1
2
§ 3–1 概述
§ 3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
§ 3–3 薄壁圆筒的扭转
§ 3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度分析
§ 3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件
§ 3–6 等直圆杆的扭转超静定问题
§ 3–7 等直圆杆在扭转时的应变能
§ 3–8 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
§ 3–9 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力
第三章 扭 转
3
§ 3–1 概 述
轴,工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
石油钻机中的钻杆等。
扭转,外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线
垂直，杆发生的变形为扭转变形。
A B O
mm
? OBA ?
4
扭转角（ ?）,任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
剪应变（ ?）,直角的改变量。
mm
? OBA ?
5
§ 3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
m)( k N559 ?? nP.m
m)( k N0 2 47 ?? nP.m
m)( k N1217 ?? nP.m
其中,P — 功率，千瓦（ kW）
n — 转速，转 /分（ rpm）
其中,P — 功率，马力（ PS）
n — 转速，转 /分（ rpm）
其中,P — 功率，马力（ HP）
n — 转速，转 /分（ rpm）
1PS=735.5N·m/s,1HP=745.7N·m/s,1kW=1.36PS
6
3 扭矩的符号规定：
,T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
二、扭矩及扭矩图
1 扭矩,构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作,T”。
2 截面法求扭矩
mm
m T
mT
mT
m x
?
??
??
0
0
x
7
4 扭矩 图,表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目
的
① 扭矩变化规律；
② |T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
x
T
?
8
[例 1]已知：一传动轴,n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，
从动轮输出 P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW，试绘制扭矩
图。
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
解：①计算外力偶矩
m)15,9( kN
30 0
50 09,55559 1
1
??
??? nP.m
m)( k N 7843001509, 5 5559 232 ??????,nP.mm
m)( k N 3763002009, 5 5559 44 ?????,nP.m
9
n
A B C D
m2 m3 m1 m41
1
2
2 3
3
② 求扭矩（扭矩按正方向设）
mkN784
0,0
21
21
?????
????
.mT
mTm C
mkN569784784(
,0
322
322
?????????
???
.)..mmT
mmT
mkN376
,0
42
43
???
??
.mT
mT
10
③ 绘制扭矩图
mkN 569m a x ??,T BC段为危险截面。
x
T
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
4.78
9.56
6.37
?
–
–
11
§ 3–3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒,壁厚
010
1 rt ? （ r0,为平均半径）
一、实验：
1.实验前：
① 绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 m。
12
2.实验后：
① 圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
3.结论：① 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改
变，只是绕轴线作了相对转动。
② 各纵向线均倾斜了同一微小角度 ? 。
③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
13
? ?
a
c d
dx
b
dy
?′
?′
?
① 无正应力
②横截面上各点处，只产
生垂直于半径的均匀分布的剪
应力 ?，沿周向大小不变，方
向与该截面的扭矩方向一致。
4,? 与 ? 的关系：
?
?
L
R
RL
???
???
??
??
微小矩形单元体如图所示：
14
二、薄壁圆筒剪应力 ?大小：
?
?
tA
T
tr
T
TtrrAr
TrA
A
A
2 2
2d
d
0
2
0
000
0
???
?????????
????
?
?
???
?
A0：平均半径所作圆的面积。
15
三、剪应力互等定理：
??
??
??
??????
??
0
故
d x d ytd x d yt
m z
上式称 为剪应力互等定理 。
该定理表明,在单元体相互垂直的两个平面上，剪应
力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交
线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
a
c d
dx
b
? ?dy
?′
?′
t
z
?
16
四、剪切虎克定律：
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这
种应力状态称为 纯剪切应力状态。
17
?
?
T=m
?
?? ?
)( ) 2(
0 R
LtA
T
??
?
??
?
剪切虎克定律,当剪应力不超过材料的剪切比例极限
时（ τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
18
?? ?? G
式中,G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 ? 无
量纲，故 G的量纲与 ?相同，不同材料的 G值可通过实验确定，钢
材的 G值约为 80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。
)1(2 ???
EG
19
§ 3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度条件
等直圆杆横截面应力
① 变形几何方面
②物理关系方面
③静力学方面
1,横截面变形后
仍为平面；
2,轴向无伸缩；
3,纵向线变形后仍为平行。
一、等直圆杆扭转实验观察：
20
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1,变形几何关系：
xx
GG
d
d
dtg 1
????
??
?????
xd
d ???
? ?
