2．3 任意分布的伪随机变量的抽样 大多数的伪随机数变量并不满足[0，1]区间的均匀分布， 而是具有各种不同形式的分布密度函数。 对一个具有分布密度函数的伪随机变量的抽样是通 过以下步骤来进行的：首先在[0，1]区间抽取均匀分布的伪随 机数列，然后再从这个伪随机数列中抽取一个简单子样，使这 个简单子样的分布满足分布密度函数，并且各个伪随机数 相互独立。实际上只要[0，1]区间上均匀分布的随机数具有好 的独立性，则抽得的简单子样也一定具有和它同样好的独立 性。 )(xf )(xf 因此，对不均匀的伪随机变量抽样的关键问题是如何从均 匀分布的伪随机变量样本中，抽取符合所要求的分布密度函数 的简单子样。 迭加原则: 如果要产生分布密度函数为的随机变量 样本数列，我们可以把变成分布概率密度函数的和的 形式，即： )(xf )(xf ()xh i () ()xhxf i i∑ = 并按其中的分布密度函数( )xh i 进行抽样作为的抽样值，决 定选择哪一个进行抽样的原则是根据 )(xf ()xh i ( )xh i dx ∫ 的积分值作 为权重随机地选择的。这就是蒙特卡洛方法的迭加原则。 在对复杂的分布密度函数的抽样时，伪随机变量抽样的迭 加原则是十分有用的。 A. 离散型分布随机变量的直接抽样 如果离散型随机变量x以概率取值 i p ( ),...2,1=ix i ，则其分布函 数为： . () ∑ ≤ = xx i i pxF 其中应满足归一化条件： i p 1= ∑ i i p。该随机变量的直接抽样方 法如下：首先选取在[0，1]区间上的均匀分布的随机数ξ，然 后判断满足如下不等式 ( ) ( ) jj xFxF <≤ ? ξ 1 的 j 值，与 j 对应的就是所抽子样的一个抽样值，即 j x j x=η 。 该子样具有分布函数 ( ) j xF 。 例: γ 光子与物质相互作用类型的抽样问题。 γ 光子与物质相互作用有三种类型：光电效应、康普顿效 应和电子对效应。其中光电效应和电子对效应为光子吸收过 程。设总截面为 speT σσσσ ++= . 1. 选择均匀分布随机数ξ， 2. 若满足不等式 Ts σσξ /<，则发生康普顿散射； 3. 若满足不等式( ) TesTs σσσξσσ // +<≤，则发生光电效应； 4. 若() Tes σσσξ /+≥，则产生电子对过程。 B. 连续分布的随机变量抽样 一、直接抽样方法 直接抽样法又称为反函数法。设连续型随机变量 η 的分布 密度函数为，在数学上它的分布函数应当为 )(xf . () ()dxxfxF x ∫ ∞? = 得到的即为满足分布密度函数()ξη 1? = F ( )xf 的一个抽样值。 证明： 该子样中 x≤η 的概率为： {} (){}(){} ( ) ()xFdxdxxFpxFpxp xF =?+?=≤=≤=≤ ∫∫ ∞? ? 0 0 1 10ξξη . 优点是使用简单，应用范围较广。 缺点：在分布函数不能从分布密度函数 ()xF ( )xf 解析求出 时，或者求出的函数形式抽样太复杂的情况下，就不能采用这 种方法。 例 对指数分布的直接抽样。 解 指数分布的问题可用于描述粒子运动的自由程，粒 子衰变寿命或射线与物质作用长度等许多物理问题。它的分布 密度函数为 () ? ? ? >> = ? .,0 0,0, 其它 λλ λ xe xf x 它的分布函数为 . () () x x t x edtedttfxF λλ λ ?? ∞? ?=== ∫∫ 1 0 设ξ是[0，1]区间上的均匀分布的随机数，令 ( ) λη ηξ ? ?== eF 1 ， 解此方程得到 (ξ) λ η ??= 1ln 1 . 注意到 ξ?1 和ξ同样服从[0，1]区间的均匀分布，故有 ξ λ η ln 1 ?= . 例 对如下的分布密度函数抽样 γ γ γ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = x x xf 1 0 1 )( ， 1, 0 >≤ γxx . 解 （2.3.9）式的分布密度函数的对应分布函数为 1 0 1)()()( 00 ? ∞+ ? ? ? ? ? ? ?== ∫∫ γ x x dxxfdxxfxF x x x . 在[0，1]区间上的随机抽取均匀分布的随机数 ξ ，令 () 1 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ?== γ ηξ x x F ，解此方程，并考虑到到 ξ?1 和 ξ 都是[0，1] 区间的均匀分布的伪随机数，得到 )1(1 0 ?? = γ ξη x . 二、 变换抽样法 基本思想： 将一个比较复杂的分布的抽样，变换为已经 知道的、比较简单的分布的抽样。 例如,要对满足分布密度函数( )xf的随机变量 η 抽样。如 果要对它进行直接抽样是比较困难的。 如果存在另一个随机变量δ，它的分布密度函数为()yφ， 其抽样方法已经掌握，并且也比较简单. 我们可以设法寻找一 个适当的变换关系。如果 ()ygx = ( )yg 的反函数存在，记为 () ()xhxg = ?1 ()()( ，并且该反函数具有一阶连续导数。 xhxh ′?φ η δη ′′, 21 , gg J 根据概率论的知识，这时满足的分布密度函数为 x ) 。如果函数选得合适，使得满足： ()yg () ()()( )xhxhxf ′?=φ . 抽样步骤：首先对分布密度函数( )yφ抽样得到值δ，然后 通过变换 ()δg= 得到满足分布密度函数( )xf的抽样值。 实际上，直接抽样法是( )yφ为在[0，1]区间上的均匀分布 密度函数的特殊情况下，( ) ( )yy F 1? =g时的变换抽样。因而它是变 换抽样的特殊情况。 二维情况下的变换抽样法与一维的情况完全是类似的。假 如我们要对满足联合分布密度函数 ( )yxf , 的随机变量δη, )v 进行 抽样。如果我们已经掌握了满足联合分布密度函数的随机 变量 (ug , 的抽样方法，则可以寻找一个适当的变换 ， (vugx , 1 = ) ) ) , (vugy , 2 = 函数的反函数存在，记为 ， (yxhu , 1 = . ()yxhv , 2 = 该变换满足如下条件： ),()),(),,(( 21 yxfJyxhyxhg =? . 表示函数变换的雅可比(Jacobi)行列式： y v x v y u x u J ? ? ? ? ? ? ? ? = . 这样就可以通过变换式，由满足分布密度函数的抽样值 ),( vug δη ′′, 得到待求的满足分布密度函数 ( )yxf , 的抽样值 δη, 。 以上的处理要求变换函数和的反函数和具有一阶的 连续非零导数。 1 2 1 2 g g h h 变换抽样的缺点：对具体问题要找到所需要的变换关系式 往往是比较困难的。 正态分布的抽样（变换抽样的具体应用）： 设随机变量η满足正态分布，它的分布密度函数为 () () ? ? ? ? ? ? ? ?= 2 2 2 exp 1 2 1 σ μ σ π x xf . 通常记为 ()xf ( ) 2 ,σμN，其中 μ 和分别是随机变量 2 σ η 的数学 期望值和方差，即 { } μη =E ， { } 2 ση =V . 当时的分布称为标准正态分布，此时的分布密度函 数为 1,0 2 == σμ () { }2/exp 2 1 2 xxf ?= π . 记为。 (1,0N ) 通常我们只需考虑标准正态分布的抽样方法即可。因为假 如随机变量η满足正态分布，随机变量δ满足标准正态分布，则 η 和δ之间满足关系式 μσδη += . 标准正态分布密度函数不能用一般函数解析积分求出分布函 数，因而不能直接应用从均匀分布的抽样值变换到标准正()xF 态分布的抽样值。但是可以采用一个巧妙的办法将两个独立的 均匀分布的随机变量u变换为标准正态分布的随机变量。 这就是做变换： v, yx, sin cos u u () () ? ? ? ?= ?= .2ln2 ,2ln2 vy vx π π 反解上式得到: ()() ()() ? ? ? ? ? ? ? ≡= ≡ ? ? ? ? ? ? +?= ? yxhxyv yxhyxu ,/tan 2 1 , 2 1 exp 2 1 1 22 π 按照概率理论，x 和 y 的联合分布密度函数为 ( ) ( ) ( )()Jyxhyxhgyxf ?= ,,,, 21 . 由于和是独立的均匀分布的随机变量，它们的联合分布密 度函数。可以证明: u v ,u()1=vg () () ? ? ? ? ? ? +?= 22 2 1 exp 2 1 , yxyxf π . 又因为可以写为: (yxf , ) ()()( )yfxfyxf ?=, . 