电子科技大学
第七章 正弦平面电磁波
?时谐场：场量随时间 按正弦规律变化 的电磁场 。 时谐
场也称为正弦电磁场 。
?正弦电磁波在工程上应用广泛, 有如下特点：
1,易于激励；
2,由傅立叶级数可知：在线性媒质中, 正弦电磁波
可以合成其他形式的电磁波 。
本章主要内容：
?时谐场的波动方程 —— 亥姆霍兹方程
?无界 理想媒质 中的均匀平面波
?无界 导电媒质 （ 损耗媒质 ） 中的均匀平面波
?在媒质分界面上波的 反射 与 透射
电子科技大学5.3 时变电磁场的能量
1 Poynting定理
时变电磁场具有能量已被大量的事实所证
明。时变电磁场可以脱离电荷或电流而在
空间存在，且随时间的变化在空间以波动
形式传播。那么时变电磁场的能量又以何
种形式存在于空间，它是否随电磁波的传
播而在空间传播？首先来讨论时变电磁场
能量的守恒与转化关系。
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设有一闭合介质空间区域 V，其内
存在时变的电荷、电流和电磁场。
J
ρ
V
场的能量密度设为, ? ?t,wr
能量流密度矢量, ? ?t，rS
由于时变电磁场的波动特
点，闭合空间内部的电磁
场有可能传播到外部，外
部空间的电磁场也有可能
传播到空间内部，闭合空
间的内外有可能存在电磁
场能量的交流。
? ? ? ? ? ? Vt,Vt t,wt,
VVS
ddd vrfrsrS ??????? ????????
根据能量守恒定律：
? ?t，rf 表示场对荷电系统作用力密度
v 为荷电系统运动速度
表示通过界
面在单位时
间内进入 V
内电磁场的
能量
表示单位
时间内空
间区域电
磁场能量
的增量
区域内
场对荷
电系统
所作的
功率
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? ? ? ?t,t,wt rSrvf ????????
? ? ?????? ????????????????? tE DHEJEvEvBvEvf 2????
? ? ? ? ? ?HEtDEtBHHEtDEEHDHEvf ?????????? ??????????????????????????? ???????? t
? ? ?????? ?????????? tDEtBHr twt,
? ? ? ? ? ?ttt,,,rHrErS ??
? ? ???????? ???????? ???????????
VVS
VVtt ddd vfDEBHSHE
表示闭合空间区域 V内电磁场能量守恒和转化的关
系式，称为 Poynting定理，其中
称为 Poynting矢量
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对于线性均匀各向同性介质，
HBED ?? ??,? ? ? ?2221 EHr ?? ??t,w
2 电磁场能量的传播
Poynting定理给出了时变电磁场能量传播的一个新
图像，电磁场能量通过电磁场传播。这对于广播电
视、无线通信和雷达等应用领域是不难理解的。
电子科技大学恒定电流或低频交流电的情况下,场量往往是通
过电流、电压及负载的阻抗等参数表现，表面上
给人造成能量是通过电荷在导线内传输的假象。
I
如能量真是通过
电荷在导线内传
输，常温下导体
中的电荷运动速
度约 10-5m/s，电
荷由电源端到负
载端所需时间约
是场传播时间
（ L/c）的亿万倍
负载只需
经过极短
（ t=L/c，
其中 c为光
速）的时
间就能得
到能量的
供应。
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第一节 亥姆霍兹方程
一, 时谐场场量的复数表示
?时谐场所满足的波动方程即为亥姆霍兹方程 。
?对于时谐场, 其场量 和 都是以一定的角频率 随
时间 t按正弦规律变化 。
E H ?
(,,,) (,,) c o s[ (,,) ]
(,,,) (,,) c o s[ (,,) ]
(,,,) (,,) c o s[ (,,) ]
x x m x
y y m y
z z m z
E x y z t E x y z t x y z
E x y z t E x y z t x y z
E x y z t E x y z t x y z
??
??
??
? ??
?
???
?
???
在直角坐标系下, 电场可表示为：
x x y y z zE e E e E e E? ? ?
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式中,为电场在各方向分量的幅度
,,x m y m zmE E E
x y z? ? ?，,
为电场各分量的初始相位
由复变函数, 知：, 则：
c o s ( ) R e ( )jw tw t e?
[]
[]
[]
R e ( ) R e ( )
R e ( ) R e ( )
R e ( ) R e ( )
x
y
z
jt jt
x x m x m
jt jt
y y m y m
jt jt
z zm zm
E E e E e
E E e E e
E E e E e
?? ?
?? ?
?? ?
?
?
?
? ??
??
???
?
????
式中：
x
y
z
j
x m x m
j
y m y m
j
zm zm
E E e
E E e
E E e
?
?
?
? ?
??
??
?
???
场量上加 点表示为复数 。
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因此时谐场中, 电场强度可表示为
x x y y z zE e E e E e E? ? ?
R e ( ) R e ( ) R e ( )j w t j w t j w tx x m y y m z z me E e e E e e E e? ? ?
R e [ ( ) ]j w tx x m y y m z z me E e E e E e? ? ?
R e [ ]jwtmEe?
m x x m y y m z zmE e E e E e E? ? ?
式中：
同理, 可得：
Re [ ] Re [ ]
Re [ ] Re [ ]
Re [ ]
jw t jw t
mm
jw t jw t
mm
jwt
m
D D e J J e
H H e e
B B e
??
? ??
?
?
???
?
??
?
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二, 麦克斯韦方程组的复数形式
很明显, 对于时谐场
R e [ ],R e [ ]j t j tmmEB E e B ejj
tt
????????
故由麦克斯韦方程组微分形式, 可得：
0
e
DHJ
t
BE
t
B
D ?
? ?? ? ? ?
??
? ?? ? ? ?
? ?
? ??
?
???
( ( )
(
( ) 0
()
j t j t
m m m
j t j t
mm
jt
m
j t j t
mm
H e J j D e
E e j B e
Be
D e e
??
??
?
??
?
?
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ?
???
? ??
?
)
)
为了简化书写, 约定 写做, 而 项则省略不写,
则方程变为,mB
B jte?
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0
H J j D
E j B
B
D
?
?
?
? ? ? ? ?
?? ? ? ? ?
?
??
?
????
麦克斯韦方程组复数形式
注意,1） 方程中各场量形式上是实数及源量均应为复
数形式 （ 为了简化书写而略写 ） 。
2） 方程中虽然没有与时间相关的因子, 时间因
子 为缺省式子 。
3） 麦克斯韦方程组复数形式只能用于时谐场 。
jte?
说明,场量的复数形式：
0 jE E e ??场量的实数形式,
0 c o s ( )E E t????
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场量的复数形式转换为实数形式的方法：
0 jE E e ??
jte ???????
()0 jtEe ??? ?????
取 实 部
0 c o s ( )Et???
三, 亥姆霍兹方程
在时谐场中, 由于场量随时间呈正弦规律变化, 则
22
22
22,
EH EH
tt
????? ? ? ?
则无源空间的波动方程变为：
2
2
2
2
2
2
0
0
E
E
t
H
H
t
??
??
?
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
??
22
22
0
0
EE
HH
? ? ?
? ? ?
??
?
? ? ?
?? ??
?
?
亥姆霍兹方程
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若令：, 则亥姆霍兹方程变为
22k ? ???
22
22
0
0
E k E
H k H
? ? ?
?
?
?
?
? ?
?
?
说明：亥姆霍兹方程的解为时谐场 （ 正弦电磁波 ） 。
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可以推知, 在时谐场中, 平均坡印廷矢量可以表示为：
1 R e [ ]
2avS E H
???
上式中：, 为场量的 复数表达式 ；E H
H? 为对场量 取共轭运算 。H
第二节 平均坡印廷矢量
( ) ( ) ( )S t E t H t??
0
1 ()T
avS S t dtT? ?
坡印廷矢量瞬时形式：
平均坡印廷矢量：
在上面的式子中, 和 均应为实数形式, 即：
()Et ()Ht
00( ) c o s ( ),( ) c o s ( )E t E t H t H t? ? ? ?? ? ? ?
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211Re ( ) Re ( )
22
jtE H E H e ??? ? ? ?
代入第一式,
2
0
1 1 1[ Re ( ) Re ( ) ]
22
T jt
avS E H E H e d tT
??? ? ? ??
1 R e ( )
2 EH
???
( ) ( ) ( )S t E t H t?? R e [ ] R e [ ]j t j tE e H e????
11[ ( ) ] [ ( ) ]
22
j t j t j t j tE e E e H e H e? ? ? ???? ? ? ?
221 []
4
j t j tE H e E H E H E H e?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
证明：
0
1 ()T
avS S t dtT? ?
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第三节 理想介质中的均匀平面波
?平面波,波阵面为平面 的电磁波 （ 等相位面为平面 ） 。
?均匀平面波,等相位面为平面, 且在等相位面上, 电,
磁场 场量的振幅, 方向, 相位处处相等 的电磁波 。
?在实际应用中, 纯粹的均匀平面波并不存在 。 但某些
实际存在的波型, 在远离波源的一小部分波阵面, 仍可
近似 看作均匀平面波 。
一, 亥姆霍兹方程的平面波解
在正弦稳态下, 在均匀, 各向同性理想媒质的无源区
域中, 电场场量满足亥姆霍兹方程, 即：
2 2 2 20 ( )E k E k ? ? ?? ? ? ?
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考虑一种简单情况, 即电磁波电场沿 x方向, 波只沿 z
方向传播, 则由均匀平面波性质, 知 只随 z坐标变化 。
则方程可以简化为：
E
222
2
2 2 2 0
EEE kE
x y z
???? ? ? ? ?
? ? ?
222
2
2 2 2
222
2
2 2 2
222
2
2 2 2
0
0
0
xxx
x
yyy
y
zzz
z
EEE
kE
x y z
EEE
kE
x y z
EEE
kE
x y z
? ???
? ? ? ?
?
? ? ?
?
????
? ? ? ? ??
? ? ?
?
????
? ? ? ?
?
? ? ?
?
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2
2
2 0
x
x
E kE
z
? ??
?
解一元二次微分方程, 可得上方程通解为：
jk z jk zx m mE E e E e? ? ???
式中,, 为待定常数 （ 由边界条件确定 ）,
mE? mE?
讨论,1,为通解的 复数表达形式,
通解的 实数表达形式 为,jk z jk zx m mE E e E e? ? ???
R e [ ( ) ]
c o s ( ) c o s ( )
j k z j k z j t
x m m
mm
E E e E e e
E t k z E t k z
?
