa=FQB
弯矩图,AB段,q<0； 抛物线，上凸
A点,MC=0，
D点,MD= FA a/2 –q.a2/8=qa2/8
B点,MB=FA.2a-2qa2=-qa2；
BC段,q=0 直线（左下右上）
MC=0,MB=-F.a=-qa2
D
第 15章 杆件的应力与变形总第十四讲
? 第一讲
? § 15-1轴向拉压杆件的应力与变形
? 第二 讲
? § 15-2扭转圆轴的应力与应变
? 第三讲
? § 15-3弯曲梁的正应力
? 第四讲
? § 15-4弯曲梁的切应力
? § 15-5弯曲梁的变形
第一讲 轴向拉压
? § 15-1轴向拉压杆件的应力与变形
? 杆件轴向拉压时横截面上的应力
? 杆件轴向拉压时的轴向变形与变形公式
? 横向变形与泊松比
横截面上的应力
? 平面假设
?杆件的横截面在变形后仍保持为平面，
且垂直于杆的轴线。
1,横截面上各点只产生沿垂直于横截面方
向的变形，故横截面上只有正应力。
2,两横截面之间的纵向纤维伸长都相等，
故横截面上各点的正应变都相等；根据
胡克定律，其正应力也相等，即横截面
上的正应力均匀分布。
?杆件轴向拉压时横截面上正应力计算公
式
A
Fσ N?
FN—轴 力
A---横截面面积
σ 的正负号与 FN相同；即拉伸为正压缩为负
例 15-1
? 一中段开槽的直杆如图，受轴向力 F作用；已知,F=20kN，
h=25mm,h0=10mm,b=20mm； 试求杆内的最大正应力
解,求轴力 FN;
FN=-F=-20kN=-20x103N
求横截面面积：
A1=bh=20x25=500mm2
A2=b(h-h0)=20x(25-10)=300mm2
求应力
由于 1-1,2-2截面轴力相同，所以最大应
力应该在面积小的 2-2截面上
ζ= FNA = -20X103300 =-66.7MPa （ 负号表示为压应力）
轴向变形
设等截面直杆原长 l0,截面面积 A0,在轴力 F作用下，其长度变
为 l1,截面面积变为 A1； 其轴向绝对变形 △ l和轴向（相对变形）
线应变 ε分别为：
△ l=l1-l0
0
01
0
ε l lll l ??? △
直杆横截面上的正应力：
AFAF N ??σ
当应力不超过某一值时,正应力与线应变满足胡克定律,ζ=Eε
由以上可以得到：
EA
lFl N?△ 式中 EA称为杆件的抗拉压刚度
此式称为 拉压变形公式
横向变形与泊松比
如果等直杆在变形前后的横向尺寸为,b0,b1； 那么其横向绝
对变形和横向线应变分别为 △ b和 ε’;
△ b=b1-b0 ε’= △ b /b0
实验表明：杆件轴向拉伸时，横向尺寸减小,ε’为负 ；
杆件轴向压缩时，横向尺寸增大,ε’为正；
可见,轴向线应变 ε 和横向线应变 ε ’恒为异号
实验还表明：对于同一种材料，当应力不超过某一极限时，
杆件的横向线应变 ε’与轴向线应变 ε之比为一负常数：
即,?????,或
?
???,
比例系数 ν 称为泊松比，是量刚为一的量
例 15-2 p241
? 一板状试样如图，已知,b=4mm,h=30mm,当施加 F=3kN的拉力时，测
的试样的轴向线应变 ε=120x10-6,横向线应变 ε’=-38x10-6； 试求试样材料的
弹性模量 E和泊松比 ν
解,求试件的轴力 F
N=F=3kN;
横截面面积 A=bh=120mm2,
横截面上的应力 ζ=F/A
)(251 2 0103 3 M P axAF N ????
根据胡克定律 ζ=Eε得：
泊松比：
3 1 6 701 2 038101 2 0 1038 66,xx,??????? ?????
( G P a )332 0 812 102 5 0 0101 2 0 25 36,E xx ???? ???
例 15-3 p241
钢制阶梯杆如图所示；已知轴向力 F1=50kN,F2=20kN,杆各段长
度 l1=120mm,l2=l3=100mm,杆 AD,DB段的面积 A1,A2分别是 500
和 250mm2,钢的弹性模量 E=200GPa,试求阶梯杆的轴向总变形和
各段线应变。
解：画出杆件的轴力图
求出个段轴向变形量
AC段：
CD段：
DB段：
mmEA LFl N 333111 103650010200 1201030 ?????? ?????△
mmEA LFl N 333333 10402 5 0102 0 0 1 0 01020 ????? ????△
总变形：△ l=(-36+20+40)x10-3=0.024mm
由 ε=△ L/L得：
ε1= -300x10-6
ε2= 200x10-6
ε3= 400x10-6
mmEA LFl N 333222 10205 0 0102 0 0 1 0 01020 ????? ????△
作业
? P269
? 15-5
第二讲 扭转圆轴的应力和变形
? 一、圆轴扭转时横截面上的应力
? 切应变、切应力
? 切应力分布
? 圆轴的扭转变形计算公式
? 截面的几何性质
? 二、圆轴扭转时的变形
? 应力计算 例 15-4
总第 15讲
一、圆轴扭转时横截面上的应力
? 平面假设,圆周扭转变形后各个横截
面仍为平面，而且其大小、形状以及
相邻两截面之间的距离保持不变，横
截面半径仍为直线
? 横截面上各点无轴向变形，
故横截面上没有正应力。
? 横截面绕轴线发生了旋转式
的相对错动，故横截面上有
剪应力存在。
? 各横截面半径不变，所以剪
应力方向与截面径向垂直
推断结论：
切应变、切应力
? 横截面上任意一点的切应变
γρ与该点到圆心的距离 ρ成正
比
由剪切胡克定律可知：
当切应力不超过某一极
限值时，切应力与切应变
成正比。即：
dxdGG ??? ??? ?????
dxd?? ?? ??dxdR ?? ??
横截面上任意一点的切应力 ηρ的大小与该点到圆心的距
离 ρ成正比，切应力的方向垂直于该点和转动中心的连线
切应力分布
? 根据以上结论：
? 扭转变形横截面上的切
应力分布如图 a)所示
扭矩和切应力的关系：
? ? TdA???
如图 b)所示：
微面积 dA上内力对 o点的矩为
dM=ρτρdA
整个截面上的微内力矩的合
力矩应该等于扭矩
即：
圆轴的扭转变形计算公式
由推导的结论式
? ? ??? TIGdAGdA pdxddxd ??? ??? 2
dxdGG ??? ??? ?????
? ? TdA???
可以得到：
或：
pGI
T
dx
d ??
变形计算公式
于是有：
?? ?
PI
T?
扭转变形横截面
任意点切应力计算公式 外边缘
最大切应力计算公式
pp W
Tr
I
T ???
m a x?
截面的几何性质
? 极惯性矩 Ｉ p
扭转截面系数 Ｗ p
dAdAI Ap ?? ?? 22 ??
r
IW p
p ?
4
16
4
32
2.0
1.0
4
4
dW
dI
d
p
d
p
??
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?43416
444
32
12.01
11.01
3
4
??
??
?
?
????
????
DW
DI
D
p
D
p D
d??
其中 d为圆截
面直径（ d,D
为圆环内外径）
二、圆轴扭转时的变形
dxGITd
p
??
由扭转变形计算公式可以计算出，
两个相距 dx的横截面绕轴线的相
对角位移，即相对扭转角 d?
rad
对于相距 L的两个横截面间的相对
扭转角 ?可以通过积分求得,dxdl l GIT p? ??? 0?? rad
对于等截面圆轴，若在长度为 l的
某两个截面之间的扭矩均为 T,那
么该两截面的相对扭转角为 pIG
lT
?
??? rad
单位长度相对扭转角 θ
pIG
T
l ???
?? rad/m
应力计算 例 15-5
在图示传动机构中，功率从 B轮输
入，再通过锥齿轮将一半传递给铅
垂轴 C,另一半传递给水平轴 H。
若已知输入功率 P1=14kW,水平轴 E
和 H的转速 n1=n2=120r/min,锥齿
轮 A和 D的齿数分别为 z1=36,z2=12，
图中 d1=70,d2=50,d3=35.求各轴
横截面上的最大切应力,
分析：
此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横
截面上的切应力，必须求得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。
由题意可知,E,H,C轴所传递的功率分
别为,P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kW.
E,H轴转速为 120r/min,由传动比可计算出
C轴的转速为,n3=(z1/z2)n1 =3n1=360r/min
再通过公式,nWM 9 5 4 9?
可以求得各轴所
受到的外力矩
M1
M2
M3
例 15-5 (续 )
解,1、求各轴横截面上的扭矩：
)(1 1 1 41 2 0149 5 4 99 5 4 9
1
111 mNnPMT ?????E 轴：
)(557120 79 5 4 99 5 4 9
2
222 mNnPMT ?????H 轴：
)(7.185360 79 5 4 99 5 4 9
3
333 mNnPMT ?????C 轴：
2、求各轴横截面上的最大切应力：
)(24.16702.0 101114 3 3
1
1m a x M P aW T
P
E ??
????E 轴：
)(28.22502.0 10557 33
2
2m a x M P aW T
P
H ??
????H 轴：
)(66.21352.0 107.185 3 3
3
3m a x M P aW T
P
C ??
????E 轴：
应力计算 习题 15-10,11
如图所示,已知,M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;
AB=200mm;BC=250mm,?AB=80mm,?BC=50mm,G=80GPa
1,求此轴的最大切应力
2,C截面相对于 A截面的扭转角 ?CA；
3,相对扭转角 ?AB,?BC；
解：
1、求最大切应力
扭矩图如左：
TAB=-5kN.m;
TBC=-1.8kN.m
根据切应力计算公式
M P aWT
AB
AB
AB 83.48802.0
105
3
6
m a x ???
?????
M P aWT
BC
BC
BC 72502.0
108.1
3
6
m a x ???
?????
15-11续
2、求 C截面相对 A截面的扭转角
扭转角计算公式：
? ? )(1005.310801.01080 102 00105 3439
33 r a d
GI
LT
p AB
ABABBA ?
?
? ???
????
???????
? ? )(10510501.01080 10250108.1 3439
33 r a d
GI
LT
P B C
BCBCCB ?
?
? ???
????
???????
)(1005.810)505.3( 33 r a dCBBACA ?? ????????? ???
C截面相对 A截面的扭转角为：
3、相对扭转角为：
)/(100.2
102 5 0
105
)/(105 2 5.1
102 0 0
1005.3
2
3
3
2
3
3
mr a d
L
mr a d
L
BC
BC
CB
AB
BA
AB
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
???
?
?
???
?
?
?
?
本节要点
扭转圆轴的切应力计算公式：
?? ?
pI
T? 最大切应力公式
pW
T?
m a x?
扭转圆轴的横截面
上切应力分布规律 相对扭转角
dxGITd
p
??
单位长度相对扭转角
)( mr a d
pGI
T
l ??
??
pGI
Tl?? )(180180 mpGI Tl ????? ????
作业
? P269
? 15-9
? 15-13
总第 16讲
? 第三讲 弯曲梁正应力
? 弯曲正应力公式
? 弯曲梁截面的最大正应力
? 惯性矩的平行轴定理
? 平行轴定理应用举例 1
? 平行轴定理应用举例 2
? 弯曲正应力计算 习题 15-14p271
? 作业
第三讲 弯曲梁正应力
平面弯曲
横力弯曲
纯弯曲
剪力 FQ≠0
弯矩 M ≠ 0
剪力 FQ=0
弯矩 M ≠ 0
纯弯曲,平面假设,梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的
轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度
总第 16讲
弯曲正应力公式
纯弯曲正应力公式推导：
如上图 1,2得纵向变形：
???
????? y
d
ddy
dx
dxbb ?????? )(''
根据胡克定律，可知：
???
yEE ??
由图 3得：
几何关系
物理关系
MdAy ?? ? 即 ??? zEIdAyEdAyM ??? ?? 2
对照以上各式，得,y
I
M
z
?? 其中,Iz为截面对 z轴的惯性矩
弯曲梁截面的最大正应力
由正应力公式可知，弯曲梁截面上的最大正
应力应该在其上下边缘：即 |y|的最大值处, m a xm a x yIM
z
??
引入弯曲截面系数 Wz=Iz/ymax,最大正应力公式为：
zW
M?
m a x?
惯性矩计算：
A 定义式,dAyI
z ?? 2
B 积分式,??
Az dAyI
2
矩形截面 Iz的计算：
如图
12)(
3
22 2
2
bhb d yydAyI
Az
h
h ??? ? ??
6
2
2m a x
bhI
y
IW
h
zz
z ???
惯性矩的平行轴定理
由惯性矩的定义式可知,组合截面对某轴的惯性矩，等于其组成部分对同一轴惯性矩的代数和
即,Iz=Iz1+Iz2+…+Izn=∑Izi
设某截面形心在某坐标系的坐标为 (a,b),
如图，则其对坐标轴的惯性矩为：
AbII zcz ??? 2对于 z轴的惯性矩：
AaII ycy ??? 2对于 y轴的惯性矩：
平行轴定理应用举例 1
工字形截面梁尺寸如图，求截面对 z轴的惯性矩。
解,可以认为该截面是由三个矩形截面构成，所以：
Iz=Iz1+Iz2+Iz3
（ -） （ +）（ +）
)(102 4 33 10912 904012 4443331 mmbhI z ???????
)(1067.1703 10812 804012 4443332 mmbhI z ???????
)(1053.86 10812 80212 4433333 mmbhI z ???????1 2
3
Iz=Iz1+Iz2+Iz3=(243-170.67+8.53)x104=80.86x104 (mm4)
平行轴定理应用举例 2
求图示截面对 z轴的惯性矩
解,截面可分解成如图组合，
A1=300x30=9000mm2
A2=50x270=13500mm2
yc1=-75-15=-90mm
yc2=135-75=60mm
A1,A2两截面对其型心轴的惯性矩为,
I1cz=300x303/12=0.675x106mm4
I2cz=50x2703/12=82.0125x106mm4
由平行轴定理得：
I1z= I1cz+yc12A1=0.675x106+902x9000=73.575x106mm4
I2z= I2cz+yc22A2= 82.0125x106+602x13500=130.61x106mm4
Iz=I1z+I2z=(73.575+130.61)x106=204x106mm4,
A1
A2
弯曲正应力计算 习题 15-14p271
已知,ζA=40MPa(拉 ),y1=10mm; y2=8mm; y3=30mm
求,1) ζB,ζD ； 2) ζmax(拉）
解,ζA=40MPa(拉 ),y1=10mm;
由公式：
A
z
A yI
M??