距圆心为 ?任一点处的 ??与到圆心的距离 ?成正比。
xd
d? —— 扭转角沿长度方向变化率。
21
2,物理关系：
虎克定律：
代入上式得：
?? ?? G
xGxGG d
d
d
d ??????
?? ??????
xG d
d ???
? ?
22
3,静力学关系：
O
dA
?
A
x
G
A
x
G
AT
A
A
A
d
d
d
d
d
d
d
2
2
?
?
?
?
??
?
??
??
????
AI Ap d2???
令
xGI T p d
d ??
pGI
T
x ? d
d ?
代入物理关系式 得：
xG d
d ???
? ?
pI
T ??
?
??
23
pI
T ??
?
?? —横截面上距圆心为 ?处任一点剪应力计算公式。
4,公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中,T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
?—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
24
单位,mm4,m4。
AI Ap d2???
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是 Ip值不同。
4
4
2
0
2
2
10
32
d2
d
D.
D
AI
D
Ap
??
? ????
??
?
????
?
对于实心圆截面：
D?
d?
O
25
对于空心圆截面：
)1(10)1(
32
)(
32
d2
d
444
4
44
2
2
2
2
??
?
?
????
?
????
??
? ????
??
D.
D
dD
AI
D
d
Ap
)( Dd??
d DO
?
d?
26
④ 应力分布
（实心截面） （空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
27
⑤ 确定最大剪应力：
pI
T ??
?
??
由 知：当
m a x,2 ??? ? ???
dR
)
2
(
2
2
m a x
dIW
W
T
dI
T
I
dT
p
t
p
p
???
?
?? 令?
tW
T?
m a x?
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），
几何量，单位,mm3或 m3。
对于实心圆截面,33 2016 D.DRIW
pt ??? ?
对于空心圆截面,)-(12016)1( 4343 ??? D.DRIW
pt ????
28
三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件：
沿横截面断开。
铸铁试件：
沿与轴线约成 45?的
螺旋线断开。
因此还需要研究斜截面上的应力。
29
1,点 M的应力单元体如图 (b)：
(a)
M
(b)
′ ′
(c)
2,斜截面上的应力；
取分离体如图 (d)：
(d)
?
′
?
x
30
(d)
?
′
?
x
n
t
转角规定：
轴正向转至截面外法线 逆时针：为,+”
顺时针：为,–”
由平衡方程：
0) c o ss i nd() s i nc o sd(d ; 0 ?????? ??????? ? AAAF n
0) s i ns i nd() c o sc o sd(d ; 0 ?????? ??????? ? AAAF t
?? ??
解得：
?????? ?? 2c o s ; 2s i n ???
31
?????? ?? 2c o s ; 2s i n ???
分析,当 ? = 0° 时,???? ???
?? m a x00,0
当 ? = 45° 时,0,
45m i n45 ???? ?? ????
当 ? = – 45° 时,0,
45m a x45 ??? ???? ????
当 ? = 90° 时,???? ?????
?? m a x9090,0
′
45°
由此可见：圆轴扭转时，在横截
面和纵截面上的剪应力为最大值；在
方向角 ? = ? 45?的斜截面上作用有最
大压应力和最大拉应力。根据这一结
论，就可解释前述的破坏现象。
32
四、圆轴扭转时的强度计算
强度条件：
对于等截面圆轴：
][m a x ?? ?
][m a x ??
tW
T
([?] 称为许用剪应力。 )
强度计算三方面：
① 校核强度：
② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
][m a xm a x ?? ??
tW
T
][m a x?
TW
t ?
][m a x ?tWT ?
??
?
?
?
??
?
?
?
? ）（空：
实：
4
3
3
116
16
??
?
D
D
W t
33
[例 2] 功率为 150kW，转速为 15.4转 /秒的电动机转子轴如图，
许用剪应力 [?]=30M Pa,试校核其强度。
n
NmT
BC ?2
10 3???
m)( k N551
m)(N4151432 10150
3
??
??? ??
.
..
T
m
解：①求扭矩及扭矩图
② 计算并校核剪应力强度
③ 此轴满足强度要求。
D3 =135 D2=75 D1=70
A B C
m m
x
][M P a2316070 10551 3
3
m a x ??? ???
???
.
.
W
T
t
34
§ 3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件
一、扭转时的变形
由公式
pGI
T
x ? d
d ?
知,长为 l一段杆两截面间相对扭转角 ?为
值不变）若 (
d d
0
T
GI
Tl
x
GI
T
p
l
p
?
???? ??
35
二、单位扭转角 ?：
( r a d / m ) dd
pGI
T
x ??
