电子科技大学
第六章 时变电磁场
?静态场,场大小不随时间发生改变 (静电场,恒定磁场 )
特性：电场和磁场相互独立, 互不影响 。
?时变场,场的大小不随时间发生改变 。
特性：电场和磁场相互激励, 从而形成不可分隔的统
一的整体, 称为电磁场 。
本章主要内容：
?电磁场的基本方程 —— 麦克斯韦方程组
?电磁场 边界条件
?电磁场的 能流 和 能流定律
?电磁场 波动方程
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第一节 法拉第电磁感应定律
一, 电磁感应现象与楞次定律
?实验表明：当穿过导体回路的磁通量发生变化时,
回路中会出现感应电流 。 —— 电磁感应现象
?楞次定律：回路总是企图以感应电流产生的穿过回
路自身的磁通, 去 反抗 引起感应电流的磁通量的改变 。
二, 法拉第电磁感应定律
?法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路的磁通量发
生改变时, 回路中产生的 感应电动势 与回路 磁通量的
时间变化率 成正比关系 。 数学表示：
in
d
dt
?? ??
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说明：, -”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要
阻止回路磁通量的改变 。
三, 法拉第电磁感应定律微分形式
感应电动势 —— >感应电场 。 令感应电场为
inE
in
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( 的出现是磁场变化的结果 。 )
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在空间内, 可能还存在着静电场或者恒定电场,
此导体内总电场为 。 cE
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由前面讨论可知,为保守场, 即 则
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E
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法拉第电磁感应定律
微分形式
物理意义,随时间变化的磁场将产生电场 。
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第二节 位移电流
一, 安培环路定律的局限性
C
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1
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2
S
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csH d l J d S I????
如图：以闭合路径 为边界的
曲面有无限多个, 取如图所示的
两个曲面 S1,S2。
l
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矛 盾
结论：恒定磁场中推导得到的安培环路定律不适用于时
变场的问题。
1cS
H d l J d S I????
对 S2面：
2
0cSH d l J d S????
则对 S1面：
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二, 位移电流假说
I
在电容器极板间, 不存在
自由电流, 但存在随时间变
化的电场 。
为了克服安培环路定律的局限性, 麦克斯韦提出了
位移电流假说 。 他认为,在电容器之间, 存在着另外
一种形式的电流, 其量值与回路中自由电流相等 。
由电流连续性方程, 知在极板间, 有
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上式中,为 传导电流, 即自由电荷运动形成的电流 。
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若定义,为 位移电流,
为 全电流, 则
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若用全电流 代替安培环路定律中的自由电
流,则安培环路定律在时变场中仍然适用 。J全
Je
三, 安培环路定律广义形式
一般情况下, 时变场空间同时存在真实电流 (传导
电流 )和位移电流, 则
全电流遵循电流守恒定律
电子科技大学
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广义安培环路定律微分形式
上式 物理意义, 随时间变化的电场能产生磁场 。
说明：位移电流理论最初只是一种假说 。 但在此假说的
基础上, 麦克斯韦预言了电磁波的存在, 而赫兹通过试
验证明了电磁波确实存在, 从而反过来证明了位移电流
理论的正确性 。
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第三节 电磁场的基本方程
—— 麦克斯韦方程组
? 麦克斯韦在引入位移电流假说的基础上, 总结前人
研究成果, 将揭示电, 磁场基本性质的几个方程结合在
一起, 构成了麦克斯韦方程组 。
一, 麦克斯韦方程组的 微分形式
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（ 推广的安培环路定律 ）
（ 法拉第电磁感应定律 ）
（ 磁通连续性定律 ）
（ 高斯定律 ）
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注意,时变电磁场的源：
1,真实源 （ 变化的 电流 和 电荷 ） ；
2,变化的电场 和 变化的磁场 。
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二, 麦克斯韦方程组的 积分形式
说明：时变电磁场的基本量包括电场和磁场, 因此其
基本方程应包含四个式子 。
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三, 麦克斯韦方程组的 限定形式
在媒质中, 场量之间必须满足媒质的本构关系 。 在
线性, 各向同性媒质中：
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将本构关系代入麦克斯韦方程组, 则得
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麦克斯韦方程组限定形式
麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关 。
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麦克斯韦方程组的地位：揭示了电磁场场量与源之间
的基本关系, 揭示了时变电磁场的基本性质, 是 电磁
场理论的基础 。
说明：静场只是时变场的一种特殊情况 。
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第四节 时变电磁场的边界条件
1,的边界条件H
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为表面传导电流密度。
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式中,为由媒质 2－ >1的法向。
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一,一般媒质 分界面上的边界条件 ( )0,??? ? ?
