第二章 蒙特卡洛方法 计算机模拟采用的方法来看，它大致可以分为两种类型: (1) 随机模拟方法或统计试验方法，又称蒙特卡洛(Monte Carlo)方法。它是通过不断产生随机数序列来模拟过 程。自然界中有的过程本身就是随机的过程，物理现 象中如粒子的衰变过程、粒子在介质中的输运过程... 等。当然蒙特卡洛方法也可以借助慨率模型来解决不 直接具有随机性的确定性问题。 (2) 确定性模拟方法。它是通过数值求解一个个的粒子运 动方程来模拟整个系统的行为。在统计物理中称为分 子动力学（Molecular Dynamics）方法。关于分子动 力学方法我们将在第六章中介绍。此外, 近年来还发 展了神经元网络方法和原胞自动机方法。 从蒙特卡洛模拟的应用来看，该类型的应用可以分为三种 形式： （1） 直接蒙特卡洛模拟。它采用随机数序列来模拟复杂 随机过程的效应。 （2） 蒙特卡洛积分。这是利用随机数序列计算积分的方 法。积分维数越高，该方法的积分效率就越高。 （3） Metropolis蒙特卡洛模拟。这种模拟是以所谓“马 尔科夫”（Markov）鏈的形式产生系统的分布序列。 该方法可以使我们能够研究经典和量子多粒子系 统的问题。 2．1蒙特卡洛方法的基础知识 一、 基本思想 对求解问题本身就具有概率和统计性的情况，例如中子在介 质中的传播，核衰变过程等，我们可以使用直接蒙特卡洛模拟 方法。该方法是按照实际问题所遵循的概率统计规律，用电子 计算机进行直接的抽样试验，然后计算其统计参数。直接蒙特 卡洛模拟法最充分体现出蒙特卡洛方法无可比拟的特殊性和优 越性，因而在物理学的各种各样问题中得到广泛的应用。该方 法也就是通常所说的“计算机实验”。 蒙特卡洛方法也可以人为地构造出一个合适的概率模型，依 照该模型进行大量的统计实验，使它的某些统计参量正好是待 求问题的解。这也就是所谓的间接蒙特卡洛方法。下面我们举 两个最简单的例子来说明间接蒙特卡洛方法应用的内涵。 巴夫昂(Buffon)投针实验。 该试验方案是：在平滑桌面上划一组相距为s的平行线， 向此桌面随意地投掷长度l s=的细针，那末从针与平行线相交的 概率就可以得到π的数值。 数学统计理论的简单地计算： 设针与平行线的垂直方向的夹角为α，那么针在与平行线垂 直的方向上投影的长度为αcos?l。对于确定的α夹角，细针与平 行线相交的概率为投影长度与平行线间距之比，即 α α cos cos = ? s l 。 由于 α 是在[]π,0区间均匀分布的，所以αcos的平均值为 π αα π π 2 cos 1 0 = ∫ d . 假如在N次投针中，有M次和平行线相交。当N充分大时， 相交的频数NM就近似为细针与平行线相交的概率。因此，我 们得到 M N2 ≈π . 然而，上述投针法得到试验结果的效率和精度都很差。 经过n次投针后得到π值的精度。 设π/2=p np ，则针与平行线相交的次数应满足二项式分布， 其期望值为，方差应为)1( pnp ?。因而 π/2 值的方差为 ，标准误差为 n/)pp 1( ? ( ) n p?1p 。将π/2=p的标准误差改写为 π 的标准误差n/37.2。这意味着试验所得的 π 值的不确定性的范 围如下： 对100次投针为，0.2374 对10,000次投针为，0.0237 对1,000,000次投针为，0.0024。 显然用这种方法比用其它方法计算π值所引起的不确定范围要 大得多。 例: 定积分计算 . ∫ = 1 0 )( dxxfI 0()fx 1≤ ≤ 这时我们可以随机地向正方形内投点，最后统计落在曲线下的 点数M，当总的掷点数N充分大时， NM 就近似等于积分值I。 蒙特卡洛方法的基本思想： 当问题可以抽象为某个确定的数学问题时，应当首先建立一 个恰当的概率模型，即确定某个随机事件A或随机变量X，使 得待求的解等于随机事件出现的概率或随机变量的数学期望 值。然后进行模拟实验，即重复多次地模拟随机事件A或随机 变量X。最后对随机实验结果进行统计平均，求出A出现的频 数或X的平均值作为问题的近似解。这种方法也叫做间接蒙特 卡洛模拟。 二、 随机变量和随机变量的分布 () []duuuuPduug +<′<= . ()ug u+ 称为u的概率分布密度函数，它表示随机变量u’取u到 之间值的概率。 du ()ug 分布函数定义为： G . () ()dxxgu u ∫ ∞? = 则 . () ()duudGug /= 注意：G是一个在区间取值的单调递增函数。通常()u [1,0 ] ( )ug是 归一化的分布密度函数，因而该函数对所有的值范围的积分 值应当为1。 u 三、 随机变量的独立性 假如我们考虑两个随机变量u’和v’的分布，则必须引进这 两个变量的联合分布密度函数 ( )vuh , ，此时带来的数学问题就更 为复杂。 