广州铁路职业技术学院：模拟电子技术基础：dz07

第 7章 数字电路基础
7-1 数制和码制
7-2 逻辑代数的基础
7-1 数制和码制
1.概念
1）进位制：
表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须用进
位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成
以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制，简称
进位制。
2）基 数：
进位制的基数，就是在该进位制中可能用到的数
码个数。
?数制
3）位 权：
在某一进位制的数中，每一位的大小都对应着
该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就
是这一位的权数。权数是一个幂。
2.十进制
数码为,0～ 9；基数是 10。
运算规律：逢十进一。
各数位的权是 10的幂。
任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的
数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。
如：
(1234)10＝ 1× 103 ＋ 2× 102＋ 3× 101＋ 4× 100
2.二进制
数码为,0～ 1；基数是 2。
运算规律：逢二进一。
各数位的权是 2的幂。
任意一个二进制数都可以表示为各个数位上的
数码与其对应的权的乘积之和。
如：
(1234)2＝ 1× 23 ＋ 2× 22＋ 3× 21＋ 4× 20
3.八进制
数码为,0～ 7；基数是 8。
运算规律：逢 8进一。
各数位的权是 8的幂。
任意一个 8进制数都可以表示为各个数位上的数
码与其对应的权的乘积之和。
如：
(1234)8＝ 1× 83 ＋ 2× 82＋ 3× 81＋ 4× 80
3.十六进制
数码为,0～ 9,A,B,C,D,E,F；基数是
16。
运算规律：逢 16进一。
各数位的权是 16的幂。
任意一个 16进制数都可以表示为各个数位上的
数码与其对应的权的乘积之和。
如：
(37AF)16＝ 1× 163 ＋ 7× 162＋ 10× 161＋ 15× 160
1.二进制数与八进制数的相互转换
（ 1）二进制数转换为八进制数,将二进制数由小
数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每 3位分成
一组，不够 3位补零，则每组二进制数便是一位八进制
数。
如,001,101,101,010 ＝ (155.2)8
（ 2）八进制数转换为二进制数：将每位八进制数
用 3位二进制数表示 。
如, (35.14)8 ＝ 011,101, 001,100
?数制转换
2.二进制数与十六进制数的相互转换
二进制数与十六进制数的相互转换，按照每 4位二
进制数对应于一位十六进制数进行转换。
3.十进制数转换为二进制数
基数连除、连乘法
原理：将整数部分和小数部分分别进行转换。整
数部分采用基数连除法，小数部分采用基数连乘法。
转换后再合并。
1.编码
用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母
、符号等信息称为编码。
编 用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位
数的二进制数称为代码。
二 -十进制代码：用 4位二进制数 b3b2b1b0来表示十
进制数中的 0 ~ 9 十个数码。简称 BCD码。
用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进
制数码，因各位的权值依次为 8,4,2,1，故称 8421
BCD码。
?码制
用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母
、符号等信息称为编码。
编 用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位
数的二进制数称为代码。
二 -十进制代码：用 4位二进制数 b3b2b1b0来表示十
进制数中的 0 ~ 9 十个数码。简称 BCD码。
用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进
制数码，因各位的权值依次为 8,4,2,1，故称 8421
BCD码。
?码制
常用 BCD 码
十进制数 8421 码 余 3 码 格雷码 2421 码 5421 码
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
0000
0001
0011
0010
0110
0111
0101
0100
1100
1101
0000
0001
0010
0011
0100
1011
1100
1101
1110
11 11
0000
0001
0010
0011
0100
1000
1001
1010
1011
1100
权 8421 2421 5421
7-1 逻辑代数的基础
逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，
是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只
有０和１两种逻辑值，有与、或、非三种基本逻辑运
算，还有与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运
算。
事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可
以抽象地表示为 0 和 1,称为逻辑 0状态和逻辑 1状态。
逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表
示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑 0和逻辑 1,0 和
1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种
对立的逻辑状态。
?基本概念
1,与逻辑
仅当决定事件（ Y）发生的所有条件（ A,B，
C,… ）均满足时，事件（ Y）才能发生。表达式为：
Y=ABC···
模型：开关 A,B串联控制灯泡 Y
?逻辑基本运算
电路图
L = A B
E
A B
Y
2,或逻辑
当决定事件（ Y）发生的各种条件（ A,B,C,…)
中,只要有一个或多个条件具备，事件（ Y）就发
生。表达式为：
Y=A+B+C+···
模型：开关 A,B并联控制灯泡 Y
电路图
L = A B
E
A
B
Y
3,非逻辑
非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（ Y）发生
的条件（ A）满足时，事件不发生；条件不满足，
事件反而发生。表达式为：
Ｙ＝Ａ
模型：开关 A控制灯泡 Y
电路图
E A Y
R
4.常用的逻辑运算
（ 1）与非运算：逻辑表达式为：
（ 2）或非运算：逻辑表达式为：
ABY ?
