3. 2 事例产生器 在核及粒子物理研究中，往往要做出微分截面或全截面的理 论预言，并将其与实验结果进行对比。为此实验工作者需要知道， 理论上得到的截面值在多大精度范围内会被实验装置测量出来。 这就需要将理论上得到的精确微分截面表达式，在实验探测相空 间内进行积分。 困难： （1） 目前的各种实验装置都相当复杂，对这样的相空间做解 析积分几乎是不可能的。 （2） 我们在计算总截面时，往往都要变换相空间的变量。这 样就要增加雅可比行列式的因子，因而相空间积分的运 算就更加复杂。 （3） 假如我们要考虑各探测器的效率，就必须引入各种随机 统计的效应。解析求积分的方法这时就无法处理这类统 计问题，而只能用蒙特卡洛探测器模拟方法来解决。 这样的模拟程序需要使用蒙特卡洛事例产生器。 所谓事例产生器是一个随机产生“非加权”事例的模拟程序。 “非加权”的含义是指末态粒子的四动量是按精确的微分截面来 产生的。 通过该产生器产生的这些事例，最终可以得到全截面的蒙特 卡洛的估计值。 采用事例产生器，我们就很容易地只对某个运动学变量的值 产生事例，来得到相对于该变量的微分截面。 假定微分截面公式用如下符号表示： xdx xd d d GG G )( σ σ = . 这里表示张开相空间的运动学变量。根据蒙特卡洛理论，总截 面的蒙特卡洛估计值为 x G ∫ d= σσ () ∫ ∑ ?=′ = xdx xd d N i N i GG G 1 1 σ σ 式中是均匀分布的随机矢量。 i x G 蒙特卡洛积分要求σ′具有如下的特性： （1） 当N 很大时，收敛于σ。 σ′ （2） σ′的期望值等于σ。 （3） 当N 足够大时，是服从正态分布的。 σ′ （4） σ′的标准误差为 2/1 /)( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Nx xd d V G G σ 。 利用事例产生程序来产生非加权事例，常用的方法有两种。 （1）自适应抽样法，它是将重要抽样法和分层抽样法结合起来 的迭代算法； （2）重要抽样法。它们都可以减小计算出的截面方差。 当事例产生程序采用自适应抽样法时，原则上并不需要事先 对微分截面 )(x xd d G G σ 的性质有一些了解。程序自身可以根据函数特性 来调整。 步骤： （1） 随机地选择一个子空间。这些子空间的划分是自适 应蒙特卡洛方法程序运行第一阶段自动调整子区间的边 界得到的。 （2） 在这个子空间内随机地抽取一个事例样本，并计算 该事例的权重。该权重定义为对应于该事例参数的微 分截面值与在该子空间内的最大微分截面值之比。 w （3） 采用舍选法选择事例：取[0，1]上的均匀分布随机 数 ξ ，如果，该事例被接受；反之，该事例被舍弃。 w≤ξ （4） 重复上面（1）—（3），直到获得所需要的事例数。 按照相对论量子力学理论，总截面可以表示为 dvσ ρ= ∫ M M 为描述过程的矩阵元平方，与过程发生相关的动力学机制则 包含在其中；ρ为相空间密度，它是运动学变量的函数。积分 是对所有的运动学变量构成的空间进行的。不变矩阵元平方 显然与微分截面相关。 v M 在被积函数的峰值特性很强的情况下，采用这种具有自动 调整子空间边界的自适应蒙特卡洛抽样的事例产生器往往不 是很有效。因而我们只好事先要对矩阵元平方的函数特性有所 了解，以便更合理地划分子空间。当矩阵元平方的峰数不多时， 依函数的特性来划分子区间可能不太困难，但是如果峰数很多 时，要这样做就很困难。我们有时采用将积分变量作变量代换。 被选择的新积分变量要使矩阵元平方的峰变平坦。此时就可以 使用自适应蒙特卡洛抽样程序的自调整功能来得到精确结果。 重要抽样法的非权重事例产生器程序产生事例的基本步骤 为： （1） 找出一个被积微分截面 )(x xd d G G σ 函数的近似表达式。该 近似表达式在相空间内应当是解析可积的，并且其函数 必须具有与 )(x xd d G G σ 的精确表达式有相同的峰值结构。 （2） 根据该微分截面近似表达式的分布，随机抽取事例 样本。 （3） 对产生的事例加权重，其权重因子等于该事例对应 的精确截面值与对应的近似微分截面值之比。 w （4） 采用舍选法抽取非权重事例。取[0，1]区间上均匀 分布随机数ξ，若 max / ww≤ξ，则接收该事例；反之，则舍 弃该事例。这样得到的事例即为非加权事例。 （5） 重复（2）—（4）过程，直至获得所需数量的事例 数。 显然，这种方法与具体处理的反应过程关系很密切。不同的 研究过程，甚至不同实验参数截断值的选取，都需要选择不同的 近似函数，甚至采用不同的事例产生程序。因而与自适应抽样法 产生事例相比，重要抽样产生事例存在不具通用性的困难。 重要抽样法存在的第二个困难也同样是出现在当矩阵元平 方的峰值特性复杂的情况。此时难于得到精确结果。这个困难有 时可以采用多道蒙特卡洛抽样方法来解决。该方法是基于迭加原 理。 其具体步骤： （1） 将精确微分截面σd分成若干 i dσ的迭加。每个 i dσ有它自 己的峰值结构特性。 （2） 对每个 i dσ编写按上述步骤产生事例的子产生器程序。在 具体产生事例时，随机选择一个子产生器，而选择第个 子产生器的概率正比于对应于 i i σ的近似截面值 i σ ~ 。对于 由第个产生器产生的事例计算权重因子i ii dw i dσσ ~ /=。 （3） 用舍选法得到以σd分布的事例。 （4） 从在产生事例过程中得到的可以算出总截面值为： i w σσσσσ σ ~~ 11 ~ wwdd i N i N i d i i ==== ∫ ∑ ∫ ∑ == , 其中 ， ∑ = = N i i 1 ~~ σσ ∫ = ii dσσ ~~ ， ( ),,2,1 Ni ???= . 这里 i d i w σ ~ 表示以近似微分截面 i dσ ~ 分布的事例的权重因子的平 均值； i w w表示按如下方法产生事例的权重因子的平均值，即选 择在[0，1]区域上均匀分布随机数 w ξ，判断满足不等式 σσξσσ ~~~~ 1 1 1 ∑∑ = ? = <≤ i j j i j j 的值。然后按i i dσ ~ 分布产生事例。 通常一个事例产生器的效率定义为 max w w E = .