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特殊地, 若介质分界面上不存在传导电流, 则
12 0ttHH? ? ?12( ) 0n H H? ? ?
结论：当分界面上 存在传导面电流时, 切向不连续,
其不连续量等于分界面上面电流密度 。
H
当且仅当分界面上 不存在 传导面电流时, 切向
连续 。
H
2,的边界条件E
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结论,切向连续 。E
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3,的边界条件B
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结论：在边界面上,法向连续 。B
4,的边界条件D
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说明,为分界面上自由电荷面密度。
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特殊地：若媒质为理想媒质，则,此时有0
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12 0nnDD??结论：当分界面上 存在自由电荷时, 切向不连续, 其
不连续量等于分界面上面电荷密度 。
D
当且仅当分界面上 不存在 自由电荷时, 切向连
续 。
D
二,理想媒质 分界面上的边界条件 ( )0? ?
在理想介质分界面上, 不存在自由电荷和传导电流 。
12 0ttHH? ? ?12( ) 0n H H? ? ?
12( ) 0n E E? ? ? 12ttEE??
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12 0B n B n?? 21nnBB??
结论：在理想介质分界面上, 矢量切向连续
在理想介质分界面上, 矢量法向连续,EH
,BD三,理想导体 分界面上的边界条件 ( )
? ??
在理想导体内部, 在导体分界面上,
一般存在自由电荷和传导电流 。0,0EH??
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式中,为导体外法向。
n
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注意：理想介质和理想导体只是理论上存在 。 在实际
应用中, 某些 媒质导电率极小或者极大, 则可 视作理
想介质或理想导体进行 处理 。
四、例题
0 sin( ) c o s( )yxE e E z t k xd
? ???
例：在 z=0和 z=d位置有两个无限大理想
导体板, 在极板间存在时变电磁场, 其
电场强度为
求, (1)该时变场相伴的磁场强度 ；H
(2)导体板上的电流分布。
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解,(1)由麦克斯韦方程
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(2)由边界条件
在下极板上：
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在上极板上：
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第五节 坡印廷定理和坡印廷矢量
?时变场中, 电场和磁场相互激励, 能量不断转换, 在
这个过程中, 电磁能量从一个地方 传递 到另外的地方 。
一、坡印廷定理
?坡印廷定理描述了空间中 电磁能量守恒关系 。
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坡印廷定理微分形式
说明,单位时间内流出单位体积的电磁能量；()EH??
单位时间单位体积内电场能量减少量；
ew
t
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?
单位时间单位体积内电场能量减少量；
mw
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单位体积内转化为焦耳热能的电磁功率；EJ?
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将坡印廷定理微分形式在一定体积内进行积分，得
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坡印廷定理积分形式
说明,表流入闭合面 S的电磁功率；
()S E H dS???
单位时间内体积 V内电场能量增加量；
edW
dt
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坡印廷定理 物理意义：流入体积 V内的电磁功率等于体积
V内电磁能量的增加率与体积 V内损耗的电磁功率之和。
单位时间内体积 V内磁场能量增加量；
mdW
dt
单位时间内体积 V内损耗的电场能量
V E JdV?
二、坡印廷矢量
表流入闭合面 S的电磁功率，因此
()S E H dS???
EH? 为一 与通过单位面积的功率相关 的矢量。
S E H??
定义：坡印廷矢量（用符号 表示）
S
注：坡印廷矢量也称 能流密度矢量 。
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说明：坡印廷矢量的 大小表示单位时间内通过垂直于
能量传输方向的单位面积的电磁能量 。
坡印廷矢量的 方向即为电磁能量传播方向 。
,EH
讨论,1、若 为与时间相关的函数 (瞬时形式 ),则
( ) ( ) ( )S t E t H t??