其中 () { }2/exp 2 1 2 xxf ?= π ， () { }2/exp 2 1 2 yyf ?= π . 因此从上式中的任意一式给出的抽样值都满足标准正态分布。 上述正态分布的变换抽样法还可以做些改进，这就是所谓 的Maraglia方法。其抽样过程： （1） 产生[0，1]区间上的独立均匀分布随机数u和v。 （2） 计算。 ()( 22 1212 ?+?= vuw ) 1>w /ln2 wwz （3） 如果，回到步骤（1）；否则，执行（4）。 （4） 计算，取 ()[] 2/1 ?= vzyuzx == , 。 三、 舍选抽样法 舍选法是冯.诺曼(Von Neumann)为克服直接抽样和变换抽 样方法的困难最早提出来的。 基本思想：按照给定的分布密度函数( )xf，对均匀分布的 随机数序列{} n ξ进行舍选。舍选的原则是在( )xf大的地方，保留 较多的随机数 i ξ；在小的地方，保留较少的随机数()xf i ξ，使 得到的子样中 i ξ的分布满足分布密度函数( )xf的要求。 这种方法对分布密度函数( )xf在抽样范围内有界，且其上 界是容易得到的情况，是可以采用的。它使用起来十分灵活， 计算也较简单，因而使用也比较广泛。 这种方法，对在抽样范围内函数值变化很大的时候， 效率是很低的，因为大量的均匀分布抽样点被舍弃了。 ()xf 1. 第一类舍选法 设随机变量η在[a,b]上的分布密度函数为( )xf，的在 区间[a,b]上的最大值存在，并等于 ()xf λ 1 )( max ],[ == ∈ xfL bax 显然这里 ()xfλ 在范围内的取值在[0，1]区间上。 ],[ bax∈ 采用舍选法的步骤为： (a) 选用均匀的[0，1]区间的随机数 1 ξ，构造出[a,b]区间上的 均匀分布的随机数 1 )( ξδ aba ?+=。 (b) 再选取独立的均匀分布于[0，1]区间上的随机数 2 ξ，判断 ()δλξ f≤ 2 是否满足。如满足上面不等式，则执行（c）；如不满足， 则返回到步骤（a）。 (c) 选取δη =作为一个抽样值。 重复上面三个步骤，就可以产生出随机数序列 { } n η ，它满足分布 密度函数。如图(2.3.1)所示，舍选抽样步骤（b）的判断 不等式 ()xf ()δλξ f≤ 2 ，是为了保证随机点( )λξδ /, 2 落在曲线的下 面。因为x 取值在[内的概率等于面积比 ()xf ], dxxx + () () ()dxxf dxxf dxxf b a = ∫ 上述抽样步骤得到的随机数数列是以分布密度函数分 布的。由于随机点( ()xf )λξδ /, 2 落在曲线( )xf以下才被接受，并且所 有产生的点都落在面积(a)bL ?的范围内。 采用该方法的抽样效率为 () ()()abLabL dxxf E b a ? = ? = ∫ 1 . 显然我们希望效率能够越高越好。如果L很大（即具有高 峰），则此舍选抽样效率就不高。 ()xf 例 对随机变量 η 抽样。它的分布密度函数为 () ? ? ? ≤≤ = .,0 ,10,2 其它 xx xf 解 如果用直接抽样法，首先求出分布函数 . () 2 xxF = 抽取在[0，1]区间上的均匀分布的随机数 ξ 。令 . 2 x=ξ 则有 ξ=x . x 为 η 的子样的一个个体。但是开方运算量较大，可改用舍选 法来做。 () 22maxmax ]1,0[]1,0[ ==≡ ∈∈ xxfL xx . 依照第一类舍选法步骤： 1. 依次产生独立的[0，1]区间上的均匀分布的随机数 21 ,ξξ， 2. 判断 () 112 1 ξξξ =≤ f L 是否成立。 3. 若成立，则取 1 ξ=x ； 4. 若上面不等式不成立，可以再产生一组 21 ,ξξ进行重复试验。 但实际上，因为 21 ,ξξ本来就是任意的，如果 12 ξξ ≤ 不成立， 必有 21 ξξ <。所以若 12 ξξ ≤不成立，只要将 1 ξ和 2 ξ互换以下，这个不 等式就必定成立。所以可以取 () 21 ,max ξξ=x . 一般高次幂的情况。设 η 满足分布密度函数 () ? ? ? =∈ = ? .,0 ,...2,1],1,0[, 1 其它 nxnx xf n 用舍选法抽样，依次产生独立的[0，1]区间上的均匀分布的随 机数 n ξξξ ...,, 21 ，则取 () n x ξξξ ,...,,max 21 = . 