1
2
§ 5–1 引言
§ 5–2 平面 弯曲时梁横截面上的正应力
§ 5–3 梁横截面上的剪应力
§ 5–4 梁的正应力和剪应力强度条件 ? 梁的合理截面
§ 5–5 非对称截面梁的平面弯曲 ?开口薄壁截面的弯曲中心
§ 5–6 考虑材料塑性时的极限弯矩
第五章 弯曲应力
§ 5－１ 引言
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力 Q 剪应力 t
弯矩 M 正应力 s
平面弯曲时横截面 s 纯弯曲梁 (横截面上只有 M而无 Q的情况 )
平面弯曲时横截面 t 剪切弯曲 (横截面上既有 Q又有 M的情况 )
2、研究方法
纵向对称面
P1 P2例如：
某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变
形称为纯弯曲。如 AB段。
P Pa a
A B
Q
M
x
x
纯弯曲 (Pure Bending):
§ 5－ 2 平面 弯曲时梁横截面上的正应力
1.梁的纯弯曲实验
横向线 (a b,c d）变
形后仍为直线，但有转动；
纵向线变为曲线，且上缩
下伸；横向线与纵向线变
形后仍正交。
（一）变形几何规律：
一,纯弯曲时梁横截面
上的正应力
中性层
纵向对称面
中性轴
b d
a c
a
b
c
d
MM
?横截面上只有正应力。
?平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，
距中性轴等高处，变形相等。
（可由对称性及无限分割法证明）
3.推论
2.两个概念
?中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不
受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
?中性轴：中性层与横截面的交线。
A1 B1O1O
4,几何方程：
( 1 ),,,,,,
?
? yx ?
a b
c dA B
dq ?
x
y
11111 OOBA
AB
ABBA
x
?????
) ) )
OO1)
?q?
q?q? yy ??+?
d
dd)(
（二）物理关系：
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应
力状态。
( 2 ),....,??s EyE xx ??
sxsx
（三）静力学关系：
0ddd ????? ???? ???s zAAAx ESAyEAEyAN
轴过形心中性 )( 0 zS z ??
0dd)d( ????? ???? ???s yz
AAAy
EIAyzEAE yzzAM
（对称面）
MEIAyEAEyyAM z
AAAz
????? ???? ???s dd)d( 2
2
z
z
EI
M?
?
1
… …(3) EIz 杆的抗弯刚度。
(4 ),....,
z
x I
M y?s
（四）最大正应力：
zW
M?
m a xs
… …(5)
D
d
D
d?a
)1(32 4
3
m a x
a? ????? Dy IW zz圆环
b
B
)1(6 3
32
m a x BH
bhBH
y
IW z
z ?????回字框
m a xy
I W z
z ? 抗弯截面模量。?
例 1 受均布载荷作用的简支梁
如图所示，试求：
（ 1） 1——1截面上 1,2两点
的正应力；
（ 2）此截面上的最大正应力；
（ 3）全梁的最大正应力；
（ 4）已知 E=200GPa，求 1—1
截面的曲率半径。
Q=60kN/m
A B
1m 2m
1
1
x
M
+
8
2qL
M1 Mmax
1 2
120
180z
y
解,?画 M图求截面弯矩
k N m60)22( 1
2
1 ??? ?x
qxq L xM
30
Q=60kN/m
A B
1m 2m
1
1
x
M
+
8
2qL
M1 Mmax
1 2
120
z
y
k N m5.678/3608/ 22m a x ???? qLM
4512
33
m108 3 2.51012 1 8 01 2 012 ?? ?????? bhI z
34 m1048.62/ ???? zz IW
MP a7.6110
8 3 2.5
6060
5
1
21
??
??
?
??
zI
yM
ss
?求应力
180
30
M P a6.921048.6 60 41m a x1 ????
zW
Ms
m4.1 9 41060 8 3 2.52 0 0
1
1 ??
???
M
EI z?
M P a2.1041048.6 5.67 4m a xm a x ????
zW
Ms
?求曲率半径
Q=60kN/m
A B
1m 2m
1
1
x
M
+
8
2qL
M1 Mmax
1 2
120
180
30
§ 5－ 3 梁横截面上的剪应力
一,矩形截面 梁横截面上的剪应力
1、两点假设：
?剪应力与剪力平行；
?矩中性轴等距离处，剪应力
相等。
2、研究方法：分离体平衡。
?在梁上取微段如图 b；
?在微段上取一块如图 c，平衡
0)(112 ????? dxbNNX t
dxx
Q(x)+d Q(x)M(x)
y
M(x)+d M(x)Q(x) dx
s
x
y
z
s1
t1
t
图 a
图 b
图 c
dxx
Q(x)+d Q(x)M(x)
y
M(x)+d M(x)Q(x) dx
s
x
y
z
s1
t1
t
图 a
图 b
图 c
z
z
AzA I
MSAy
I
MAN *** ??? ??
** dd1 s
z
z
I
SMMN *+? )d(
2
z
z
z
z
bI
QS
bI
S
x
M ** ??
d
d
1t
由剪应力互等
zbI
QSy *???