A
A
z yI
M ??
由于 A点应力为正，因此该梁上半部
分受拉，应力为正，下半部分受压，
应力为负，因此有：
m a x
m a xyyyyIM
D
D
B
B
A
A
z
???? ?????
3 2 M P a40108σyyσ A
A
BB ????
M P a1 2 0-401030σyyσ A
A
DD ??????
最大拉应力在上半部边缘
M P a60401015σyyσ A
A
m a xm a x ????
??
作业
? P269
? 15-15
总第 17讲
? § 15-4 弯曲梁的切应力
? § 15-5 弯曲梁的变形
§ 15-4弯曲梁的切应力总第 17讲
? 横力弯曲时，梁的横截面上切应力
分布。
? 横力弯曲时，
梁的横截面
上切应力计
算公式
例 15-11
如图所示，已知 6120柴油机活塞销的外径 D=45mm,内径
d=28mm,活塞销上的载荷作用尺寸 a=34mm,b=39mm,连
杆作用力 F=88.4kN。 求活塞销的最大正应力和最大切应力。
解：
活塞销所受的载荷简化为均布载
荷，其均布集度为
mkNbFq 331 1027.21039 4.88 ????? ?
mkNaFq 332 1030.110342 4.88 ?????? ?
剪力图如例 15-11 b）
FQmax=44.2kN
弯矩图如例 15-11 c)
Mmax=1.18kN.m
(continue)
? ? ? ? 36344528343 1075.76.7746)(1451.0)(11.0 mmmDW Ddz ??????????
已知活塞销截面为薄壁圆环，那么：
22222 68.9744/)2845(4/)( mmdDA ????? ??
活塞销的最大正应力为弯矩最大处，即销子中心点：
M P aWM
z
32.15 26.77 46 1018.1 6m a xm a x ?????
由切应力近似计算公式可以得出，活塞销的最大切应力为：
M P aAF 7.9068.974 102.4422 3m a xm a x ??????
§ 15-5 弯曲梁的变形
? 梁弯曲变形的概念
挠度 ----梁的横截面形心在垂直雨
量轴线方向的位移称为挠度，
用 w表示。
正负规定：图示坐标中上正下负
转角 ----梁的横截面相对于变形前
后初始位置转过的角度，用 θ
表示。
正负规定：逆时针为正，反之为负
挠曲线 ----梁在弹性范围弯曲变形
后，其轴线变成一条光滑连
续曲线，称为挠曲线，其表
示式为
转角 θ与挠度 w的关系
如图所示：
θ≈tan θ=dw(x)/dx=w’
即：横截面的转角近似等于挠
曲线在该截面处的斜率
w=w(x)
积分法求梁的变形
? 积分法求梁的变形
挠曲线公式简单推导
zEI
xM
x
)(
)(
1 ?
?
由前可知,而在数学中有,? ?
2
32)'(1
''
)(
1
w
w
x ????
略去高阶无穷小，得到：
zEI
xMw )('' ? 挠曲线近似微分方程
积分后：
? ??? CdxEI xMdx xdw
z
)()(?
? ? ??? DxCdxEI xMw
z
))((
式中的积分常数 C,D由
梁的 边界条件 和 连续条
件 确定
积分法求梁的变形举例
习题 15-20,q=8kN/m,l=2m,E=210GPa,求 θmax，
wmax； 解,求 A,B支座反力
FA=FB=ql/2=8kN
写出梁的弯矩方程（如图 b)：
M(x)=FAx-qx2/2=(qlx/2)-qx2/2
EIzw’’=M(x)=q(l-x)x/2-------------------(1)
CqxqlxwEI z ??? 6/4/' 32
积分后得到,
DCxqxq l xwEI z ???? 24/12/ 43
CONTINUE
习题 15-20（续）
)(1065.7101 66 0102 1024 210824 489 333m a x r a dEIql
z
?
? ???????
???????
)(1078.41 66213 84 6 40101 66 0102 103 84 210853 845 489 434m a x mEIqlw
z
?
? ???????????
???????
FINE
边界条件,x=0,w=0； D=0； x=l,w=0； C=-ql3/24
由（ 1）可知：
θmax 为 M(x)=0的点；即 x=0 和 x=l 处（ A,B端点）
θmax=θAmax=－ θBmax=C/(EIzz)=－ (ql3)/(24EIzz)
w=－ qx(l3+x3－ 2lx2)/(24EIz)；
w’=0； x=l/2； w x=l=－ 5ql4/(384EIz)
叠加法求梁的变形
? 叠加法求梁的变形
? 叠加法
? 当梁受多个载荷作用时，梁的变形是每个独立载荷作用时
变形的叠加。
? 理论基础
? （略）参见教材 P261
? 常见简单载荷作用下梁的变形
? 教材 P261。
叠加法求梁的变形举例习题 15-22
? 用叠加法求图示梁 B截面的
转角和 C截面的挠度
z
b
z
Bb
EI
Ml
w
EI
Ml
l
16;
3
2
2
??
??
z
c
z
Bc
EI
Fl
w
EI
Fl
l
48;
16
3
2
2
??
??
叠加结果为
)316(
48
FlM
EI
l
z
BcBbB
??
?? ???
)3(
48
2
FlM
EI
l
www
z
CcCbC
???
??
查表
作业
? P272
? 习题 15-21
总第 18讲
? 16-1材料拉压时的力学性能
? 16-2轴向拉压时斜截面上的应力
§ 16-1材料拉压时的力学性能
? 低碳钢拉伸时的力学性能
? 试件
? 仪器
? 压力实验机
? 游标卡尺
? 应力应变曲线
? 比例极限 ζp
? 弹性极限 ζe
? 屈服极限 ζs
? 抗拉强度 ζb
滑移线
颈缩
伸长率和断面收缩率
? 伸长率 ?断面收缩率
? 塑性材料,δ ≥5%
? 脆性材料,δ＜ 5%
%100
0
01 ???
L
LL?
?铸铁拉伸
? 铸铁等脆性材料在拉伸时，
变形很小，应力应变曲线图
没有明显的直线部分，通常
近似认为符合胡克定律。其
抗拉强度 ζb是衡量自身强度
的唯一指标。
%1 0 0
0
01 ???
A
AA?
Ψ时衡量材料塑性的
一个重要指标
低碳钢和铸铁压缩时的力学性能
? 低碳钢压缩 ?铸铁压缩
名义屈服极限
? 对于没有明显屈服阶段的塑性材料，在工程上常
以 卸载后产生 0.2%的残余应变的应力作为屈服应
力, 称为 名义屈服极限, 用 ζP0.2来表示
? 冷作硬化
? 对于这种对材料预
加塑性变形，而使
其比例极限或弹性
极限提高，塑性变
形减小的现象称之
为 冷作硬化。
§ 16-2轴向拉压时斜截面上的应力
? 轴向拉压横截面正应力计算公式
? ζ=F/A
? 对于和横截面有夹角的斜截面，
其面积之间有关系式
A=Aαcosα
如图 2,pα=F/ Aα=ζcosα
? 将 pα向斜截面法向和切
向分解，可得到：
ζα=pαcosα
τα=pαsinα
如图 3所示
图 1
图 2
图 3
斜截面上应力公式
? 即斜截面上应力公式为：
)2c o s1(2c o s 2 ????? ? ???
正应力公式为：
?????? ? 2s i n2s i nc os ??
切应力公式为：
? 由以上公式可以看出：
? 在横截面上，即 α=00 时
σα=σmax=σ； τ=0
?对于如铸铁这种脆性材料，其抗
拉能力比抗剪能力差，故而先被
拉断
?对于低碳钢这种塑性材料，其抗
拉能力比抗剪能力强，故而先被
剪断；而铸铁压缩时，也是剪断
破坏。
? 当 α=450 时：
σα=σ/2； τα=τmax=σ/2
应力状态概念
? 单元体
? 围绕某研究点所截取的一个微小六面体，其三个对应
面上的应力情况，就是该点在空间的应力情况。
? 主平面
? 切应力等于零的平面
? 主应力
? 主平面上对应力的正应力； ζ1＞ ζ2＞ ζ3;
? 应力状态
? 单向应力状态
? 三个主平面上只有一对
主应力不等于零。
? 二向应力状态
? 三向应力状态
广义胡克定律
? 胡克定律
? 当正应力不超过某一极限值时,ζ=Eε; ε’= -
νε；
? 广义胡克定律
? 设三向应力状态下主应力 ζ1方向的伸长应变
ε1’； 主应力 ζ2, ζ3引起 ζ1方向的应变为 ε1’’,
ε1’’’,结合上式并利用叠加原理则有：
ε1=[ζ1-ν(ζ2 +ζ3)]/E； 即：
)]([
1
) ] ;([
1
)]([
1
2133
1322
3211
?????
?????
?????
???
???
???
E
E
E；
这就是 广义胡克定律
二向应力状态斜截面上的应力
? 如图为二向应力状态：
考虑平衡可得到：
???
??
?
???
????
?
?
?
2co s2s i n
2
2s i n2co s
22
x
yx
x
yxyx
?
?
?
?
?
?
?
?
强度理论－第一强度理论
? 强度理论
? 就是关于材料在不同的应力状态下失效的假设
? 第一强度理论（最大拉应力理论） ★★★★
? 只要有一个主应力的值达到单向拉伸时 ζ b,材料就发生屈服；
即,ζ1＝ ζ b； 引入安全系数后，其强度设计准则（强度条件）
为：
ζr1＝ ζ1≤[ζ]，
? 式中,ζr1称为第一强度理论的相当应力； [ζ]为单向拉伸时
的许用应力
? 实验证明，该强度理论较好地解释了石料、铸铁等脆性材料
沿最大拉应力所在截面发生断裂的现象；而对于单向受压或
三向受压等没有拉应力的情况则不适合。
第二强度理论
? 第二强度理论（最大伸长线应变理论）
? 这一理论认为，最大伸长线应变 ε1达到单向拉伸
的极限值 ε1jx,材料就发生脆性断裂；即：
ε1=ε1jx ； 或,ζ1-ν（ ζ2 + ζ3 ） /E = ζb/E；
? 引入安全系数：其强度设计准则为：
ζr2= ζ1-ν（ ζ2 + ζ3 ） ≤[ζ]
式中,ζr2 为第二强度理论的相当应力。
? 实验证明，该强度理论较好地解释了石料、混凝
土等脆性材料受轴向拉伸时，沿横截面发生断裂
的现象。但是，其实验结果只和很少材料吻合，
因此已经很少使用。
第三强度理论－最大切应力理论
? 第三强度理论（最大切应力理论） ★★★★
? 材料无论处在什么应力状态下，只要最大切应力 τmax达到
了单向拉伸时切应力屈服极限 τs (= ζs /2)；材料就出现屈
服破坏，即：
τmax ＝ (ζ1－ ζ3)/2;τs=ζs/2
其强度设计准则为：
ζr3=ζ1－ ζ3≤[ζ]
式中,ζr3 称为按第三强度理论计算的相当应力
? 实验证明，这一理论可以较好的解释塑性材料出现塑性
变形的现象。但是，由于没有考虑 σ2的影响，故按这一
理论设计构件偏于安全。
第四强度理论
? 第四强度理论（形状改变比能理论）
? 这一理论认为，形状改变比能 Ux是引起材料发生屈服破
坏的原因。也就是说，材料无论处在什么应力状态下，
只要形状改变比能 Ux达到材料在单向拉伸屈服时的形状
改变比能 Uxs,材料就发生屈服破坏。即,(p291)
Ux=Uxs
其强度条件为：
式中,ζr4是按第四强度理论计算的相当应力。
? 实验证明，第四强度理论比第三强度理论更符合实验结
果，因此在工程中得到广泛的应用。
? ? ? ????????? ??????? 2132322214 )()()(21r
强度理论的适用范围
? 在三向拉伸应力状态，无论是脆性材料还是塑性材料，
都会发生断裂，应采用最大拉应力理论，即第一强度
理论。
? 在三向压缩应力状态，无论是脆性材料还是塑性材料，
都会屈服破坏裂，适于采用形状改变比能理论或最大
切应力理论，即第四或第三强度理论。
? 一般而言，对脆性材料宜采用第一、第二强度理论。
? 一般而言，对塑性材料宜采用第三、第四强度理论。
总第 19讲
? § 17-1杆件的强度设计准则
? 强度失效判断
? 当构件承受的载荷达到一定的大小时，其材
料就会在应力状态最危险的一点处发生 强度
失效 。其表现形式如：铸铁拉伸和扭转时的
突然断裂、低碳钢拉伸、压缩、扭转时产生
的较大的塑性变形等。
? 建立材料的失效判据，是通过对材料的有限
试验完成的。如低碳钢材料在拉伸和压缩时，
以出现显著塑性变形的屈服极限 ζs或以出现
断裂的抗拉强度 ζb作为材料的失效判据；而
铸铁材料在拉伸和压缩时，以出现破坏的抗
拉强度 ζ b作为材料的失效判据。
许用应力和安全系数
? 许用应力
? 在工程实际中，为了保证受力构件的安全，用大于 1的
系数除以失效极限应力，做为构件工作应力的极限值，
成为许用应力，记做 [ζ]：
? ? ? ?
b
b
s
s nn ???? ?? ；或
? ?
b
bnσσ ?
? 对于塑性材料：
? 对于脆性材料：
? ? ? ?
b
b
s
s nn ???? ?? ；或? 对于扭转时强度失效判断则有：
其中 ns,nb称为塑性材料和脆性材料的 安全系数
强度设计计算
? 杆件的强度设计
? 危险截面,可能最先出现强度失效的
截面称为危险截面。
? 危险点,可能最先出现强度失效的点
称为危险点。
? 强度设计的计算内容：
? 校核强度
? 选择截面尺寸
? 确定许可载荷
§ 17-2轴向拉压杆件的强度设计
? 拉压杆的强度设计准则为
? 拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的，而且各点
均为单向应力状态，根据材料的失效判据，拉压杆
的强度设计准则为：
][)( m a xm a x ?? ?? AF N
式中
? ζmax为拉压杆横截面上的最大工作应力
? [ζ]为材料的许用应力
1,对于塑性材料 [ζ]= ζs/ns
2,对于脆性材料
? [ζ]拉 = ζb拉 /nb;
? [ζ]压 = ζb压 /nb；
总第 20讲 拉压杆强度设计
? 对于等截面杆，其强度准则可以写成
][m a xm a x ?? ?? AF N
1、强度校核 ][m a x ?? ?
