第九章 压杆稳定
§ 9–1 压杆稳定性的概念
§ 9–2 细长压杆临界力的欧拉公式
§ 9–3 超过比例极限时压杆临界应力
§ 9-4 压杆的稳定校核及其合理截面
§ 9–1 压杆稳定性的概念
构件的承载能力,① 强度
②刚度
③稳定性
工程中有些构
件具有足够的强度、
刚度，却不一定能
安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡,
1,不稳定平衡
2,稳定平衡
3,稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力,
1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
稳
定
平
衡
不
稳
定
平
衡
3.压杆失稳,4.压杆的临界压力
稳
定
平
衡
不
稳
定
平
衡
临界状态
临界压力, Pcr
过 度
对应的
压力
§ 9–2 细长压杆临界力的欧拉公式
一、两端铰支压杆的临界力,
PyyxM ?),(
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。
yEIPEIMy ??????
① 弯矩：
② 挠曲线近似微分方程：
02 ???????? ykyyEIPy
EI
Pk ?2:其中
P P
x
P
x
y
PM
③ 微分方程的解：
④ 确定积分常数：
xBxAy c o ss in ??
0)()0( ?? Lyy
??
?
??
???
0c oss i n
00:
kLBkLA
BA即 0
c os s i n
1 0 ??
kLkL
0s in ?? kL
EI
P
L
nk ??? ?
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力,故，只能取 n=1 ；且
杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
2
m i n
2
LEIP cr ???
二、此公式的应用条件：
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
?—长度系数 （ 或约束系数 ） 。
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
压杆临界力欧拉公式的一般形式
2
2
L
EIP
cr
m i n??
2
2
)(
m i n
L
EIP
cr ?
??
0.5
l
表 9–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定另端铰支 两端固定 一端固定另端自由 两端固定但可沿横向相对移动
失
稳
时
挠
曲
线
形
状
Pcr
A
B
l
临界力 Pcr
欧拉公式
长度系数 μ
2
2
l
EIP
cr
??
2
2
)7.0( l
EIP
cr
??
2
2
)5.0( l
EIP
cr
??
2
2
)2( l
EIP
cr
??
2
2
l
EIP
cr
??
?=1 ??0.7 ?=0.5 ?=2 ?=1
Pcr
A
B
l
Pcr
A
B
l0.7
l
C C
D
C—挠曲
线拐点
C,D—挠
曲线拐点
0.5
l
PcrPcr
l
2l l
C—挠曲线拐点
P
MkykyEI 22 ????
MPyxMyEI ??????? )(
EI
Pk ?2:令
kxdkxcy s inc o s ??
0,;0,0 ???????? yyLxyyx
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
边界条件为,
例 1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临界力
公式。
P
L
x
P
M0
P
M0
P
M0
xP
M0
?? nkLnkLdPMc ????? 2,0,并
2
2
2
2
)2/(
4
L
EI
L
EIP
cr
?? ??
?2?kL
为求最小临界力,, k” 应取除零以外的最小值, 即取：
所以，临界力为：
2 ?nkL ??
? = 0.5
③ 压杆的临界力
例 2 求下列细长压杆的临界力。
,12
3 hb
I y??=1.0，
解, ① 绕 y 轴，两端铰支,
2
2
2
L
EI
P yc r y
?
?
,12
3bh
I z?
?=0.7，
② 绕 z 轴，左端固定，右端铰支,
2
1
2
)7.0( L
EIP z
c r z
??
),m i n ( c r zc r ycr PPP ?
y
z
L1
L2
y
z h
b
x
4912
3
m i n m1017.41012
1050 ?? ?????I
2
1
m in
2
)( l
EIP
cr ?
??
48m i n m1089.3 ???? zII
2
2
m in
2
)( l
EIP
cr ?
??
例 3 求下列细长压杆的临界力。
图 (a) 图 (b)
解：图 (a)
图 (b)
kN14.67)5.07.0( 2 0 017.4 2
2
?? ??? ?
kN8.76)5.02( 2 0 03 8 9.0 2
2
?? ??? ?
30
10
P
L
P
L
(45?45?6)
等边角钢
yz
§ 9–3 超过比例极限时压杆临界应力
A
Pcr
cr ??
一,基本概念
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
3.柔度：
2
2
2
2
2
2
)/()( ?
?
?
?
?
?? E
iL
E
AL
EI
A
P cr
cr ????