??
/ m )( 1 8 0 dd ???? ???
pGI
T
x
或
三、刚度条件
? ? ( r a d / m ) m a x ?? ??
pGI
T
? ? / m )( 1 8 0 m a x ???? ???
pGI
T
或
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为 截面的抗扭刚度 。
[?]称为许用单位扭转角。
36
刚度计算的三方面：
① 校核刚度：
② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
? ? m a x ?? ?
] [ m a x ?GT I p ?
] [ m a x ?pGIT ?
有时，还可依据此条件进行选材。
37
[例 3]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为 ? =0.8, G=80GPa,许用剪应力
[?]=30MPa，试设计杆的外径；若 [?]=2o/m,试校核此杆的刚
度，并求右端面转角。
解,①设计杆的外径
][m a x?
TW
t ?
116D 43 ）（ ?? ??tW
3
1
4
m a x
][ 1
16 ?
?
??
?
?
?
?
??? ）（
TD
38
3
1
4
m a x
][ 1
16 ?
?
??
?
?
?
?
??? ）（
TD
40Nm
x
T
代入数值得：
D ? 0.0226m。
② 由扭转刚度条件校核刚度
??
180m a x
m a x ??
PGI
T
39
40Nm
x
T
??
180m a x
m a x ??
PGI
T ? ??
?? ?????
??? ?891
11080
1804032
4429,)(D
③ 右端面转角 为：
弧度）( 0330
4102040 202200
.
)xx(
GI
dx
GI
xdx
GI
T
PP
L
P
?
??? ?????
40
[例 4] 某传动轴设计要求转速 n = 500 r / min，输入功率 N1 = 500
马力,输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：
G=80GPa, [? ]=70M Pa,[? ]=1o/m,试确定：
① AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？
② 若全轴选同一直径，应为多少？
③ 主动轮与从动轮如何安排合理？
解,① 图示状态下,扭矩如
图,由强度条件得：
500 400
N1 N3N2
A CB
T x
–7.024 – 4.21
(kNm)
m)( k N0247 ?? nN.m
41
][16
31
?
? TdW
t ??
? ? mm4671070143 42101616 3 632,.Td ???????? ??
] [ 32
4
?
?
G
TdI
p ??
? ? mm801070143 70241616 3 631 ????????,Td ??
由刚度条件得：
500 400
N1 N3N2
A CB
T
x
–7.024 –4.21
(kNm)
42
mm47411080143 1804 2 1 032] [ 32 4 9242,.G Td ???? ?????? ??
mm8411080143 1 8 07 0 2 432] [ 32 4 9241 ???? ???????,G Td ??
? ? ? ? mm75 mm85 21 ?? d,d综上：
② 全轴选同一直径时 ? ? ? ? mm85
1 ?? dd
43
③ 轴上的 绝对值 最大 的 扭矩 越小越 合理，所以,1轮和 2轮应
该 换 位。 换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才
为 75mm。
T
x
– 4.21
(kNm)
2.814
44
§ 3–6 等直圆杆的扭转超静定问题
解决扭转超静定问题的方法步骤：
平衡方程；
几何方程 ——变形协调方程；
补充方程：由几何方程和物理方程得；
物理方程；
解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
45
[例 5]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为 ? =0.8,外径 D=0.0226m, G=80GPa，
试求固端反力偶。
解, ①杆的受力图如图示，
这是一次超静定问题。
平衡方程为：
02 ??? BA mmm
46
② 几何方程 ——变形协调方程 0?
BA?
③ 综合物理方程与几何方程，得补充方程：
040220200 ???? ????
P
A
P
AL
P
BA GI
mdx
GI
xmdx
GI
T?
mN 20 ??? Am
④ 由平衡方程和补充方程得,
另,此题可由对称性直接求得结果。
mN 20 ??Bm
47
§ 3–7 等直圆杆在扭转时的应变能
?? G?
dV)dx(d z d y )(dW ???? 2121 ??
22121dddd ??? GVWVUu ????
一,应变能与能密度
a
c d
dx
b
? ?dy
?′
?′
dz
z
?
x
y 单元体微功：
应变比能：
48
二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算
1,应力的计算
= +
?Q ?TQ
T
t
TQ W
T
A
Q ???? ???
m a x
近似值：
323
81
2
416
2
d
DP
D
d
d
P
d
PD
??? ??
?
?
?
? ????
P
Q
T
49
2,弹簧丝的强度条件,
? ???? ?? 8 3dDPKm a x
精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）
33m a x
886150
44
14
d
DPK
d
DP
C
.