2、选择截面尺寸
][
m a x
?
NFA ?
3、确定许可载荷
][m a x ??? AF N
例 17-1－ 强度校核
某铣床工作台的近给液压缸如
图示，缸内工作压力 p=2MPa，
液压缸内径 D=75mm，活塞杆直
径 d=18mm，已知活塞杆材料的
许用应力 [σ]=50MPa，试校核
活塞杆的强度。
解：
求活塞杆的轴力,NdDpApF N 322 1033.8)(4 ?????? ?
横截面上的应力为,][7.32
18
1033.8
2
4
3 ??
? ???
??? M P a
A
F N
活塞杆强度足够
注：在工程中，允许工作应力大于许用应力但不可超出 5％。
例 17-2－选择截面尺寸
习题 17－ 3，
已知,h=2b,F=40kN，
[ζ]=100MPa；
试设计拉杆截面尺寸 h,b。
解：
求出拉杆的轴力 FN;
FN=F=40kN
拉杆的工作应力 ζ＝ FN/A
根据强度准则，有 ζ≤[ζ],即 A≥FN/[ζ]； 而 A=hb=2b2
所以,2b2≥40× 103/100=400mm2
求得,b ≥14.14mm； h=2b=28.28mm
考虑安全，可以取 b=15mm,h=30mm
结束
例题 17-3－确定许可载荷
如左图，已知：
木杆面积 A1=104mm2,[σ]1=7MPa
钢杆面积 A2=600mm2,[σ]2=160MPa,
确定许用载荷 [G]。
解：
1、求各杆的轴力
如图 b)列平衡方程，得 ∑Fx=0 － FN1－ FN2cos30
0=0
∑Fy=0 FN2sin300－ G=0
求解上式，得,FN1= － 1.73G,FN2=2G
2、用木杆确定 [G]
由强度准则,σ1 =FN1/A1≤ [σ]1
得,G≤ [σ]1 A1 /1.73=40.4kN
3、校核钢杆强度
即,σ2 =FN2/A2= 2G/A2=80.8× 103/600
=134.67MPa<[σ]2
强度足够，故许可载荷 [G]=40.4kN 结束
总第 21讲－弯曲梁的强度计算
? 梁在弯曲变形时，其截面上既有正应力也有切应
力，故有：
][)( m a xm a x ?? ??
zW
M 和 ][
m a x ?? ?
对于等截面梁，可以写成,][m a x
m a x ?? ??
zW
M
对于脆性梁，其抗拉、抗压性
能不等时，应分别予以设计。
?
?
? ???
?
?
???
?? ][
m a x
m a x ??
zI
yM
??? ???
?
???
?
?? ][
m a x
m a x ??
zI
yM
通常在设计计算时，先以弯曲正应力强度准则设计出截
面尺寸，然后按照弯曲切应力强度准则进行校核。
? 弯曲正应力
例 17－ 6 强度校核
图示 T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力 [ζ]＝ 30MPa,许用
压应力 [ζ]＝ 60MPa,截面尺寸如图。截面对形心轴 z的惯性
矩 Iz＝ 763mm4,且 y1=52cm。 试校核梁的强度。
分析：
1、画出梁的弯矩图（确定最
大弯矩及其所在截面）
2、求出梁的最大拉应力和最
大压应力值
3、校核强度
解：
1、求支座反力,FA=2.5kN； FB=10.5kN，
画出弯矩图如 b),最大正弯矩在 C点，
最大负弯矩在 B点，即：
C点为上压下拉，而 B点为上拉下压
FA FB
例 17－ 6（续 1）
2、求出 B截面最大应力
最大拉应力（上边缘）：
最大压应力（下边缘）：
27,26M P a10763 52104 4
6
1 ?
?
??????
z
B
B I
yM?
M P a13.641076 3 88104 4
6
2 ?
?
??????
z
B
B I
yM?
例 17－ 6（续 2）
3、求出 C截面最大应力
最大拉应力（下边缘）：
最大压应力（上边缘）：
M P a83.821076 3 88105.2 4
6
2 ?
?
??????
z
C
C I
yM?
M P a04.17107 63 52105.2 4
6
1 ?
?
??????
z
C
C I
yM?
由计算可见：
最大拉应力在 C点且 ζCmax=28.83MPa<[ζ]＋ =30MPa
最大压应力在 B点且 ζBmax=46.13MPa<[ζ] － ＝ 60MPa
故梁强度足够
例 17－ 7 梁的截面设计
简支梁 AB如图所示，已知：
[ζ]=160MPa,[η]=100MPa,a=0.2m，
l=2m,F=200kN，
试选择工字钢型号。
FA FB
解,1、计算梁的约束力 FA,FB;
由于机构对称，所以 FA=FB=210kN
2、画出梁的剪力图
可以看出 FQmax=FA=FB=210kN
3、画出梁的弯矩图，其最大弯矩在
梁的中点，计算得,Mmax=45kN.m
4、应用梁的弯曲正应力准则选择截
面尺寸：
σmax ＝ (Mmax/Wz)≤[σ]
例 17－ 7续
变形可以得出：
3366 25.2 8 1102 8 1 2 5.0
1 6 0
1045
][ cmmm
MWz ??????
?
查附录 C选取 22a工字钢，其 Wz=309cm3;h=220mm;d=7.5mm； t=12.3mm。
校核梁的切应力强度：工字钢腹部切应力最大，对应面积 A1=(h-
2t)d； 则有：
1 00 M P a][1 43, 3 M P a5.7)3.1222 20( 102 10 3
1
m a x
m a x ??????
??? ??
A
F Q
由于切应力大出其许用应力很多，故再选大一号，选 22b并校核其切
应力强度。相应尺寸,h=250,d=10,t=13,那么：
10 0M P a][93, 75 M P a10)13225 0( 1021 0 3
1
m a x
m a x ??????
??? ??
A
F Q
切应力强度足够，故选 22b号工字钢
fine
总第 22讲
? 如图所示为一台钻床，分析其立
柱上截面 m-m的内力。
截面法：
将立柱假想从 m-m处截开；
分析可知，截面 m-m上有内力：
FN－ 轴力和 M－ 弯矩
称此变形为拉（压）弯组合变形。
拉弯组合变形强度计算
对于如上所述的组合变形，通常其强度计算采用叠加原理。
即横截面上任意一点的正应力为：
z
N
I
yM
A
F ????? m a x
弯拉 ???
注意：
塑性材料
脆性材料
拉弯组合强度计算
例 17－ 8
? 上钻床的钻削力 F=15kN,偏心距 e=0.4m,立柱为铸铁材
料，其直径 d=125mm,许用拉应力 [ζ]＋ ＝ 35MPa,许用压
应力 [ζ]－ ＝ 120MPa,试校核立柱强度
解：
2.最大拉应力：
3.最大压应力：
求立柱 m-m截面的轴力 FN和弯矩 M：
FN=F=15kN； M=F.e=15× 0.4＝ 6kN.m
则有：
3 0, 7 2 MP a
1 2 51.0
106
1, 2 2 MP a
1 2 5
1015
3
6
m a x
2
4
3
?
?
?
??
?
?
?
??
z
N
W
M
A
F
弯
拉
?
?
?
M P aM P a 35][94.3122.172.30m a x ??????? ?? ???? 拉弯
M P aM P a 120][5.2922.172.30m a x ??????? ?? ???? 拉弯
立柱强度足够
例 17－ 10
钢板如图所示，试校核强度（不考虑应力集中影响）
已知,F＝ 80kN,b=80,t=10,δ=10,
[ζ]=140MPa
解：如图 b)； FN＝ F=80kN,
e＝ b/2－ (b-t)/2=80/2－ (80-10)/2=5
M=FNe=400kN.mm
FN引起的应力
1 1 4, 3 MP a)1080(10 1080)( 3 ??? ????? tb FAF NF ??
M引起的应力
4 8, 9 8 M P a
6
)1080(10
51080
6
)( 2
3
2 ???
???
?
???
tb
eF
W
M
z
M ??
例 17－ 10（续）
因此，最大拉应力为（上缺口最低点）：
M P aM P a
MF
140][3.163
98.483.114m a x
???
?????
?
???
下边缘应力为：
)(3.65
98.483.114m a x
拉应力M P a
MF
??
??????? ???
讨论：
显然，钢板的强度不够；引起应力增大
的原因是偏心距造成的。因此，解决此
类问题就是消除偏心距，如左：
正应力分布图如下：
MPaMPatb FAF N 140][3.133)10280(10 1080)2( 3m a x ?????? ????? ???
总第 23讲
? 纯扭圆轴横截面切应力分布
? 圆轴扭转的强度设计准则
? 等截面圆轴扭转的强度设
计准则
][
m a x
m a x ?? ????
?
???
??
PW
T
][m a xm a x ?? ??
PW
T
[η]为许可切应力；
通常，对于塑性材料
[η]＝（ 0.5~0.6) [ζ]；
对于脆性材料：
[η]＝（ 0.8~1.0) [ζ]
扭转圆轴强度设计
例 17－ 11
? 某传动轴所传递的功率 P=80kW,其转速 n=580prm,直径 d=55mm,材料
的许可切应力 [τ]=50MPa, 试校核轴的强度。
解：传动轴的外力偶矩为：
1 31 7, 1 N,m5 80809 54 99 54 9 ???? nPM
工作切应力的最大值：
5 0 MP a][3 9, 5 8 MP a552.0 101.1 3 1 72.0 3 33m a x ???? ???? ?? dMWp T
强度足够！
例 17－ 12
? 汽车传动轴由 45＃ 无缝钢管制成。已知,[τ ]=60MPa,若钢管的外径
D＝ 90mm,管壁厚 t=2.5mm,轴所传动的最大扭矩 M=1.5kN.m.试,1、
校核传动轴的强度； 2、与同性能实心轴的重量比。
解,1、校核强度
])(1[2.0
105.1
)1(2.0 423
6
43m a x
D
tDP DD
M
W
T
??
??
??? ??
带入数据后得,τ max＝ 50.33MPa<[τ ]＝ 60MPa;强度足够
2、设计实心轴直径 D1（ 两轴的最大工作切应力相等 )
mm
T
D
D
T
W
T
P
03.53
3.502.0
105.1
2.0
2.0
3
6
3
m a x
3m a x
?
?
?
??
??
?
? ；即3、两轴重量比
21.3
8590
53
22
2
22
2
1
2
1
?
?
?
?
??
dD
D
LA
LA
G
G
空心轴
实心轴
弯扭组合变形
传动机构传动轴
如图 17-13e为轴 CE段横截面的
应力分布；边缘上 a点为截面
的危险点,a点的应力状态为
二向应力状态，如图 f）
弯扭组合强度计算准则
? 强度公式推导：
? 由应力公式（参考教材 P287 <16-10>）
22
m i n
m a x )
2(2 x
yxyx ?????
?
? ?????
??
? 得,? ?22
3
1 4
2
1 ???
?
? ???
??
?
? 第三强度理论：
? ζr3 =ζ1-ζ3≤[ζ] 得,? ????? ??? 22
3 4r
? 第四强度理论：
?, ? ?
? ????????? ??????? 2132322214 )()()(21r
得,? ????? ??? 22
4 3r
用内力表示的强度准则
通常考虑到：;2;; WzWpWTWM
pZ
??? ??
则：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
][
75.0
][
22
4
22
3
??
??
Wz
TM
Wz
TM
r
r
其中：
2222 75.0 TMTM ?? 和 称为应用第三和
第四强度理论进行强度计算时所对应的相当弯矩
应用第三强度理论时：
应用第四强度理论时：
注意：
? 传动轴为塑性材料
? 传动轴为中心对称的圆轴
例 17-13
图示为圆轴 AB,在轴的右端联轴器
上作用有一力偶 M。 已知,D=0.5m，
F1=2F2=8kN,d=90mm,a=500mm,[σ]
＝ 50MPa,试按第四强度理论设计
准则校核圆轴的强度。
解,简化机构如图 b),计算相应值：
M1=(F1-F2)D/2=1kN.m
分别画出轴的扭矩图和弯矩图 c),d)
可以看出 C截面为危险界面。
由第四强度准则，；强度足够！M P aM P a
Wz
TM
r
50][83.42
901.0
)101(75.0)103(75.0
3
262622
4
???
?
???????
?
?；强度足够！MPaMPa
Wz
TM
r
50][4 3, 4
901.0
)101()103(
3
262622
3
???
?
??????
?
?
例 17-14
已知,F1=5kN,F2=2kN,a=200,b=60,
d0=100,D=160,α=20 0;[σ]=80MPa;
按第三强度理论设计轴的直径 。
解,1、画出受力图如 b)
2、空间力系投影法
xy面：如 c),画出弯矩图如 d)
求得,MCz=35N.m
MBz=420N.m
17-14(续 )
xz面：如图 e),画出弯矩图如 f)
求得,MCy=480N.m
3、扭矩图如图 h)
T=240N.m
4、危险点为 C点：
mNTT
mNMMM
C
CZCYC
.240
.3.48135480 2222
??
?????
5、设计轴径：
由第三理论得：
)(1023.67801.0 )10240()103.481(][1.0 332323223 mmTMd CC ??? ????? ?? ?
所以：
4 2 m md;7.401023.673 3
?
???
取：
mmd
总第 24讲
? 轴向拉伸杆件：
][ lEA lFl N △△ ??
式中,[△ l]为轴向拉伸的许可伸长量或缩短量
? 平面弯曲梁：
][
][
m a x
m a x
??
??
?
?
式中,[ω]为许用挠度； [θ]为许用转角。
? 扭转变形圆轴：
)]([
1 8 0
)]([
m a x
m a x
m a x
m a x
m
P
m
r ad
P
GI
T
GI
T
。；或
?
?
?
??
????
?
?
??
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
式中,[θmax]为许用扭转角。
杆件的刚度准则与刚度设计
例 17-15 P317
? 飞机系统中的钢拉索，其长度为 l=3m,承受拉力 F=24kN,弹性模
量 E=200GPa,需用应力 [σ]=120MPa,要求钢拉索在弹性范围内
的许用伸长量 [△ l]=2mm,试求其横截面面积至少应该为多少？
解,钢拉索发生轴向拉伸变形，其轴力为 FN=F=24kN
23 200
120
1024
][ mm
FA N ????
?
1,由等截面轴向拉伸杆件的强度设计准则，
得：
2
3
33 180
210200
1031024
][ mmlE
lFA N ?
??
?????
