扭 转 切 应 力 计 算
西安航专机械基础教研室
刘 舟
? 工程中承受切应力的构件
主 要 内 容
? 扭转内力 —— 扭矩
? 扭转切应力分析与计算
传动轴
工程中承受切应力的构件
工程中承受切应力的构件
工程中承受切应力的构件
破坏形式演示 A B
扭转切应力由扭矩产生
?扭转时的内力称为 扭矩,截面上的扭矩
与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。
?扭矩求解仍然使用截面法
扭矩正负规定：右手法则
外力偶矩与功率和转速的关系
T=9549
P(kW)
n(r/min)(N.m)
扭 矩 和 扭 矩 图
主动轮 A的输入功率 PA=36kW,从动轮 B,C,D输出功率分别为
PB=PC=11kW,PD=14kW,轴的转速 n=300r/min.试传动轴指
定截面的扭矩
解,1)由扭矩、功率、转速关系式求得
MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.m
MB=MC=350N.m； MD=446N.m
2)分别求 1-1,2-2,3-3截面上的扭矩，
即为 BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图
a),b),c);均有 ∑ Mx=0 得：
T1+MB=0 T1=-MB= -350N.m
MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m
MD-T3=0 T3=MD=446N.m
? 圆轴扭转时的变形特征
? 圆轴扭转时横截面上的切应力分析
扭转切应力分析
变形特征
扭转后圆截面保
持为圆平面，
原半径直线仍保
持为直线
? 平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为
平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之
间的距离保持不变，横截面半径仍为直线
? 横截面上各点无轴向变形，
故横截面上没有正应力。
? 横截面绕轴线发生了旋转式
的相对错动，故横截面上有
剪应力存在。
? 各横截面半径不变，所以剪
应力方向与截面径向垂直
推断结论：
????? ddx)(
dx
d
)(
?
????
设距离轴线为 ?处
的切应变为 ?(?)，
由几何关系得到：
物理关系与应力分布
剪切胡克定律
?＝ G ?
物理关系与应力分布
?＝ G ? ＝ G ? d?dx
静力学方程
??
A
? (?)dA=Mx
切应力公式
d?
dx ＝
Mx
GIp Ip=?A ?
2 dA
GIp— 扭转刚度
Ip — 截面的极惯性矩
切应力公式
? (?)＝ Mx?I
p
? 圆轴扭转时横截面上的切应力
圆轴扭转时横截面上的最大切应力
当 ? ＝ ? max 时,?＝ ? max
? max=
Mx
Wp Wp= ? max
Ip
Wp? 扭转截面系数
圆轴扭转时横截面上的最大切应力
截面图形的几何性质
? 极惯性矩 Ｉ p
扭转截面系数 Ｗ p
dAdAI Ap ?? ?? 22 ??
r
IW p
p ?
4
16
4
32
2.0
1.0
4
4
dW
dI
d
p
d
p
??
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?43416
444
32
12.01
11.01
3
4
??
??
?
?
????
????
DW
DI
D
p
D
p D
d??
其中 d为圆截
面直径（ d,D
为圆环内外径）
Ip＝ ?D
4
32 ( 1-?
4 ) ?=d / D
对于圆环截面
截面的极惯性矩与 扭转截面系数
Ip＝ ?d
4
32 Wp=
?d 3
16
Ip＝ ?D
4
32 ( 1-?
4 ) Wp= ?D
3
16 ( 1-? 4 )
?=d / D
对于实心圆截面
对于圆环截面
应力计算例 1
如图所示,已知：
M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;
AB=200mm;BC=250mm,?AB=80mm,
?BC=50mm,G=80GPa。 求此轴的
最大切应力
解：
扭矩图如左：
TAB=-5kN.m;
TBC=-1.8kN.m
根据切应力计算
公式
M P aWT
AB
AB
AB 83.48802.0
105
3
6
m a x ???
?????
M P aWT
BC
BC
BC 72502.0
108.1
3
6
m a x ???
?????
应力计算例 2
在图示传动机构中，功率从 B轮输
入，再通过锥齿轮将一半传递给铅
垂轴 C,另一半传递给水平轴 H。
若已知输入功率 P1=14kW,水平轴 E
和 H的转速 n1=n2=120r/min,锥齿
轮 A和 D的齿数分别为 z1=36,z2=12，
图中 d1=70,d2=50,d3=35.求各轴
横截面上的最大切应力,
分析：
此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横
截面上的切应力，必须求得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。
由题意可知,E,H,C轴所传递的功率分
别为,P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kW.