C
C
??? ???
??
?
? ?
?
??
其中：
d
DC ?
C
.
C
CK 6150
44
14 ?
?
??
称为弹簧指数。
称为曲度系数。
50
3.位移的计算 (能量法）
为弹簧常数。 64 ; 64 ; 3
4
4
3
nR
GdK
K
P
Gd
nPRUW ????? ?
?PW 21 ?
外力功：
变形能：
ALITGVUU
pVVV
d2 1d21d
2
?
?
??
?
?
?????? ???
? ?
pp GI
PRRnL
I
T
G 2
2
2
1 22 ???
51
[例 6] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为,D=125mm，簧丝直
径为,d =18mm，受拉力 P=500N 的作用,试求最大剪应力
的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm，
问：弹簧至少应有几圈？
解,① 最大剪应力的近似值：
M P a329
0180
50012508
1
1252
18
8
1
2
3
3m a x
.
.
.
)(
d
DP
)
D
d
(
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
52
② 最大剪应力的精确值：
0916 1 5044 14 ; 6315181 2 5,C.CCK.dDC ??????? ?
M P a2330 180 5 001 25080918 33m a x,...dDPK ?? ????? ???
③ 弹簧圈数：
66125050064 101882664 36434,.PRGdn ??? ????? ??
（圈）
53
§ 3–8 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
非圆截面等直杆,平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保
持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不
适用，须由弹性力学方法求解。
54
一,自由扭转,杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相
邻截面的翘曲程度完全相同。
二,约束扭转,杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面
的翘曲程度不同。
三,矩形杆横截面上的剪应力,
h?
b
h
? 1 T
?max
注意！ b
1,剪应力分布如图：
（角点、形心、长短边中点）
55
2,最大剪应力及单位扭转角
m a x1 ??? ?
h?
b
h
? 1 T
?max
注意！ b
m a xm a x
tW
T?? 3 b
tW ??
其中：
4 bI t ??
,
tGI
T??
其中,It—相当极惯性矩。
56
hbtWWT
t
2m a x
m a x, ?? ?? 其中
注意！ 对于 W t 和 It, 多数教材与手册上有如下定义,
hbIGIT t
t
3,,?? ?? 其中
m a x1 ??? ?
3
1 ; ) 10, ( ??? ??
b
h即对于狭长矩形
查表求 ? 和 ? 时一定要 注意，表中 ? 和 ? 与那套公式对应。
h?
b
h
? 1 T
?max
注意！ b
57
[例 8] 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为,h = 100 mm，
b=50mm，长度 L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000N·m 的
作用,钢的 G =80GPa, [?]=100M Pa,[?]=1o/m,试校核
此杆的强度和刚度。
解,①查表求 ?, ?
② 校核强度
0, 4 9 3 ; 0, 4 5 7 ; 2501 0 0 ????? ??bh
m106610504 9 30 3633 ??????,..btW ?
58
③ 校核刚度
? ??? ????? ? M P a6510661 4 0 0 0 6m a xm a x,WT
t
4844 m102840504570 ??????,.bI t ?
? ??? ???????? ? /m1r a d / m0 1 7 4 50102861080 4 0 0 0 o89,GI T
t
综上,此杆满足强度和刚度要求。
59
一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。
二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（ a），厚
度中点处，应力为零。
§ 3–9 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力
60
三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（ b），同
一厚度处，应力均匀分布。
61
四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的剪应力计算，在（ c）图上取
单元体如图（ d）。
图（ c）
?1?
2
图（ d）
2211 d d ; 0 ???? ??? ??? xxX
常量??? 2211 ????
62
??? m inm a x 2
T?
?????????
?
22 ????? d)ds(T
积。为厚度中线所包围的面 21 ????
?
??? dds
?
63
[例 8]下图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为,a=50 mm，
b=75mm，厚度 t =5mm，杆两端受扭转力偶 T=5000N·m,试
求此杆的最大剪应力。
解,闭口薄壁 杆自由扭转时的最大剪应力,
b
at
M P a42
10755052
5 0 0 0
22
9
m i n
m a x
?
????
?
??
??
???
?
abt
TT
64
2
§ 3–1 概述
§ 3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
§ 3–3 薄壁圆筒的扭转
§ 3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度分析
§ 3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件
§ 3–6 等直圆杆的扭转超静定问题
§ 3–7 等直圆杆在扭转时的应变能
§ 3–8 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
§ 3–9 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力
第三章 扭 转
3
§ 3–1 概 述
轴,工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、
石油钻机中的钻杆等。
扭转,外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线
垂直，杆发生的变形为扭转变形。
A B O
mm
? OBA ?