△
2,由轴向拉压杆件的刚度设计准则，
得：
综合上列强度和刚度设计结果，钢拉索的横截面面积
至少应该为,200mm2
例 17-16
? 如图所示阶梯轴，已知,d1=40mm,d2=55mm,MC=1432.5N.m，
MA=620.8N.m。 轴的许用单位长度扭转角 [θ]=20/m,许用切应力
[η]=60MPa,切变模量 G=80GPa,试校核轴的强度和刚度。
解,由阶梯轴的计算简图 b)画出轴
的扭矩图 c),得出 AB,BC段的扭矩
mNMTmNMT CBCAAB,5.1432.8.620 ???? ；
显然，在 AB段上 AD段各个截面是危
险截面，其最大切应力为：
M P aW T
p AD
ABAD 5.48402.0 108.620 3 3m a x ?? ????
BC段的最大切应力为：
M P aWT
p BC
BCBC 05.43552.0 105.1432 3 3m a x ?? ????
整个轴的最大切应力
所以轴的强度足够
M P aM P aAD 60][5.48m a xm a x ???? ???
例 17-16(续）
刚度校核
AD段的单位长度扭转角
mp A DABAD GI T ?737.114.304.01.01080 1808.620180 49 ????? ???? ??
BC段的单位长度扭转角
mPBCBCBC GI T ?121.114.3055.01.01080 1805.1432180 49 ????? ???? ??
因此，轴的最大单位长度扭转角
mmAD ?? 2][7 3 7.1m a x ???? ???
所以，轴的刚度足够
例 17-17
? 图示为一等截面空心机床主轴的平面简图，已知其外径 D=80mm,
内径 d=40mm,AB跨度 l=400mm,BC段外伸 a=100mm,材料的弹性
模量 E=210GPa;切削力在该平面上的分力 F1=2kN,齿轮啮合力在
该平面上的分力 F2=1kN,若主轴 C端的许用挠度 [ω]=0.01mm，
轴承 B出的许用转角 [θ]=0.001rad,试校核机床的刚度。
解,机床主轴发生弯曲变
形，其惯性矩为：
46
4124
4
4
1088.1
80
40
1
64
1080
)1(
64
m
D
I z
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
图 b)为主轴的计算简图，利用
叠加原理，计算出 F1,F2单独
作用在主轴时 C端的挠度。
例 17-17（续 1）
? F1单独作用时 C端的挠度
如图 c),由表 15-3查得 (p261)
m108, 4 4 3
88.1213
10
1088.1102 1 03
10)1 0 04 0 0(101 0 0102
3
)()(
6-
3
69
3623
2
1
1
??
??
?
????
???????
??
?
?
??
z
FC EI
alaF?
? F2单独作用时 C端的挠度
如图 d),由表 15-3查得 (p261)B点
的转角，由几何关系得：
m102, 5 3 3
88.12116
1016
1088.1102 1 016
101 0 0104 0 0101
16
)(
6-
4
69
3623
2
2
2
???
??
???
????
???????
??????
?
?
??
a
EI
lFa
z
BFC ??
? C端的挠度
0, 0 1 m m][6 m m00.0102, 5 3 3 )443.8()()( -621 ???????? ???? mFCFCC
? F1单独作用时 B点的转角
如图 c),由表 15-3查得 p261
m106, 7 5 4
88.1213
1080
1088.1102 1 03
104 0 01 0 0102
3
)(
5-
4
69
63
1
1
??
??
??
????
?????
?
?
?
?
z
FB EI
alF?
? F2单独作用时 B点的转角
如图 d),查表得
m102, 5 3 3
88.12116
1016
1088.1102 1 016
104 0 0101
16
)(
5-
3
69
623
2
2
2
??
??
???
????
?????
??
?
?
?
z
FB EI
lF?
? B点的转角
0, 0 0 1 r a d][104, 2 2 110)533.2754.6()()( -5-521 ????????? ???? r a dFBFBB
如上计算可知，主轴满足刚度要求。
例 17-17（续 2）
总第 25讲
? 工程上常用于联结构件的
螺栓、铆钉、销钉和键等
称为 联结件
? 常见联结件的失效形式：
? 剪切和挤压
? 连接件的假定计算：
? 假定应力是均匀分布在
剪切面和积压面上
联接件的假定计算
剪切的假定计算
? 假定：切应力均匀分布在剪切面上
? 切应力计算公式：
A
F Q??
FQ —为剪切面上的剪力；
A —为剪切面面积
? 剪切强度设计准则,][?? ??
A
F Q
[η]—为材料的许用切应力，可由试验得到；通常在剪切假定计算
时，可以参考拉伸许用应力 [ζ],如钢材 [η]=(0.75)~(0.8)[ζ]
挤压的假定计算
? 有效积压面面积
? 挤压接触面为平面
? 挤压接触面为曲面
? 挤压应力
bc
bc
c A
F??
? 挤压强度设计准则
][ c
bc
bc
c A
F ?? ??
Fbc－ 为挤压力
Abc－ 为有效积压面面积
[σ]－ 为需用积压应力
焊接缝的假定计算
? 切应力作用面面积,
? Amin=δlcos450
?45co sl
F
A
F QQ
??? ??
? 强度准则,
][45co s2 ??? ???? ?l FAF Q
[η]为焊缝材料的许用切应力
胶粘接缝的假定计算
? 假定：
?假定垂直于胶粘接缝方向和沿接缝方向的应力都同时满足
ζ ≤[ζ]； 其中,[ζ]＝ ζb/nb；
η ≤[η]； 其中,[η]＝ ηb/nb；
σb,τb分别为胶粘接缝破
坏时的 抗拉强度 和 抗剪
强度 ；通常由垂直于接
缝方向的拉伸试验和平
行于接缝方向的剪切试
验确定。
总第 26讲
? 提高弯曲梁承载能力的措施
? 提高弯曲梁强度的措施
? 合理安排载荷和支座
? 选择合理的截面形状
提高杆件承载能力的措施
总第 26讲－ 1
? 注意：
? 对拉压强度不同的脆
性材料，宜采用上下
不对称于中性轴的截
面，中性轴位置偏向
受拉一侧
? 等强度梁－－变截面梁
圆轴扭转
? 提高圆轴扭转承载能力的措施
? 合理安排轮系
? 选用空心轴
思考题
1,矩形截面梁的横截面高度增加到原来的两倍，截
面的抗弯能力将增大到原来的几倍？矩形截面梁
的横截面宽度增加到原来的两倍，截面的抗弯能
力将增大到原来的几倍？
2,钢梁和铝梁的尺寸、约束、截面、受力均相同，
其内力、最大弯矩、最大正应力及梁的最大挠度
是否相同？
Thanks!
圆、环的 Ip的计算
o
d ρ
dA
32
2
2
4
0
3
0
22
2
2
πd
d ρρπ
π ρ d ρ )(ρdAρI
d
d
Ap
??
??
?
? ?
对于圆环，上积分式变为：
? ? ? ?4
4
44
32
1
3232
2
2
2
?
??
????
????
?? ??
D
dD
ddAI
D
dAp
弯扭组合横截面应力分布图
工程力学讲义（ 2）
材料力学
第十三章 材力的基本内容
? 学习与应该掌握的内容
? 材料力学的基本知识
? 基本变形的主要特点
? 内力计算及内力图
? 应力计算
? 二向应力状态及强度理论
? 强度、刚度设计
材料力学的基本知识
? 材料力学的研究模型
? 材料力学研究的物体均为 变形固体,简称, 构
件, ；现实中的构件形状大致可简化为四类，即
杆、板、壳 和 块 。
? 杆 ---长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的
几何形状可用其 轴线 （截面形心的连线）和垂直
于轴线的几何图形（ 横截面 ）表示。轴线是直线
的杆，称为直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。
各横截面相同的直杆，称为 等直杆 ；
? 材料力学的主要研究对象就是 等直杆 。
材料力学的基本知识
? 变形
? 构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的现
象； 变形固体的变形通常可分为两种,
? 弹性变形 ---载荷解除后变形随之消失的变形
? 塑性变形 ---载荷解除后变形不能消失的变形
? 材料力学研究的主要是弹性变形，并且只限于弹
性 小变形,即变形量远远小于其自身尺寸的变形
? 变形固体的基本假设
? 连续性假设
? 假设在固体所占有的空间内毫无空隙的充满了物质
? 均匀性假设
? 假设材料的力学性能在各处都是相同的。
? 各向同性假设
? 假设变形固体各个方向的力学性能都相同
材料力学的基本知识
? 材料的力学性能
? -----指变形固体在力的作用下所表现的力学性能。
? 构件的承载能力：
? 强度 ---构件抵抗破坏的能力
? 刚度 ---构件抵抗变形的能力
? 稳定性 ---构件保持原有平衡状态的能力
? 内力的概念
? 构件在外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质点
之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起
构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。
横截面上内力分析
其中,Mx,My,Mz为主矩
在 x,y,z轴方向上的分量。
FNx,FQy,FQz为主矢在 x,y、
z轴方向上的分量。
?FNx使杆件延 x方向产生轴向拉压变形，称为 轴力
?FQy,FQz使杆件延 y,z方向产生剪切变形，称为 剪力
?Mx 使杆件绕 x轴发生扭转变形，称为 扭矩
?My,Mz使得杆件分别绕 y z轴产生弯曲变形，称为 弯矩
利用力系简化原理，截面 m-m向形心 C点简化后，得到
一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图
横截面上内力计算 --截面法
? 截面法求内力步骤
? 将杆件在欲求内力的截面处假想的切开；
? 取其中任一部分并在截面上画出相应内力；
? 由平衡条件确定内力大小。
例：左图
左半部分：
∑Fx=0 FP=FN
右半部分：
∑Fx=0 FP
,=F
N
,
例 13-1
? 已知小型压力机机架受力 F的作用，如图，试求立柱截面
m-n上的内力
解：
1、假想从 m-n面将机架截
开（如图）；
2、取上部，建立如图坐标
系，画出内力 FN,MZ （ 方
向如图示）。
（水平部分 /竖直部分的变形？）
3、由平衡方程得：
∑Fy=0 FP-FN=0 FN=FP
∑Mo=0 Fp ·a - Mz=0 Mz =Fp · a
基本变形 —(轴向 )拉伸,压缩
载荷特点,受轴向力作用
变形特点,各横截面沿轴
向做平动
内力特点,内力方向沿轴向，简称 轴力 FN
轴力正负规定,轴力与截面法向相同为正
FN=P
基本变形 ---剪切
? 载荷特点,作用力与截面平
行（垂直于轴线）
? 变形特点,各横截面发生相
互错动
? 内力特点,内力沿截面方向
（与轴向垂直），简称 剪力 FQ
剪力正负规定：左下（右上）为正
左下：指左截面（左半边物体）剪力向下
基本变形 ---扭转
? 载荷特点,受绕轴线方向力
偶作用（力偶作用面平行于
横截面）
? 变形特点,横截面绕轴线
转动
? 内力,作用面与横截面重
合的一个力偶，称为 扭矩 T
正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系
T=M
基本变形 ---弯曲（平面）
? 载荷特点,在梁的两端作
用有一对力偶，力偶作用
面在梁的对称纵截面内。
? 变形特点,梁的横截面绕
某轴转动一个角度。
中性轴（面）
? 内力,作用面垂直横截面的
一个力偶，简称弯矩 M
弯矩的正负规定,使得梁的变形为上凹下凸的
弯矩为正。（形象记忆：盛水的碗）
正应力、切应力
? 应力的概念
? 单位面积上内力的大小，
称为应力
? 平均应力 Pm,如图所示
△ F
△ APm=
正应力 σ
单位面积上轴力的大小，称为 正应力；
切应力 τ
单位面积上剪力的大小，称为 切应力
应力单位为,1Pa=1N/m2 （ 帕或帕斯卡 )
常用单位,MPa（ 兆帕）,1MPa=106 Pa=1N/mm2 A—截 面面积
单元体及简单应力状态
对于一个单元，在其相互垂直的两个面上，沿垂直于两面交线的切
应力必成对出现，且大小相等，方向均指向或背离两面的交线，此
关系称为 切应力互等定律 或 切应力双生定律 。
在研究变形体内某一点的应力时，通常围绕该点作一
个无限小的正六面体，简称 单元（体） ；
此单元的各截面分别代表该点在不同方向截面的应力。
单元受力最基本也是最简单的形式有两种：单向拉压
和纯剪切 -----简称单向应力状态（如图）
位移
? 构件在外力作用下，其变形的大小用位移和应变
来度量。
? 如图：
? AA’连线称为 A点的线位移
? θ角度称为截面 m-m的角位移，简称转角
? 注意，单元 K的形状也有所改变
应变
? 分析单元 K
? 单元原棱长为△ x，△ u为绝对伸长量，其相对伸长
△ u/ △ x的极限称为沿 x方向的 正应变 ε。
△ u
△ x即,εx=lim△ x→∞
2,a点的横向移动 aa’,使得
oa直线产生转角 γ,定义
转角 γ为 切应变 γ
γ= aa’oa = aa’△ x
)
胡克定律
? 实验证明：
? 当正应力小于某一极限值时，正应力与正应变存在
线性关系，
即,ζ=Εε
称为胡克定律,E为弹性模量，常用单位,Gpa（ 吉帕）
? 同理，切应变小于某一极限值时，切应力与切应变
也存在线性关系
即,η=Εγ
此为剪切胡克定律,G为切变模量，常用单位,GPa
钢与合金钢 E=200-220GPa G=75-80GPa
铝与合金铝 E=70-80GPa G=26-30GPa
木材 E=0.5-1GPa 橡胶 E=0.008GPa
总第十二讲
? 第十四章 杆件的内力
? § 14-1 轴向拉伸或压缩杆件的内力
? § 14-2 扭转圆轴的内力
§ 14-1 轴向拉压杆件的内力
? 定义
? 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为
轴向拉伸或压缩
? 内力的计算
? 截面法
? 如左图
? 内力的表示
? 轴力图 ----形象表示轴力沿轴线变化的情况
轴力图
? 例 14-1 F1=2.5kN,F3=1.5kN,画杆件轴力图。
解, 1)截面法求 AC段轴力，沿截
面 1-1处截开，取左段如图 14-1-2
所示
∑Fx=0 FN1-F1=0
得,FN1=F1=2.5kN
2)求 BC段轴力，从 2-2截面处截开，
取右段，如图 14-1-3所示
∑Fx=0 –FN2-F3=0
得,FN2= - F3=-1.5kN
（ 负号表示所画 FN2方向与实际相反）
3)图 14-1-4位 AB杆的轴力图
轴力图
? 为了表示轴力沿轴线的变化，我们用轴线方向的
坐标轴表示杆截面的位置，其垂直方向的另一个
坐标轴表示轴力的大小，这样得到的图形称为轴
力图。
§ 14-2 扭转圆轴的内力
? 扭转变形的定义
? 横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转
? 以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴
? 本课程主要研究圆截面轴
? 功率、转速和扭矩的关系
? M=9549
? 扭矩图
? 仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，就
是扭矩图。
n
P
其中：
M为外力矩 (N.m)
P为功率 (kW)
n转速 (r/min)
例 14-2 扭矩图
? 如图，主动轮 A的输入功率 PA=36kW,从动轮 B,C,D
输出功率分别为 PB=PC=11kW,PD=14kW,轴的转速
n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图
解,1)由扭矩、功率、转速关系式求得
MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.m
MB=MC=350N.m； MD=446N.m
2)分别求 1-1,2-2,3-3截面上的扭矩，
即为 BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图
a),b),c);均有 ∑ Mx=0 得：
T1+MB=0 T1=-MB= -350N.m
MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m
MD-T3=0 T3=MD=446N.m
3)画出扭矩图如 d)
总第十三讲
? § 14-3 弯曲梁的内力
? § 14-4 弯曲梁的内力图 ---剪力图和弯矩图
§ 14-3 弯曲梁的内力
? 弯曲梁的概念及其简化
? 杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到
垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线
变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的
变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。
?常见梁的力学模型
? 简支梁
? 一端为活动铰链支座，另一端为固定铰
链支座
? 外伸梁
? 一端或两端伸出支座支外的简支梁
? 悬臂梁
? 一端为固定端，另一端为自由端的梁。
梁内力的正负规定
? 梁的内力
? 剪力 FQ
? 弯矩 MC
? 梁内力的正负规定
? 内力方向
? 梁的变形
§ 14-3 弯曲梁的内力 —例
例 14-3 简支梁如左图，已知 a、
q,M=qa2； 求梁的内力
FAy FBy
1 2 3
aqF 65AY ?? aqF 61BY ??