??
? ? ?
??
??
? ? ? ?
2,通解的物理意义：
波动方程平面波解
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?
0t? ?
4t
?? ?
2t
?? ?
?
不同时刻 的波形
xE?
kz
Ex
0 π
2π
3π
首先考察 。 其
实数形式为,jkzmEe??
c o s ( )mE t k z?? ?
在不同时刻, 波形如右图 。
从图可知, 随时间 t增加, 波形向 +z方向平移 。 故：
jkze?
表示向 +z方向传播的均匀平面波；
jkze
同理可知：
表示向 -z方向传播的均匀平面波；
亥姆霍兹方程通解的物理意义,表示沿 z向 (+z,-z)
方向传播的均匀平面波的合成波 。
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二, 无界理想媒质中均匀平面波的传播特性
在无界媒质中, 若均匀平面波向 +z向传播, 且电场方
向指向 方向, 则其电场场量表达式为：
xe
0 (j k zxE e E e ?? 场 量 的 复 数 形 式 ）
0 c o s ( ) (xE e E t k z???或 场 量 的 实 数 形 式 ）电磁波的场量表达式包含了有关波特性的信息 。
1,均匀平面波电场场量的一般表达式
0
0
(
c o s ( ) (
j k r jE E e
E E t k r
?
??
??? ?
?
?
? ? ???
复 数 形 式 ）
实 数 形 式 ）
式中,表示电磁波中 电场的幅度
00EE＝
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的方向表示电磁波中 电场的方向
0E
表示电磁波动的 角频率?
为 波矢量
k
为波的 初始相位?
2,波的频率和周期
2 2ff ??? ?? ? ?
频率：
12TT
f
?
?
? ? ?
周期：
波数 k,长为 距离内包含的波长数。2?
2k ? ? ? ?
???
3,波数 k,波长与波矢量 k
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2 2 1
k f
???
? ? ? ? ?
? ? ?
波长,
波矢量,表征 波传播特性的矢量k
k k k? 式中,k即为波数 2
k ? ? ? ????
即为 表示波传播方向 的单位矢量。k
4,相位速度 （ 波速 ）
?1t
z
Ex
0 π
2π
3π
如图所示电磁波向 +z方
向传播，从波形上可以认
为是整个波形随着时间变
化向 +z方向平移。
12t t?
0t k z??? ???
相位：
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0t k z c o n s t??? ??? ＝令
两边对时间 t去导数, 得：
10
p
d z d zkv
d t d t k
??
??
? ? ? ? ? ?
讨论,1,电磁波传播的 相位速度仅与媒质特性相关 。
2,真空中电磁波的相位速度：
0
7900
11
1
4 1 0 1 0
36
pv
??
?
?
??
??
??
80 3 1 0 ( / ) (pv m s c? ? ? ? 光 速 )
真空中电磁波相位速度为光速 。
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13 p
p
v
vf
ff
??
??
? ? ?,=
5,场量, 的关系E H
0 jk rE E e ??
BE j B
t
??? ? ? ? ? ?
?
??
?
?
0() jk rj H E e?? ?? ? ? ?
0() jk rj H j k E e?? ?? ? ? ? ?
H k E?
?
? ? ?
为表示波传播方向
的单位矢量。
k
同理可以推得：
E H k?
?
??
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从公式可知：均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度
之比为一定值 。 定义 电场幅度和磁场幅度比为媒质本征
阻抗, 用 表示, 即：
?
E
H
?
?
?
?＝
—— 媒质本征阻抗
特殊地：真空 （ 自由空间 ） 的本振阻抗为：
7
0
0
90
4 1 0
1 2 0 3 7 7 ( )
1
10
36
? ?
??
?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
?
结论,在自由空间中传播的电磁波, 电场幅度与磁场
幅度之比为 377。
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说明：
1H k E
?
??
E H k???
??
?
?
、, 三者相互垂直, 且满
足右手螺旋关系 。
E H k
6,能量密度和能流密度
电场能量密度：
21
2ewE??
磁场能量密度：
21
2mwH??
2211()
22
EE???
?
? ? ?
emww??结论,理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量 。
实数表达形式
电磁波的能量密度：
22emw w w E H??? ? ? ?
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k
E
H
小结：无界理想媒质中均匀平面波的传播特性：
?电场与磁场的振幅相差一个因子 ?
?电场、磁场的时空变化关系相
同。
?电场、磁场的振幅不随传播距
离增加而衰减。
?电场和磁场在空间相互垂直且都垂直于传播方向。
、, （波的传播方向）满足右手螺旋关系E H k
电磁波的能流密度：
211S E H E k E E k
??
? ? ? ? ? ?
2
00
11R e [ ] ( )
22av
S E H E k E
?
?? ? ? 为 电 场 振 幅
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例 频率为 100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理
想介质中沿 +Z方向传播，介质的特性参数为
。设电场沿 x方向，即 。已知：当 t=0,
z=1/8 m时，电场等于其振幅值 。
试求,（ 1）波的传播速度、波长、波数；（ 2）电场和磁
场的瞬时表达式； （ 3）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。
4,1rr????
xxE e E?
41 0 /Vm?
0? ?
解：由已知条件可知：频率,
振幅,
100f M H z?
40 1 0 /xE V m??
(1)
8
00
1 1 1 3 1 0 /
2p rr
v m s
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
88242 1 0 1 0
33k ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
电子科技大学
2 1,5 m
k
?? ??
(2)设
00c o s ( )xE e E t k z??? ? ?
由条件，可知：
48
0
41 0 2 1 0
3Ek ? ? ?
?? ? ? ?，,
48
0
41 0 c o s ( 2 1 0 )
3xE e t z? ? ?
?? ? ? ?即,
由已知条件，可得：
44
0
4110 10 c os ( )
38??
??? ? ?
0 6
????
48 41 0 c o s( 2 1 0 )
36xE e t z
????? ? ? ? ?
H k E?
?
??
电子科技大学
4814 10 c os( 2 10 )
60 3 6zxe e t z
???
?
?? ? ? ? ?
48 41 0 c o s ( 2 1 0 )
6 0 3 6
ye tz ???
?
?? ? ? ?
(3) ( ) ( ) ( )S t E t H t??
8 2 8 41 0 c o s ( 2 1 0 )
6 0 3 6
ze tz ???
?
?? ? ? ?
0
1 ()T
avS S t dtT? ?
8
210 /
120z
e W m
?
?
?
另解,44
3610 j z j
xE e e
????
??
4
4 3610
60
j z jye
He
??
?
???
?
1 R e [ ]
2avS E H
???
8
210 /
120z
e W m
?
?
?
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第四节 波的极化特性
注意：电磁波的极化方式由 辐射源 (即天线 )的性质
决定 。
一、极化的定义
波的极化：指空间某固定位置处 电场强度矢量随时
间变化 的特性。
极化的描述：用电场强度矢量 终端端点在空间形成
的轨迹表示。
E
二、极化的分类：
线极化：电场仅在一个方向振动，即电场强度矢量端
点的轨迹是一条直线；
椭圆极化：电场强度矢量端点的轨迹是一个椭圆（椭
圆的一种特殊情况是圆）
电子科技大学E=e
xcos(wt-kz)
y
x
o
观察平面, z=const
z
显然, 电场的振动方向始终是沿 x轴方向, 所以这
是一个沿 x方向的线极化波 。
三、极化的判断
?通过两个相互正交的线极化波叠加，合成得到不同
的极化方式。
?由电磁波电场场量或者磁场场量，可以判断波的极
化方式。
y
zx
o
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设均匀平面电磁波向 +z方向传播，则一般情况下，
其电场可以表示为：
x x y yE e E e E??
c o s ( )
c o s ( )
x x m x
y y m y
E E t k z
E E t k z
??
??
??
??
式 中, ＝
＝
由于空间任意点处电场随时间的变化规律相同，故选
取 z=0点作为分析点，即：
c o s ( )
c o s ( )
x x m x
y y m y
E E t
E E t
??
??
?
?
＝
＝
场量表达式中,的取值将决定波的极
化方式。,,,x m y m x yEE ??
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1、当 时0
xy? ? ??? 或
22
x x y y x yE e E e E E E E? ? ? ?＝
22 c o s ( )
x m y mE E E t??? ? ?＝
电场与 x轴夹角为：
0a r c ta n (
a r c ta n
a r c
)
t n ( )a
ym
x
xmy
ym
x
m
y
x
x
y
E
c on st
EE
EE
c on st
E
??
? ? ?
?
??
?
??
?
?? ?
? ?? ?
?
?
?
结论,当 时，电磁波为线极化波 。0
xy? ? ??? 或
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2、当 且 时
2xy
???? ? ?
xm ymEE?
22
x m y mE E E c o n s t? ? ?＝
c o s ( )
c o s ( ) s i n ( )
2
x x m x
y y m x y m x
E E t
E E t E t
??
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
＝
＝
22
xyE E E?＝
合成电场的模及其与 x轴夹角为：
(
a r c ta
2
n
(
)
2
)
x x y
xy
y
xx
tE
E t
?
?
?? ? ?
?? ? ??
??? ???
??
? ? ?
?
??
?
从上可知：合成电场矢量终端形成轨迹为一圆，电
场矢量与 x轴夹角随时间变化而改变。
电子科技大学
x
y
t???
z
()
2
xy
?
??? ? ?
E
如图，当 时，可
以判断出：电场矢量终端运动方向
与电磁波传播方向满足右手螺旋关
系 —— 右旋极化波。
2xy ???? ? ?
结论,当 且
xm ymEE?2xy ???? ? ?
时，合成波为右旋圆极化波。
同理,当 且
2xy ????? xm ymEE?时，合成波为左旋圆极化波。
说明：上述结论适用于向 +z方向 传播的均匀平面波。
对于向－ z方向传播的均匀平面波，其波的极化
旋转方向与向 +z方向传播的同幅同相波相反。
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结论,两个频率相同、传播方向相同的正交电场分量
的振幅和相位是任意的，则其合成波为椭圆极化波 。
说明：圆极化波和线极化波可看作是椭圆极化波的特
殊情况。
3、其他情形
0,xy? ? ???若 令,, 则,
c o s ( )
c o s ( ) c o s c o s s i n s i n )
x x m
y y m y m
E E t
E E t E t t
?
? ? ? ? ? ???