E,H轴转速为 120r/min,由传动比可计算出
C轴的转速为,n3=(z1/z2)n1 =3n1=360r/min
再通过公式,nWM 9 5 4 9?
可以求得各轴所
受到的外力矩
M1
M2
M3
例 2（续）
解,1、求各轴横截面上的扭矩：
)(1 1 1 41 2 0149 5 4 99 5 4 9
1
111 mNnPMT ?????E 轴：
)(557120 79 5 4 99 5 4 9
2
222 mNnPMT ?????H 轴：
)(7.185360 79 5 4 99 5 4 9
3
333 mNnPMT ?????C 轴：
2、求各轴横截面上的最大切应力：
)(24.16702.0 101114 3 3
1
1m a x M P aW T
P
E ??
????E 轴：
)(28.22502.0 10557 33
2
2m a x M P aW T
P
H ??
????H 轴：
)(66.21352.0 107.185 3 3
3
3m a x M P aW T
P
C ??
????E 轴：
已知, P＝ 7.5kW,n=100r/min,许用切应力 ???＝ 40MPa,
空心圆轴的内外径之比 ? = 0.5。
求, 实心轴的直径 d1和空心轴的外径 D2。
圆轴扭转时横截面上的切应力 例题 3
解, PMx=T=9549 n 7.5= 9549 ? 100
=716.2 N.m
?max= W
p1
16 MxMx =
? d13 =40 MPa
=0.045 m=45 mmd1= 16 ?716,2?? 40 ? 106
3
? 圆轴扭转时横截面上的切应力例题
?max= =40 MPaW
p2
Mx 16 Mx
=? D
23(1- ? 4)
=0.045 m=45 mmD2 = 16 ?716.2? (1- 0.5 4) ? 40 ? 106
d 2 = 0.5D2=23 mm
A1
A2 =
d12
D22(1- ? 2) =1.28
? 圆轴扭转时横截面上的切应力例题
小 结
?切应力分布
?切应力的计算
?截面图形的几何性质
扭转圆轴的切应力计算公式：
?? ?
pI
T? 最大切应力公式
pW
T?
m a x?
扭转圆轴的横截面
上切应力分布规律
作 业
P270
15-10
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? 工程中承受切应力的构件
主 要 内 容
? 扭转内力 —— 扭矩
? 扭转切应力分析与计算
传动轴
工程中承受切应力的构件
工程中承受切应力的构件
工程中承受切应力的构件
破坏形式演示 A B
扭转切应力由扭矩产生
?扭转时的内力称为 扭矩,截面上的扭矩
与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。
?扭矩求解仍然使用截面法
扭矩正负规定：右手法则
外力偶矩与功率和转速的关系
T=9549
P(kW)
n(r/min)(N.m)
扭 矩 和 扭 矩 图
主动轮 A的输入功率 PA=36kW,从动轮 B,C,D输出功率分别为
PB=PC=11kW,PD=14kW,轴的转速 n=300r/min.试传动轴指
定截面的扭矩
解,1)由扭矩、功率、转速关系式求得
MA=9459PA/n=9459X36/300=1146N.m
MB=MC=350N.m； MD=446N.m
2)分别求 1-1,2-2,3-3截面上的扭矩，
即为 BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图
a),b),c);均有 ∑ Mx=0 得：
T1+MB=0 T1=-MB= -350N.m
MB+MC+T2=0 T2=-MB-MC=-700N.m
MD-T3=0 T3=MD=446N.m
? 圆轴扭转时的变形特征
? 圆轴扭转时横截面上的切应力分析
扭转切应力分析
变形特征
扭转后圆截面保
持为圆平面，
原半径直线仍保
持为直线
? 平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为
平面，而且其大小、形状以及相邻两截面之
间的距离保持不变，横截面半径仍为直线
? 横截面上各点无轴向变形，
故横截面上没有正应力。
? 横截面绕轴线发生了旋转式
的相对错动，故横截面上有
剪应力存在。
? 各横截面半径不变，所以剪
应力方向与截面径向垂直
推断结论：
????? ddx)(
dx
d
)(
?
????
设距离轴线为 ?处
的切应变为 ?(?)，
由几何关系得到：
物理关系与应力分布
剪切胡克定律
?＝ G ?
物理关系与应力分布
?＝ G ? ＝ G ? d?dx
静力学方程
??
A
? (?)dA=Mx
切应力公式
d?
dx ＝
Mx
GIp Ip=?A ?