称为坡印廷矢量的 瞬时形式 。
2、对某些时变场,呈周期性变化。则将瞬
时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均，得平均坡印
廷矢量（平均能流密度矢量），即
,EH
00
11 ( ) ( ) ( )TT
avS S t d t E t H t d tTT? ? ???
注,与 时间 t无关 。
avS
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三、例题
例：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为
0 c o s ( ) ( / )yE e E t k z V m???求,(1)磁场强度；（ 2）瞬时坡印廷矢量；（ 3）平均
坡印廷矢量
解,(1)
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第六节 波动方程
在无源区域中充满均匀, 线性, 各向同性的无耗
媒质空间中 ( ),由麦克斯韦方程组0? ?
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无源区电场
波动方程
同理, 可以推得无源区磁场波动方程为：
2
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HH
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从上方程可以看出,时变电磁场的电场场量和磁场场
量在空间中是以波动形式变化的, 因此称时变电磁场
为电磁波 。
建立波动方程的意义：通过解波动方程, 可以求出空
间中电场场量和磁场场量的分布情况 。 但需要注意的
是：只有少数特殊情况可以通过直接求解波动方程求
解 。
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第七节 动态矢量位和标量位
一, 定义
BA
B
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动 态 矢 量 位
动 态 标 量 位
0B? ? ? ?
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说明,1,时变场电场场量和磁场场量均为时间和空
间位置的函数, 因此 动态矢量位和动态标量位也为时
间和空间位置的函数 。
2,由于时变场电场和磁场为统一整体, 因此 动态
标量位和动态矢量位也是一个统一的整体 。
为了使时变电磁场场量和动态位之间满足一一对
应关系, 须引入额外的限定条件 —— 规范条件 。
A t??? ?? ? ? ?
洛伦兹规范条件
二、洛伦兹规范条件
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三, 动态位满足的方程
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电子科技大学
引入洛伦兹规范条件, 则方程简化为
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达朗贝尔方程
从达朗贝尔方程可以看出：
(,) (,) (,) (,)r t r t A r t J r t?? 的 源 是, 的 源 是
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作业
法拉第电磁感应定律
6.3
位移电流
6.5
坡印廷定理
6.15 6.18
第六章 时变电磁场
?静态场,场大小不随时间发生改变 (静电场,恒定磁场 )
特性：电场和磁场相互独立, 互不影响 。
?时变场,场的大小不随时间发生改变 。
特性：电场和磁场相互激励, 从而形成不可分隔的统
一的整体, 称为电磁场 。
本章主要内容：
?电磁场的基本方程 —— 麦克斯韦方程组
?电磁场 边界条件
?电磁场的 能流 和 能流定律
?电磁场 波动方程
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第一节 法拉第电磁感应定律
一, 电磁感应现象与楞次定律
?实验表明：当穿过导体回路的磁通量发生变化时,
回路中会出现感应电流 。 —— 电磁感应现象
?楞次定律：回路总是企图以感应电流产生的穿过回
路自身的磁通, 去 反抗 引起感应电流的磁通量的改变 。
二, 法拉第电磁感应定律
?法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路的磁通量发
生改变时, 回路中产生的 感应电动势 与回路 磁通量的
时间变化率 成正比关系 。 数学表示：
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电子科技大学
说明：, -”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要
阻止回路磁通量的改变 。
三, 法拉第电磁感应定律微分形式
感应电动势 —— >感应电场 。 令感应电场为
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电子科技大学
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物理意义,随时间变化的磁场将产生电场 。
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第二节 位移电流
一, 安培环路定律的局限性
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如图：以闭合路径 为边界的
曲面有无限多个, 取如图所示的
两个曲面 S1,S2。
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结论：恒定磁场中推导得到的安培环路定律不适用于时
变场的问题。