＝
＝ ＝ （
2 2 2) ( ) 2 c o s s i nyy xx
y m x m x m y m
EE EE
E E E E
??? ? ? ? ? ?… … （
2c o s 1 ( ) s iny xx
y m x m x m
E EE
E E E
??? ? ?
电子科技大学
例 根据电场表示式判断它们所表征的波的极化形式 。
所以，合成波为线极化波。
( 1 ) ( ) j k z j k zx m y mE z e j E e e j E e??
解：
02x y x y?? ? ? ?? ? ? ? ?,故,
( 2 ) (,) s i n ( ) c o s ( )x m y mE z t e E t k z e E t k z??? ? ? ?
解：
,022x y x y??? ? ? ?? ? ? ?,故,
x m y m mE E E??
故：合成波为左旋圆极化波。
( 3 ) (,) s i n ( ) c o s ( )x m y mE z t e E t k z e E t k z???? ＋ ＋
解：合成波为右旋圆极化波。
电子科技大学
( 4 ) ( ) j k z j k zx m y mE z e E e e j E e? － －－
解：
(,) c o s( ) c o s( )2x m y mE z t e E t k z e E t k z ???? ? ? ?+
0,22x y x y??? ? ? ?? ? ? ? ? ?
x m y m mE E E??
故：合成波为右旋圆极化波。
( 5 ) (,) s i n ( ) c o s ( 4 0 )x m y mE z t e E t k z e E t k z??? ? ? ?+
解：合成波为椭圆极化波。
电子科技大学
第五节 导电媒质中的均匀平面波
一、导电媒质中的波动方程
在无源的导电媒质区域中，麦克斯韦方程为
第一个方程可以改写为
称为 复介电
常数 或 等效
介电常数
?导电媒质的典型特征是电导率 ? ≠ 0。
?电磁波在其中传播时, 有传导电流 存在, 同时
伴随着电磁能量的损耗, 电磁波的传播特性与非导电媒
质中的传播特性有所不同 。
JE??
H E j E E j B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
00HE? ? ? ?
()H j E
j
???
?
? ? ? ? cjE???
eJ
电子科技大学说明：复介电常数
' ''c jj?? ? ? ??? ? ? ?
其中：,仅与媒质本身介电常数有关；'???
，与媒质本身导电率和波的频率有关；
'' ?? ??
为了方便 描述导电媒质的损耗特性,引入 媒质损
耗正切角 (用 表示 )的概念。定义：
c?
''t a n a r c t a n ( )
'cc
? ? ???
? ? ? ? ?
? ? ? ?
cH j E E j B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
00HE? ? ? ?
引入等效复介电常数后，麦克斯韦方程组可记做：
电子科技大学
推得导电媒质中的波动方程为：
2 2 2 2
2 2 2 2
00ccE E E k E
H H H k H
? ? ?
? ? ?
????
???
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
式中,称为复波数。
2 2 2cckj? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
比较损耗媒质中的波动方程和理想介质中的波动方程
可知：方程形式完全相同，差别仅在于,
cckk????
二、导电媒质中的波动方程的解
因此，在损耗媒质中波动方程对应于沿 +z方向传播的
均匀平面波解为：
cjk zx x mE e E e ??
式中：,为复数。
2
c ck ? ? ??
电子科技大学
可建立方程组：
令,则由
ckj???? 2 2 2cckj? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
2 2 2
2
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ??
? ?
?
2
2
[ 1 ( ) 1 ]
2
[ 1 ( ) 1 ]
2
? ? ?
??
??
? ? ?
??
??
?
? ? ? ?
?
? ?
?
? ? ??
?
()j j z z j zx x m x x mE e E e e E e e? ? ? ?? ? ? ???
所以损耗媒质中波动方程解可以写为：
写成 实数形式 （ 瞬时形式 ），得：
(,) c o s ( )zx x mE z t e E e t z? ?????
电子科技大学
三、导电媒质中的平面波的传播特性
1、波的振幅和传播因子
振幅,随着波传播 (z增加 ),振幅不断减小 。
zxmEe ??
传播因子,波为 均匀平面波 （ 行波 ）。
jze ??
2、幅度因子和相位因子
只影响波的振幅，故称为 幅度因子 ；?
只影响波的相位，故称为 相位因子 ；其意义
?与 k相同，即为损耗媒质中的 波数 。
3、相位速度（波速）
在理想媒质中,1
p
cv
kf
?
??
? ? ?
电子科技大学
在损耗媒质中：
pv
?
?
?
很明显：损耗媒质中波的相速与波的 频率有关 。
色散现象,波的传播速度（相速）随频率改变而改变的
现象。具有色散效应的波称为色散波。
结论,导电媒质 （ 损耗媒质 ） 中的电磁波为色散波 。
4,场量, 的关系E H
可以推知：在导电媒质中，场量, 之间关系与在
理想介质中场量间关系相同，即：
E H
式中,为波传播方向
1
c
H k E
?
??
cE H k??? k
为导电媒质本征阻抗
c
c
??
?
＝
电子科技大学
讨论,(1),, 三者相互垂直, 且满足右手螺旋关系E H k
(2)
c
c
??
?
＝
1
a r c ta n
2
j
c e
j
?
??
?
?
?
?
?
?
?
＝
在导电媒质中, 电场和磁场在空间中不同相 。
电场相位超前磁场相位 。
1 a rc t a n
2j
?
??小结：无限大导电媒质中电磁波的特性：
1、为横电磁波（ TEM波）,、, 三者满足右手螺旋关系E H k
2、电磁场的幅度随传播距离的增加而呈指数规律减小；
3、电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；
4、是色散波。波的相速与频率相关。
电子科技大学
四、媒质导电性对场的影响
对电磁波而言，媒质的导电性的强弱由 决定。?
??
1
1
1
?
??
?
?
?
? ?
?
良 导 体
弱 导 体
半 导 体
从上可知：媒质是良导体还是弱导体，与电磁波的频
率有关，是一个 相对 的概念。
1、良导体中的电磁波
在良导体中，,则前面讨论得到的, 近似为
1??? ? ?
11
22
ff? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ＝ ＝
电子科技大学
4
1
1
jj
e
jj
?? ? ? ? ? ? ?
?
?? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
??
c ＝
重要性质,在良导体中，电场相位超前磁场相位
4
?
在良导体中，衰减因子 。对于一般的高频
电磁波 (GHz)，当媒质导电率较大时,往往很大，电磁
波在此导电媒质中传播很小的距离后，电、磁场场量的振
幅将衰减到很小。
f? ? ???
?
因此：电磁波只能存在于良导体表层附近，其在良导体
内激励的高频电流也只存在于导体表层附近，这种现象成
为 趋肤效应 。
我们用 趋肤深度 (穿透深度 )来表征良导体中趋肤效应的
强弱。
电子科技大学
趋肤深度,电磁波穿入良导体中，
当波的幅度下降为表面处振幅的
时，波在良导体中传播的距离，称为
趋肤深度 。
?
1e
jk z
e
?
1
z j z
ee
????
1
e?111e
e f
?? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
2、弱导体中的电磁波
在良导体中，,则前面讨论得到的, 近似为
1??? ? ?
,
2
??? ? ? ? ?
?
??
在弱导电媒质中，仍存在能量损耗，波的相位常数近
似等于理想媒质中波的相位常数，
电子科技大学
第六节 均匀平面波对分界面的垂直入射
?本节讨论单一频率均匀平面波在两个半无界介质分界
面上的反射与透射, 设分界面为无限大平面, 分界面位
于 z=0处 。
本节以入射波为 x方向的线极化波为例进行讨论 。
一、对理想导体的分界面的垂直入射
x
+E
+H
?E
?H
入
反
2? ??
y z
1 0? ?
设左半空间是理想介质, ?1＝
0； 右半空间为理想导体, ?2＝
∞ 。 分界面在 z = 0 平面上 。
理想介质内将存在入射波和反
射波。
电子科技大学
设入射波电场为
jk zxmE e E e? ? ??
设反射波电场为
jk zxmE e E e???
则入射波磁场为
1
1
j kz
z x m
j kz
ym
H e e E e
e E e
?
?
? ? ?
??
??
?
则反射波磁场为
1
()
1
jk z
z x m
jk z
ym
H e e E e
e E e
?
?
??
?
? ? ?
?
?
由理想导体边界条件可知：
0tE ?
0( ) 0xx zEE
??
?? ? ?
0mmEE??? ? ? mmEE??? ? ?
反射波电场为：
jk zxmE e E e????
电子科技大学
理想媒质中的合成场为：
()j k z j k zxmE E E e E e e? ? ???－合 ＝ ＝
()j k z j k zmy EH H H e e e
?
?
????－
合 ＝ ＝
2 s i nxmje E k z???
2 c os
yme E k z?
??
合成波场量的实数表达式为：
R e [ 2 s i n ] 2 s i n s i njtx m x mE j e E k z e e E k z t? ???? ? ?合
22R e [ c o s ] c o s c o sjt
y m y mH e E k z e e E k z t
? ?
??
????
合
电子科技大学讨论,1,合成波的性质：
? 对任意时刻 t,在
合成波电场皆为零 ? ?0,1,2,..,.,2z n z n n
???? ? ? ? ?或
?对任意时刻 t,在
合成波磁场皆为零 ? ? ? ? ? ?2 1 2 1 0,1,2,..,.,24b z n z n n
??? ? ? ? ? ? ?或
z
Ex
0
2
????32??
z
Hy
0
4??34??54??
Hy
4??34??
54??
合成波的性质：
?合成波为纯驻波
?振幅随距离变化
?电场和磁场最大值和
最小值位置错开 ?/4
?电场和磁场原地振荡，
电、磁能量相互转化。
电子科技大学2,导体表面的场和电流
0 02 s in s in 0xmz zE e E k z t?
?
? ???合
0
0
22c o s c o s c o s
y m y mz
z
H e E k z t e E t??
??
??
?
?
??合
在理想导体表面的感应面电流为：
0
22 c o s c o sm
S z y m xz
EJ n H e e E t e t??
??
?
?
?
? ? ? ? ? ?合
3,合成波的平均能流密度
1 R e [ ]
2avS E H
???
合 合
14R e [ s i n c o s ] 0
2 zm
e j E k z k z
?
?? ? ?
结论：合成波 (驻波 )不传播电磁能量, 只存在能量转化 。
电子科技大学
二、对两种理想介质分界面的垂直入射
x
rE
rH
iE
iH
入
反
1 2
y z
tE
tH
透
设左, 右半空间均为理想介质,
?1＝ ?2＝ 0。 电磁波在介质分界面
上将发生 反射 和 透射 。 透射波在
介质 2中将继续沿＋ z方向传播 。
设入射波电场为 (一般已知 )
1jk zi x imE e E e ??
