工程力学讲义
弯曲内力
机械基础教研室
冯迎辉
? 平面弯曲的概念
? 弯曲的内力及符号规定
? 弯曲内力图
? 本节小结
本 节 内 容
弯曲的概念
? 弯曲变形 是指杆的轴线
由直线变成曲线，以弯
曲变形为主的杆件称为
梁 。
? 梁的 受力特点 是在轴线
平面内受到力偶矩或垂
直于轴线方向的外力的
作用。
弯曲变形
平面弯曲
?如果梁上所有的外
力都作用于梁的 纵
向对称平面 内，则
变形后的轴线将在
纵向对称平面内完
成一条平面曲线。
这种弯曲称为平面
弯曲。
?梁的截面形状
?梁的平面弯曲
梁的简化
简支梁
? 一端为活动铰链支座，另
一端为固定铰链支座
外伸梁
?一端或两端伸出支
座之外的简支梁
悬臂梁
?一端为固定端，另一
端为自由端的梁
弯曲梁的内力
剪力 FQ
ΣFF Q ?
)Σ M c (M F?
采用截面法
弯矩 M
梁内力的正负号规定
从梁的变形角度
剪力：顺时针为正，逆时针为负
弯矩：上凹为正，下凹为负
例题 1— 求弯曲内力
已知简支梁受均
布载荷 q作用，梁
的跨度为 L，求梁
的 1-1,2-2截面的
内力。
续例 1
解：求解约束反力
由于载荷支座均
对称，
所以
FA=FB=qL/2
续例 1
4
qL
4
LqFF
A1Q ????
1-1截面：
2
A1 qL32
3
8
L
4
Lq
4
LFM ??????
符号均为正
续例 1
2-2截面：
02LqFF A2Q ????
2
A2 qL8
1
4
L
2
Lq
2
LFM ??????
符号为正
剪力和弯矩方程概念
qx2qLqxF)x(F AQ ????
如图，取任一截面 m-m，
距离 A端 x
则 m-m截面内力为
2
A x2
qx
2
qL
2
xqxxF)x(M ??????
—— 剪力方程
—— 弯矩方程
(0≤x≤L)
(0≤x≤L)
剪力图画法
据剪力方程和弯矩方程
可画内力图
qx2qLqxF)x(F AQ ????
剪力方程
A点,x=0,FQA=qL/2
中点,x=L/2,FQ=0
B点,x=L,FQB=-qL/2
弯矩图画法
弯矩方程
2
A x2
qx
2
qL
2
xqxxF)x(M ??????
A点,x=0,MA=0
中点,x=L/2,M=qL2/8
B点,x=L,MB=0
剪力、弯矩图
M,FQ与 q的关系
? 设梁上作用任意载
荷，坐标原点选在 A
点（左端点形心），
通过分析可得到剪力、
弯矩与载荷集度的关
系。
M,FQ与 q的关系
取 x处一小段 dx长度梁
由平衡方程得：
∑Fy=0：
FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0
∑MC=0：
M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0
在上式中略去高阶微量后，
得
M,FQ与 q的关系
q ( x )dx ( x )dF Q ? (x )F QdxdM ?
q( x)dxdFdx Md Q22 ??
使用关系式画 FQ,M图
q(x)=0的区间 q(x)=C的区间 集中力 F作用处 力偶 M作用处
FQ 图 水平线 q(x)>0,斜直线，斜率 >0q(x)<0,斜直线，斜率 <0 有突变突变量 =F 无影响
M 图
FQ >0,斜直线，斜率 >0
FQ <0,斜直线，斜率 <0
FQ =0,水平线，斜率 =0
q(x)>0,抛物线，上凹
q(x)<0,抛物线，下凹
FQ =0,抛物线有极值
斜率由突变
图形成折线 有突变突变量 =M
q( x)dxdFdx Md Q22 ??
例题 2— 画剪力图和弯矩图
已知外伸梁,M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m
解,求 A,B处支反力
02/aqa3Ma3F
0)F(M
Ay
B
?????
??,
0qa3FF
,0F
AyBy
y
???
??