2．第二类舍选法 假如和同是在)(xh )(xf ]1,0[∈x区域上的分布密度函数，并且 可以写为 )(xf () () )()()()( xhxLgxh xLh xf Lxf ≡?= . 其中L为常数，它要保证1)( ≤xg，即1 )( )( max ]1,0[ >= ∈ xh xf L x 。可视 为另一个随机变量的分布密度函数。 )(xg 抽样步骤： （1） 在[0，1]区间上抽取均匀分布随机数 ξ ，并由分布密 度函数抽样得到 )(xh h η 。 （2） 判别)( h g ηξ ≤不等式是否成立。如果不成立，则返回到步 骤（1）。 （3） 选取 h ηη= 作为服从分布密度函数的一个抽样值。 )(xf 这种方法的抽样效率为。 LE /1= 例 采用第二类舍选抽样法来产生标准正态分布的随机抽样 值。标准正态分布密度函数可以写为 ? ? ? ? ? ? ?= 2 exp 2 1 )( 2 x xf π ( )+∞<<?∞ x 解 由于相应的分布密度函数不存在反函数，故可以采用舍选 法。令 π e L 2 ≡ , , ( x exh ? ≡)( )0 +∞<< x , ()}21exp{)( 2 ??≡ xxg , ( )0 +∞<< x . 由于是x 的偶函数，因而可以在()(xf ),0 +∞区域上抽样后反射到 区间上的抽样值。这样我们可以只考虑)0,(?∞ ),0( +∞ 区域的抽样。 此时在对的抽样中， )()()( xhxLgxf = （1）对的抽样可以用直接抽样法。由 )(xh 1 lnξη ?= h 算出 h η的值， （2）然后产生随机数 2 ξ，判别 )( 2 h g ηξ ≤ 是否成立，也即判断 不等式 是否成立。 2 ξ 2 ln2)1 ?≤(η ? h （3）如不成立，则舍弃，再重新由h直接抽样； )(x （4） 如成立，则抽样值为 h η 。该抽样的效率为 e E 2 π = 。 3． 第三类舍选法 如果分布密度函数可以表示成积分形式 . ∫ ∞? = )( ),()( xh dyyxgLxf 其中是二维随机向量的联合分布密度函数，取 ),( yxg ),( yx )(xh 值在y的定义域上。常数L定义为 . 1),(/1 )( >= ∫∫ +∞ ∞?∞? xh dxdyyxgL 舍取抽样步骤： （1） 由联合分布密度函数抽取( ),( yxg ), yx ηη随机向量值。 （2） 判别( ) xy hηη ≤是否成立。若不成立，返回（1）。 （3） 取分布密度函数的抽样值 )(xf x ηη =。 该方法的抽样效率为1。 L/ 证明： 抽取的子样中x≤η的概率等于在( ) xy hηη ≤条件下， x x ≤η 出现的概率。即 {} (){ } ( ){ } (){} xy xyx xyx hp hxp hxpxp ηη ηηη ηηηη ≤ ≤≤ =≤≤=≤ , () () () () () () 1221 2211 2211 1 1 1 , , , dtdtttgL dtttgdt dtttgdt xth th xth ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∞?∞? ∞+ ∞?∞? ∞?∞? ? ? ? ? ? ? == . 在此，我们应用了贝斯(Bayes)定理。 当x , y 相互独立时，则有( ) ( ) ( )ygxgyxg 21 , =。则 () () ( ) () 12 hx f xLgx gyd ?∞ = ∫ y . 若进一步假定() 10 ≤≤ xh，并且 () 2 1, [0,1] 0, y gy ∈ ? = ? ? 其它 则有，这正好属于第二类舍选法处理的分布密度 函数类型。 )()()( 1 xgxLhxf = 例 各向同性方位角余弦的抽样。 解 此问题可以采用直接抽样法。由[0，1]区间上的均匀分布 随机数ξ产生出[ ]2,0 π的均匀分布随机数πξδ 2=，方位角余弦的 抽样值为δη cos=。但是由于余弦运算量较大，可以改用第三类 舍选法。 ? ? ? ? ? = 1 )(xf π =x y 1 ξ 2 ξ ( g( 1 ξ 2 ξ (xg (g (f π 4 =L h 方位角余弦的分布密度函数为 < ? 