4
扭转角（ ?）,任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
剪应变（ ?）,直角的改变量。
mm
? OBA ?
5
§ 3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
一、传动轴的外力偶矩
传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
m)( k N559 ?? nP.m
m)( k N0 2 47 ?? nP.m
m)( k N1217 ?? nP.m
其中,P — 功率，千瓦（ kW）
n — 转速，转 /分（ rpm）
其中,P — 功率，马力（ PS）
n — 转速，转 /分（ rpm）
其中,P — 功率，马力（ HP）
n — 转速，转 /分（ rpm）
1PS=735.5N·m/s,1HP=745.7N·m/s,1kW=1.36PS
6
3 扭矩的符号规定：
,T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，
反之为负。
二、扭矩及扭矩图
1 扭矩,构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作,T”。
2 截面法求扭矩
mm
m T
mT
mT
m x
?
??
??
0
0
x
7
4 扭矩 图,表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
目
的
① 扭矩变化规律；
② |T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。
x
T
?
8
[例 1]已知：一传动轴,n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，
从动轮输出 P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW，试绘制扭矩
图。
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
解：①计算外力偶矩
m)15,9( kN
30 0
50 09,55559 1
1
??
??? nP.m
m)( k N 7843001509, 5 5559 232 ??????,nP.mm
m)( k N 3763002009, 5 5559 44 ?????,nP.m
9
n
A B C D
m2 m3 m1 m41
1
2
2 3
3
② 求扭矩（扭矩按正方向设）
mkN784
0,0
21
21
?????
????
.mT
mTm C
mkN569784784(
,0
322
322
?????????
???
.)..mmT
mmT
mkN376
,0
42
43
???
??
.mT
mT
10
③ 绘制扭矩图
mkN 569m a x ??,T BC段为危险截面。
x
T
n
A B C D
m2 m3 m1 m4
4.78
9.56
6.37
?
–
–
11
§ 3–3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒,壁厚
010
1 rt ? （ r0,为平均半径）
一、实验：
1.实验前：
① 绘纵向线，圆周线；
②施加一对外力偶 m。
12
2.实验后：
① 圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
3.结论：① 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改
变，只是绕轴线作了相对转动。
② 各纵向线均倾斜了同一微小角度 ? 。
③ 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
13
? ?
a
c d
dx
b
dy
?′
?′
?
① 无正应力
②横截面上各点处，只产
生垂直于半径的均匀分布的剪
应力 ?，沿周向大小不变，方
向与该截面的扭矩方向一致。
4,? 与 ? 的关系：
?
?
L
R
RL
???
???
??
??
微小矩形单元体如图所示：
14
二、薄壁圆筒剪应力 ?大小：
?
?
tA
T
tr
T
TtrrAr
TrA
A
A
2 2
2d
d
0
2
0
000
0
???
?????????
????
?
?
???
?
A0：平均半径所作圆的面积。
15
三、剪应力互等定理：
??
??
??
??????
??
0
故
d x d ytd x d yt
m z
上式称 为剪应力互等定理 。
该定理表明,在单元体相互垂直的两个平面上，剪应
力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交
线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
a
c d
dx
b
? ?dy
?′
?′
t
z
?
16
四、剪切虎克定律：
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这
种应力状态称为 纯剪切应力状态。
17
?
?
T=m
?
?? ?
)( ) 2(
0 R
LtA
T
??
?
??
?
剪切虎克定律,当剪应力不超过材料的剪切比例极限
时（ τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
18
?? ?? G
式中,G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 ? 无
量纲，故 G的量纲与 ?相同，不同材料的 G值可通过实验确定，钢
材的 G值约为 80GPa。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
（推导详见后面章节）：
可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量
就可以推算出来。
)1(2 ???
EG
19
§ 3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度条件
等直圆杆横截面应力
① 变形几何方面
②物理关系方面
③静力学方面
1,横截面变形后
仍为平面；
2,轴向无伸缩；
3,纵向线变形后仍为平行。
一、等直圆杆扭转实验观察：
20
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：
1,变形几何关系：
xx
GG
d
d
dtg 1
????
??
?????
xd
d ???
? ?
距圆心为 ?任一点处的 ??与到圆心的距离 ?成正比。
xd
d? —— 扭转角沿长度方向变化率。
21
2,物理关系：
虎克定律：
代入上式得：
?? ?? G
xGxGG d
d
d
d ??????