1
1
jk zim
iy
EH e e
?
???设反射波电场为
1jk zr x r mE e E e?
1
1
jk zrm
ry
EH e e
?
? ? ? 1 1 1
k ? ? ??设透射波电场为
2jk zt x tmE e E e ??
2
2
jk ztm
ty
EH e e
?
??? 2 2 2
k ? ? ??
电子科技大学
由两种理想介质边界条件可知：
12 00
12 00
()
()
t t ix r x txzz
t t iy r y tyzz
E E E E E
H H H H H
??
??
? ? ? ? ??
? ? ? ? ?
??
媒质 1中总的电场, 磁场为：
11() j k z j k zi r x i m r mE E E e E e E e?? ? ? ?合
11
1
1 () j k z j k z
i r y i m r mH H H e E e E e?
?? ? ? ?
合
12
11
()
im rm tm
im rm tm
E E E
E E E
??
???
?
? ? ??
??
12
12
2
12
2
rm i m
t m i m
EE
EE
??
??
?
??
??
?
?? ?
? ?
? ?
???
式中：, 为媒质 1,2的本征阻抗 。
1? 2?
电子科技大学
定义,反射系数
12
12
rm
im
E
E
???
??
???
?
透射系数
2
12
2tm
im
E
E
??
??
??
?
1jk zr i x imE E e E e????
则
2jk zt i x imE E e E e?? ???
媒质 1中合成波为：
()j k z j k zi r x i mE E E e E e e??? ? ? ?合
1 1[ ( 1 ) 2 s i n ]j k zx i me E e j k z???? ? ?
电子科技大学
讨论,1,媒质 1中合成波的传播特点：
?前一项包含行波因子,表示振幅为 (1+?)Eim、沿 +z
方向传播的行波；
jkze?
?后一项是 振幅为 2?Eim的驻波；
?合成波为 行驻波 （混合波）：相当于一个行波叠加在
一个驻波上，电场的中心值不再是零，出现波节，但波
节点场值不为零。
2,反射系数和透射系数关系为：
1 2 2
1 2 1 2
211 ? ? ???
? ? ? ?
?? ? ? ? ?
??
当媒质 2为理想导体时,, 可知0? ? 1? ??
电磁波垂直入射到理想导体面上时, 反射系数为－ 1。
电子科技大学
3,当分界面两边为导电媒质时, 媒质本征阻抗为
复数, 即 均为复数, 故：
12,??
12
12
rm
im
E
E
???
??
???
?
2
12
2tm
im
E
E
??
??
??
?
也为复数。
在导电媒质两边，入射波和反射波、入射波和透
射波不同相 。
电子科技大学
第七节 均匀平面波对分界面的斜入射
?电磁波垂直入射时, 电场和磁场总是平行分界面的 。
?斜入射时, 传播方向与分界面法向不平行, 电场或磁
场可能与分界面不平行 。
y
x
E
∥
Ei
E⊥
k 入射角 ?i
入射面
分界面
介质 2
介质 1
入射方向
z一, 几个重要概念
?入射面,入射射线与
分界面法线构成的平面 。
?平行极化入射,入射波电场
方向平行于入射面的入射方式 。
?垂直极化入射,入射波电场
方向垂直于入射面的入射方式 。
?入射角,入射射线与
分界面法线夹角 。
电子科技大学
二, 反射定律和折射定律
x
ki
n
?i
分界面
2
1
z
?r
?t
kr
kt电磁波斜入射到介质分解面
上时, 将发生 反射 和 折 (透 )射
现象 。 反射波和透射波的 传播
方向遵循反射定律和折射定律 。
斯耐尔 反射定律,
ir???
斯耐尔 折射定律,
22
11
sin
sin
i
t
???
? ??
?
三, 垂直极化波对理想介质分界面的斜入射
设 z<0和 z>0空间分别为两个半无限完纯介质 。 设入,
反, 透射三波的传播方向分别为 ei,er,et,且 ki=eik1，
kr=erk1,kr=erk2,有
电子科技大学
x
ei
n
?i
分界面
2
1
z
?i
?t
er
et
Hi
Ei Er
Hr
Ht
Et
? ?
? ?
? ?
1
1
2
i
r
t
jk
i i m
jk
r r m
jk
t t m
e
e
e
?
?
?
?
?
?
er
er
er
E r E
E r E
E r E
入：
反：
透：
设：
则,? ?
? ?
? ?
1
1
2
i
r
t
jk
i im
jk
r rm
jk
t tm
e
e
e
?
?
?
?
?
?
er
er
er
H r H
H r H
H r H
入：
反：
透：
在边界面上，有
1100 s in,s ini i r rzzk r k x k r k x??????
20 s inttzk r k x ?? ?
由斯耐尔折射定律，知三者相等。即：
10 0 0 s ini r t iz z zk r k r k r k x ?? ? ?? ? ?
k ? ???
电子科技大学
由边界条件可知，在边界面上
1 2 1 2,t t t tE E H H??
可得：
( ) c o s c o s
i m r m t m
i m r m i t m t
E E E
H H H??
???
? ??
?
21
21
2
21
c o s c o s
c o s c o s
2 c o s
c o s c o s
itr
i i t
ti
i i t
E
E
E
E
? ? ? ?
?
? ? ? ?
??
?
? ? ? ?
?
?
??
??
?
??
? ?
? ??
? ?
?
菲涅尔公式
若媒质为非磁性媒质，即,12 1rr????
电子科技大学1
2
1
2
c o s c o s
sin c o s sin c o s
sin c o s sin c o s
c o s c o s
sin ( )
sin ( )
it
t i i t
t i i t
it
ti
ti
?
??
? ? ? ? ?
?
? ? ? ??
??
?
??
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
s i n / s i ntin ???
2 c o s s i n
s i n ( )
it
it
???
???
?
?
??⊥ ＞ 0,入, 透射波同相
??2＜ ?1时,?i＜ ?t,?⊥ ＞ 0,入, 反射波同相
??2＞ ?1时,?i＞ ?t,?⊥ ＜ 0,入, 反射波反相, 半波损失
同理：
说明,1） 1 ??
????
2）入射波、反射波相位关系：
电子科技大学
四, 平行极化波对理想介质分界面的斜入射
x
ei
n
?i
分界面
2
1
z
?i
?t
er
et
Hi
Ei Er
Hr
Et
Ht
同理，在介质分界面两边根
据边界条件，可以求得：
12
12
2
12
c o s c o s
c o s c o s
2 c o s
c o s c o s
itr
i i t
ti
i i t
E
E
E
E
? ? ? ?
?
? ? ? ?
??
?
? ? ? ?
??
??
?
??
?
? ??
? ?
?
sin c o s sin c o s ta n ( )
sin c o s sin c o s ta n ( )
2 sin c o s
sin ( ) c o s( )
i i t t i tr
i i i t t i t
t t i
i i t i t
E
E
E
E
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
??
?
? ? ? ?
???
? ? ?
?
???
? ?
? ??
? ??
?
非磁性媒质中
电子科技大学五, 两种特殊情况
1、全反射和临界角
2
1
sin
1
sin
i
t
??
? ?
??
从斯耐尔折射定律可知, 对于非磁性媒质, 当
12???(即 波从光密媒质入射到光疏媒质 )时
即：透射角大于入射角 。 很明显, 当入射角增大为某一
特定角度时, 透射角 。 当入射角进一步增大时,
就将不再存在透射波 —— 全反射 。2t
?? ?
定义：刚好产生全反射时的入射角称为 临界角,即
c?
2
1
sin
s i n 9 0
c ??
?
? 2
1
a r c sinc
?
?
?
??
电子科技大学
讨论,1) 当 时,
2
1
a r c s inic
?
??
?
??
1??? ??
即电磁波被完全反射回来。
2）当发生全反射时 透射波的性质,
1
2
sin
sin sin
sin
i
ti
c
? ?
??
??
??
由折射定律，有
当 时,此时 为 复角 。
ic??? s in 1t? ? t?
22si n,c os 1 1
ttN N j N??? ? ? ? ? ?令 则此时，透射波的行波因子可以变形为：
? ? 222 2 2s i n c o s 1ttj k x zj k r k z N j k N xe e e e????? ? ? ???
电子科技大学
? 透射波沿 +x传播, 但其振幅沿 +z按指数规律衰减；
? 当电磁波以大于临界角的角度入射时, 进入介质 2的
电磁波将沿着分界面传播, 且其振幅随进入介质 2的深度
迅速衰减, 这种波称为 表面波；
? 可以证明进入介质 2平均能流密度 （ 平均功率 ） 为零,
即没有能量进入介质 2；
? 工程上利用这个原理制做 介质波导 （ 如光纤 ） 。
2、无反射 (全透射 )和布儒斯特角
波入射到两种媒质分界面, 如果反射系数为零, 称为
无反射 现象 (全透射 )。 发生无反射现象时波的入射角,
即为 布儒斯特角 。
电子科技大学
对于非磁性介质，由 平行极化入射时 的反射系数
t a n ( )
t a n ( )
it
it
???
??
??
?
02it ?? ? ?? ? ?当 时, ＝
即：当 发生全透射，此时 。
2it
???? - iB???
由折射定律
2
1
sin
sin
i
t
??
? ?
? 2
1
s in s in
c o ss in ( )
2
BB
B
B
???
? ? ?
?
? ? ?
?
?
2
1
arct anB
?
?
?
?
布儒斯特角
电子科技大学
说明,1）对垂直极化入射波
s i n ( )
s i n ( )
ti
ti
???
???
??
?
要使,则须,由折射定律0?
? ? it???
2
1
sin
sin
i
t
??
? ?
? 12????