2.细长压杆的 临界应力：
—惯性半径。— AIi?
）—杆的柔度（或长细比— iL?? ?
2
2
?
?? E
cr ?即：
4.大 柔度杆的分界：
Pcr
E ?
?
?? ??
2
2
欧拉公式求。长细杆），其临界力用的杆称为大柔度杆（或满足 P?? ?
P
P
E ?
?
?? ?? 2
求。临界力不能用欧拉公式的杆为中小柔度杆，其 P?? ?
二、中小柔度杆的临界应力计算
1.直线型经验公式
① ?P<?<?S 时：
scr ba ??? ????
s
s
b
a ??? ????
界应力用经验公式求。的杆为中柔度杆，其临 Ps ??? ??
?? bacr ??
i
L???
cr?
界应力为屈服极限。的杆为小柔度杆，其临 S?? ?
2
2
?
?
? E
cr
?
③ 临界应力总图
② ?S<?时：
scr ?? ?
?? bacr ??
P?
S?
b
as
s
???
?
P
P
E
?
?
?
2
?
2.抛物线型经验公式
211 ?? bacr ??
S
c
EAA
?
???
56.0
43.016
2
53 ??,锰钢：钢和钢、对于
。时，由此式求临界应力 c?? ?
我国建筑业常用：
① ?P<?<?s 时：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
2
1
c
scr ?
????
② ?s<?时：
scr ?? ?
例 4 一压杆长 L=1.5m，由两根 56?56?8 等边角钢组成，两端铰
支，压力 P=150kN，角钢为 A3钢，试用 欧拉公式或抛物线公式
求 临界压力和安全系数。
4121 cm63.23,cm3 6 7.8 ?? yIA
zy II ?
cm68.13 6 7.82 26.47m i n ???? AIi 1 2 33.8968.11 5 0 ????? ci l ???
解：一个角钢：
两根角钢图示组合之后
41m i n cm26.4763.2322 ????? yy III
所以，应由抛物线公式求 临界压力。
y
z
M P a7.18])123 3.89(43.01[235])(43.01[ 22 ?????
c
scr ?
???
kN304107.18110367.82 64 ??????? ?crcr AP ?
02.2150304 ??? PPn cr
安全系数
§ 9–4 压杆的稳定校核及其合理截面
一、压杆的稳定容许应力,
1.安全系数法确定容许应力,
? ?
W
cr
W n
?? ?
2.折减系数法确定容许应力, ? ? ? ?
??? ?W
的函数。它是折减系数 ??,?
二、压杆的稳定条件,
? ?WAP ?? ??
例 6 图示起重机,AB 杆为圆松木，长 L= 6m,[? ] =11MPa，直
径为,d = 0.3m,试 求此杆的容许压力。
803.0 461 ????? iLxy ??
解,折减系数法
① 最大柔度
x y面内, ?=1.0
z y面内, ?=2.0
1603.0 462 ????? iLzy ??
T1
A
B
W
T2
x
y
z
O
? ? ? ???? ?W
? ? ? ? kN911011117.04 3.0 62 ??????? ?? WBCBC AP
② 求折减系数
③ 求容许压力
117.016030003000,80,22 ???? ??? 时木杆
四、压杆的合理截面,
iL???
2
m in
2
)( L
EIP
cr ?
??
m inAIi?
m a xm in II ?
合理
4
1
4
1
0
2
1
cm6.25,cm3.198
,cm52.1,cm74.12
??
??
yz II
zA
41 cm6.3963.19822 ???? zz II
???? ])2/([2 2011 azAII yy
])2/52.1(74.126.25[2 2a????
时合理即 2)2/52.1(74.126.253.1 8 9, a???
例 7 图示立柱,L=6m，由两根 10号槽钢组成，下端固定，上端为
球铰支座,试问 a=？时，立柱的 临界压力最大，值为多少？
解, 对于单个 10号槽钢, 形心在 C1点 。
两根槽钢图示组合之后，
cm32.4?a
P
L
z0
y y
1
zC1
a
5.1 0 6
1074.122
106.3 9 6
67.0
2
67.0
4
8
1
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
A
Ii
L
z
?
?
????? ??? ???? 3.9910200 10200 6
922
P
p
E
kN8.4 4 3)67.00( 106.3 9 62 0 0)( 2
2
2
2
?? ????? ??? lEIP cr
求临界力：
大柔度杆，由欧拉公式求临界力。
