电子科技大学
第八章 导行电磁波
?导行电磁波 (导波 ):沿导波装置 (如传输线, 波导 )传
播的电磁波 。 导行波被限制在 有限的空间内 传播 。
?导波装置可以具有不同的截面形状和截面面积 。
矩形波导 圆波导平行双线 同轴线 微带线
?均匀导波装置:在垂直于导波传播的方向的横截面上,
导波装置具有相同的截面形状和截面面积 。
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本章主要内容:
?导行电磁波的一般特性
?矩形波导中电磁波的特性
?谐振腔
分析方法:
导行波是在有限区域内传播的电磁波, 因此 场量必
须满足波动方程, 同时还必须 满足一定的边界条件 。
本章通过求解特定边界条件下的波动方程, 得到导
波场的解, 从中可以分析得出在各种导波装置中波的
性质 。
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第一节 沿均匀导波装置传播的波的
一般特性
一, 导波模式的分类
?横电磁波 (TEM波 ):在波传播的方向上没有电场或磁场
分量, 即电场和磁场垂直于电场传播方向;
?横磁波 (TM波或 E波 ):在波传播的方向上 有电场分量,
但 没有磁场分量, 即磁场垂直于电场传播方向;
?横电波 (TE波或 M波 ):在波传播的方向上 有磁场分量,
但 没有电场分量, 即电场垂直于电场传播方向;
k
E
H z
x
y
TEM波
k
E
H z
x
y
TM波
k
E
H z
x
y
TE波
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二, 导行电磁波的纵向场量表达式
由麦克斯韦方程组
E j H??? ? ? ?
yz
x
x z
y
y x
z
EE
jH
yz
E E
jH
zx
E E
jH
xy
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???
设电磁波在无耗媒质中向 (+z)方向传播, 其角频率为,
则其电场表达式可以记为:
?
j t zmE E e ? ???
电子科技大学
z
yx
z
xy
y x
z
H
H j E
y
H
H j E
x
H H
jE
xy
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同理:
yz
x
x z
y
y x
z
HH
jE
yz
H H
H j E j E
zx
H H
jE
xy
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?
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通过数学变形, 可以得到用纵向场分量 Ez,Hz分
量表示的横向场量, 即:
22
22
1
()
1
()
zz
x
zz
y
EH
Ej
k x y
EH
Ej
k y x
??
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22
22
1
()
1
()
zz
x
zz
y
HE
Hj
k x y
HE
Hj
k y x
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??
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? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
式中:
22k ? ???
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说明,1,均匀导波系统中, 可用 两个纵向场分量 Ez
和 Hz表示其余的横向场分量 Ex,Ey,Hx,Hy。
2,对于正弦电磁波, 其满足的波动方程为亥姆
霍兹方程即
2 2 2 200E k E H k H? ? ? ? ? ?
所以,两个纵向场分量 Ez和 Hz可由 亥姆霍兹方程
及 边界条件 确定。
2 2 2 200
z z z zE k E H k H? ? ? ? ? ?
讨论:根据两 纵向场分量存在与否, 可对导行电磁波
进行分类:
1、当 Ez=0,Hz=0时 (横电磁波,TEM波 )
当 Ez=0,Hz=0时,由场量的 纵向场表达式 可知,要
想 Ex,Ey,Hx,Hy有非零解,则有
22 0k ? ? ? 2
T EM k j k j? ? ?? ? ? ? ? ?
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?TEM波的 相速 为,1
pv k
?
??
??
?其 相位系数, k? ? ? ???
?TEM波的 波阻抗 为:
x T E M
T E M
y T E M
E jZ
Hj
? ? ? ?
? ? ?
?? ? ? ? ?
?
? ?8.1,4, zxyEb E j Hx ???? ? ? ? ??? ?8, 1, 5, z yxHa H j Ey ??? ? ? ??
TEM波的波阻抗与媒质本征阻抗相等 。
? ? ? ?11 zz
T E M
H e E e E
Z ?
? ? ? ?
与无界空间中均匀平面波的关系相同
?相伴的磁场
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2、当 Hz=0,Ez?0时 (横磁波,TM波 )
22
22
22
22
z
x
z
y
z
x
z
y
E
E
kx
E
E
ky
Ej
H
ky
Ej
H
kx
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yx
TM
yx
EE
Z
H H j??
?? ? ? ? ?