无介质分界面
结论,只有对平行极化波存在全透射现象，对垂直极化
波不存在全透射现象。
2）全透射现象的应用
任意极化波以 ?B入射时，反射波中只有垂直分量 —
极化滤波
电子科技大学
第七章作业
7.3 7.4 7.5 7.6
理想媒质中的均匀平面波
7.7 7.9 7.12
导电媒质中的均匀平面波
7.14 7.15 7.22
波的垂直入射
7.27 7.28
波的斜入射
第七章 正弦平面电磁波
?时谐场：场量随时间 按正弦规律变化 的电磁场 。 时谐
场也称为正弦电磁场 。
?正弦电磁波在工程上应用广泛, 有如下特点：
1,易于激励；
2,由傅立叶级数可知：在线性媒质中, 正弦电磁波
可以合成其他形式的电磁波 。
本章主要内容：
?时谐场的波动方程 —— 亥姆霍兹方程
?无界 理想媒质 中的均匀平面波
?无界 导电媒质 （ 损耗媒质 ） 中的均匀平面波
?在媒质分界面上波的 反射 与 透射
电子科技大学5.3 时变电磁场的能量
1 Poynting定理
时变电磁场具有能量已被大量的事实所证
明。时变电磁场可以脱离电荷或电流而在
空间存在，且随时间的变化在空间以波动
形式传播。那么时变电磁场的能量又以何
种形式存在于空间，它是否随电磁波的传
播而在空间传播？首先来讨论时变电磁场
能量的守恒与转化关系。
电子科技大学
设有一闭合介质空间区域 V，其内
存在时变的电荷、电流和电磁场。
J
ρ
V
场的能量密度设为, ? ?t,wr
能量流密度矢量, ? ?t，rS
由于时变电磁场的波动特
点，闭合空间内部的电磁
场有可能传播到外部，外
部空间的电磁场也有可能
传播到空间内部，闭合空
间的内外有可能存在电磁
场能量的交流。
? ? ? ? ? ? Vt,Vt t,wt,
VVS
ddd vrfrsrS ??????? ????????
根据能量守恒定律：
? ?t，rf 表示场对荷电系统作用力密度
v 为荷电系统运动速度
表示通过界
面在单位时
间内进入 V
内电磁场的
能量
表示单位
时间内空
间区域电
磁场能量
的增量
区域内
场对荷
电系统
所作的
功率
电子科技大学
? ? ? ?t,t,wt rSrvf ????????
? ? ?????? ????????????????? tE DHEJEvEvBvEvf 2????
? ? ? ? ? ?HEtDEtBHHEtDEEHDHEvf ?????????? ??????????????????????????? ???????? t
? ? ?????? ?????????? tDEtBHr twt,
? ? ? ? ? ?ttt,,,rHrErS ??
? ? ???????? ???????? ???????????
VVS
VVtt ddd vfDEBHSHE
表示闭合空间区域 V内电磁场能量守恒和转化的关
系式，称为 Poynting定理，其中
称为 Poynting矢量
电子科技大学
对于线性均匀各向同性介质，
HBED ?? ??,? ? ? ?2221 EHr ?? ??t,w
2 电磁场能量的传播
Poynting定理给出了时变电磁场能量传播的一个新
图像，电磁场能量通过电磁场传播。这对于广播电
视、无线通信和雷达等应用领域是不难理解的。
电子科技大学恒定电流或低频交流电的情况下,场量往往是通
过电流、电压及负载的阻抗等参数表现，表面上
给人造成能量是通过电荷在导线内传输的假象。
I
如能量真是通过
电荷在导线内传
输，常温下导体
中的电荷运动速
度约 10-5m/s，电
荷由电源端到负
载端所需时间约
是场传播时间
（ L/c）的亿万倍
负载只需
经过极短
（ t=L/c，
其中 c为光
速）的时
间就能得
到能量的
供应。
电子科技大学
第一节 亥姆霍兹方程
一, 时谐场场量的复数表示
?时谐场所满足的波动方程即为亥姆霍兹方程 。
?对于时谐场, 其场量 和 都是以一定的角频率 随
时间 t按正弦规律变化 。
E H ?
(,,,) (,,) c o s[ (,,) ]
(,,,) (,,) c o s[ (,,) ]
(,,,) (,,) c o s[ (,,) ]
x x m x
y y m y
z z m z
E x y z t E x y z t x y z
E x y z t E x y z t x y z
E x y z t E x y z t x y z
??
??
??
? ??
?
???
?
???
在直角坐标系下, 电场可表示为：
x x y y z zE e E e E e E? ? ?
电子科技大学
式中,为电场在各方向分量的幅度
,,x m y m zmE E E
x y z? ? ?，,
为电场各分量的初始相位
由复变函数, 知：, 则：
c o s ( ) R e ( )jw tw t e?
[]
[]
[]
R e ( ) R e ( )
R e ( ) R e ( )
R e ( ) R e ( )
x
y
z
jt jt
x x m x m
jt jt
y y m y m
jt jt
z zm zm
E E e E e
E E e E e
E E e E e
?? ?
?? ?
?? ?
?
?
?
? ??
??
???
?
????
式中：
x
y
z
j
x m x m
j
y m y m
j
zm zm
E E e
E E e
E E e
?
?
?
? ?
??
??
?
???
场量上加 点表示为复数 。
电子科技大学
因此时谐场中, 电场强度可表示为
x x y y z zE e E e E e E? ? ?
R e ( ) R e ( ) R e ( )j w t j w t j w tx x m y y m z z me E e e E e e E e? ? ?
R e [ ( ) ]j w tx x m y y m z z me E e E e E e? ? ?
R e [ ]jwtmEe?
m x x m y y m z zmE e E e E e E? ? ?
式中：
同理, 可得：
Re [ ] Re [ ]
Re [ ] Re [ ]
Re [ ]
jw t jw t
mm
jw t jw t
mm
jwt
m
D D e J J e
H H e e
B B e
??
? ??
?
?
???
?
??
?
电子科技大学
二, 麦克斯韦方程组的复数形式
很明显, 对于时谐场
R e [ ],R e [ ]j t j tmmEB E e B ejj
tt
????????
故由麦克斯韦方程组微分形式, 可得：
0
e
DHJ
t
BE
t
B
D ?
? ?? ? ? ?
??
? ?? ? ? ?
? ?
? ??
?
???
( ( )
(
( ) 0
()
j t j t
m m m
j t j t
mm
jt
m
j t j t
mm
H e J j D e
E e j B e
Be
D e e
??
??
?
??
?
?
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ?
???
? ??
?
)
)
为了简化书写, 约定 写做, 而 项则省略不写,
则方程变为,mB
B jte?
电子科技大学
0
H J j D
E j B
B
D
?
?
?
? ? ? ? ?
?? ? ? ? ?
?
??
?
????
麦克斯韦方程组复数形式
注意,1） 方程中各场量形式上是实数及源量均应为复
数形式 （ 为了简化书写而略写 ） 。
2） 方程中虽然没有与时间相关的因子, 时间因
子 为缺省式子 。
3） 麦克斯韦方程组复数形式只能用于时谐场 。
jte?
说明,场量的复数形式：
0 jE E e ??场量的实数形式,
0 c o s ( )E E t????
电子科技大学
场量的复数形式转换为实数形式的方法：
0 jE E e ??
jte ???????
()0 jtEe ??? ?????
取 实 部
0 c o s ( )Et???
三, 亥姆霍兹方程
在时谐场中, 由于场量随时间呈正弦规律变化, 则
22
22
22,
EH EH
tt
????? ? ? ?
则无源空间的波动方程变为：
2
2
2
2
2
2
0
0
E
E
t
H
H
t
??
??
?
? ? ?
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
??
22
22
0
0
EE
HH
? ? ?
? ? ?
??
?
? ? ?
?? ??
?
?
亥姆霍兹方程
电子科技大学
若令：, 则亥姆霍兹方程变为
22k ? ???
22
22
0
0
E k E
H k H
? ? ?
?
?
?
?
? ?
?
?
说明：亥姆霍兹方程的解为时谐场 （ 正弦电磁波 ） 。
电子科技大学
可以推知, 在时谐场中, 平均坡印廷矢量可以表示为：
1 R e [ ]
2avS E H
???
上式中：, 为场量的 复数表达式 ；E H
H? 为对场量 取共轭运算 。H
第二节 平均坡印廷矢量
( ) ( ) ( )S t E t H t??
0
1 ()T
avS S t dtT? ?
坡印廷矢量瞬时形式：
平均坡印廷矢量：
在上面的式子中, 和 均应为实数形式, 即：
()Et ()Ht
00( ) c o s ( ),( ) c o s ( )E t E t H t H t? ? ? ?? ? ? ?
电子科技大学
211Re ( ) Re ( )
22
jtE H E H e ??? ? ? ?
代入第一式,
2
0
1 1 1[ Re ( ) Re ( ) ]
22
T jt
avS E H E H e d tT
??? ? ? ??
1 R e ( )
2 EH
???
( ) ( ) ( )S t E t H t?? R e [ ] R e [ ]j t j tE e H e????
11[ ( ) ] [ ( ) ]
22
j t j t j t j tE e E e H e H e? ? ? ???? ? ? ?
221 []
4
j t j tE H e E H E H E H e?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
证明：
0
1 ()T
avS S t dtT? ?
电子科技大学
第三节 理想介质中的均匀平面波
?平面波,波阵面为平面 的电磁波 （ 等相位面为平面 ） 。
?均匀平面波,等相位面为平面, 且在等相位面上, 电,
磁场 场量的振幅, 方向, 相位处处相等 的电磁波 。
?在实际应用中, 纯粹的均匀平面波并不存在 。 但某些
实际存在的波型, 在远离波源的一小部分波阵面, 仍可
近似 看作均匀平面波 。
一, 亥姆霍兹方程的平面波解
在正弦稳态下, 在均匀, 各向同性理想媒质的无源区
域中, 电场场量满足亥姆霍兹方程, 即：
2 2 2 20 ( )E k E k ? ? ?? ? ? ?
电子科技大学
考虑一种简单情况, 即电磁波电场沿 x方向, 波只沿 z
方向传播, 则由均匀平面波性质, 知 只随 z坐标变化 。
则方程可以简化为：
E
222
2
2 2 2 0
EEE kE
x y z
???? ? ? ? ?
? ? ?
222
2
2 2 2
222
2
2 2 2
222
2
2 2 2
0
0
0
xxx
x
yyy
y
zzz
z
EEE
kE
x y z
EEE
kE
x y z
EEE
kE
x y z
? ???
? ? ? ?
?
? ? ?
?
????
? ? ? ? ??
? ? ?
?
????
? ? ? ?
?
? ? ?
?
电子科技大学
2
2
2 0
x
x
E kE
z
? ??
?
解一元二次微分方程, 可得上方程通解为：
jk z jk zx m mE E e E e? ? ???
式中,, 为待定常数 （ 由边界条件确定 ）,
mE? mE?
讨论,1,为通解的 复数表达形式,
通解的 实数表达形式 为,jk z jk zx m mE E e E e? ? ???
R e [ ( ) ]
c o s ( ) c o s ( )
j k z j k z j t
x m m
mm
E E e E e e
E t k z E t k z
?