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电子科技大学
二, 位移电流假说
I
在电容器极板间, 不存在
自由电流, 但存在随时间变
化的电场 。
为了克服安培环路定律的局限性, 麦克斯韦提出了
位移电流假说 。 他认为,在电容器之间, 存在着另外
一种形式的电流, 其量值与回路中自由电流相等 。
由电流连续性方程, 知在极板间, 有
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上式中,为 传导电流, 即自由电荷运动形成的电流 。
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若定义,为 位移电流,
为 全电流, 则
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若用全电流 代替安培环路定律中的自由电
流,则安培环路定律在时变场中仍然适用 。J全
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三, 安培环路定律广义形式
一般情况下, 时变场空间同时存在真实电流 (传导
电流 )和位移电流, 则
全电流遵循电流守恒定律
电子科技大学
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上式 物理意义, 随时间变化的电场能产生磁场 。
说明：位移电流理论最初只是一种假说 。 但在此假说的
基础上, 麦克斯韦预言了电磁波的存在, 而赫兹通过试
验证明了电磁波确实存在, 从而反过来证明了位移电流
理论的正确性 。
电子科技大学
第三节 电磁场的基本方程
—— 麦克斯韦方程组
? 麦克斯韦在引入位移电流假说的基础上, 总结前人
研究成果, 将揭示电, 磁场基本性质的几个方程结合在
一起, 构成了麦克斯韦方程组 。
一, 麦克斯韦方程组的 微分形式
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（ 推广的安培环路定律 ）
（ 法拉第电磁感应定律 ）
（ 磁通连续性定律 ）
（ 高斯定律 ）
电子科技大学
注意,时变电磁场的源：
1,真实源 （ 变化的 电流 和 电荷 ） ；
2,变化的电场 和 变化的磁场 。
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二, 麦克斯韦方程组的 积分形式
说明：时变电磁场的基本量包括电场和磁场, 因此其
基本方程应包含四个式子 。
电子科技大学
三, 麦克斯韦方程组的 限定形式
在媒质中, 场量之间必须满足媒质的本构关系 。 在
线性, 各向同性媒质中：
D E B H J E? ? ?? ? ?
将本构关系代入麦克斯韦方程组, 则得
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麦克斯韦方程组限定形式
麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关 。
电子科技大学
麦克斯韦方程组的地位：揭示了电磁场场量与源之间
的基本关系, 揭示了时变电磁场的基本性质, 是 电磁
场理论的基础 。
说明：静场只是时变场的一种特殊情况 。
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电子科技大学
第四节 时变电磁场的边界条件
1,的边界条件H
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为表面传导电流密度。
SJ
式中,为由媒质 2－ >1的法向。
n
一,一般媒质 分界面上的边界条件 ( )0,??? ? ?
电子科技大学
特殊地, 若介质分界面上不存在传导电流, 则
12 0ttHH? ? ?12( ) 0n H H? ? ?
结论：当分界面上 存在传导面电流时, 切向不连续,
其不连续量等于分界面上面电流密度 。
H
当且仅当分界面上 不存在 传导面电流时, 切向
连续 。
H
2,的边界条件E
2
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结论,切向连续 。E
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电子科技大学
3,的边界条件B
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结论：在边界面上,法向连续 。B
4,的边界条件D
2
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电子科技大学
说明,为分界面上自由电荷面密度。
s?
特殊地：若媒质为理想媒质，则,此时有0
s? ?
12 0nnDD??结论：当分界面上 存在自由电荷时, 切向不连续, 其
不连续量等于分界面上面电荷密度 。
D
当且仅当分界面上 不存在 自由电荷时, 切向连
续 。
D
二,理想媒质 分界面上的边界条件 ( )0? ?
在理想介质分界面上, 不存在自由电荷和传导电流 。
12 0ttHH? ? ?12( ) 0n H H? ? ?
12( ) 0n E E? ? ? 12ttEE??
电子科技大学
12 0B n B n?? 21nnBB??
结论：在理想介质分界面上, 矢量切向连续
在理想介质分界面上, 矢量法向连续,EH
,BD三,理想导体 分界面上的边界条件 ( )
? ??
在理想导体内部, 在导体分界面上,
一般存在自由电荷和传导电流 。0,0EH??
12( ) 0D D n?? 12 0nnDD? ? ?
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式中,为导体外法向。
n
电子科技大学
注意：理想介质和理想导体只是理论上存在 。 在实际
应用中, 某些 媒质导电率极小或者极大, 则可 视作理
想介质或理想导体进行 处理 。
四、例题
0 sin( ) c o s( )yxE e E z t k xd
? ???