相伴的磁场
? ?1 z
TM
H e E
Z
??
电子科技大学3、当 Ez=0,Hz?0时 (横电波,TE波 )
yx
TE
yx
EE j
Z
HH
??? ? ? ? ?
?
场量间关系:
? ?T E zE Z e H? ? ?
22
22
22
22
z
x
z
y
z
x
z
y
Hj
E
ky
Hj
E
kx
H
H
kx
H
H
ky
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?
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?
说明,TEM波只能存在与多导体导波装置内 (如传输线,
同轴线 ),TE,TM波可存在于金属空心波导内。
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第二节 矩形波导
矩形波导
?矩形波导是指横截面为矩形的空心
导波装置。
?电磁波在导体 空腔内 传播
?其内传播的电磁波 不可能 有 TEM波,
只能是 TE波和 TM波。
一,TM波
设矩形波导内波向 +z向传播,对 TM而言,Hz=0。
() j t zx x y y z zE E e E e E e e ? ??? ? ?
由前面的分析可知,当求出波的 z向分量后,就可以求
出其他的场分量,因此,我们首先需要求出 Ez的解。令
代入亥姆霍兹方程,只考虑 Ez分量,有:
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222
2
2 2 2 0
zzz
z
EEE kE
x y z
??? ? ? ? ?
? ? ?
22
22
22 ( ) 0
zz
z
EE kE
xy
??? ? ? ? ? ?
??
利用分离变量法解上方程,可以求得:
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
12
34
c o s c o s s in s in
c o s s in s in c o s
z x y x y
x y x y
E C k x k y C k x k y
C k x k y C k x k y
??
??
式中:
2 2 2 2xyk k k? ? ? ?
由 边界条件 来确定四个待确定量 C1,C2,C3,C4,
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由边界条件可知,在导体边界面上,电场切向为零。
0,
0,
0
0
z xa
z yb
E
E
?
?
???
?
???
由上边界条件,可确定出 Ez的解为:
0 s in s inz
mnE E x y
ab
??? ? ? ??
? ? ? ?? ? ? ?
振幅,其大小由激励源决定。
求出 Ez后,则可由前面得到的场量 z向表达式求出其他
几个分量表达式:
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02
02
02
02
c os s i n
s i n c os
s i n c os
c os s i n
z
x
z
y
z
x
z
y
m m n
E E x y e
h a a b
n m n
E E x y e
h b a b
n m n
H j E x y e
h b a b
m m n
H j E x y e
h a a b
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? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
? ? ? ??
??
? ? ? ?
?
? ? ? ??
式中:
2 2 2 2 2 2 2( ) ( )
xy
mnh k k k
ab
??? ? ? ? ? ? ?
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? 矩形波导内 TM波的传播特性:
?由 TM波的场分量可知,对应不同的 m和 n,有不同
的场量表达式,代表不同的 TM场 结构模式,用
表示; mnTM
?矩形波导内有无穷多个 TM模式在传播,波导中的场
分布为所有不同模式场的叠加;
? 的传播系数
mnTM ?
2 2 2 2( ) ( )mnk
ab
??? ? ? ?
2 2 2( ) ( )mn
ab
?? ? ? ?? ? ? ? ?
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由场量表达式 可知:
j t zmE E e ? ???
?当 ?为纯虚数 时,波为 无衰减的行波 ;
?当 ?为正实数 时,波存在衰减,不传播 ;
规定:当 ?= 0时,称波导内的波处于 截止状态,此时
波的频率为 截止频率 或 临界频率, 用 表示。
cf矩形波导(尺寸为 a× b)的截止频率为:
221 ( ) ( )
2c
mnf
ab
??
? ? ?
??
结论,当波的频率高于截止频率时,波能传播;当波的
频率小于截止频率时,波不能传播。
矩形波导具有高通特性 (类似于滤波器 )。
电子科技大学?截止波长
c?
22
2
( ) ( )
c
c
c
f mn
ab
?
?
??
??
?
截止频率对应的 无界空间波长,称为截止波长。
?波的相速
2 2 2( ) ( )mnj
ab
??? ? ? ?? ? ? ? ?
2 2 2[ ( ) ( ) ]
z
mn
ab
??? ? ? ?? ? ? ?222
()
c
k ?
?
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21 ( )
c
k ?
?
?? 21 ( )cfk
f
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21 ( )
p
g
c
v
f f
f
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221 ( ) 1 ( )
p
z cc
v
v
k ff
k
ff
??