??
? ? ?
??
??
? ? ? ?
2,通解的物理意义：
波动方程平面波解
电子科技大学
?
0t? ?
4t
?? ?
2t
?? ?
?
不同时刻 的波形
xE?
kz
Ex
0 π
2π
3π
首先考察 。 其
实数形式为,jkzmEe??
c o s ( )mE t k z?? ?
在不同时刻, 波形如右图 。
从图可知, 随时间 t增加, 波形向 +z方向平移 。 故：
jkze?
表示向 +z方向传播的均匀平面波；
jkze
同理可知：
表示向 -z方向传播的均匀平面波；
亥姆霍兹方程通解的物理意义,表示沿 z向 (+z,-z)
方向传播的均匀平面波的合成波 。
电子科技大学
二, 无界理想媒质中均匀平面波的传播特性
在无界媒质中, 若均匀平面波向 +z向传播, 且电场方
向指向 方向, 则其电场场量表达式为：
xe
0 (j k zxE e E e ?? 场 量 的 复 数 形 式 ）
0 c o s ( ) (xE e E t k z???或 场 量 的 实 数 形 式 ）电磁波的场量表达式包含了有关波特性的信息 。
1,均匀平面波电场场量的一般表达式
0
0
(
c o s ( ) (
j k r jE E e
E E t k r
?
??
??? ?
?
?
? ? ???
复 数 形 式 ）
实 数 形 式 ）
式中,表示电磁波中 电场的幅度
00EE＝
电子科技大学
的方向表示电磁波中 电场的方向
0E
表示电磁波动的 角频率?
为 波矢量
k
为波的 初始相位?
2,波的频率和周期
2 2ff ??? ?? ? ?
频率：
12TT
f
?
?
? ? ?
周期：
波数 k,长为 距离内包含的波长数。2?
2k ? ? ? ?
???
3,波数 k,波长与波矢量 k
电子科技大学
2 2 1
k f
???
? ? ? ? ?
? ? ?
波长,
波矢量,表征 波传播特性的矢量k
k k k? 式中,k即为波数 2
k ? ? ? ????
即为 表示波传播方向 的单位矢量。k
4,相位速度 （ 波速 ）
?1t
z
Ex
0 π
2π
3π
如图所示电磁波向 +z方
向传播，从波形上可以认
为是整个波形随着时间变
化向 +z方向平移。
12t t?
0t k z??? ???
相位：
电子科技大学
0t k z c o n s t??? ??? ＝令
两边对时间 t去导数, 得：
10
p
d z d zkv
d t d t k
??
??
? ? ? ? ? ?
讨论,1,电磁波传播的 相位速度仅与媒质特性相关 。
2,真空中电磁波的相位速度：
0
7900
11
1
4 1 0 1 0
36
pv
??
?
?
??
??
??
80 3 1 0 ( / ) (pv m s c? ? ? ? 光 速 )
真空中电磁波相位速度为光速 。
电子科技大学
13 p
p
v
vf
ff
??
??
? ? ?,=
5,场量, 的关系E H
0 jk rE E e ??
BE j B
t
??? ? ? ? ? ?
?
??
?
?
0() jk rj H E e?? ?? ? ? ?
0() jk rj H j k E e?? ?? ? ? ? ?
H k E?
?
? ? ?
为表示波传播方向
的单位矢量。
k
同理可以推得：
E H k?
?
??
电子科技大学
从公式可知：均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度
之比为一定值 。 定义 电场幅度和磁场幅度比为媒质本征
阻抗, 用 表示, 即：
?
E
H
?
?
?
?＝
—— 媒质本征阻抗
特殊地：真空 （ 自由空间 ） 的本振阻抗为：
7
0
0
90
4 1 0
1 2 0 3 7 7 ( )
1
10
36
? ?
??
?
?
?
?
?
? ? ? ? ?
?
结论,在自由空间中传播的电磁波, 电场幅度与磁场
幅度之比为 377。
电子科技大学
说明：
1H k E
?
??
E H k???
??
?
?
、, 三者相互垂直, 且满
足右手螺旋关系 。
E H k
6,能量密度和能流密度
电场能量密度：
21
2ewE??
磁场能量密度：
21
2mwH??
2211()
22
EE???
?
? ? ?
emww??结论,理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量 。
实数表达形式
电磁波的能量密度：
22emw w w E H??? ? ? ?
电子科技大学
k
E
H
小结：无界理想媒质中均匀平面波的传播特性：
?电场与磁场的振幅相差一个因子 ?
?电场、磁场的时空变化关系相
同。
?电场、磁场的振幅不随传播距
离增加而衰减。
?电场和磁场在空间相互垂直且都垂直于传播方向。
、, （波的传播方向）满足右手螺旋关系E H k
电磁波的能流密度：
211S E H E k E E k
??
? ? ? ? ? ?
2
00
11R e [ ] ( )
22av
S E H E k E
?
?? ? ? 为 电 场 振 幅
电子科技大学
例 频率为 100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理
想介质中沿 +Z方向传播，介质的特性参数为
。设电场沿 x方向，即 。已知：当 t=0,
z=1/8 m时，电场等于其振幅值 。
试求,（ 1）波的传播速度、波长、波数；（ 2）电场和磁
场的瞬时表达式； （ 3）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。
4,1rr????
xxE e E?
41 0 /Vm?
0? ?
解：由已知条件可知：频率,
振幅,
100f M H z?
40 1 0 /xE V m??
(1)
8
00
1 1 1 3 1 0 /
2p rr
v m s
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
88242 1 0 1 0
33k ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
电子科技大学
2 1,5 m
k
?? ??
(2)设
00c o s ( )xE e E t k z??? ? ?
由条件，可知：
48
0
41 0 2 1 0
3Ek ? ? ?
?? ? ? ?，,
48
0
41 0 c o s ( 2 1 0 )
3xE e t z? ? ?
?? ? ? ?即,
由已知条件，可得：
44
0
4110 10 c os ( )
38??
??? ? ?
0 6
????
48 41 0 c o s( 2 1 0 )
36xE e t z
????? ? ? ? ?
H k E?
?
??
电子科技大学
4814 10 c os( 2 10 )
60 3 6zxe e t z
???
?
?? ? ? ? ?
48 41 0 c o s ( 2 1 0 )
6 0 3 6
ye tz ???
?
?? ? ? ?
(3) ( ) ( ) ( )S t E t H t??
8 2 8 41 0 c o s ( 2 1 0 )
6 0 3 6
ze tz ???
?
?? ? ? ?
0
1 ()T
avS S t dtT? ?
8
210 /
120z
e W m
?
?
?
另解,44
3610 j z j
xE e e
????
??
4
4 3610
60
j z jye
He
??
?
???
?
1 R e [ ]
2avS E H
???
8
210 /
120z
e W m
?
?
?
电子科技大学
第四节 波的极化特性
注意：电磁波的极化方式由 辐射源 (即天线 )的性质
决定 。
一、极化的定义
波的极化：指空间某固定位置处 电场强度矢量随时
间变化 的特性。
极化的描述：用电场强度矢量 终端端点在空间形成
的轨迹表示。
E
二、极化的分类：
线极化：电场仅在一个方向振动，即电场强度矢量端
点的轨迹是一条直线；
椭圆极化：电场强度矢量端点的轨迹是一个椭圆（椭
圆的一种特殊情况是圆）
电子科技大学E=e
xcos(wt-kz)
y
x
o
观察平面, z=const
z
显然, 电场的振动方向始终是沿 x轴方向, 所以这
是一个沿 x方向的线极化波 。
三、极化的判断
?通过两个相互正交的线极化波叠加，合成得到不同
的极化方式。
?由电磁波电场场量或者磁场场量，可以判断波的极
化方式。
y
zx
o
电子科技大学
设均匀平面电磁波向 +z方向传播，则一般情况下，
其电场可以表示为：
x x y yE e E e E??
c o s ( )
c o s ( )
x x m x
y y m y
E E t k z
E E t k z
??
??
??
??
式 中, ＝
＝
由于空间任意点处电场随时间的变化规律相同，故选
取 z=0点作为分析点，即：
c o s ( )
c o s ( )
x x m x
y y m y
E E t
E E t
??
??
?
?
＝
＝
场量表达式中,的取值将决定波的极
化方式。,,,x m y m x yEE ??
电子科技大学
1、当 时0
xy? ? ??? 或
22
x x y y x yE e E e E E E E? ? ? ?＝
22 c o s ( )
x m y mE E E t??? ? ?＝
电场与 x轴夹角为：
0a r c ta n (
a r c ta n
a r c
)
t n ( )a
ym
x
xmy
ym
x
m
y
x
x
y
E
c on st
EE
EE
c on st
E
??
? ? ?
?
??
?
??
?
?? ?
? ?? ?
?
?
?
结论,当 时，电磁波为线极化波 。0
xy? ? ??? 或
电子科技大学
2、当 且 时
2xy
???? ? ?
xm ymEE?
22
x m y mE E E c o n s t? ? ?＝
c o s ( )
c o s ( ) s i n ( )
2
x x m x
y y m x y m x
E E t
E E t E t
??
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
＝
＝
22
xyE E E?＝
合成电场的模及其与 x轴夹角为：
(
a r c ta
2
n
(
)
2
)
x x y
xy
y
xx
tE
E t
?
?
?? ? ?
?? ? ??
??? ???
??
? ? ?
?
??
?
从上可知：合成电场矢量终端形成轨迹为一圆，电
场矢量与 x轴夹角随时间变化而改变。
电子科技大学
x
y
t???
z
()
2
xy
?
??? ? ?
E
如图，当 时，可
以判断出：电场矢量终端运动方向
与电磁波传播方向满足右手螺旋关
系 —— 右旋极化波。
2xy ???? ? ?
结论,当 且
xm ymEE?2xy ???? ? ?
时，合成波为右旋圆极化波。
同理,当 且
2xy ????? xm ymEE?时，合成波为左旋圆极化波。
说明：上述结论适用于向 +z方向 传播的均匀平面波。
对于向－ z方向传播的均匀平面波，其波的极化
旋转方向与向 +z方向传播的同幅同相波相反。
电子科技大学
结论,两个频率相同、传播方向相同的正交电场分量
的振幅和相位是任意的，则其合成波为椭圆极化波 。
说明：圆极化波和线极化波可看作是椭圆极化波的特
殊情况。
3、其他情形
0,xy? ? ???若 令,, 则,
c o s ( )
c o s ( ) c o s c o s s i n s i n )
x x m
y y m y m
E E t
E E t E t t
?