BAY ??
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
1
1
1
0
真值表
Y
A
B
与非门的逻辑符号
L = A + B
&
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
1
0
0
0
真值表
Y
A
B
或非门的逻辑符号
L = A + B
≥ 1
（ 3）异或运算：逻辑表达式为：
（ 4） 与或非运算：逻辑表达式为：
BABABAY ????
A B Y
0 0
0 1
1 0
1 1
0
1
1
0
真值表
Y
A
B
异或门的逻辑符号
L = A + B
=1
CDABY ??
Y
≥ 1&A
B
C
D
与或非门的逻辑符号
A
B
C
D
&
&
≥ 1 Y
与或非门的等效电路
1.逻辑表达式
由逻辑变量和与、或、非 3种运算符连接起来所构
成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母 A,B、
C,D等称为输入逻辑变量，等式左边的字母 Y称为
输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变
量，有非运算符的叫做反变量。
2.逻辑函数
如果对应于输入逻辑变量 A,B,C,… 的每一组
确定值, 输出逻辑变量 Y就有唯一确定的值, 则称 Y
是 A,B,C,… 的逻辑函数 。 记为
?逻辑函数
),,,( ?CBAfY ?
3.逻辑代数的公式、定理
（ 1）常量之间的关系
（ 2）基本公式
与运算,111 001 010 000 ????????
0 - 1 律：
??
?
??
??
AA
AA
1
0
??
?
??
??
00
11
A
A
或运算,111 101 110 000 ????????
非运算,10 01 ??
互补律,0 1 ???? AAAA
等幂律,AAAAAA ????
双重否定律,AA ?
（ 3）基本定理
（ 4） 逻辑 运算的基本规则
交换律：
??
?
???
???
ABBA
ABBA
结合律：
??
?
?????
?????
)()(
)()(
CBACBA
CBACBA
分配律：
??
?
??????
??????
)()(
)(
CABACBA
CABACBA
代入规则：任何一个含有变量 A的等式，如果将所有出
现 A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然
成立。这个规则称为代入规则。
反演规则：对于任何一个逻辑表达式 Y，如果将表达式
中的所有,·”换成“＋”，“＋”换成,·”，,0”换
成,1”，,1”换成,0”，原变量换成反变量，反变
量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数 Y的
反函数 Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。
对偶规则：对于任何一个逻辑表达式 Y，如果将表达式
中的所有,·”换成“＋”，“＋”换成,·”，,0”换
成,1”，,1”换成,0”，而变量保持不变，则可得
到的一个新的函数表达式 Y＇, Y＇ 称为函 Y的对偶
函数。这个规则称为对偶规则。
?逻辑函数的表达式
一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与
表达式、与非 -与非表达式、或非 -或非表达式、与或非
表达式 5种表示形式。（ 1 ）与或表达式,ACBAY ??
（ 2 ）或与表达式,Y ))(( CABA ???
（ 3 ）与非 - 与非表达式,Y ACBA ??
（ 4 ）或非 - 或非表达式,Y CABA ????
（ 5 ）与或非表达式,Y CABA ??
1,逻辑函数的最小项
（ 1） 最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了
函数的全部变量, 其中每个变量都以原变量或反变量
的形式出现, 且仅出现一次, 则这个乘积项称为该函
数的一个标准积项, 通常称为最小项 。
（ 2）最小项的表示方法：通常用符号 mi来表示最
小项。下标 i的确定：把最小项中的原变量记为 1，反
变量记为 0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一
个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，
就是这个最小项的下标 i。
3个变量 A,B,C的 8个最小项可以分别表示为：
A B CmCABmCBAmCBAm
BCAmCBAmCBAmCBAm
????
