3. 3 粒子碰撞过程的相空间产生 高能物理可观测量的计算公式： () () () 11 , ,..., , ,..., 8 na b n n V Adpppp FApp Ks =Φ + ∫ M 在微扰计算和事例产生器过程中，在相空间中随机产生末态 出射粒子的四动量常常会出现困难。假定对于粒子末态，它的 洛伦兹不变四动量记为，对应的质量为，则其洛仑 兹不变的相空间体积元 n m 1n pp ,..., 1 n d n m,..., Φ表示为 ()() () ()( 4 4 40 1 3 1 1 , ,..., 2 2 nn i nn i ii i i dp dPpp P p p pmπδ θ δ π= = ?? Φ=? ?? ?? ∑ ∏ ) 2 i ?. 相空间体积元可按如下公式因子化 () ()( 2 111 1 , ,..., , ,..., , , ,..., 2 nn j jnjj dPpp dQdQppd PQp p π ?+ + Φ=Φ Φ ) 1n ) 其中。 ∑ = = j i j pQ 1 对于无质量的粒子(0... 1 === n mm的相空间体积 () ()( ) 1 43 24 21 2 n n n nn dn π πω ? ? ? ?? Φ= Φ= Γ Γ ?n? ? ?? ? ? ?? ∫ . 粒子末态的反应过程的全截面积分表示可以写为 n () () nn V dσρ=ΦΦ Φ ∫ M . 相空间积分的复杂性主要来自它是一个高维多重积分。被积 函数中的δ函数表面上看起来很简单，但是它对积分域的限制却 往往很复杂。并且被积变量间也可能是相关的。 一般来讲，对两体末态的过程，相空间积分还比较简单，但 是对三体末态的情况，就已经有多达4个非平庸变量，而且相空 间积分域也可能找不到简单的形式表述出来。对这样的积分最常 用的有效办法就是采用蒙特卡洛方法。 一、 顺序排列法 产生粒子相空间的方法之一是基于反复利用因子化公式， 使末态的粒子体系是来源于顺序排列的两体衰变。反复利用公 式(3.3.2b)我们得到 n n () () () ()2.......... 2 1 ,...,, 22 2 2 2 1 2 1 ΦΦ=Φ ? ? dnddMdMppPd n n nn π ， 其中， 和 22 ii qM = ∑ = = i j ji pq 1 ( ) ( ) iii pqqdid ,, 122 ? Φ=Φ。不变质量的允许 范围在()( ) 2 11 ++ ? ii mM i q ) 22 ≤≤ ii M ( ii qq ,, 12 ? Φ 1 +m ...+m i p 区间。在的静止坐标系中， 两粒子相空间d有如下表示 () () ( ) () ii i iii iii dd q mqq pqqd θ? λ π cos 8 ,, 2 1 ,, 2 22 1 2 2 12 ? ? =Φ 其中运动学函数 (,,)x yzλ定义为 () 222 ,, 222x yz x y z xy yz zxλ =++??? 该相空间产生采用如下步骤： (1) 首先，让，和in= i q= P 2 ii M q=； (2) 洛仑兹变换到q的静止坐标； i (3) 产生两个 [ ] 0,1区间的伪随机数 1 , ii2 ξ ξ，并使 1 2 ii ? πξ=，cos 2ii θ ξ=； (4) 如果就产生第三个伪随机数3i≥ 3i ξ，并使 ()( 11 13 ... i ) iii M mm ?? + Mmξ=+ + ?； (5) 取 () 222 1 ,, 2 iii i i M Mm p M λ ? ′ = G 并且sin sin ,sin cos ,cos ii ii i i pp i θ ?θ?θ ′′ =? GG ，进一步置 ( ) 2 2 , iiii p pmp′′=+ G ′ G ， ( ) 2 2 11 , iii qpM ??i p′ ′′=+? G G ； (6) 变换回到原来的洛仑兹系统； (7) 将。如果，则回到第（2）步，反之，则置1ii?? 2i≥ 11 p q=； 该方法产生随机事例的权重为 () ( ) 222 143 12 2 ,, 1 22 n iiin n i ni M Mm W MM λ π ?? ? = = ∏ . 二、 RAMBO算法 RAMBO子程序就是一个能够在相空间中产生非加权事例的程 序。RAMBO算法就是通过个4n [ ] 0,1区间均匀分布的伪随机数，产 生质心系能量为 2 P情况下个末态粒子的四动量。对无质量的末 态粒子，粒子四动量是以均匀权重产生，我们首先讨论这种情况。 n 取为类时四矢量。质心系能量为(,0,0,0P μ ω= ) ω的个无质量粒 子的相空间体积为 n () () ()( 4 4 40 3 1 1 2 2 nn i ni i i dp Pp ppπδ θ δ π= = ?? Φ= ? ?? ?? ∑ ∏ ∫ ) 2 i 为推导RAMBO算法，我们先来考察如下定义的量 ()() () ()()() () 4 44 002 3 1 0 22 2 n n n i ni ii i dq R fq q q xfxdxπθδπ π ∞ ? = ?? == ?? ?? ∏ ∫∫ . n R量可以看作是描述个无质量粒子四动量n i q μ 系统，该四动量不 受动量守恒限制，但其出现具有权重f，以保持总体积有限。