?? ??????
xG d
d ???
? ?
22
3,静力学关系：
O
dA
?
A
x
G
A
x
G
AT
A
A
A
d
d
d
d
d
d
d
2
2
?
?
?
?
??
?
??
??
????
AI Ap d2???
令
xGI T p d
d ??
pGI
T
x ? d
d ?
代入物理关系式 得：
xG d
d ???
? ?
pI
T ??
?
??
23
pI
T ??
?
?? —横截面上距圆心为 ?处任一点剪应力计算公式。
4,公式讨论：
① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中,T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
?—该点到圆心的距离。
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
24
单位,mm4,m4。
AI Ap d2???
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是 Ip值不同。
4
4
2
0
2
2
10
32
d2
d
D.
D
AI
D
Ap
??
? ????
??
?
????
?
对于实心圆截面：
D?
d?
O
25
对于空心圆截面：
)1(10)1(
32
)(
32
d2
d
444
4
44
2
2
2
2
??
?
?
????
?
????
??
? ????
??
D.
D
dD
AI
D
d
Ap
)( Dd??
d DO
?
d?
26
④ 应力分布
（实心截面） （空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，
结构轻便，应用广泛。
27
⑤ 确定最大剪应力：
pI
T ??
?
??
由 知：当
m a x,2 ??? ? ???
dR
)
2
(
2
2
m a x
dIW
W
T
dI
T
I
dT
p
t
p
p
???
?
?? 令?
tW
T?
m a x?
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量），
几何量，单位,mm3或 m3。
对于实心圆截面,33 2016 D.DRIW
pt ??? ?
对于空心圆截面,)-(12016)1( 4343 ??? D.DRIW
pt ????
28
三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力
低碳钢试件：
沿横截面断开。
铸铁试件：
沿与轴线约成 45?的
螺旋线断开。
因此还需要研究斜截面上的应力。
29
1,点 M的应力单元体如图 (b)：
(a)
M
(b)
′ ′
(c)
2,斜截面上的应力；
取分离体如图 (d)：
(d)
?
′
?
x
30
(d)
?
′
?
x
n
t
转角规定：
轴正向转至截面外法线 逆时针：为,+”
顺时针：为,–”
由平衡方程：
0) c o ss i nd() s i nc o sd(d ; 0 ?????? ??????? ? AAAF n
0) s i ns i nd() c o sc o sd(d ; 0 ?????? ??????? ? AAAF t
?? ??
解得：
?????? ?? 2c o s ; 2s i n ???
31
?????? ?? 2c o s ; 2s i n ???
分析,当 ? = 0° 时,???? ???
?? m a x00,0
当 ? = 45° 时,0,
45m i n45 ???? ?? ????
当 ? = – 45° 时,0,
45m a x45 ??? ???? ????
当 ? = 90° 时,???? ?????
?? m a x9090,0
′
45°
由此可见：圆轴扭转时，在横截
面和纵截面上的剪应力为最大值；在
方向角 ? = ? 45?的斜截面上作用有最
大压应力和最大拉应力。根据这一结
论，就可解释前述的破坏现象。
32
四、圆轴扭转时的强度计算
强度条件：
对于等截面圆轴：
][m a x ?? ?
][m a x ??
tW
T
([?] 称为许用剪应力。 )
强度计算三方面：
① 校核强度：
② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
][m a xm a x ?? ??
tW
T
][m a x?
TW
t ?
][m a x ?tWT ?
??
?
?
?
??
?
?
?
? ）（空：
实：
4
3
3
116
16
??
?
D
D
W t
33
[例 2] 功率为 150kW，转速为 15.4转 /秒的电动机转子轴如图，
许用剪应力 [?]=30M Pa,试校核其强度。
n
NmT
BC ?2
10 3???
m)( k N551
m)(N4151432 10150
3
??
??? ??
.
..
T
m
解：①求扭矩及扭矩图
② 计算并校核剪应力强度
③ 此轴满足强度要求。
D3 =135 D2=75 D1=70
A B C
m m
x
][M P a2316070 10551 3
3
m a x ??? ???
???
.
.
W
T
t
34
§ 3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件
一、扭转时的变形
由公式
pGI
T
x ? d
d ?
知,长为 l一段杆两截面间相对扭转角 ?为
值不变）若 (
d d
0
T
GI
Tl
x
GI
T
p
l
p
?
???? ??