? ? ?
??
?波导波长
自由空间波速
1v
??
?
相同频率的电磁波在 波导内 与在 无界空间 中相比,其
波长不相同。波导内的波长称为 波导波长 。
说明,1,m,n不能为零,即不存在 模波;
2、波导波长 大于 自由空间波长;在填充相同媒质
的情况下,波导中的波速大于自由空间波速 。
00nmT M T M或
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二,TE波
对 TE而言,Ez=0,由相类似的方法,可以求得 TE波场
量表达式为:
0 c o s c o s
z
z
mnH H x y e
ab
?? ??? ? ? ??
? ? ? ?? ? ? ?
02
02
02
02
s i n cos
cos s i n
cos s i n
s i n cos
z
x
z
y
z
x
z
y
m m n
H H x y e
h a a b
n m n
H H x y e
h b a b
n m n
E j H x y e
h b a b
m m n
E j H x y e
h a a b
? ? ?
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? ? ? ? ?
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??
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? ? ? ? ?
?
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?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
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? 矩形波导内 TE波的传播特性
?矩形波导内有无穷多个 TE模式在传播,波导中的场
分布为所有不同模式场的叠加;
?
,,,,z c c p gk f v??
的求解公式与 TM波相同。
?与 TM不同,TE波的 m和 n可以取零,但 不能同时为零 。
即存在 TE10模和 TE01模,但不存在 TE00模。
三,矩形波导中存在的模式
? 矩形波导中可能存在的模式有 TMmn(m>0,n>0) 和
TEmn(m?0,n ?0),每种波型对应有各自的截止波长。
讨论,m,n的意义:
m表示在矩形截面长边上场量的半周期变化数;
n表示在矩形截面短边上场量的半周期变化数;
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?若不同的模式的波具有相同的截止波长,称为这两种
模式简并 。 矩形波导中 TMmn和 TEmn当 m和 n分别相等
时,为简并波形 。
Ⅰ 区,截止区 。当工作波长 时,矩形波导中不
能传播任何电磁波。
2a? ?
?各种模式的截止波长分布如图:
TE10
TE20
TE01
TE11 TM11
TE30
TM12 TE12
2b a 2a
ⅠⅡⅢ
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Ⅲ 区,多模区 。当工作波长 时,矩形波导中至
少可以传播两种以上的电磁波模式。
a? ?
?矩形波导种导波的波阻抗
21 ( ) ( )xc
TM
y
EfZ
H j f
???
? ? ?
?? ? ? ? ?
2
()
1 ( )
x
TE
y c
E j
Z
H f
f
? ? ? ?
?
?
? ? ? ?
?
?

0c T E T Mf f Z Z? ? ?= 时,,
Ⅱ 区,单模区 。当工作波长 时,矩形波导中
只能 传播单一的电磁波模式 TE10模 。对于一定的工作
波长,若限定,可保证矩形波导 单模传输 。
2aa???
2 a
? ???
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三、矩形波导中的 TE10波
?为单极化方向波。
在矩形波导中,大多采用 TE10模,该模式有如下特点:
?可通过设计的波导尺寸实现单模传输。
?截止波长相同时,传输 TE10所要求波导尺寸最小,有
利于应用和节省材料。 (但考虑波导的击穿和衰减问题,
b不能太小 )
?TE10模和 TE20模之间的距离大于其他高阶模之间的
距离,因此可使 TE10模在大于 1.5:1的波段上传播。
?对于一定比值 a/b,在给定工作频率下 TE10模具有最小
的衰减。
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1,TE10场量表达式和场结构
将 m=1,n=0代入 TEmn模式表达式中,可得:
0
0
0
c os
si n
si n
0 ; 0
z
xz
y
yx
H H x
a
a
H j k H x
a
a
E j H x
a
HE
?
?
?
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??
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? ??
?
???
??
?
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??
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??
? ??
??
???
???
?
22( ) 1 ( ) ( )
2z
k k k k
aa
?? ? ? ?? ? ? ? ?式 中,
场结构图
电子科技大学2,TE10模在波导壁上激励的面电流密度分布
由边界条件,可以求出在 TE10模在矩形波导上激励起
的感应面电流分布情况。
sJ n H??
x
y
a
b
00 ()s x x x z z xxJ n H e e H e H ?? ? ? ? ? ?