2） 1-1截面内力,(0≤x1 ≤ a)
3） 2-2截面内力,(a≤x2<2a)
解,1） 求得 A,B处反力 FAY,FBY；
1651AY1 xaqxFM ?????
aqFF 65AyQ1 ???
22AYQ2 xqaq6
11a)(xqFF ????????
222222AY2 a)(xq21-xaq65a)(xq21-xFM ?????????
续例 14-3
4） 3-3截面内力,(0 ≤ x3 ≤ a,此处 x3的起点
为 B点，方向如图 )
aq61FF BYQ3 ?????
3
2
3BY3 xaq6
1aqxFMM ????????
§ 14-4内力图 ----剪力图
1.当,0≤x1≤a 时
AC段 FQ1=5q.a/6
2.当,a≤x2≤2a 时,即 CD段
FQ2=11q.a/6-q.x2, 直线
x2 =a； FQ2 = 5q.a/6 （ = FQ1 ）
x2 =2a； FQ2 = -q.a/6 （ = FQ3 ）
3.当,0≤x3≤a (起点在 B点）
FQ3=-q.a/6
§ 14-4内力图 ----弯矩图
? 当,0≤x1≤a 时，
M1=5q.a.x1/6为直线 2
6
5
1C1
1A1
aqMax点：C
0；M0x点：A
????
???
2
6
7
2D2
2
6
5
2C2
q, a M,a2 xD
q, a M,a xC
??
??
点：
点：
MaqM,0xB
MaqM,axD
2
B33
D2
2
6
7
D33
????
????
点：
点：
? 当,a≤x2≤2a 时，为二次曲线；
M2=5qax2-q(x2-a)2/2
? 当,0≤x3≤a时（原点在 B点，方
向向左）,M3为直线
M3=qa2+q.a.x3/6;
典型例题 -1
? 已知,G,a,b,l,画梁 AB内力图
解,1〉求 A,B支座反力 ( a+b=l )
lGbAyF ? l
GaByF ?
2〉求 x截面内力
a) 0<x<a
lGbAyQ FF ??1
xxFM lGbAy ???1
b) a<x<l
lGalGbAyQ GGFF ??????2
)xl()ax(GxFM lGaAy ??????2
典型例题 -1(续 )
? 根据以上条件，画出剪力图、
弯矩图
? 最大剪力 Qmax在 AC(b>a)（ 或
CB,a>b） 段
Qmax=Gb/l
? 最大弯矩在 C截面处
Mmax=Gab/l
? 本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上
构成了一种函数关系，这种关系称为 剪力方程 和 弯
矩方程； 即：
FQ=FQ(x) Mc=M(x)
典型例题 -2
? 简支梁受力偶作用
1,求支座反力 FAY,FBY得：
FAY=- FBY =M/l
2,AC段 X截面处剪力 FQ=Fay,
3,同理可求得 BC段剪力与 AC
段相同，剪力图如左
4,AC段弯矩方程 M1
M1=FAY·x =M ·x /L
5,BC段弯矩方程 M2
M2=FAY · x-M=M(x - L)/L
典型例题 -3
悬臂梁作用均布载荷 q,画出
梁的剪力图和弯矩图
? 写出 A点 x处截面的剪力
方程和弯矩方程
? 剪力图、弯矩图如右，最
大剪力、弯矩均发生在 B
点，且
xqF Q ??? xqM ??? 21
qlM
qlF
m ax
m axQ
2
1?
?
M,FQ与 q的关系
? 设梁上作用任意载荷，坐标
原点选在 A点（左端点形
心），现分析剪力、弯矩与
载荷集度的关系。
? 取 x处一小段 dx长度梁，如图，由平衡方程
得：
∑ Fy=0; FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0…………(a)
∑M C=0; M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0……(b)
在上式中略去高阶微量后，得
q ( x )dx ( x )dF Q ? ( x )F QdxdM ?
q ( x )dxd F Qdx Md 22 ??
使用关系式画 FQ,M图
q(x)=0的区间 q(x)=C的区间 集中力 F作用处 力偶 M作用处
FQ 图 水平线 q(x)>0,斜直线，斜率 >0q(x)<0,斜直线，斜率 <0 有突变突变量 =F 无影响
M 图
FQ >0,斜直线，斜率 >0
FQ <0,斜直线，斜率 <0
FQ =0,水平线，斜率 =0
q(x)>0,抛物线，上凹
q(x)<0,抛物线，下凹
FQ =0,抛物线有极值
斜率由突变
图形成折线 有突变突变量 =M
例题 -7
? M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m
解,求 A,B处支反力
FAY=3.5kN;FBY=14.5KN
剪力图：如图，将梁分为三段
AC,q=0,FQC= FAY
CB,q<0,FQB=-8.5kN
BD,q<0,FQB=6kN
弯矩图：
AC,q=0,FQC>0,直线,MC=7KN.M
CB,q<0,抛物线,FQ=0,MB=6.04
BD,q<0,开口向下,MB=-6kN.m
作业 (解答 )
作业 2004.3.25
? 14-5 (c)
? 14-8 (c)
14-5（ c） 解答
AC:
FQAC=-qx; |FQACmax|=qa/2
MQAC=-qx2/2; |MQACmax|=qa2/8
BC:(B点为圆点,x向左 ）
FB=qa/2-qa/8=3qa/8
FQBC=qx-FB=q(8x-3a)/8
FQBC=0,x=3a/8
MBC=q(3ax-4x2)/8;
MBC|x=3a/8=9qa2/128>0;
MBC|x=3a/4=0
21289 aq?
14-8（ c） 解答
A,B支反力：
FA=qa/2; FB=5qa/2
AB段,q<0； 斜直线（左上右下）
A点,FQA=FA=qa/2；
B点,FQB=FA-2qa=-3qa/2
D点,FQAB=0； x=a/2
BC段,q=0； 直线（水平）
C点,FQC=F=qa=FQB
弯矩图,AB段,q<0； 抛物线，上凸
A点,MC=0，
D点,MD= FA a/2 –q.a2/8=qa2/8
B点,MB=FA.2a-2qa2=-qa2；
BC段,q=0 直线（左下右上）
MC=0,MB=-F.a=-qa2
D
第 15章 杆件的应力与变形总第十四讲
? 第一讲
? § 15-1轴向拉压杆件的应力与变形
? 第二 讲
? § 15-2扭转圆轴的应力与应变
? 第三讲
? § 15-3弯曲梁的正应力
? 第四讲
? § 15-4弯曲梁的切应力
? § 15-5弯曲梁的变形
第一讲 轴向拉压
? § 15-1轴向拉压杆件的应力与变形
? 杆件轴向拉压时横截面上的应力
? 杆件轴向拉压时的轴向变形与变形公式
? 横向变形与泊松比
横截面上的应力
? 平面假设
?杆件的横截面在变形后仍保持为平面，
且垂直于杆的轴线。
1,横截面上各点只产生沿垂直于横截面方
向的变形，故横截面上只有正应力。
2,两横截面之间的纵向纤维伸长都相等，
故横截面上各点的正应变都相等；根据
胡克定律，其正应力也相等，即横截面
上的正应力均匀分布。
?杆件轴向拉压时横截面上正应力计算公
式
A
Fσ N?
FN—轴 力
A---横截面面积
σ 的正负号与 FN相同；即拉伸为正压缩为负
例 15-1
? 一中段开槽的直杆如图，受轴向力 F作用；已知,F=20kN，
h=25mm,h0=10mm,b=20mm； 试求杆内的最大正应力
解,求轴力 FN;
FN=-F=-20kN=-20x103N
求横截面面积：
A1=bh=20x25=500mm2
A2=b(h-h0)=20x(25-10)=300mm2
求应力
由于 1-1,2-2截面轴力相同，所以最大应
力应该在面积小的 2-2截面上
ζ= FNA = -20X103300 =-66.7MPa （ 负号表示为压应力）
轴向变形
设等截面直杆原长 l0,截面面积 A0,在轴力 F作用下，其长度变
为 l1,截面面积变为 A1； 其轴向绝对变形 △ l和轴向（相对变形）
线应变 ε分别为：
△ l=l1-l0
0
01
0
ε l lll l ??? △
直杆横截面上的正应力：
AFAF N ??σ
当应力不超过某一值时,正应力与线应变满足胡克定律,ζ=Eε
由以上可以得到：
EA
lFl N?△ 式中 EA称为杆件的抗拉压刚度
此式称为 拉压变形公式
横向变形与泊松比
如果等直杆在变形前后的横向尺寸为,b0,b1； 那么其横向绝
对变形和横向线应变分别为 △ b和 ε’;
△ b=b1-b0 ε’= △ b /b0
实验表明：杆件轴向拉伸时，横向尺寸减小,ε’为负 ；
杆件轴向压缩时，横向尺寸增大,ε’为正；
可见,轴向线应变 ε 和横向线应变 ε ’恒为异号
实验还表明：对于同一种材料，当应力不超过某一极限时，
杆件的横向线应变 ε’与轴向线应变 ε之比为一负常数：
即,?????,或
?
???,
比例系数 ν 称为泊松比，是量刚为一的量
例 15-2 p241
? 一板状试样如图，已知,b=4mm,h=30mm,当施加 F=3kN的拉力时，测
的试样的轴向线应变 ε=120x10-6,横向线应变 ε’=-38x10-6； 试求试样材料的
弹性模量 E和泊松比 ν
解,求试件的轴力 F
N=F=3kN;
横截面面积 A=bh=120mm2,
横截面上的应力 ζ=F/A
)(251 2 0103 3 M P axAF N ????
根据胡克定律 ζ=Eε得：
泊松比：
3 1 6 701 2 038101 2 0 1038 66,xx,??????? ?????
( G P a )332 0 812 102 5 0 0101 2 0 25 36,E xx ???? ???
例 15-3 p241
钢制阶梯杆如图所示；已知轴向力 F1=50kN,F2=20kN,杆各段长
度 l1=120mm,l2=l3=100mm,杆 AD,DB段的面积 A1,A2分别是 500
和 250mm2,钢的弹性模量 E=200GPa,试求阶梯杆的轴向总变形和
各段线应变。
解：画出杆件的轴力图
求出个段轴向变形量
AC段：
CD段：
DB段：
mmEA LFl N 333111 103650010200 1201030 ?????? ?????△
mmEA LFl N 333333 10402 5 0102 0 0 1 0 01020 ????? ????△
总变形：△ l=(-36+20+40)x10-3=0.024mm
由 ε=△ L/L得：
ε1= -300x10-6
ε2= 200x10-6
ε3= 400x10-6
mmEA LFl N 333222 10205 0 0102 0 0 1 0 01020 ????? ????△
作业
? P269
? 15-5
第二讲 扭转圆轴的应力和变形
? 一、圆轴扭转时横截面上的应力
? 切应变、切应力
? 切应力分布
? 圆轴的扭转变形计算公式
? 截面的几何性质
? 二、圆轴扭转时的变形
? 应力计算 例 15-4
总第 15讲
一、圆轴扭转时横截面上的应力
? 平面假设,圆周扭转变形后各个横截
面仍为平面，而且其大小、形状以及
相邻两截面之间的距离保持不变，横
截面半径仍为直线
? 横截面上各点无轴向变形，
故横截面上没有正应力。
? 横截面绕轴线发生了旋转式
的相对错动，故横截面上有
剪应力存在。
? 各横截面半径不变，所以剪
应力方向与截面径向垂直
推断结论：
切应变、切应力
? 横截面上任意一点的切应变
γρ与该点到圆心的距离 ρ成正
比
由剪切胡克定律可知：
当切应力不超过某一极
限值时，切应力与切应变
成正比。即：
dxdGG ??? ??? ?????
dxd?? ?? ??dxdR ?? ??
横截面上任意一点的切应力 ηρ的大小与该点到圆心的距
离 ρ成正比，切应力的方向垂直于该点和转动中心的连线
切应力分布
? 根据以上结论：
? 扭转变形横截面上的切
应力分布如图 a)所示
扭矩和切应力的关系：
? ? TdA???
如图 b)所示：
微面积 dA上内力对 o点的矩为
dM=ρτρdA
整个截面上的微内力矩的合
力矩应该等于扭矩
即：
圆轴的扭转变形计算公式
由推导的结论式
? ? ??? TIGdAGdA pdxddxd ??? ??? 2
dxdGG ??? ??? ?????
? ? TdA???
可以得到：
或：
pGI
T
dx
d ??
变形计算公式
于是有：
?? ?
PI
T?
扭转变形横截面
任意点切应力计算公式 外边缘
最大切应力计算公式
pp W
Tr
I
T ???
m a x?
截面的几何性质
? 极惯性矩 Ｉ p
扭转截面系数 Ｗ p
dAdAI Ap ?? ?? 22 ??
r
IW p
p ?