其它,0 1, 1 1 2 x x 取独立的在[0，1]区间上均匀分布的随机数 1 ξ和 2 ξ，定义 2 2 2 1 2 2 2 1 ξξ ξξ + ? ， 2 2 2 1 ξξ += 反解公式所示方程得到 ),()1( 2 1 1 yxhxy ≡+= ， ),()1( 2 1 2 yxhxy ≡?= . 现在我们来求出所满足的联合分布密度函数。 ), yx Jyxhyxhfyx ?= )),(),,((), 211 其中为，的联合分布密度函数。由于和均为区间[0， 1]上的独立均匀分布的随机数，因而。联合 分布密度函数的计算结果为： 1 f 1 ξ , yx 2 ξ ,( 2 x 1))),(( 11 =yhhf ), y ? ? ? ? ? <<< ? = 其它 当 ,0 ,10,1, 14 1 ), 2 yx x yx . 可以得到 ∫ ∞? = 1 ),( 4 ) dyyxgx π . 这相当于，。 1)( =x 抽样步骤： （1） 产生[0，1]区间上的均匀分布的独立随机数 1 ξ和 2 ξ，计 算 2 2 2 1 2 2 2 1 ξξ ξξ + ? =x 和。 2 2 2 1 ξξ +=y （2） 判断是否成立。如不成立返回（1）。 1)( =≤ xhy （3） 方位角余弦φcos的抽样值 2 2 2 1 2 2 2 1 ξξ ξξ η + ? =， φsin 的抽样值为 2 2 2 1 21 2 ξξ ξξ η + =′。 这就同时求出 φsin 的抽样值，但此时 φsin 总是正的。这种 方法的效率为 785.0≈ 4 = π E 。 改进后的抽样步骤： （1） 产生[0，1]区域上的独立均匀分布的随机数 1 ξ和 2 ξ。令 12, 21 ?== ξξ yx。 （2） 判断是否成立。如果不等式不成立，则返回到（1）。 1 22 <+ yx （3） 取φcos的抽样值 22 22 yx yx + ? =η，φsin的抽样值为 22 2 yx xy + =′η。 改进后的 φsin 的抽样值就可以正可以负。 四、 复合抽样法 处理具有复合分布的随机变量的抽样。所谓复合分布是指 随机变量x服从的分布与另一个随机变量y 有关的分布。一般 复合分布密度函数可以表示为 . dyyhyxgxf )()|()( ∫ +∞ ∞? = 其中表示与参数y有关的x 的条件分布密度函数，而)|( yxg )(yh 是y 的分布密度函数。这时可以采取如下的方法来抽样：首先， 由分布密度函数抽取，然后由抽取的值： )(yh |( h yxg h y )|( h yxg g x )dx )|( h yxg dx f <≤ξ f (yhy )()| f ξ hp n n p 1= h n ∑ ? = n i 1 1 ≤ξ )x )f x=ξ . 上述抽样步骤的证明： ()( xxxpxxp +≤=+< dxxdydxxg )( == ∫ +∞ ∞? 所以服从分布。 )(xf 1． 加分布抽样 作为复合抽样的特殊情况, 在此首先介绍加分布抽样。数 学上加分布的一般形式为 , )()( xxf n n ∑ = 其中 , 10 << ∑ n n p . 这即是意味作总体分布以概率取分布。 n p )(x 抽样的方法： （1）取[0,1]区间上均匀分布随机数ξ, 解下面的不等式 求得n 。 . ∑ = < n i ii pp 1 (2) 找到对应的，并对其抽样, 得到最后的抽样值(h n n h ηη = 。 这样的抽样步骤实际上是本节开始时介绍的迭加原则的 应用。 例 球壳均匀分布的抽样. 设球壳内外半径分别为和, 球 壳内一点到球心距离为r , 则 r 的分布密度函数为 0 1 R R , 3 )( 3 0 3 1 2 RR r rf ? = 10 RrR ≤≤ . 解 用直接抽样法, 取[0,1]区间上的均匀分布随机数ξ , 则 的取值就是以分布的一个抽样值。 ()[ 3/1 3 0 3 0 3 1 RRR +?= ξη ] )(rf 为了避免用运算量较大的开方运算, 可以改用复合抽样。令 , . 001 )( RxRRr +?= 2 001 2 1 RRRR ++=λ 则可以化为 1 3 2 )(3 3 )( )( 2 00102 2 01 ?+ ? + ? = λλλ R x RRR x RR xf . 抽样的程序框图： 2． 减分布抽样 此类抽样的分布密度函数为 . )()()( xgAxgAxf ?= 2211 x 定义在区域[a,b]上, 和为非负实数。