在这种特殊情况下，u’和v’是彼此独立的随 机变量。 () ()(vqupvuh ?=, ) 对于两个以上的变量来说，随机变量独立性的概念就更复杂 了。 如: r和s 是两个均匀分布在[ ]1,0区间的相互独立的随机变 量，由此我们可以构造三个新的变量 () .1mod , , srz sy rx += = = 此时也都是均匀分布在区间 ,,xyz [ ]1,0的随机变量，并且所有的 和组合都是独立的(括号内任一个变量值的选取 并不对括号中另一个变量的取值有影响)。但是( )中，任 意两个变量的值可以确定出第三个变量的值。此时它们之间存 在明显的相关性。 ()yx, ()zy,, (zx, ) ,,xyz 四、 期望值、方差和协方差 一个函数的数学期望值是定义为该函数的平均值 ()uf ′ {} () () ( ) ( )duugufudGuffE ∫∫ == . {} ()duuf ab fE b a ∫ ? = 1 . 类似地，可以定义变量u′的期望值为u的平均值 { }()( )duuuguudGuE ∫∫ ==′ . 一个函数或变量的方差: V{} {}(){}{}[]dGfEffEfEf 2 2 ∫ ?=?= . 方差的平方根叫做标准误差。由于标准误差与其真值有相同 的量纲，因而它比方差更具有物理意义。 如果将求期望值和求方差的运算作为算符，我们可以证明出 这些算符作用在随机变量的线性组合式上的一些简单规则。假 如x和y是随机变量，c是一个常数，则 {}{ } { }yExcEycxE +=+ . {}{}{ } { }( ) { }( ){ }xExyEycEyVxVcycx ??++=+ 2 2 V . 期望值算符是一个线性算符，而方差算符是非线性算符。 五、 大数法则和中心极限定理 概率论中的大数法则和中心极限定理是蒙特卡洛方法的基础。 大数法则反映了大量随机数之和的性质。 如果函数在[区间，以均匀的概率分布密度随机地取n 个数，对每个计算出函数值 h ]ba, i u i u ( ) i uh 。大数法则告诉我们这些 函数值之和除以n所得的值将收敛于函数的期望值，即 h () () 1 11 lim lim n b in ann i hu I hudu I nb →∞ →∞ = ≡= ? ∑ ∫ ≡ . 大数法则保证了在抽取足够多的随机样本后，计算得到的积 分的蒙特卡洛估计值将收敛于该积分的正确结果。若要对收敛 的程度进行研究，并做出各种误差估计，则要用到中心极限定 理。 中心极限定理告诉我们：在有足够大，但又有限的抽样数n 的情况下，蒙特卡洛估计值是如何分布的。 该定理指出：无论随机变量的分布如何，它的若干个独立随 机变量抽样值之和总是满足正则分布(即高斯分布)。例如我们 有一个随机变量 η ，它满足分布密度函数()f x。如果我们将个 满足分布密度函数 n ()f x的独立随机数相加： 12 ... nn R η ηη= +++， 则 n R满足高斯分布。高斯分布可以由给定的期望值μ和方差完 全确定下来，通常用 2 σ ( ) 2 ,σμN来表示 () () 2 22 1 ,exp 2 Nx/μ σμ σπ σ ? ? =?? ? ? . 中心极限定理可以给出蒙特卡洛估计值的偏差。如果上面公式 右边积分的期望值为，公式左边用n次抽样的蒙特卡洛估计 值为，标准误差为 I n I σ，则当n充分大时，对任意的(0> )λλ，有 ( ) ( ) 2 /2 1 lim Pr 1 2 t n n ff ob I I e dt nn λ λ σσ λ λα π ? ?→∞ ?? ? ≤?< = =? ?? ?? ∫ . 这说明：该积分的期望值与蒙特卡洛估计值之差在范围 ( ) n f II n σ λ?< 内的概率为α?1，α称为显著水平，α?1称为置信水平。 σ 为 蒙特卡洛估计值的标准误差，{ } nf /V 2 =σ。α与λ的关系可以有 上面积分公式求得。也有专门的数学用表可查。例如取置信水 平1 %99=?α，可以查得3=λ。这可以解释为：不等式3?< n II n σ 成立的概率为。同样1%99 %95=?α时，2=λ。 从上面的分析看到，蒙特卡洛方法的误差与和n有关。为 了减小误差，就应当选取最优的随机变量，使其方差最小。对 同一个问题，往往会有多个可供选择的随机变量，这时就应当 择优而用之。在方差固定时，增加模拟次数可以有效地减小误 差。如试验次数增加100倍，精度提高10倍。当然这样做就增 加了计算的机时，提高了费用。所以在考虑蒙特卡洛方法的精 确度时，不能只是简单地减少方差和增加模拟次数，还要同时 兼顾计算费用，即机时耗费。通常以方差和费用的乘积作为衡 量方法优劣的标准。 2 σ