4
16
4
32
2.0
1.0
4
4
dW
dI
d
p
d
p
??
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?43416
444
32
12.01
11.01
3
4
??
??
?
?
????
????
DW
DI
D
p
D
p D
d??
其中 d为圆截
面直径（ d,D
为圆环内外径）
二、圆轴扭转时的变形
dxGITd
p
??
由扭转变形计算公式可以计算出，
两个相距 dx的横截面绕轴线的相
对角位移，即相对扭转角 d?
rad
对于相距 L的两个横截面间的相对
扭转角 ?可以通过积分求得,dxdl l GIT p? ??? 0?? rad
对于等截面圆轴，若在长度为 l的
某两个截面之间的扭矩均为 T,那
么该两截面的相对扭转角为 pIG
lT
?
??? rad
单位长度相对扭转角 θ
pIG
T
l ???
?? rad/m
应力计算 例 15-5
在图示传动机构中，功率从 B轮输
入，再通过锥齿轮将一半传递给铅
垂轴 C,另一半传递给水平轴 H。
若已知输入功率 P1=14kW,水平轴 E
和 H的转速 n1=n2=120r/min,锥齿
轮 A和 D的齿数分别为 z1=36,z2=12，
图中 d1=70,d2=50,d3=35.求各轴
横截面上的最大切应力,
分析：
此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横
截面上的切应力，必须求得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。
由题意可知,E,H,C轴所传递的功率分
别为,P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kW.
E,H轴转速为 120r/min,由传动比可计算出
C轴的转速为,n3=(z1/z2)n1 =3n1=360r/min
再通过公式,nWM 9 5 4 9?
可以求得各轴所
受到的外力矩
M1
M2
M3
例 15-5 (续 )
解,1、求各轴横截面上的扭矩：
)(1 1 1 41 2 0149 5 4 99 5 4 9
1
111 mNnPMT ?????E 轴：
)(557120 79 5 4 99 5 4 9
2
222 mNnPMT ?????H 轴：
)(7.185360 79 5 4 99 5 4 9
3
333 mNnPMT ?????C 轴：
2、求各轴横截面上的最大切应力：
)(24.16702.0 101114 3 3
1
1m a x M P aW T
P
E ??
????E 轴：
)(28.22502.0 10557 33
2
2m a x M P aW T
P
H ??
????H 轴：
)(66.21352.0 107.185 3 3
3
3m a x M P aW T
P
C ??
????E 轴：
应力计算 习题 15-10,11
如图所示,已知,M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;
AB=200mm;BC=250mm,?AB=80mm,?BC=50mm,G=80GPa
1,求此轴的最大切应力
2,C截面相对于 A截面的扭转角 ?CA；
3,相对扭转角 ?AB,?BC；
解：
1、求最大切应力
扭矩图如左：
TAB=-5kN.m;
TBC=-1.8kN.m
根据切应力计算公式
M P aWT
AB
AB
AB 83.48802.0
105
3
6
m a x ???
?????
M P aWT
BC
BC
BC 72502.0
108.1
3
6
m a x ???
?????
15-11续
2、求 C截面相对 A截面的扭转角
扭转角计算公式：
? ? )(1005.310801.01080 102 00105 3439
33 r a d
GI
LT
p AB
ABABBA ?
?
? ???
????
???????
? ? )(10510501.01080 10250108.1 3439
33 r a d
GI
LT
P B C
BCBCCB ?
?
? ???
????
???????
)(1005.810)505.3( 33 r a dCBBACA ?? ????????? ???
C截面相对 A截面的扭转角为：
3、相对扭转角为：
)/(100.2
102 5 0
105
)/(105 2 5.1
102 0 0
1005.3
2
3
3
2
3
3
mr a d
L
mr a d
L
BC
BC
CB
AB
BA
AB
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
???
?
?
???
?
?
?
?
本节要点
扭转圆轴的切应力计算公式：
?? ?
pI
T? 最大切应力公式
pW
T?
m a x?
扭转圆轴的横截面
上切应力分布规律 相对扭转角
dxGITd
p
??
单位长度相对扭转角
)( mr a d
pGI
T
l ??
??
pGI
Tl?? )(180180 mpGI Tl ????? ????
作业
? P269
? 15-9
? 15-13
总第 16讲
? 第三讲 弯曲梁正应力
? 弯曲正应力公式
? 弯曲梁截面的最大正应力
? 惯性矩的平行轴定理
? 平行轴定理应用举例 1
? 平行轴定理应用举例 2
? 弯曲正应力计算 习题 15-14p271
? 作业
第三讲 弯曲梁正应力
平面弯曲
横力弯曲
纯弯曲
剪力 FQ≠0
弯矩 M ≠ 0
剪力 FQ=0
弯矩 M ≠ 0
纯弯曲,平面假设,梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的
轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度
总第 16讲
弯曲正应力公式
纯弯曲正应力公式推导：
如上图 1,2得纵向变形：
???
????? y
d
ddy
dx
dxbb ?????? )(''
根据胡克定律，可知：
???
yEE ??
由图 3得：
几何关系
物理关系
MdAy ?? ? 即 ??? zEIdAyEdAyM ??? ?? 2
对照以上各式，得,y
I
M
z
?? 其中,Iz为截面对 z轴的惯性矩
弯曲梁截面的最大正应力
由正应力公式可知，弯曲梁截面上的最大正
应力应该在其上下边缘：即 |y|的最大值处, m a xm a x yIM
z
??
引入弯曲截面系数 Wz=Iz/ymax,最大正应力公式为：
zW
M?
m a x?
惯性矩计算：
A 定义式,dAyI
z ?? 2
B 积分式,??
Az dAyI
2
矩形截面 Iz的计算：
如图
12)(
3
22 2
2
bhb d yydAyI
Az
h
h ??? ? ??
6
2
2m a x
bhI
y
IW
h
zz
z ???
惯性矩的平行轴定理
由惯性矩的定义式可知,组合截面对某轴的惯性矩，等于其组成部分对同一轴惯性矩的代数和
即,Iz=Iz1+Iz2+…+Izn=∑Izi
设某截面形心在某坐标系的坐标为 (a,b),
如图，则其对坐标轴的惯性矩为：
AbII zcz ??? 2对于 z轴的惯性矩：
AaII ycy ??? 2对于 y轴的惯性矩：
平行轴定理应用举例 1
工字形截面梁尺寸如图，求截面对 z轴的惯性矩。
解,可以认为该截面是由三个矩形截面构成，所以：
Iz=Iz1+Iz2+Iz3
（ -） （ +）（ +）
)(102 4 33 10912 904012 4443331 mmbhI z ???????
)(1067.1703 10812 804012 4443332 mmbhI z ???????
)(1053.86 10812 80212 4433333 mmbhI z ???????1 2
3
Iz=Iz1+Iz2+Iz3=(243-170.67+8.53)x104=80.86x104 (mm4)
平行轴定理应用举例 2
求图示截面对 z轴的惯性矩
解,截面可分解成如图组合，
A1=300x30=9000mm2
A2=50x270=13500mm2
yc1=-75-15=-90mm
yc2=135-75=60mm
A1,A2两截面对其型心轴的惯性矩为,
I1cz=300x303/12=0.675x106mm4
I2cz=50x2703/12=82.0125x106mm4
由平行轴定理得：
I1z= I1cz+yc12A1=0.675x106+902x9000=73.575x106mm4
I2z= I2cz+yc22A2= 82.0125x106+602x13500=130.61x106mm4
Iz=I1z+I2z=(73.575+130.61)x106=204x106mm4,
A1
A2
弯曲正应力计算 习题 15-14p271
已知,ζA=40MPa(拉 ),y1=10mm; y2=8mm; y3=30mm
求,1) ζB,ζD ； 2) ζmax(拉）
解,ζA=40MPa(拉 ),y1=10mm;
由公式：
A
z
A yI
M??
A
A
z yI
M ??
由于 A点应力为正，因此该梁上半部
分受拉，应力为正，下半部分受压，
应力为负，因此有：
m a x
m a xyyyyIM
D
D
B
B
A
A
z
???? ?????
3 2 M P a40108σyyσ A
A
BB ????
M P a1 2 0-401030σyyσ A
A
DD ??????
最大拉应力在上半部边缘
M P a60401015σyyσ A
A
m a xm a x ????
??
作业
? P269
? 15-15
总第 17讲
? § 15-4 弯曲梁的切应力
? § 15-5 弯曲梁的变形
§ 15-4弯曲梁的切应力总第 17讲
? 横力弯曲时，梁的横截面上切应力
分布。
? 横力弯曲时，
梁的横截面
上切应力计
算公式
例 15-11
如图所示，已知 6120柴油机活塞销的外径 D=45mm,内径
d=28mm,活塞销上的载荷作用尺寸 a=34mm,b=39mm,连
杆作用力 F=88.4kN。 求活塞销的最大正应力和最大切应力。
解：
活塞销所受的载荷简化为均布载
荷，其均布集度为
mkNbFq 331 1027.21039 4.88 ????? ?
mkNaFq 332 1030.110342 4.88 ?????? ?
剪力图如例 15-11 b）
FQmax=44.2kN
弯矩图如例 15-11 c)
Mmax=1.18kN.m
(continue)
? ? ? ? 36344528343 1075.76.7746)(1451.0)(11.0 mmmDW Ddz ??????????
已知活塞销截面为薄壁圆环，那么：
22222 68.9744/)2845(4/)( mmdDA ????? ??
活塞销的最大正应力为弯矩最大处，即销子中心点：
M P aWM
z
32.15 26.77 46 1018.1 6m a xm a x ?????
由切应力近似计算公式可以得出，活塞销的最大切应力为：
M P aAF 7.9068.974 102.4422 3m a xm a x ??????
§ 15-5 弯曲梁的变形
? 梁弯曲变形的概念
挠度 ----梁的横截面形心在垂直雨
量轴线方向的位移称为挠度，
用 w表示。
正负规定：图示坐标中上正下负
转角 ----梁的横截面相对于变形前
后初始位置转过的角度，用 θ
表示。
正负规定：逆时针为正，反之为负
挠曲线 ----梁在弹性范围弯曲变形
后，其轴线变成一条光滑连
续曲线，称为挠曲线，其表
示式为
转角 θ与挠度 w的关系
如图所示：
θ≈tan θ=dw(x)/dx=w’
即：横截面的转角近似等于挠
曲线在该截面处的斜率
w=w(x)
积分法求梁的变形
? 积分法求梁的变形
挠曲线公式简单推导
zEI
xM
x
)(
)(
1 ?
?
由前可知,而在数学中有,? ?
2
32)'(1
''
)(
1
w
w
x ????
略去高阶无穷小，得到：
zEI
xMw )('' ? 挠曲线近似微分方程
积分后：
? ??? CdxEI xMdx xdw
z
)()(?
? ? ??? DxCdxEI xMw
z
))((
式中的积分常数 C,D由
梁的 边界条件 和 连续条
件 确定
积分法求梁的变形举例
习题 15-20,q=8kN/m,l=2m,E=210GPa,求 θmax，
wmax； 解,求 A,B支座反力
FA=FB=ql/2=8kN
写出梁的弯矩方程（如图 b)：
M(x)=FAx-qx2/2=(qlx/2)-qx2/2
EIzw’’=M(x)=q(l-x)x/2-------------------(1)
CqxqlxwEI z ??? 6/4/' 32
积分后得到,
DCxqxq l xwEI z ???? 24/12/ 43
CONTINUE
习题 15-20（续）
)(1065.7101 66 0102 1024 210824 489 333m a x r a dEIql
z
?
? ???????
???????
)(1078.41 66213 84 6 40101 66 0102 103 84 210853 845 489 434m a x mEIqlw
z
?
? ???????????
???????
FINE
边界条件,x=0,w=0； D=0； x=l,w=0； C=-ql3/24
由（ 1）可知：
θmax 为 M(x)=0的点；即 x=0 和 x=l 处（ A,B端点）
θmax=θAmax=－ θBmax=C/(EIzz)=－ (ql3)/(24EIzz)
w=－ qx(l3+x3－ 2lx2)/(24EIz)；
w’=0； x=l/2； w x=l=－ 5ql4/(384EIz)
叠加法求梁的变形
? 叠加法求梁的变形
? 叠加法
? 当梁受多个载荷作用时，梁的变形是每个独立载荷作用时
变形的叠加。
? 理论基础
? （略）参见教材 P261
? 常见简单载荷作用下梁的变形
? 教材 P261。
叠加法求梁的变形举例习题 15-22
? 用叠加法求图示梁 B截面的
转角和 C截面的挠度
z
b
z
Bb
EI
Ml
w
EI
Ml
l
16;
3
2
2
??
??
z
c
z
Bc
EI
Fl
w
EI
Fl
l
48;
16
3
2
2
??
??
叠加结果为
)316(
48
FlM
EI
l
z
BcBbB
??
?? ???
)3(
48
2
FlM
EI
l
www
z
CcCbC
???
??
查表
作业
? P272
? 习题 15-21
总第 18讲
? 16-1材料拉压时的力学性能
? 16-2轴向拉压时斜截面上的应力
§ 16-1材料拉压时的力学性能
? 低碳钢拉伸时的力学性能
? 试件
? 仪器
? 压力实验机
? 游标卡尺
? 应力应变曲线
? 比例极限 ζp
? 弹性极限 ζe
? 屈服极限 ζs
? 抗拉强度 ζb
滑移线
颈缩
伸长率和断面收缩率
? 伸长率 ?断面收缩率
? 塑性材料,δ ≥5%
? 脆性材料,δ＜ 5%
%100
0
01 ???
L
LL?
?铸铁拉伸
? 铸铁等脆性材料在拉伸时，
变形很小，应力应变曲线图
没有明显的直线部分，通常
近似认为符合胡克定律。其
抗拉强度 ζb是衡量自身强度
的唯一指标。
%1 0 0
0
01 ???
A
AA?
Ψ时衡量材料塑性的
一个重要指标
低碳钢和铸铁压缩时的力学性能
? 低碳钢压缩 ?铸铁压缩
名义屈服极限
? 对于没有明显屈服阶段的塑性材料，在工程上常
以 卸载后产生 0.2%的残余应变的应力作为屈服应
力, 称为 名义屈服极限, 用 ζP0.2来表示
? 冷作硬化
? 对于这种对材料预
加塑性变形，而使
其比例极限或弹性
极限提高，塑性变
形减小的现象称之
为 冷作硬化。
§ 16-2轴向拉压时斜截面上的应力
? 轴向拉压横截面正应力计算公式
? ζ=F/A
? 对于和横截面有夹角的斜截面，
其面积之间有关系式
A=Aαcosα
如图 2,pα=F/ Aα=ζcosα
? 将 pα向斜截面法向和切
向分解，可得到：
ζα=pαcosα
τα=pαsinα
如图 3所示
图 1
图 2
图 3
斜截面上应力公式
? 即斜截面上应力公式为：
)2c o s1(2c o s 2 ????? ? ???