例：在 z=0和 z=d位置有两个无限大理想
导体板, 在极板间存在时变电磁场, 其
电场强度为
求, (1)该时变场相伴的磁场强度 ；H
(2)导体板上的电流分布。
z
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电子科技大学
解,(1)由麦克斯韦方程
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电子科技大学
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(2)由边界条件
在下极板上：
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电子科技大学
在上极板上：
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电子科技大学
第五节 坡印廷定理和坡印廷矢量
?时变场中, 电场和磁场相互激励, 能量不断转换, 在
这个过程中, 电磁能量从一个地方 传递 到另外的地方 。
一、坡印廷定理
?坡印廷定理描述了空间中 电磁能量守恒关系 。
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电子科技大学
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坡印廷定理微分形式
说明,单位时间内流出单位体积的电磁能量；()EH??
单位时间单位体积内电场能量减少量；
ew
t
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?
单位时间单位体积内电场能量减少量；
mw
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单位体积内转化为焦耳热能的电磁功率；EJ?
电子科技大学
将坡印廷定理微分形式在一定体积内进行积分，得
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坡印廷定理积分形式
说明,表流入闭合面 S的电磁功率；
()S E H dS???
单位时间内体积 V内电场能量增加量；
edW
dt
电子科技大学
坡印廷定理 物理意义：流入体积 V内的电磁功率等于体积
V内电磁能量的增加率与体积 V内损耗的电磁功率之和。
单位时间内体积 V内磁场能量增加量；
mdW
dt
单位时间内体积 V内损耗的电场能量
V E JdV?
二、坡印廷矢量
表流入闭合面 S的电磁功率，因此
()S E H dS???
EH? 为一 与通过单位面积的功率相关 的矢量。
S E H??
定义：坡印廷矢量（用符号 表示）
S
注：坡印廷矢量也称 能流密度矢量 。
电子科技大学
说明：坡印廷矢量的 大小表示单位时间内通过垂直于
能量传输方向的单位面积的电磁能量 。
坡印廷矢量的 方向即为电磁能量传播方向 。
,EH
讨论,1、若 为与时间相关的函数 (瞬时形式 ),则
( ) ( ) ( )S t E t H t??
称为坡印廷矢量的 瞬时形式 。
2、对某些时变场,呈周期性变化。则将瞬
时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均，得平均坡印
廷矢量（平均能流密度矢量），即
,EH
00
11 ( ) ( ) ( )TT
avS S t d t E t H t d tTT? ? ???
注,与 时间 t无关 。
avS
电子科技大学
三、例题
例：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为
0 c o s ( ) ( / )yE e E t k z V m???求,(1)磁场强度；（ 2）瞬时坡印廷矢量；（ 3）平均
坡印廷矢量
解,(1)
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电子科技大学
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第六节 波动方程
在无源区域中充满均匀, 线性, 各向同性的无耗
媒质空间中 ( ),由麦克斯韦方程组0? ?
dBE
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无源区电场
波动方程
同理, 可以推得无源区磁场波动方程为：
2
2
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HH
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电子科技大学
从上方程可以看出,时变电磁场的电场场量和磁场场
量在空间中是以波动形式变化的, 因此称时变电磁场
为电磁波 。
建立波动方程的意义：通过解波动方程, 可以求出空
间中电场场量和磁场场量的分布情况 。 但需要注意的
是：只有少数特殊情况可以通过直接求解波动方程求
解 。
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第七节 动态矢量位和标量位
一, 定义
BA
B
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令：, 可得
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故：
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(,),
(,),
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动 态 矢 量 位
动 态 标 量 位
0B? ? ? ?
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说明,1,时变场电场场量和磁场场量均为时间和空
间位置的函数, 因此 动态矢量位和动态标量位也为时
间和空间位置的函数 。
2,由于时变场电场和磁场为统一整体, 因此 动态
标量位和动态矢量位也是一个统一的整体 。
为了使时变电磁场场量和动态位之间满足一一对
应关系, 须引入额外的限定条件 —— 规范条件 。
A t??? ?? ? ? ?
洛伦兹规范条件
二、洛伦兹规范条件
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三, 动态位满足的方程
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电子科技大学
引入洛伦兹规范条件, 则方程简化为
2
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达朗贝尔方程
从达朗贝尔方程可以看出：
(,) (,) (,) (,)r t r t A r t J r t?? 的 源 是, 的 源 是
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作业
法拉第电磁感应定律
6.3
位移电流
6.5
坡印廷定理
6.15 6.18