令m为的下 界, 即 1 2 12 A A )(/)( xgxg )( )( min 1 2 ],[ xg xg m bax∈ = . 则 ? ? ? ? ? ? ?=< )( )( )()(0 1 2 211 xg xg AAxgxf ))(( 211 mAAxg ?≤ . 因为, 所以 0 21 >? mAA 1 )()( )( 0 121 ≤ ? < xgmAA xf 令 )( )( )()( )( )( 1 2 21 2 21 1 121 1 xg xg mAA A mAA A xgmAA xf xh ? ? ? = ? = , 则可以写为： )(xf )()()()( 1121 xgxhmAAxf ?= 我们可以知道1)(0 1 ≤< xh . 因而按第二类舍选法抽样即可。 抽样效率为： )( 1 21 1 mAA E ? = 类似上述方法, 我们可以将写为 )(xf )()()( 22 21 xgxh m mAA xf ? = . 其中 mAA mA xg xg mAA mA xh 21 2 2 1 21 1 2 )( )( )( ? ? ? = , 0 1)( 2 ≤< xh . 同样按第二类舍选抽样法, 其效率为： 1 21 2 )( mE mAA m E = ? = . 3． 乘加分布抽样 此类分布密度函数形式为 , )()()( xgxHxf n n n∑ = ],[ bax∈ 其中。 为简单计, 下面我们只考虑两项(n=2) 的情况. 对更多项( n>2) 情况的一般表示可以以此作推广。 0)( ≥xH n 设η的分布密度函数为： )()()()()( 2211 xgxHxgxHxf += 如果令 ， . ∫ = b a dxxgxHp )()( 111 ∫ = b a dxxgxHp )()( 222 则必有。这样我们可以改写为： 1 21 =+ pp )(xf )()()( )( )( )( )( 22112 2 2 21 1 1 1 xgpxgpxg p xH pxg p xH pxf ′+′=+= . 上式所表示的分布密度函数形式就可以采用加分布抽样法。 我们也可以采用另一种方式，将公式改写为 ? ? ? ? ? ? + + + += )( )( )( )( )()( 2 2 2 21 2 1 1 1 21 1 21 xg M xH MM M xg M xH MM M MMxf . 其中M和分别是和在区域[a,b]上的上界。令 1 2 1 2 M )(xH )(xH 21 1 1 MM M p + = ， 21 2 2 MM M p + = . , 2121 MMLL +== )()( 111 xhMxH = , )()( 222 xhMxH = . 则 [][ ])()()()()( 22221111 xgxhLpxgxhLpxf += . 这样的分布密度函数形式就可以采用加分布抽样和第二类舍 选法抽样。这种处理方法的效率不如前一种方法高, 但省掉了 公式中的积分计算。 4． 乘减分布抽样 设分布密度函数的形式为 )(xf , )()()()()( 2211 xgxHxgxHxf ?= ],[ bax∈ . 令 )()( )()( min 11 22 ],[ xgxH xgxH m bax∈ = , )(max 1 ],[ xHM bax∈ = ， 则有如下的关系: )()1()1)(()( )()( )()( 1)()()(0 1111 11 22 11 xgmMmxgxH xgxH xgxH xgxHxf ?≤?≤ ? ? ? ? ? ? ?=< . 再令 ? ? ? ? ? ? ? ? = )( )()( )( )1( 1 )( 1 22 1 1 1 xg xgxH xH mM xh ， 则 . )()()1()( xgxhmMxf ?= 111 可知0 , 因而实际上抽样可以采用第二类舍选抽 样法。采用如上类似的方法, 不难也将分布密度函数改写为 1)( 1 ≤< xh )(xf )()( 1 )( 222 xgxh m m Mxf ? = . 其中为在[a,b]区间的上界. 且 2 M )( 2 xH ? ? ? ? ? ? ? ? = )( )( )()( )1( )( 2 2 11 2 2 xH xg xgxH mM m xh , )( 2 xh 在[a,b]区间上满足1)(0 2 ≤< xh .抽样方法与前面的抽样方 法相同。