正应力公式为：
?????? ? 2s i n2s i nc os ??
切应力公式为：
? 由以上公式可以看出：
? 在横截面上，即 α=00 时
σα=σmax=σ； τ=0
?对于如铸铁这种脆性材料，其抗
拉能力比抗剪能力差，故而先被
拉断
?对于低碳钢这种塑性材料，其抗
拉能力比抗剪能力强，故而先被
剪断；而铸铁压缩时，也是剪断
破坏。
? 当 α=450 时：
σα=σ/2； τα=τmax=σ/2
应力状态概念
? 单元体
? 围绕某研究点所截取的一个微小六面体，其三个对应
面上的应力情况，就是该点在空间的应力情况。
? 主平面
? 切应力等于零的平面
? 主应力
? 主平面上对应力的正应力； ζ1＞ ζ2＞ ζ3;
? 应力状态
? 单向应力状态
? 三个主平面上只有一对
主应力不等于零。
? 二向应力状态
? 三向应力状态
广义胡克定律
? 胡克定律
? 当正应力不超过某一极限值时,ζ=Eε; ε’= -
νε；
? 广义胡克定律
? 设三向应力状态下主应力 ζ1方向的伸长应变
ε1’； 主应力 ζ2, ζ3引起 ζ1方向的应变为 ε1’’,
ε1’’’,结合上式并利用叠加原理则有：
ε1=[ζ1-ν(ζ2 +ζ3)]/E； 即：
)]([
1
) ] ;([
1
)]([
1
2133
1322
3211
?????
?????
?????
???
???
???
E
E
E；
这就是 广义胡克定律
二向应力状态斜截面上的应力
? 如图为二向应力状态：
考虑平衡可得到：
???
??
?
???
????
?
?
?
2co s2s i n
2
2s i n2co s
22
x
yx
x
yxyx
?
?
?
?
?
?
?
?
强度理论－第一强度理论
? 强度理论
? 就是关于材料在不同的应力状态下失效的假设
? 第一强度理论（最大拉应力理论） ★★★★
? 只要有一个主应力的值达到单向拉伸时 ζ b,材料就发生屈服；
即,ζ1＝ ζ b； 引入安全系数后，其强度设计准则（强度条件）
为：
ζr1＝ ζ1≤[ζ]，
? 式中,ζr1称为第一强度理论的相当应力； [ζ]为单向拉伸时
的许用应力
? 实验证明，该强度理论较好地解释了石料、铸铁等脆性材料
沿最大拉应力所在截面发生断裂的现象；而对于单向受压或
三向受压等没有拉应力的情况则不适合。
第二强度理论
? 第二强度理论（最大伸长线应变理论）
? 这一理论认为，最大伸长线应变 ε1达到单向拉伸
的极限值 ε1jx,材料就发生脆性断裂；即：
ε1=ε1jx ； 或,ζ1-ν（ ζ2 + ζ3 ） /E = ζb/E；
? 引入安全系数：其强度设计准则为：
ζr2= ζ1-ν（ ζ2 + ζ3 ） ≤[ζ]
式中,ζr2 为第二强度理论的相当应力。
? 实验证明，该强度理论较好地解释了石料、混凝
土等脆性材料受轴向拉伸时，沿横截面发生断裂
的现象。但是，其实验结果只和很少材料吻合，
因此已经很少使用。
第三强度理论－最大切应力理论
? 第三强度理论（最大切应力理论） ★★★★
? 材料无论处在什么应力状态下，只要最大切应力 τmax达到
了单向拉伸时切应力屈服极限 τs (= ζs /2)；材料就出现屈
服破坏，即：
τmax ＝ (ζ1－ ζ3)/2;τs=ζs/2
其强度设计准则为：
ζr3=ζ1－ ζ3≤[ζ]
式中,ζr3 称为按第三强度理论计算的相当应力
? 实验证明，这一理论可以较好的解释塑性材料出现塑性
变形的现象。但是，由于没有考虑 σ2的影响，故按这一
理论设计构件偏于安全。
第四强度理论
? 第四强度理论（形状改变比能理论）
? 这一理论认为，形状改变比能 Ux是引起材料发生屈服破
坏的原因。也就是说，材料无论处在什么应力状态下，
只要形状改变比能 Ux达到材料在单向拉伸屈服时的形状
改变比能 Uxs,材料就发生屈服破坏。即,(p291)
Ux=Uxs
其强度条件为：
式中,ζr4是按第四强度理论计算的相当应力。
? 实验证明，第四强度理论比第三强度理论更符合实验结
果，因此在工程中得到广泛的应用。
? ? ? ????????? ??????? 2132322214 )()()(21r
强度理论的适用范围
? 在三向拉伸应力状态，无论是脆性材料还是塑性材料，
都会发生断裂，应采用最大拉应力理论，即第一强度
理论。
? 在三向压缩应力状态，无论是脆性材料还是塑性材料，
都会屈服破坏裂，适于采用形状改变比能理论或最大
切应力理论，即第四或第三强度理论。
? 一般而言，对脆性材料宜采用第一、第二强度理论。
? 一般而言，对塑性材料宜采用第三、第四强度理论。
总第 19讲
? § 17-1杆件的强度设计准则
? 强度失效判断
? 当构件承受的载荷达到一定的大小时，其材
料就会在应力状态最危险的一点处发生 强度
失效 。其表现形式如：铸铁拉伸和扭转时的
突然断裂、低碳钢拉伸、压缩、扭转时产生
的较大的塑性变形等。
? 建立材料的失效判据，是通过对材料的有限
试验完成的。如低碳钢材料在拉伸和压缩时，
以出现显著塑性变形的屈服极限 ζs或以出现
断裂的抗拉强度 ζb作为材料的失效判据；而
铸铁材料在拉伸和压缩时，以出现破坏的抗
拉强度 ζ b作为材料的失效判据。
许用应力和安全系数
? 许用应力
? 在工程实际中，为了保证受力构件的安全，用大于 1的
系数除以失效极限应力，做为构件工作应力的极限值，
成为许用应力，记做 [ζ]：
? ? ? ?
b
b
s
s nn ???? ?? ；或
? ?
b
bnσσ ?
? 对于塑性材料：
? 对于脆性材料：
? ? ? ?
b
b
s
s nn ???? ?? ；或? 对于扭转时强度失效判断则有：
其中 ns,nb称为塑性材料和脆性材料的 安全系数
强度设计计算
? 杆件的强度设计
? 危险截面,可能最先出现强度失效的
截面称为危险截面。
? 危险点,可能最先出现强度失效的点
称为危险点。
? 强度设计的计算内容：
? 校核强度
? 选择截面尺寸
? 确定许可载荷
§ 17-2轴向拉压杆件的强度设计
? 拉压杆的强度设计准则为
? 拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的，而且各点
均为单向应力状态，根据材料的失效判据，拉压杆
的强度设计准则为：
][)( m a xm a x ?? ?? AF N
式中
? ζmax为拉压杆横截面上的最大工作应力
? [ζ]为材料的许用应力
1,对于塑性材料 [ζ]= ζs/ns
2,对于脆性材料
? [ζ]拉 = ζb拉 /nb;
? [ζ]压 = ζb压 /nb；
总第 20讲 拉压杆强度设计
? 对于等截面杆，其强度准则可以写成
][m a xm a x ?? ?? AF N
1、强度校核 ][m a x ?? ?
2、选择截面尺寸
][
m a x
?
NFA ?
3、确定许可载荷
][m a x ??? AF N
例 17-1－ 强度校核
某铣床工作台的近给液压缸如
图示，缸内工作压力 p=2MPa，
液压缸内径 D=75mm，活塞杆直
径 d=18mm，已知活塞杆材料的
许用应力 [σ]=50MPa，试校核
活塞杆的强度。
解：
求活塞杆的轴力,NdDpApF N 322 1033.8)(4 ?????? ?
横截面上的应力为,][7.32
18
1033.8
2
4
3 ??
? ???
??? M P a
A
F N
活塞杆强度足够
注：在工程中，允许工作应力大于许用应力但不可超出 5％。
例 17-2－选择截面尺寸
习题 17－ 3，
已知,h=2b,F=40kN，
[ζ]=100MPa；
试设计拉杆截面尺寸 h,b。
解：
求出拉杆的轴力 FN;
FN=F=40kN
拉杆的工作应力 ζ＝ FN/A
根据强度准则，有 ζ≤[ζ],即 A≥FN/[ζ]； 而 A=hb=2b2
所以,2b2≥40× 103/100=400mm2
求得,b ≥14.14mm； h=2b=28.28mm
考虑安全，可以取 b=15mm,h=30mm
结束
例题 17-3－确定许可载荷
如左图，已知：
木杆面积 A1=104mm2,[σ]1=7MPa
钢杆面积 A2=600mm2,[σ]2=160MPa,
确定许用载荷 [G]。
解：
1、求各杆的轴力
如图 b)列平衡方程，得 ∑Fx=0 － FN1－ FN2cos30
0=0
∑Fy=0 FN2sin300－ G=0
求解上式，得,FN1= － 1.73G,FN2=2G
2、用木杆确定 [G]
由强度准则,σ1 =FN1/A1≤ [σ]1
得,G≤ [σ]1 A1 /1.73=40.4kN
3、校核钢杆强度
即,σ2 =FN2/A2= 2G/A2=80.8× 103/600
=134.67MPa<[σ]2
强度足够，故许可载荷 [G]=40.4kN 结束
总第 21讲－弯曲梁的强度计算
? 梁在弯曲变形时，其截面上既有正应力也有切应
力，故有：
][)( m a xm a x ?? ??
zW
M 和 ][
m a x ?? ?
对于等截面梁，可以写成,][m a x
m a x ?? ??
zW
M
对于脆性梁，其抗拉、抗压性
能不等时，应分别予以设计。
?
?
? ???
?
?
???
?? ][
m a x
m a x ??
zI
yM
??? ???
?
???
?
?? ][
m a x
m a x ??
zI
yM
通常在设计计算时，先以弯曲正应力强度准则设计出截
面尺寸，然后按照弯曲切应力强度准则进行校核。
? 弯曲正应力
例 17－ 6 强度校核
图示 T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力 [ζ]＝ 30MPa,许用
压应力 [ζ]＝ 60MPa,截面尺寸如图。截面对形心轴 z的惯性
矩 Iz＝ 763mm4,且 y1=52cm。 试校核梁的强度。
分析：
1、画出梁的弯矩图（确定最
大弯矩及其所在截面）
2、求出梁的最大拉应力和最
大压应力值
3、校核强度
解：
1、求支座反力,FA=2.5kN； FB=10.5kN，
画出弯矩图如 b),最大正弯矩在 C点，
最大负弯矩在 B点，即：
C点为上压下拉，而 B点为上拉下压
FA FB
例 17－ 6（续 1）
2、求出 B截面最大应力
最大拉应力（上边缘）：
最大压应力（下边缘）：
27,26M P a10763 52104 4
6
1 ?
?
??????
z
B
B I
yM?
M P a13.641076 3 88104 4
6
2 ?
?
??????
z
B
B I
yM?
例 17－ 6（续 2）
3、求出 C截面最大应力
最大拉应力（下边缘）：
最大压应力（上边缘）：
M P a83.821076 3 88105.2 4
6
2 ?
?
??????
z
C
C I
yM?
M P a04.17107 63 52105.2 4
6
1 ?
?
??????
z
C
C I
yM?
由计算可见：
最大拉应力在 C点且 ζCmax=28.83MPa<[ζ]＋ =30MPa
最大压应力在 B点且 ζBmax=46.13MPa<[ζ] － ＝ 60MPa
故梁强度足够
例 17－ 7 梁的截面设计
简支梁 AB如图所示，已知：
[ζ]=160MPa,[η]=100MPa,a=0.2m，
l=2m,F=200kN，
试选择工字钢型号。
FA FB
解,1、计算梁的约束力 FA,FB;
由于机构对称，所以 FA=FB=210kN
2、画出梁的剪力图
可以看出 FQmax=FA=FB=210kN
3、画出梁的弯矩图，其最大弯矩在
梁的中点，计算得,Mmax=45kN.m
4、应用梁的弯曲正应力准则选择截
面尺寸：
σmax ＝ (Mmax/Wz)≤[σ]
例 17－ 7续
变形可以得出：
3366 25.2 8 1102 8 1 2 5.0
1 6 0
1045
][ cmmm
MWz ??????
?
查附录 C选取 22a工字钢，其 Wz=309cm3;h=220mm;d=7.5mm； t=12.3mm。
校核梁的切应力强度：工字钢腹部切应力最大，对应面积 A1=(h-
2t)d； 则有：
1 00 M P a][1 43, 3 M P a5.7)3.1222 20( 102 10 3
1
m a x
m a x ??????
??? ??
A
F Q
由于切应力大出其许用应力很多，故再选大一号，选 22b并校核其切
应力强度。相应尺寸,h=250,d=10,t=13,那么：
10 0M P a][93, 75 M P a10)13225 0( 1021 0 3
1
m a x
m a x ??????
??? ??
A
F Q
切应力强度足够，故选 22b号工字钢
fine
总第 22讲
? 如图所示为一台钻床，分析其立
柱上截面 m-m的内力。
截面法：
将立柱假想从 m-m处截开；
分析可知，截面 m-m上有内力：
FN－ 轴力和 M－ 弯矩
称此变形为拉（压）弯组合变形。
拉弯组合变形强度计算
对于如上所述的组合变形，通常其强度计算采用叠加原理。
即横截面上任意一点的正应力为：
z
N
I
yM
A
F ????? m a x
弯拉 ???
注意：
塑性材料
脆性材料
拉弯组合强度计算
例 17－ 8
? 上钻床的钻削力 F=15kN,偏心距 e=0.4m,立柱为铸铁材
料，其直径 d=125mm,许用拉应力 [ζ]＋ ＝ 35MPa,许用压
应力 [ζ]－ ＝ 120MPa,试校核立柱强度
解：
2.最大拉应力：
3.最大压应力：
求立柱 m-m截面的轴力 FN和弯矩 M：
FN=F=15kN； M=F.e=15× 0.4＝ 6kN.m
则有：
3 0, 7 2 MP a
1 2 51.0
106
1, 2 2 MP a
1 2 5
1015
3
6
m a x
2
4
3
?