35
二、单位扭转角 ?：
( r a d / m ) dd
pGI
T
x ??
??
/ m )( 1 8 0 dd ???? ???
pGI
T
x
或
三、刚度条件
? ? ( r a d / m ) m a x ?? ??
pGI
T
? ? / m )( 1 8 0 m a x ???? ???
pGI
T
或
GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为 截面的抗扭刚度 。
[?]称为许用单位扭转角。
36
刚度计算的三方面：
① 校核刚度：
② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
? ? m a x ?? ?
] [ m a x ?GT I p ?
] [ m a x ?pGIT ?
有时，还可依据此条件进行选材。
37
[例 3]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为 ? =0.8, G=80GPa,许用剪应力
[?]=30MPa，试设计杆的外径；若 [?]=2o/m,试校核此杆的刚
度，并求右端面转角。
解,①设计杆的外径
][m a x?
TW
t ?
116D 43 ）（ ?? ??tW
3
1
4
m a x
][ 1
16 ?
?
??
?
?
?
?
??? ）（
TD
38
3
1
4
m a x
][ 1
16 ?
?
??
?
?
?
?
??? ）（
TD
40Nm
x
T
代入数值得：
D ? 0.0226m。
② 由扭转刚度条件校核刚度
??
180m a x
m a x ??
PGI
T
39
40Nm
x
T
??
180m a x
m a x ??
PGI
T ? ??
?? ?????
??? ?891
11080
1804032
4429,)(D
③ 右端面转角 为：
弧度）( 0330
4102040 202200
.
)xx(
GI
dx
GI
xdx
GI
T
PP
L
P
?
??? ?????
40
[例 4] 某传动轴设计要求转速 n = 500 r / min，输入功率 N1 = 500
马力,输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：
G=80GPa, [? ]=70M Pa,[? ]=1o/m,试确定：
① AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？
② 若全轴选同一直径，应为多少？
③ 主动轮与从动轮如何安排合理？
解,① 图示状态下,扭矩如
图,由强度条件得：
500 400
N1 N3N2
A CB
T x
–7.024 – 4.21
(kNm)
m)( k N0247 ?? nN.m
41
][16
31
?
? TdW
t ??
? ? mm4671070143 42101616 3 632,.Td ???????? ??
] [ 32
4
?
?
G
TdI
p ??
? ? mm801070143 70241616 3 631 ????????,Td ??
由刚度条件得：
500 400
N1 N3N2
A CB
T
x
–7.024 –4.21
(kNm)
42
mm47411080143 1804 2 1 032] [ 32 4 9242,.G Td ???? ?????? ??
mm8411080143 1 8 07 0 2 432] [ 32 4 9241 ???? ???????,G Td ??
? ? ? ? mm75 mm85 21 ?? d,d综上：
② 全轴选同一直径时 ? ? ? ? mm85
1 ?? dd
43
③ 轴上的 绝对值 最大 的 扭矩 越小越 合理，所以,1轮和 2轮应
该 换 位。 换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才
为 75mm。
T
x
– 4.21
(kNm)
2.814
44
§ 3–6 等直圆杆的扭转超静定问题
解决扭转超静定问题的方法步骤：
平衡方程；
几何方程 ——变形协调方程；
补充方程：由几何方程和物理方程得；
物理方程；
解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
45
[例 5]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为 ? =0.8,外径 D=0.0226m, G=80GPa，
试求固端反力偶。
解, ①杆的受力图如图示，
这是一次超静定问题。
平衡方程为：
02 ??? BA mmm
46
② 几何方程 ——变形协调方程 0?
BA?
③ 综合物理方程与几何方程，得补充方程：
040220200 ???? ????
P
A
P
AL
P
BA GI
mdx
GI
xmdx
GI
T?
mN 20 ??? Am
④ 由平衡方程和补充方程得,
另,此题可由对称性直接求得结果。
mN 20 ??Bm
47
§ 3–7 等直圆杆在扭转时的应变能
?? G?
dV)dx(d z d y )(dW ???? 2121 ??
22121dddd ??? GVWVUu ????
一,应变能与能密度
a
c d
dx
b
? ?dy
?′
?′
dz
z
?
x
y 单元体微功：
应变比能：
48
二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算
1,应力的计算
= +
?Q ?TQ
T
t
TQ W
T
A
Q ???? ???
m a x
近似值：
323
81
2
416
2
d
DP
D
d
d
P
d
PD
??? ??
?
?
?
? ????