0yeH??
()s x x x z z xaxaJ n H e e H e H ?? ? ? ? ? ? ?
00c o syye H e H?? ? ?
0 0()s y x x z zy yJ n H e e H e H? ?? ? ? ? ?
00( ) sin( ) c o s( )z z xe jk H x e H xa a a
? ? ?? ? ?
()s y x x z zyb ybJ n H e e H e H? ?? ? ? ? ? ?
00( ) sin( ) c os( )z z xe jk H x e H xa a a
? ? ???
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图 8.3.1 TE10模的管壁电流 场结构图
3、波导波长和波阻抗
将 m=1,n=0代入公式,可以求得 TE10模截止频率和
截止波长为:
211()
22c
f
a a
?
? ? ? ? ?
?? 2c
c
v a
f? ??
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TE10模的波导波长为
222 1 ( ) 1 ( )1 ( )
2
g
c
c
f
af
? ? ?
?
??
?
? ? ?
???
TE10模的波阻抗为
10
22 1 ( )1 ( )
2
TE
c
Z
f
af
??
?
??
??
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第三节 谐振腔
?普通集中参数振荡回路不适用于高频段:
?频率很高时,波长短,对应的 L和 C元件尺寸减小,难
于设计;
?随着频率的增高,电磁波的波长接近元件尺寸,由集中
参数元件组成的振荡回路容易产生辐射,损耗增大。
?当工作频率比较高时,须采用空腔谐振器来做振荡回路
?谐振腔的主要参数,谐振波长 和 品质因素 。
一、谐振腔中的电磁场
x x y y z zE E e E e E e? ? ?
令谐振腔中电场场量表达式为:
电场的各分量场量必满足亥姆霍兹方程。设 u为谐振腔
中某场量表达式,则:
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2 2 2 20 ( )u k u k ? ? ?? ? ? ?
由分离变量法可以解出
2 2 2 2x y zk k k k? ? ?
12
12
12
[ c o s( ) sin ( ) ]
[ c o s( ) sin ( ) ]
[ c o s( ) sin ( ) ]
xx
yy
zz
u A k x A k x
B k y B k y
C k z C k z
??
?
?
由电场边界条件 可以确定待定系数:
0tE ?
0,0
0,0
0,0
yz
xz
xy
x E E
y E E
x E E
? ? ? ?
?
? ? ? ??
?? ? ?
?
c o s ( ) s in ( ) s in ( )
s in ( ) c o s ( ) s in ( )
s in ( ) s in ( ) c o s ( )
x x y z
y x y z
z x y z
E A k x k y k z
E B k x k y k z
E C k x k y k z
? ?
?
??
?
??
?,?
a
b
O y
x
c
z
电子科技大学
,0
,0
,0
yz
xz
xy
x a E E
y b E E
x c E E
? ? ? ?
?
? ? ? ??
?? ? ?
?
( 0,1,2,3 )
( 0,1,2,3 )
( 0,1,2,3 )
x
y
z
m
km
a
n
kn
b
l
kl
c
?
?
?
?
??
?
?
?
???
?
? ??
??
同理,可以求出谐振腔中的磁场场量。
二、矩形谐振腔中电磁场分布的特点
?电磁场在谐振腔中不传播, 形成驻波而在原地振荡,
?m,n,l确定确定谐振腔中的场分布, 不同 m,n,l对应不
同的场结构, 称为模式, 如 TEmnl和 TMmnl
?腔中的场分布为不同模式场的叠加
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三、矩形谐振腔谐振频率
在谐振腔内部, 电磁波频率为驻波 。 对一定尺寸的
谐振腔, 只有一些 特定的频率能够建立起稳定的驻波 从
而实现谐振 。 这些频率称为 谐振频率 。
在谐振腔中,电磁波频率只能取不连续的离散值 。
2 2 2 2x y zk k k k? ? ?
从前面讨论可知,谐振腔内波的波数为
则对应的谐振频率为:
2 2 21 ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
m nl
m nl
k m n l
fv
a b d? ??
? ? ? ?
说明,本征频率 fmnp由谐振腔尺寸和填充材料决定,不
同模式的本征频率不同。
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四、矩形谐振腔品质因素
品质因素 Q是谐振腔的重要参量之一。其定义为:
WQ ??
l
储 存 能 量
损 耗 功 率 P
说明:在谐振腔内储存的电场能量和磁场能量相等。