?
?
??
?
?
?
??
z
N
W
M
A
F
弯
拉
?
?
?
M P aM P a 35][94.3122.172.30m a x ??????? ?? ???? 拉弯
M P aM P a 120][5.2922.172.30m a x ??????? ?? ???? 拉弯
立柱强度足够
例 17－ 10
钢板如图所示，试校核强度（不考虑应力集中影响）
已知,F＝ 80kN,b=80,t=10,δ=10,
[ζ]=140MPa
解：如图 b)； FN＝ F=80kN,
e＝ b/2－ (b-t)/2=80/2－ (80-10)/2=5
M=FNe=400kN.mm
FN引起的应力
1 1 4, 3 MP a)1080(10 1080)( 3 ??? ????? tb FAF NF ??
M引起的应力
4 8, 9 8 M P a
6
)1080(10
51080
6
)( 2
3
2 ???
???
?
???
tb
eF
W
M
z
M ??
例 17－ 10（续）
因此，最大拉应力为（上缺口最低点）：
M P aM P a
MF
140][3.163
98.483.114m a x
???
?????
?
???
下边缘应力为：
)(3.65
98.483.114m a x
拉应力M P a
MF
??
??????? ???
讨论：
显然，钢板的强度不够；引起应力增大
的原因是偏心距造成的。因此，解决此
类问题就是消除偏心距，如左：
正应力分布图如下：
MPaMPatb FAF N 140][3.133)10280(10 1080)2( 3m a x ?????? ????? ???
总第 23讲
? 纯扭圆轴横截面切应力分布
? 圆轴扭转的强度设计准则
? 等截面圆轴扭转的强度设
计准则
][
m a x
m a x ?? ????
?
???
??
PW
T
][m a xm a x ?? ??
PW
T
[η]为许可切应力；
通常，对于塑性材料
[η]＝（ 0.5~0.6) [ζ]；
对于脆性材料：
[η]＝（ 0.8~1.0) [ζ]
扭转圆轴强度设计
例 17－ 11
? 某传动轴所传递的功率 P=80kW,其转速 n=580prm,直径 d=55mm,材料
的许可切应力 [τ]=50MPa, 试校核轴的强度。
解：传动轴的外力偶矩为：
1 31 7, 1 N,m5 80809 54 99 54 9 ???? nPM
工作切应力的最大值：
5 0 MP a][3 9, 5 8 MP a552.0 101.1 3 1 72.0 3 33m a x ???? ???? ?? dMWp T
强度足够！
例 17－ 12
? 汽车传动轴由 45＃ 无缝钢管制成。已知,[τ ]=60MPa,若钢管的外径
D＝ 90mm,管壁厚 t=2.5mm,轴所传动的最大扭矩 M=1.5kN.m.试,1、
校核传动轴的强度； 2、与同性能实心轴的重量比。
解,1、校核强度
])(1[2.0
105.1
)1(2.0 423
6
43m a x
D
tDP DD
M
W
T
??
??
??? ??
带入数据后得,τ max＝ 50.33MPa<[τ ]＝ 60MPa;强度足够
2、设计实心轴直径 D1（ 两轴的最大工作切应力相等 )
mm
T
D
D
T
W
T
P
03.53
3.502.0
105.1
2.0
2.0
3
6
3
m a x
3m a x
?
?
?
??
??
?
? ；即3、两轴重量比
21.3
8590
53
22
2
22
2
1
2
1
?
?
?
?
??
dD
D
LA
LA
G
G
空心轴
实心轴
弯扭组合变形
传动机构传动轴
如图 17-13e为轴 CE段横截面的
应力分布；边缘上 a点为截面
的危险点,a点的应力状态为
二向应力状态，如图 f）
弯扭组合强度计算准则
? 强度公式推导：
? 由应力公式（参考教材 P287 <16-10>）
22
m i n
m a x )
2(2 x
yxyx ?????
?
? ?????
??
? 得,? ?22
3
1 4
2
1 ???
?
? ???
??
?
? 第三强度理论：
? ζr3 =ζ1-ζ3≤[ζ] 得,? ????? ??? 22
3 4r
? 第四强度理论：
?, ? ?
? ????????? ??????? 2132322214 )()()(21r
得,? ????? ??? 22
4 3r
用内力表示的强度准则
通常考虑到：;2;; WzWpWTWM
pZ
??? ??
则：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
][
75.0
][
22
4
22
3
??
??
Wz
TM
Wz
TM
r
r
其中：
2222 75.0 TMTM ?? 和 称为应用第三和
第四强度理论进行强度计算时所对应的相当弯矩
应用第三强度理论时：
应用第四强度理论时：
注意：
? 传动轴为塑性材料
? 传动轴为中心对称的圆轴
例 17-13
图示为圆轴 AB,在轴的右端联轴器
上作用有一力偶 M。 已知,D=0.5m，
F1=2F2=8kN,d=90mm,a=500mm,[σ]
＝ 50MPa,试按第四强度理论设计
准则校核圆轴的强度。
解,简化机构如图 b),计算相应值：
M1=(F1-F2)D/2=1kN.m
分别画出轴的扭矩图和弯矩图 c),d)
可以看出 C截面为危险界面。
由第四强度准则，；强度足够！M P aM P a
Wz
TM
r
50][83.42
901.0
)101(75.0)103(75.0
3
262622
4
???
?
???????
?
?；强度足够！MPaMPa
Wz
TM
r
50][4 3, 4
901.0
)101()103(
3
262622
3
???
?
??????
?
?
例 17-14
已知,F1=5kN,F2=2kN,a=200,b=60,
d0=100,D=160,α=20 0;[σ]=80MPa;
按第三强度理论设计轴的直径 。
解,1、画出受力图如 b)
2、空间力系投影法
xy面：如 c),画出弯矩图如 d)
求得,MCz=35N.m
MBz=420N.m
17-14(续 )
xz面：如图 e),画出弯矩图如 f)
求得,MCy=480N.m
3、扭矩图如图 h)
T=240N.m
4、危险点为 C点：
mNTT
mNMMM
C
CZCYC
.240
.3.48135480 2222
??
?????
5、设计轴径：
由第三理论得：
)(1023.67801.0 )10240()103.481(][1.0 332323223 mmTMd CC ??? ????? ?? ?
所以：
4 2 m md;7.401023.673 3
?
???
取：
mmd
总第 24讲
? 轴向拉伸杆件：
][ lEA lFl N △△ ??
式中,[△ l]为轴向拉伸的许可伸长量或缩短量
? 平面弯曲梁：
][
][
m a x
m a x
??
??
?
?
式中,[ω]为许用挠度； [θ]为许用转角。
? 扭转变形圆轴：
)]([
1 8 0
)]([
m a x
m a x
m a x
m a x
m
P
m
r ad
P
GI
T
GI
T
。；或
?
?
?
??
????
?
?
??
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
式中,[θmax]为许用扭转角。
杆件的刚度准则与刚度设计
例 17-15 P317
? 飞机系统中的钢拉索，其长度为 l=3m,承受拉力 F=24kN,弹性模
量 E=200GPa,需用应力 [σ]=120MPa,要求钢拉索在弹性范围内
的许用伸长量 [△ l]=2mm,试求其横截面面积至少应该为多少？
解,钢拉索发生轴向拉伸变形，其轴力为 FN=F=24kN
23 200
120
1024
][ mm
FA N ????
?
1,由等截面轴向拉伸杆件的强度设计准则，
得：
2
3
33 180
210200
1031024
][ mmlE
lFA N ?
??
?????
△
2,由轴向拉压杆件的刚度设计准则，
得：
综合上列强度和刚度设计结果，钢拉索的横截面面积
至少应该为,200mm2
例 17-16
? 如图所示阶梯轴，已知,d1=40mm,d2=55mm,MC=1432.5N.m，
MA=620.8N.m。 轴的许用单位长度扭转角 [θ]=20/m,许用切应力
[η]=60MPa,切变模量 G=80GPa,试校核轴的强度和刚度。
解,由阶梯轴的计算简图 b)画出轴
的扭矩图 c),得出 AB,BC段的扭矩
mNMTmNMT CBCAAB,5.1432.8.620 ???? ；
显然，在 AB段上 AD段各个截面是危
险截面，其最大切应力为：
M P aW T
p AD
ABAD 5.48402.0 108.620 3 3m a x ?? ????
BC段的最大切应力为：
M P aWT
p BC
BCBC 05.43552.0 105.1432 3 3m a x ?? ????
整个轴的最大切应力
所以轴的强度足够
M P aM P aAD 60][5.48m a xm a x ???? ???
例 17-16(续）
刚度校核
AD段的单位长度扭转角
mp A DABAD GI T ?737.114.304.01.01080 1808.620180 49 ????? ???? ??
BC段的单位长度扭转角
mPBCBCBC GI T ?121.114.3055.01.01080 1805.1432180 49 ????? ???? ??
因此，轴的最大单位长度扭转角
mmAD ?? 2][7 3 7.1m a x ???? ???
所以，轴的刚度足够
例 17-17
? 图示为一等截面空心机床主轴的平面简图，已知其外径 D=80mm,
内径 d=40mm,AB跨度 l=400mm,BC段外伸 a=100mm,材料的弹性
模量 E=210GPa;切削力在该平面上的分力 F1=2kN,齿轮啮合力在
该平面上的分力 F2=1kN,若主轴 C端的许用挠度 [ω]=0.01mm，
轴承 B出的许用转角 [θ]=0.001rad,试校核机床的刚度。
解,机床主轴发生弯曲变
形，其惯性矩为：
46
4124
4
4
1088.1
80
40
1
64
1080
)1(
64
m
D
I z
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
图 b)为主轴的计算简图，利用
叠加原理，计算出 F1,F2单独
作用在主轴时 C端的挠度。
例 17-17（续 1）
? F1单独作用时 C端的挠度
如图 c),由表 15-3查得 (p261)
m108, 4 4 3
88.1213
10
1088.1102 1 03
10)1 0 04 0 0(101 0 0102
3
)()(
6-
3
69
3623
2
1
1
??
??
?
????
???????
??
?
?
??
z
FC EI
alaF?
? F2单独作用时 C端的挠度
如图 d),由表 15-3查得 (p261)B点
的转角，由几何关系得：
m102, 5 3 3
88.12116
1016
1088.1102 1 016
101 0 0104 0 0101
16
)(
6-
4
69
3623
2
2
2
???
??
???
????
???????
??????
?
?
??
a
EI
lFa
z
BFC ??
? C端的挠度
0, 0 1 m m][6 m m00.0102, 5 3 3 )443.8()()( -621 ???????? ???? mFCFCC
? F1单独作用时 B点的转角
如图 c),由表 15-3查得 p261
m106, 7 5 4
88.1213
1080
1088.1102 1 03
104 0 01 0 0102
3
)(
5-
4
69
63
1
1
??
??
??
????
?????
?
?
?
?
z
FB EI
alF?
? F2单独作用时 B点的转角
如图 d),查表得
m102, 5 3 3
88.12116
1016
1088.1102 1 016
104 0 0101
16
)(
5-
3
69
623
2
2
2
??
??
???
????
?????
??
?
?
?
z
FB EI
lF?
? B点的转角
0, 0 0 1 r a d][104, 2 2 110)533.2754.6()()( -5-521 ????????? ???? r a dFBFBB
如上计算可知，主轴满足刚度要求。
例 17-17（续 2）
总第 25讲
? 工程上常用于联结构件的
螺栓、铆钉、销钉和键等
称为 联结件
? 常见联结件的失效形式：
? 剪切和挤压
? 连接件的假定计算：
? 假定应力是均匀分布在
剪切面和积压面上
联接件的假定计算
剪切的假定计算
? 假定：切应力均匀分布在剪切面上
? 切应力计算公式：
A
F Q??
FQ —为剪切面上的剪力；
A —为剪切面面积
? 剪切强度设计准则,][?? ??
A
F Q
[η]—为材料的许用切应力，可由试验得到；通常在剪切假定计算
时，可以参考拉伸许用应力 [ζ],如钢材 [η]=(0.75)~(0.8)[ζ]
挤压的假定计算
? 有效积压面面积
? 挤压接触面为平面
? 挤压接触面为曲面
? 挤压应力
bc
bc
c A
F??
? 挤压强度设计准则
][ c
bc
bc
c A
F ?? ??
Fbc－ 为挤压力
Abc－ 为有效积压面面积
[σ]－ 为需用积压应力
焊接缝的假定计算
? 切应力作用面面积,
? Amin=δlcos450
?45co sl
F
A
F QQ
??? ??
? 强度准则,
][45co s2 ??? ???? ?l FAF Q
[η]为焊缝材料的许用切应力
胶粘接缝的假定计算
? 假定：
?假定垂直于胶粘接缝方向和沿接缝方向的应力都同时满足
ζ ≤[ζ]； 其中,[ζ]＝ ζb/nb；
η ≤[η]； 其中,[η]＝ ηb/nb；
σb,τb分别为胶粘接缝破
坏时的 抗拉强度 和 抗剪
强度 ；通常由垂直于接
缝方向的拉伸试验和平
行于接缝方向的剪切试
验确定。
总第 26讲
? 提高弯曲梁承载能力的措施
? 提高弯曲梁强度的措施
? 合理安排载荷和支座
? 选择合理的截面形状
提高杆件承载能力的措施
总第 26讲－ 1
? 注意：
? 对拉压强度不同的脆
性材料，宜采用上下
不对称于中性轴的截
面，中性轴位置偏向
受拉一侧
? 等强度梁－－变截面梁
圆轴扭转
? 提高圆轴扭转承载能力的措施
? 合理安排轮系
? 选用空心轴
思考题
1,矩形截面梁的横截面高度增加到原来的两倍，截
面的抗弯能力将增大到原来的几倍？矩形截面梁
的横截面宽度增加到原来的两倍，截面的抗弯能
力将增大到原来的几倍？
2,钢梁和铝梁的尺寸、约束、截面、受力均相同，
其内力、最大弯矩、最大正应力及梁的最大挠度
是否相同？
Thanks!
圆、环的 Ip的计算
o
d ρ
dA
32
2
2
4
0
3
0
22
2
2
πd
d ρρπ
π ρ d ρ )(ρdAρI
d
d
Ap
??
??
?
? ?
对于圆环，上积分式变为：
? ? ? ?4
4
44
32
1
3232
2
2
2
?
??
????
????
?? ??
D
dD
ddAI
D
dAp
弯扭组合横截面应力分布图