????
7654
3210
、、、
、、、
（ 3）最小项的性质：
任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为 1。
任意两个不同的最小项的乘积必为 0。
全部最小项的和必为 1。
3变量全部最小项的真值表
A B C m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2,最小项表达式
任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小
项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式
对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式 A＋
A＝ 1 和 A(B+C)＝ AB＋ BC来配项展开成最小项表达式。
??
?????
?????
??????
?????
??
)7,3,2,1,0(
)())((
73210
m
mmmmm
ABCBCACBACBACBA
BCAABCCBACBACBABCA
BCAACCBBA
BCAY
如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为 1的
那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。
A B C Y 最小项
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
0
1
1
1
0
1
0
0
m
0
m
1
m
2
m
3
m
4
m
5
m
6
m
7
CBACBACBACBA
mmmmmY
????
????? ? )5,3,2,1(5321
将真值表中函数值为 0的那些最小项相加，便可得
到反函数的最小项表达式。
1,逻辑函数的最简表达式
（ 1） 最简与或表达式
乘积项最少, 并且每个乘积项中的变量也最少的
与或表达式 。
?逻辑函数的化简
CABA
CBCABA
DCBCBECACABAEBAY
??
???
??????
（ 2） 最简与非 -与非表达式
非号最少, 并且每个非号下面乘积项中的变量也
最少的与非 -与非表达式 。
（ 3） 最简或与表达式
括号最少, 并且每个括号内相加的变量也最少的
或与表达式 。
CABACABACABAY ??????
CABAY ??
))(( CABAY ???
（ 4）最简或非 -或非表达式
非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少
的或非 -或非表达式。
（ 5） 最简与或非表达式
非号下面相加的乘积项最少, 并且每个乘积项中
相乘的变量也最少的与或非表达式 。
CABACABA
CABACABAY
???????
?????
))((
))((
ACBACABACABAY ????????
2,公式化简法
（ 1）并项法
利用公式Ａ＋Ａ＝ 1，将两项合并为一项，并消去
一个变量。
（ 2）吸收法
（ 3）配项法
利用公式Ａ＋ＡＢ＝ＡＢ或Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消
去多余的项。
利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ）或Ａ＋Ａ＝Ａ为某一项配上
其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。
3,图形法简法
逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来
表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。
（ 1）卡诺图的构成
将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形
式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值
按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。
A
B 0 1
0 m 0 m 2
1 m 1 m 3
A B
C 00 01 11 10
0 m 0 m 2 m 6 m 4
1 m 1 m 3 m 7 m 5
2 变量卡诺图 3 变量卡诺图
卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也
是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互
为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项） 。
（ 2） 卡诺图的表达
逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：
在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方
格内填入 1，其余的方格内填入 0。
?? )15,14,11,7,6,4,3,1(),,,( mDCBAY
AB
CD 00 01 11 10
00 0 1 0 0
01 1 0 0 0
11 1 1 1 1
10 0 1 1 0
（ 3） 卡诺图的性质
逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：
在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方
格内填入 1，其余的方格内填入 0。
任何 2个标 1的相邻最小项，可以合并为一项，并
消去 1个变量。
任何 4个标 1的相邻最小项，可以合并为一项，并
消去 2个变量。
任何 8个标 1的相邻最小项，可以合并为一项，并
消去 3个变量。
A B
CD 00 01 11 10
00
m
0
m
4
m
12
m
8
01
m
1
m
5
m
13
m
9
11
m
3
m
7
m
15
m
1 1
10 m
2
m
6 m 14 m 1 0
4 变量卡诺图
BACCBACBACBA ???? )(
DCADCBADCAB ??
例：
4,含随意项的逻辑函数
随意项：函数可以随意取值（可以为 0，也可以为
1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为随意项，
也叫做约束项或无关项。
随意项之和构成的逻辑表达式叫做 随意条件或约
束条件，用一个值恒为 0 的条件等式表示。
A B
CD 00 01 11 10
00 1 1 × 1
01 0 0 × 0
11 0 0 × ×
10 1 1 × ×
)8,6,4,2,0(),,,( mDCBAY ??
0)15,14,13,12,11,10( ?? d