P
Q
T
49
2,弹簧丝的强度条件,
? ???? ?? 8 3dDPKm a x
精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）
33m a x
886150
44
14
d
DPK
d
DP
C
.
C
C
??? ???
??
?
? ?
?
??
其中：
d
DC ?
C
.
C
CK 6150
44
14 ?
?
??
称为弹簧指数。
称为曲度系数。
50
3.位移的计算 (能量法）
为弹簧常数。 64 ; 64 ; 3
4
4
3
nR
GdK
K
P
Gd
nPRUW ????? ?
?PW 21 ?
外力功：
变形能：
ALITGVUU
pVVV
d2 1d21d
2
?
?
??
?
?
?????? ???
? ?
pp GI
PRRnL
I
T
G 2
2
2
1 22 ???
51
[例 6] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为,D=125mm，簧丝直
径为,d =18mm，受拉力 P=500N 的作用,试求最大剪应力
的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm，
问：弹簧至少应有几圈？
解,① 最大剪应力的近似值：
M P a329
0180
50012508
1
1252
18
8
1
2
3
3m a x
.
.
.
)(
d
DP
)
D
d
(
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
52
② 最大剪应力的精确值：
0916 1 5044 14 ; 6315181 2 5,C.CCK.dDC ??????? ?
M P a2330 180 5 001 25080918 33m a x,...dDPK ?? ????? ???
③ 弹簧圈数：
66125050064 101882664 36434,.PRGdn ??? ????? ??
（圈）
53
§ 3–8 非圆截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
非圆截面等直杆,平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保
持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不
适用，须由弹性力学方法求解。
54
一,自由扭转,杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相
邻截面的翘曲程度完全相同。
二,约束扭转,杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面
的翘曲程度不同。
三,矩形杆横截面上的剪应力,
h?
b
h
? 1 T
?max
注意！ b
1,剪应力分布如图：
（角点、形心、长短边中点）
55
2,最大剪应力及单位扭转角
m a x1 ??? ?
h?
b
h
? 1 T
?max
注意！ b
m a xm a x
tW
T?? 3 b
tW ??
其中：
4 bI t ??
,
tGI
T??
其中,It—相当极惯性矩。
56
hbtWWT
t
2m a x
m a x, ?? ?? 其中
注意！ 对于 W t 和 It, 多数教材与手册上有如下定义,
hbIGIT t
t
3,,?? ?? 其中
m a x1 ??? ?
3
1 ; ) 10, ( ??? ??
b
h即对于狭长矩形
查表求 ? 和 ? 时一定要 注意，表中 ? 和 ? 与那套公式对应。
h?
b
h
? 1 T
?max
注意！ b
57
[例 8] 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为,h = 100 mm，
b=50mm，长度 L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000N·m 的
作用,钢的 G =80GPa, [?]=100M Pa,[?]=1o/m,试校核
此杆的强度和刚度。
解,①查表求 ?, ?
② 校核强度
0, 4 9 3 ; 0, 4 5 7 ; 2501 0 0 ????? ??bh
m106610504 9 30 3633 ??????,..btW ?
58
③ 校核刚度
? ??? ????? ? M P a6510661 4 0 0 0 6m a xm a x,WT
t
4844 m102840504570 ??????,.bI t ?
? ??? ???????? ? /m1r a d / m0 1 7 4 50102861080 4 0 0 0 o89,GI T
t
综上,此杆满足强度和刚度要求。
59
一、剪应力流的方向与扭矩的方向一致。
二、开口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（ a），厚
度中点处，应力为零。
§ 3–9 开口和闭合薄壁截面在自由扭转时的应力
60
三、闭口薄壁截面杆在自由扭转时的剪应力分布如图（ b），同
一厚度处，应力均匀分布。
61
四、闭口薄壁截面杆自由扭转时的剪应力计算，在（ c）图上取
单元体如图（ d）。
图（ c）
?1?
2
图（ d）
2211 d d ; 0 ???? ??? ??? xxX
常量??? 2211 ????
62
??? m inm a x 2
T?
?????????
?
22 ????? d)ds(T
积。为厚度中线所包围的面 21 ????
?
??? dds
?
63
[例 8]下图示椭圆形薄壁截面杆，横截面尺寸为,a=50 mm，
b=75mm，厚度 t =5mm，杆两端受扭转力偶 T=5000N·m,试
求此杆的最大剪应力。
解,闭口薄壁 杆自由扭转时的最大剪应力,
b
at
M P a42
10755052
5 0 0 0
22
9
m i n
m a x
?
????
?
??
??
???
?
abt
TT
64