? ? ? ? ? ???
＝
＝ ＝ （
2 2 2) ( ) 2 c o s s i nyy xx
y m x m x m y m
EE EE
E E E E
??? ? ? ? ? ?… … （
2c o s 1 ( ) s iny xx
y m x m x m
E EE
E E E
??? ? ?
电子科技大学
例 根据电场表示式判断它们所表征的波的极化形式 。
所以，合成波为线极化波。
( 1 ) ( ) j k z j k zx m y mE z e j E e e j E e??
解：
02x y x y?? ? ? ?? ? ? ? ?,故,
( 2 ) (,) s i n ( ) c o s ( )x m y mE z t e E t k z e E t k z??? ? ? ?
解：
,022x y x y??? ? ? ?? ? ? ?,故,
x m y m mE E E??
故：合成波为左旋圆极化波。
( 3 ) (,) s i n ( ) c o s ( )x m y mE z t e E t k z e E t k z???? ＋ ＋
解：合成波为右旋圆极化波。
电子科技大学
( 4 ) ( ) j k z j k zx m y mE z e E e e j E e? － －－
解：
(,) c o s( ) c o s( )2x m y mE z t e E t k z e E t k z ???? ? ? ?+
0,22x y x y??? ? ? ?? ? ? ? ? ?
x m y m mE E E??
故：合成波为右旋圆极化波。
( 5 ) (,) s i n ( ) c o s ( 4 0 )x m y mE z t e E t k z e E t k z??? ? ? ?+
解：合成波为椭圆极化波。
电子科技大学
第五节 导电媒质中的均匀平面波
一、导电媒质中的波动方程
在无源的导电媒质区域中，麦克斯韦方程为
第一个方程可以改写为
称为 复介电
常数 或 等效
介电常数
?导电媒质的典型特征是电导率 ? ≠ 0。
?电磁波在其中传播时, 有传导电流 存在, 同时
伴随着电磁能量的损耗, 电磁波的传播特性与非导电媒
质中的传播特性有所不同 。
JE??
H E j E E j B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
00HE? ? ? ?
()H j E
j
???
?
? ? ? ? cjE???
eJ
电子科技大学说明：复介电常数
' ''c jj?? ? ? ??? ? ? ?
其中：,仅与媒质本身介电常数有关；'???
，与媒质本身导电率和波的频率有关；
'' ?? ??
为了方便 描述导电媒质的损耗特性,引入 媒质损
耗正切角 (用 表示 )的概念。定义：
c?
''t a n a r c t a n ( )
'cc
? ? ???
? ? ? ? ?
? ? ? ?
cH j E E j B? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
00HE? ? ? ?
引入等效复介电常数后，麦克斯韦方程组可记做：
电子科技大学
推得导电媒质中的波动方程为：
2 2 2 2
2 2 2 2
00ccE E E k E
H H H k H
? ? ?
? ? ?
????
???
?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ??
式中,称为复波数。
2 2 2cckj? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
比较损耗媒质中的波动方程和理想介质中的波动方程
可知：方程形式完全相同，差别仅在于,
cckk????
二、导电媒质中的波动方程的解
因此，在损耗媒质中波动方程对应于沿 +z方向传播的
均匀平面波解为：
cjk zx x mE e E e ??
式中：,为复数。
2
c ck ? ? ??
电子科技大学
可建立方程组：
令,则由
ckj???? 2 2 2cckj? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?
2 2 2
2
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ??
? ?
?
2
2
[ 1 ( ) 1 ]
2
[ 1 ( ) 1 ]
2
? ? ?
??
??
? ? ?
??
??
?
? ? ? ?
?
? ?
?
? ? ??
?
()j j z z j zx x m x x mE e E e e E e e? ? ? ?? ? ? ???
所以损耗媒质中波动方程解可以写为：
写成 实数形式 （ 瞬时形式 ），得：
(,) c o s ( )zx x mE z t e E e t z? ?????
电子科技大学
三、导电媒质中的平面波的传播特性
1、波的振幅和传播因子
振幅,随着波传播 (z增加 ),振幅不断减小 。
zxmEe ??
传播因子,波为 均匀平面波 （ 行波 ）。
jze ??
2、幅度因子和相位因子
只影响波的振幅，故称为 幅度因子 ；?
只影响波的相位，故称为 相位因子 ；其意义
?与 k相同，即为损耗媒质中的 波数 。
3、相位速度（波速）
在理想媒质中,1
p
cv
kf
?
??
? ? ?
电子科技大学
在损耗媒质中：
pv
?
?
?
很明显：损耗媒质中波的相速与波的 频率有关 。
色散现象,波的传播速度（相速）随频率改变而改变的
现象。具有色散效应的波称为色散波。
结论,导电媒质 （ 损耗媒质 ） 中的电磁波为色散波 。
4,场量, 的关系E H
可以推知：在导电媒质中，场量, 之间关系与在
理想介质中场量间关系相同，即：
E H
式中,为波传播方向
1
c
H k E
?
??
cE H k??? k
为导电媒质本征阻抗
c
c
??
?
＝
电子科技大学
讨论,(1),, 三者相互垂直, 且满足右手螺旋关系E H k
(2)
c
c
??
?
＝
1
a r c ta n
2
j
c e
j
?
??
?
?
?
?
?
?
?
＝
在导电媒质中, 电场和磁场在空间中不同相 。
电场相位超前磁场相位 。
1 a rc t a n
2j
?
??小结：无限大导电媒质中电磁波的特性：
1、为横电磁波（ TEM波）,、, 三者满足右手螺旋关系E H k
2、电磁场的幅度随传播距离的增加而呈指数规律减小；
3、电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；
4、是色散波。波的相速与频率相关。
电子科技大学
四、媒质导电性对场的影响
对电磁波而言，媒质的导电性的强弱由 决定。?
??
1
1
1
?
??
?
?
?
? ?
?
良 导 体
弱 导 体
半 导 体
从上可知：媒质是良导体还是弱导体，与电磁波的频
率有关，是一个 相对 的概念。
1、良导体中的电磁波
在良导体中，,则前面讨论得到的, 近似为
1??? ? ?
11
22
ff? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ＝ ＝
电子科技大学
4
1
1
jj
e
jj
?? ? ? ? ? ? ?
?
?? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
??
c ＝
重要性质,在良导体中，电场相位超前磁场相位
4
?
在良导体中，衰减因子 。对于一般的高频
电磁波 (GHz)，当媒质导电率较大时,往往很大，电磁
波在此导电媒质中传播很小的距离后，电、磁场场量的振
幅将衰减到很小。
f? ? ???
?
因此：电磁波只能存在于良导体表层附近，其在良导体
内激励的高频电流也只存在于导体表层附近，这种现象成
为 趋肤效应 。
我们用 趋肤深度 (穿透深度 )来表征良导体中趋肤效应的
强弱。
电子科技大学
趋肤深度,电磁波穿入良导体中，
当波的幅度下降为表面处振幅的
时，波在良导体中传播的距离，称为
趋肤深度 。
?
1e
jk z
e
?
1
z j z
ee
????
1
e?111e
e f
?? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
2、弱导体中的电磁波
在良导体中，,则前面讨论得到的, 近似为
1??? ? ?
,
2
??? ? ? ? ?
?
??
在弱导电媒质中，仍存在能量损耗，波的相位常数近
似等于理想媒质中波的相位常数，
电子科技大学
第六节 均匀平面波对分界面的垂直入射
?本节讨论单一频率均匀平面波在两个半无界介质分界
面上的反射与透射, 设分界面为无限大平面, 分界面位
于 z=0处 。
本节以入射波为 x方向的线极化波为例进行讨论 。
一、对理想导体的分界面的垂直入射
x
+E
+H
?E
?H
入
反
2? ??
y z
1 0? ?
设左半空间是理想介质, ?1＝
0； 右半空间为理想导体, ?2＝
∞ 。 分界面在 z = 0 平面上 。
理想介质内将存在入射波和反
射波。
电子科技大学
设入射波电场为
jk zxmE e E e? ? ??
设反射波电场为
jk zxmE e E e???
则入射波磁场为
1
1
j kz
z x m
j kz
ym
H e e E e
e E e
?
?
? ? ?
??
??
?
则反射波磁场为
1
()
1
jk z
z x m
jk z
ym
H e e E e
e E e
?
?
??
?
? ? ?
?
?
由理想导体边界条件可知：
0tE ?
0( ) 0xx zEE
??
?? ? ?
0mmEE??? ? ? mmEE??? ? ?
反射波电场为：
jk zxmE e E e????
电子科技大学
理想媒质中的合成场为：
()j k z j k zxmE E E e E e e? ? ???－合 ＝ ＝
()j k z j k zmy EH H H e e e
?
?
????－
合 ＝ ＝
2 s i nxmje E k z???
2 c os
yme E k z?
??
合成波场量的实数表达式为：
R e [ 2 s i n ] 2 s i n s i njtx m x mE j e E k z e e E k z t? ???? ? ?合
22R e [ c o s ] c o s c o sjt
y m y mH e E k z e e E k z t
? ?
??
????
合
电子科技大学讨论,1,合成波的性质：
? 对任意时刻 t,在
合成波电场皆为零 ? ?0,1,2,..,.,2z n z n n
???? ? ? ? ?或
?对任意时刻 t,在
合成波磁场皆为零 ? ? ? ? ? ?2 1 2 1 0,1,2,..,.,24b z n z n n
??? ? ? ? ? ? ?或
z
Ex
0
2
????32??
z
Hy
0
4??34??54??
Hy
4??34??
54??
合成波的性质：
?合成波为纯驻波
?振幅随距离变化
?电场和磁场最大值和
最小值位置错开 ?/4
?电场和磁场原地振荡，
电、磁能量相互转化。
电子科技大学2,导体表面的场和电流
0 02 s in s in 0xmz zE e E k z t?
?
? ???合
0
0
22c o s c o s c o s
y m y mz
z
H e E k z t e E t??
??
??
?
?
??合
在理想导体表面的感应面电流为：
0
22 c o s c o sm
S z y m xz
EJ n H e e E t e t??
??
?
?
?
? ? ? ? ? ?合
3,合成波的平均能流密度
1 R e [ ]
2avS E H
???
合 合
14R e [ s i n c o s ] 0
2 zm
e j E k z k z
?
?? ? ?