2 dA
GIp— 扭转刚度
Ip — 截面的极惯性矩
切应力公式
? (?)＝ Mx?I
p
? 圆轴扭转时横截面上的切应力
圆轴扭转时横截面上的最大切应力
当 ? ＝ ? max 时,?＝ ? max
? max=
Mx
Wp Wp= ? max
Ip
Wp? 扭转截面系数
圆轴扭转时横截面上的最大切应力
截面图形的几何性质
? 极惯性矩 Ｉ p
扭转截面系数 Ｗ p
dAdAI Ap ?? ?? 22 ??
r
IW p
p ?
4
16
4
32
2.0
1.0
4
4
dW
dI
d
p
d
p
??
??
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?43416
444
32
12.01
11.01
3
4
??
??
?
?
????
????
DW
DI
D
p
D
p D
d??
其中 d为圆截
面直径（ d,D
为圆环内外径）
Ip＝ ?D
4
32 ( 1-?
4 ) ?=d / D
对于圆环截面
截面的极惯性矩与 扭转截面系数
Ip＝ ?d
4
32 Wp=
?d 3
16
Ip＝ ?D
4
32 ( 1-?
4 ) Wp= ?D
3
16 ( 1-? 4 )
?=d / D
对于实心圆截面
对于圆环截面
应力计算例 1
如图所示,已知：
M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;
AB=200mm;BC=250mm,?AB=80mm,
?BC=50mm,G=80GPa。 求此轴的
最大切应力
解：
扭矩图如左：
TAB=-5kN.m;
TBC=-1.8kN.m
根据切应力计算
公式
M P aWT
AB
AB
AB 83.48802.0
105
3
6
m a x ???
?????
M P aWT
BC
BC
BC 72502.0
108.1
3
6
m a x ???
?????
应力计算例 2
在图示传动机构中，功率从 B轮输
入，再通过锥齿轮将一半传递给铅
垂轴 C,另一半传递给水平轴 H。
若已知输入功率 P1=14kW,水平轴 E
和 H的转速 n1=n2=120r/min,锥齿
轮 A和 D的齿数分别为 z1=36,z2=12，
图中 d1=70,d2=50,d3=35.求各轴
横截面上的最大切应力,
分析：
此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横
截面上的切应力，必须求得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。
由题意可知,E,H,C轴所传递的功率分
别为,P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kW.
E,H轴转速为 120r/min,由传动比可计算出
C轴的转速为,n3=(z1/z2)n1 =3n1=360r/min
再通过公式,nWM 9 5 4 9?
可以求得各轴所
受到的外力矩
M1
M2
M3
例 2（续）
解,1、求各轴横截面上的扭矩：
)(1 1 1 41 2 0149 5 4 99 5 4 9
1
111 mNnPMT ?????E 轴：
)(557120 79 5 4 99 5 4 9
2
222 mNnPMT ?????H 轴：
)(7.185360 79 5 4 99 5 4 9
3
333 mNnPMT ?????C 轴：
2、求各轴横截面上的最大切应力：
)(24.16702.0 101114 3 3
1
1m a x M P aW T
P
E ??
????E 轴：
)(28.22502.0 10557 33
2
2m a x M P aW T
P
H ??
????H 轴：
)(66.21352.0 107.185 3 3
3
3m a x M P aW T
P
C ??
????E 轴：
已知, P＝ 7.5kW,n=100r/min,许用切应力 ???＝ 40MPa,
空心圆轴的内外径之比 ? = 0.5。
求, 实心轴的直径 d1和空心轴的外径 D2。
圆轴扭转时横截面上的切应力 例题 3
解, PMx=T=9549 n 7.5= 9549 ? 100
=716.2 N.m
?max= W
p1
16 MxMx =
? d13 =40 MPa
=0.045 m=45 mmd1= 16 ?716,2?? 40 ? 106
3
? 圆轴扭转时横截面上的切应力例题
?max= =40 MPaW
p2
Mx 16 Mx
=? D
23(1- ? 4)
=0.045 m=45 mmD2 = 16 ?716.2? (1- 0.5 4) ? 40 ? 106
d 2 = 0.5D2=23 mm
A1
A2 =
d12
D22(1- ? 2) =1.28
? 圆轴扭转时横截面上的切应力例题
小 结
?切应力分布
?切应力的计算
?截面图形的几何性质
扭转圆轴的切应力计算公式：
?? ?
pI
T? 最大切应力公式
pW
T?
m a x?
扭转圆轴的横截面
上切应力分布规律
作 业
P270
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