FAy=3.5kN；
FBy=14.5KN
续例 2— 剪力图
如图，将梁分为三段
AC,q=0,FQC= FAY
CB,q<0,FQB=-8.5kN
BD,q<0,FQB=6kN
续例 2— 弯矩图
AC,q=0,FQC>0,直线,MC=7KN.M
CB,q<0,抛物
线,FQ=0,MB=6.04KN.m
BD,q<0,开口向下,MB=-6kN.m
续例 2— 剪力图和弯矩图
从图上可以很清楚地
看出三者之间的微分
关系
例题
? 例题 3 画出简支梁受集中力作用的剪力图和弯矩图
? 例题 4 画出简支梁受集中力偶作用的剪力图和弯矩图
? 例题 5 画出悬臂梁受均布载荷和集中力作用的剪力图和弯矩图
? 例题 6 画出简支梁受均布载荷作用的剪力图和弯矩图
小 结
1.平面弯曲的概念
2.剪力和弯矩符号的规定
3.利用三者的微分关系画内力图
本节结束,返回
弯曲内力
机械基础教研室
冯迎辉
? 平面弯曲的概念
? 弯曲的内力及符号规定
? 弯曲内力图
? 本节小结
本 节 内 容
弯曲的概念
? 弯曲变形 是指杆的轴线
由直线变成曲线，以弯
曲变形为主的杆件称为
梁 。
? 梁的 受力特点 是在轴线
平面内受到力偶矩或垂
直于轴线方向的外力的
作用。
弯曲变形
平面弯曲
?如果梁上所有的外
力都作用于梁的 纵
向对称平面 内，则
变形后的轴线将在
纵向对称平面内完
成一条平面曲线。
这种弯曲称为平面
弯曲。
?梁的截面形状
?梁的平面弯曲
梁的简化
简支梁
? 一端为活动铰链支座，另
一端为固定铰链支座
外伸梁
?一端或两端伸出支
座之外的简支梁
悬臂梁
?一端为固定端，另一
端为自由端的梁
弯曲梁的内力
剪力 FQ
ΣFF Q ?
)Σ M c (M F?
采用截面法
弯矩 M
梁内力的正负号规定
从梁的变形角度
剪力：顺时针为正，逆时针为负
弯矩：上凹为正，下凹为负
例题 1— 求弯曲内力
已知简支梁受均
布载荷 q作用，梁
的跨度为 L，求梁
的 1-1,2-2截面的
内力。
续例 1
解：求解约束反力
由于载荷支座均
对称，
所以
FA=FB=qL/2
续例 1
4
qL
4
LqFF
A1Q ????
1-1截面：
2
A1 qL32
3
8
L
4
Lq
4
LFM ??????
符号均为正
续例 1
2-2截面：
02LqFF A2Q ????
2
A2 qL8
1
4
L
2
Lq
2
LFM ??????
符号为正
剪力和弯矩方程概念
qx2qLqxF)x(F AQ ????
如图，取任一截面 m-m，
距离 A端 x
则 m-m截面内力为
2
A x2
qx
2
qL
2
xqxxF)x(M ??????
—— 剪力方程
—— 弯矩方程
(0≤x≤L)
(0≤x≤L)
剪力图画法
据剪力方程和弯矩方程
可画内力图
qx2qLqxF)x(F AQ ????
剪力方程
A点,x=0,FQA=qL/2
中点,x=L/2,FQ=0
B点,x=L,FQB=-qL/2
弯矩图画法
弯矩方程
2
A x2
qx
2
qL
2
xqxxF)x(M ??????
A点,x=0,MA=0
中点,x=L/2,M=qL2/8
B点,x=L,MB=0
剪力、弯矩图
M,FQ与 q的关系
? 设梁上作用任意载
荷，坐标原点选在 A
点（左端点形心），
通过分析可得到剪力、
弯矩与载荷集度的关
系。
M,FQ与 q的关系
取 x处一小段 dx长度梁
由平衡方程得：
∑Fy=0：
FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0
∑MC=0：
M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0
在上式中略去高阶微量后，
得
M,FQ与 q的关系
q ( x )dx ( x )dF Q ? (x )F QdxdM ?
q( x)dxdFdx Md Q22 ??
使用关系式画 FQ,M图
q(x)=0的区间 q(x)=C的区间 集中力 F作用处 力偶 M作用处
FQ 图 水平线 q(x)>0,斜直线，斜率 >0q(x)<0,斜直线，斜率 <0 有突变突变量 =F 无影响
M 图
FQ >0,斜直线，斜率 >0
FQ <0,斜直线，斜率 <0
FQ =0,水平线，斜率 =0
q(x)>0,抛物线，上凹
q(x)<0,抛物线，下凹
FQ =0,抛物线有极值
斜率由突变
图形成折线 有突变突变量 =M
q( x)dxdFdx Md Q22 ??
例题 2— 画剪力图和弯矩图
已知外伸梁,M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m
解,求 A,B处支反力
02/aqa3Ma3F
0)F(M
Ay
B
?????
??,
0qa3FF
,0F
AyBy
y
???
??
FAy=3.5kN；
FBy=14.5KN
续例 2— 剪力图
如图，将梁分为三段
AC,q=0,FQC= FAY
CB,q<0,FQB=-8.5kN
BD,q<0,FQB=6kN
续例 2— 弯矩图
AC,q=0,FQC>0,直线,MC=7KN.M
CB,q<0,抛物
线,FQ=0,MB=6.04KN.m
BD,q<0,开口向下,MB=-6kN.m
续例 2— 剪力图和弯矩图
从图上可以很清楚地
看出三者之间的微分
关系
例题
? 例题 3 画出简支梁受集中力作用的剪力图和弯矩图
? 例题 4 画出简支梁受集中力偶作用的剪力图和弯矩图
? 例题 5 画出悬臂梁受均布载荷和集中力作用的剪力图和弯矩图
? 例题 6 画出简支梁受均布载荷作用的剪力图和弯矩图
小 结
1.平面弯曲的概念
2.剪力和弯矩符号的规定
3.利用三者的微分关系画内力图
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