结论：合成波 (驻波 )不传播电磁能量, 只存在能量转化 。
电子科技大学
二、对两种理想介质分界面的垂直入射
x
rE
rH
iE
iH
入
反
1 2
y z
tE
tH
透
设左, 右半空间均为理想介质,
?1＝ ?2＝ 0。 电磁波在介质分界面
上将发生 反射 和 透射 。 透射波在
介质 2中将继续沿＋ z方向传播 。
设入射波电场为 (一般已知 )
1jk zi x imE e E e ??
1
1
jk zim
iy
EH e e
?
???设反射波电场为
1jk zr x r mE e E e?
1
1
jk zrm
ry
EH e e
?
? ? ? 1 1 1
k ? ? ??设透射波电场为
2jk zt x tmE e E e ??
2
2
jk ztm
ty
EH e e
?
??? 2 2 2
k ? ? ??
电子科技大学
由两种理想介质边界条件可知：
12 00
12 00
()
()
t t ix r x txzz
t t iy r y tyzz
E E E E E
H H H H H
??
??
? ? ? ? ??
? ? ? ? ?
??
媒质 1中总的电场, 磁场为：
11() j k z j k zi r x i m r mE E E e E e E e?? ? ? ?合
11
1
1 () j k z j k z
i r y i m r mH H H e E e E e?
?? ? ? ?
合
12
11
()
im rm tm
im rm tm
E E E
E E E
??
???
?
? ? ??
??
12
12
2
12
2
rm i m
t m i m
EE
EE
??
??
?
??
??
?
?? ?
? ?
? ?
???
式中：, 为媒质 1,2的本征阻抗 。
1? 2?
电子科技大学
定义,反射系数
12
12
rm
im
E
E
???
??
???
?
透射系数
2
12
2tm
im
E
E
??
??
??
?
1jk zr i x imE E e E e????
则
2jk zt i x imE E e E e?? ???
媒质 1中合成波为：
()j k z j k zi r x i mE E E e E e e??? ? ? ?合
1 1[ ( 1 ) 2 s i n ]j k zx i me E e j k z???? ? ?
电子科技大学
讨论,1,媒质 1中合成波的传播特点：
?前一项包含行波因子,表示振幅为 (1+?)Eim、沿 +z
方向传播的行波；
jkze?
?后一项是 振幅为 2?Eim的驻波；
?合成波为 行驻波 （混合波）：相当于一个行波叠加在
一个驻波上，电场的中心值不再是零，出现波节，但波
节点场值不为零。
2,反射系数和透射系数关系为：
1 2 2
1 2 1 2
211 ? ? ???
? ? ? ?
?? ? ? ? ?
??
当媒质 2为理想导体时,, 可知0? ? 1? ??
电磁波垂直入射到理想导体面上时, 反射系数为－ 1。
电子科技大学
3,当分界面两边为导电媒质时, 媒质本征阻抗为
复数, 即 均为复数, 故：
12,??
12
12
rm
im
E
E
???
??
???
?
2
12
2tm
im
E
E
??
??
??
?
也为复数。
在导电媒质两边，入射波和反射波、入射波和透
射波不同相 。
电子科技大学
第七节 均匀平面波对分界面的斜入射
?电磁波垂直入射时, 电场和磁场总是平行分界面的 。
?斜入射时, 传播方向与分界面法向不平行, 电场或磁
场可能与分界面不平行 。
y
x
E
∥
Ei
E⊥
k 入射角 ?i
入射面
分界面
介质 2
介质 1
入射方向
z一, 几个重要概念
?入射面,入射射线与
分界面法线构成的平面 。
?平行极化入射,入射波电场
方向平行于入射面的入射方式 。
?垂直极化入射,入射波电场
方向垂直于入射面的入射方式 。
?入射角,入射射线与
分界面法线夹角 。
电子科技大学
二, 反射定律和折射定律
x
ki
n
?i
分界面
2
1
z
?r
?t
kr
kt电磁波斜入射到介质分解面
上时, 将发生 反射 和 折 (透 )射
现象 。 反射波和透射波的 传播
方向遵循反射定律和折射定律 。
斯耐尔 反射定律,
ir???
斯耐尔 折射定律,
22
11
sin
sin
i
t
???
? ??
?
三, 垂直极化波对理想介质分界面的斜入射
设 z<0和 z>0空间分别为两个半无限完纯介质 。 设入,
反, 透射三波的传播方向分别为 ei,er,et,且 ki=eik1，
kr=erk1,kr=erk2,有
电子科技大学
x
ei
n
?i
分界面
2
1
z
?i
?t
er
et
Hi
Ei Er
Hr
Ht
Et
? ?
? ?
? ?
1
1
2
i
r
t
jk
i i m
jk
r r m
jk
t t m
e
e
e
?
?
?
?
?
?
er
er
er
E r E
E r E
E r E
入：
反：
透：
设：
则,? ?
? ?
? ?
1
1
2
i
r
t
jk
i im
jk
r rm
jk
t tm
e
e
e
?
?
?
?
?
?
er
er
er
H r H
H r H
H r H
入：
反：
透：
在边界面上，有
1100 s in,s ini i r rzzk r k x k r k x??????
20 s inttzk r k x ?? ?
由斯耐尔折射定律，知三者相等。即：
10 0 0 s ini r t iz z zk r k r k r k x ?? ? ?? ? ?
k ? ???
电子科技大学
由边界条件可知，在边界面上
1 2 1 2,t t t tE E H H??
可得：
( ) c o s c o s
i m r m t m
i m r m i t m t
E E E
H H H??
???
? ??
?
21
21
2
21
c o s c o s
c o s c o s
2 c o s
c o s c o s
itr
i i t
ti
i i t
E
E
E
E
? ? ? ?
?
? ? ? ?
??
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? ? ? ?
?
?
??
??
?
??
? ?
? ??
? ?
?
菲涅尔公式
若媒质为非磁性媒质，即,12 1rr????
电子科技大学1
2
1
2
c o s c o s
sin c o s sin c o s
sin c o s sin c o s
c o s c o s
sin ( )
sin ( )
it
t i i t
t i i t
it
ti
ti
?
??
? ? ? ? ?
?
? ? ? ??
??
?
??
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
s i n / s i ntin ???
2 c o s s i n
s i n ( )
it
it
???
???
?
?
??⊥ ＞ 0,入, 透射波同相
??2＜ ?1时,?i＜ ?t,?⊥ ＞ 0,入, 反射波同相
??2＞ ?1时,?i＞ ?t,?⊥ ＜ 0,入, 反射波反相, 半波损失
同理：
说明,1） 1 ??
????
2）入射波、反射波相位关系：
电子科技大学
四, 平行极化波对理想介质分界面的斜入射
x
ei
n
?i
分界面
2
1
z
?i
?t
er
et
Hi
Ei Er
Hr
Et
Ht
同理，在介质分界面两边根
据边界条件，可以求得：
12
12
2
12
c o s c o s
c o s c o s
2 c o s
c o s c o s
itr
i i t
ti
i i t
E
E
E
E
? ? ? ?
?
? ? ? ?
??
?
? ? ? ?
??
??
?
??
?
? ??
? ?
?
sin c o s sin c o s ta n ( )
sin c o s sin c o s ta n ( )
2 sin c o s
sin ( ) c o s( )
i i t t i tr
i i i t t i t
t t i
i i t i t
E
E
E
E
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ?
??
?
? ? ? ?
???
? ? ?
?
???
? ?
? ??
? ??
?
非磁性媒质中
电子科技大学五, 两种特殊情况
1、全反射和临界角
2
1
sin
1
sin
i
t
??
? ?
??
从斯耐尔折射定律可知, 对于非磁性媒质, 当
12???(即 波从光密媒质入射到光疏媒质 )时
即：透射角大于入射角 。 很明显, 当入射角增大为某一
特定角度时, 透射角 。 当入射角进一步增大时,
就将不再存在透射波 —— 全反射 。2t
?? ?
定义：刚好产生全反射时的入射角称为 临界角,即
c?
2
1
sin
s i n 9 0
c ??
?
? 2
1
a r c sinc
?
?
?
??
电子科技大学
讨论,1) 当 时,
2
1
a r c s inic
?
??
?
??
1??? ??
即电磁波被完全反射回来。
2）当发生全反射时 透射波的性质,
1
2
sin
sin sin
sin
i
ti
c
? ?
??
??
??
由折射定律，有
当 时,此时 为 复角 。
ic??? s in 1t? ? t?
22si n,c os 1 1
ttN N j N??? ? ? ? ? ?令 则此时，透射波的行波因子可以变形为：
? ? 222 2 2s i n c o s 1ttj k x zj k r k z N j k N xe e e e????? ? ? ???
电子科技大学
? 透射波沿 +x传播, 但其振幅沿 +z按指数规律衰减；
? 当电磁波以大于临界角的角度入射时, 进入介质 2的
电磁波将沿着分界面传播, 且其振幅随进入介质 2的深度
迅速衰减, 这种波称为 表面波；
? 可以证明进入介质 2平均能流密度 （ 平均功率 ） 为零,
即没有能量进入介质 2；
? 工程上利用这个原理制做 介质波导 （ 如光纤 ） 。
2、无反射 (全透射 )和布儒斯特角
波入射到两种媒质分界面, 如果反射系数为零, 称为
无反射 现象 (全透射 )。 发生无反射现象时波的入射角,
即为 布儒斯特角 。
电子科技大学
对于非磁性介质，由 平行极化入射时 的反射系数
t a n ( )
t a n ( )
it
it
???
??
??
?
02it ?? ? ?? ? ?当 时, ＝
即：当 发生全透射，此时 。
2it
???? - iB???
由折射定律
2
1
sin
sin
i
t
??
? ?
? 2
1
s in s in
c o ss in ( )
2
BB
B
B
???
? ? ?
?
? ? ?
?
?
2
1
arct anB
?
?
?
?
布儒斯特角
电子科技大学
说明,1）对垂直极化入射波
s i n ( )
s i n ( )
ti
ti
???
???
??
?
要使,则须,由折射定律0?
? ? it???
2
1
sin
sin
i
t
??
? ?
? 12????
无介质分界面
结论,只有对平行极化波存在全透射现象，对垂直极化
波不存在全透射现象。
2）全透射现象的应用
任意极化波以 ?B入射时，反射波中只有垂直分量 —
极化滤波
电子科技大学
第七章作业
7.3 7.4 7.5 7.6
理想媒质中的均匀平面波
7.7 7.9 7.12
导电媒质中的均匀平面波
7.14 7.15 7.22
波的垂直入射
7.27 7.28
波的斜入射