四 矢量 i q μ 通过下式与物理四动量相关联： ( a+ G = ( 2 i R δ ) 2 γ f ) 2 2 31 2 22 n n SP n nπ ? ?? ? ? =ΓΓ?ΓΓ+ ?? ? ? ?? ? ? 1n () 00 iii p xq bqγ=+? G G ， )( ) 0 iii i p xq bq bq b=+ ? G GG G GG ， 其中 1 n i i Qq μ μ = = ∑ ， 2 M Q=， 1 bQ M =? G ， 0 2 1 Q b M γ ==+ G ， 1 1 a γ = + ， x M ω = . 我们将这个变换和其逆变换表示为 ， ( i b pxHq μμ = G ) i ( 1 ii b qH x μμ ? G . ) p 做变量代换得到 () () () ) 4 4 40 3 1 1 2 2 nn i ni i i dp Pp ppπδ θ π= = ?? =? ?? ?? ∑ ∏ ∫ ? () ( 2 03 21 1 1 n i nb i P f Hp dbd xx +? = ?? ?? ? ???? ?? ?? ∏ G x 选择() x xe ? =，对和b G x积分得到 nnn R S=Φ? 其中 () ()( . 这就给出了按照相空间产生无质量粒子四动量 i p μ 的蒙特卡洛算 法。 该算法的两个步骤： (1) 产生相互独立的n个无质量粒子四动量 i q μ ，它们具有角度 各向同性分布，能量q服从分布密度函数。利用个 0 i 00 () i q ii gq qe ? = 4n [ ] 0,1区间均匀分布的伪随机数 i ξ，则可以按以下公式得到按要 求分布的四动量q i μ 。 1? 2 ( ) 34 ln ii ξ ξ=? os i x ? =? 0z ii qqc= i p μ () 1 πω ? n? {}() 2 ini p Pp ?? ?? ?? θ ( 2 ζ () 2 20 1 2 ii c ξ=， 2 ii ? πξ=， 0 q， 02 1c ii i qq c=?， 02 1sin y ii i qq c i ?， . i (2) 将四矢量 i q μ 变换为四矢量。 这样得到的每个事例都有相同的权重，该权重等于 () ( ) 43 24 0 21 2 n n n Wn π? ? ?? =Γ? ? ?? ? ? ?? Γ 有质量粒子的相空间构造可以从无质量构造开始产生，然后 再变换到要求的有质量构造。 步骤： （1）让 i p μ 为 一组无质量粒子的动量。我们又从无质量粒子相空 间开始计算 () () ()( 4 4 40 3 1 1 2 2 nn i i i dp ppπδ δ π= = Φ= ? ∑ ∏ ∫ . ) （2）利用下式将 i p μ 变换到四动量 i k μ ： ) 2 02 0 ii i km pζ=+， ii kpζ= G G 其中为如下方程的根： 1 n ii i mpω ζ = =+ ∑ . (3.3.22) 2 它的逆变换，即将k i μ 变换到四动量 i p μ 可以得到： () 0022 iii pkm 2 ζ=?， ii pkζ= G G 与上面相似，ζ为如下方程的根： () 02 2 2 1 n ii i kmω ζ = ? ∑ . (3.3.23) （3）经过一些数学计算后，我们得到： {}()() () 2 1 2 0 4 314 00 0 111 2 nnn i n i i ni iii ii i k p k pPk pk p πδ ζ ? ? ==== n ? ? ?? ?? ?? ??? ? ?? Φ= ?? ??? ? ??? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ∑∑∑∏ ∫ G G () ()( 4 02 3 1 2 n i ii i dk kkmθδ π= ?? ∏ ) 2 i 其中{ }p和{ }k分别为一组可能的四动量 i p μ 和 i k μ 。明显地，我们可 以看到交换两组四动量{ }p和{ }k，相空间蒙特卡洛模拟权重可写 为 {}{} () () 1 2 2 0 31 00 0 111 , n nn i n i i iii iii k p p k kpk ζWp ? ? === ?? ?? ?? ?? =?? ?? ?? ???? ?? ?? ∑∑∏ G G . 我们可以得到 1 n i i kζ ω = = ∑ G . 则权重等于 1 2 23 42 0 111 n nnn ii n mi iii i i kk k k ωWk ? ? ? === ?? ?? ?? ?? ?? = ?? ?? ?? ?? ?? ∑∑∏ G G G G . 与无质量的情况比较，这个权重不再是常数，而是在相空间中变 化的。 在相空间中产生个有质量末态粒子的步骤： n n(1) 产生各无质量末态粒子的事例； (2) 数值求解方程(3.3.23)的根； (3) 利用公式(3.3.22)得到有质量粒子的动量。 这样的事例权重为 0m WWW=?，