1)( ttt
)
4
(
2
)
2
(
2
2 22 yhbyhb
yh
AyS cz ???
+
?? ***
tt 5.123m a x ?? AQ
)4(2 2
2
yhIQ
z
??? 矩t
Q
t方向：与横截面上剪力方向相同；
t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度 h分布为抛物线。
最大剪应力为平均剪应力的 1.5倍。
二、其它截面梁 横截面上的剪应力
1、研究方法与矩形截面同 ;剪应力的计算公式亦为：
z
z
bI
QS *?
1
t
其中 Q为截面剪力； Sz 为 y点以下的面积对中性轴之静矩；*
2、几种常见截面的最大弯曲剪应力
Iz为整个截面对 z轴之惯性矩； b为 y点处截面宽度。
① 工字钢截面：
maxt
mint;?max A Qt
f
结论,翼缘部分 tmax?腹板上的 tmax,只计算腹板上的 tmax。
铅垂剪应力主要腹板承受（ 95~97%），且 tmax≈ tmin
故工字钢最大剪应力
Af —腹板的面积。;?max A
Qt
f
② 圆截面：
tt 3434m a x ?? AQ
③ 薄壁圆环：
tt 22m a x ?? AQ
④ 槽钢：
x
y
z
P
QRR
z
z
bI
QS ?*?,合力为腹板上 ; t
。合力为翼缘上 H
zI
QA; 21
*
?t
0)d(? ? ?? Ax dAM 力臂t
R
Hhe ?
Q
e
Q
e
h
§ 5-4 梁的正应力和剪应力强度条件 ? 梁的合理截面
1、危险面与危险点分析：
?一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上
下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中
性轴处。
Q
tss
s
M
t
一、梁的正应力和剪应力强度条件
2、正应力和剪应力强度条件：
?带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上
述相同；还有一个可能危险的点，在 Q和 M均很大的截面
的腹、翼相交处。（以后讲）
? ?tt ?? *
z
z
Ib
SQ m a xm a x
m a x? ?
ss ??
zW
M m a x
m a x
3、强度条件应用,依此强度准则可进行三种强度计算：
s
M Q
t t
s
4、需要校核剪应力的几种特殊情况：
?铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相
应比值时，要校核剪应力。
?梁的跨度较短,M 较小，而 Q较大时，要校核剪应力。
?各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差,要校核剪应力。
、校核强度：? 校核强度,
? 设计截面尺寸：
? 设计载荷：
][ ];[ m a xm a x ttss ??
][
m a x
s
MW
z ?
)(][ ];[ m a xm a x MfPWM z ?? s
解,?画内力图求危面内力
例 2 矩形 (b?h=0.12m?0.18m） 截面
木梁如图,[s]=7MPa,[t]=0,9 M
Pa，试求最大 正应力和最大剪应力
之比,并校核梁的强度。
N5 4 002 33 6 002m a x ???? qLQ
Nm4 0 5 08 33 6 0 08
22
m a x ?
??? qLM
q=3.6kN/m
x
M
+
8
2qL
A B
L=3m
Q
2
qL
2
qL
–
+
x
?求最大应力并校核强度
?应力之比
7.1632m a x
m a x
m a x ???
h
L
Q
A
W
M
zt
s
q=3.6kN/m
x
M
+
8
2qL
Q
2
qL
2
qL
–
+
x
][7 M P a6, 2 5M P a
18.012.0
4 05 066
22
m a xm a x
m a x
s
s
???
?
?
???
bh
M
W
M
z
][0, 9 M P a0, 3 7 5 M P a
18.012.0
54005.15.1 m a x
m a x
t
t
???
?
???
A
Q
y1
y2
G
A1
A2
A3
A4
解,?画弯矩图并求危面内力
例 3 T 字形截面的铸铁梁受力如
图，铸铁的 [sL]=30MPa,[sy]=60
MPa，其截面形心位于 C点，
y1=52mm,y2=88mm，
Iz=763cm4,试校核此梁的强度。
并说明 T字梁怎样放置更合理？
???? kN5.10;kN5.2 BA RR
)(k N m5.2 下拉、上压?CM
（上拉、下压）k N m4??BM
4
?画危面应力分布图，找危险点
P1=9kN
1m 1m 1m
P2=4kN
A BC D
x
2.5kNm
-4kNm
M
?校核强度
M P a2.2810763 885.2 822 ????? ?
z
C
LA I
yMs
M P a2.271076 3 524 813 ????? ?
z
B
LA I
yMs
M P a2.461076 3 884 824 ????? ?
z
B
yA I
yMs
? ?LL ss ?? 2.28m a x
? ?yy ss ?? 2.46m a x
?T字头在上面合理。
y1
y2
G
A1
A2
A3
A4
x
2.5kNm
-4kNm
M
y1
y2
G
A3
A4
二、梁的合理截面
（一）矩形木梁的合理高宽比
R
北宋李诫于 1100年著 ?营造法式 ?一书中指出,
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
英 (T.Young)于 1807年著 ?自然哲学与机械技术讲义 ?一书中指出,
矩形木梁的合理高宽比 为
刚度最大。时强度最大时,3 ;,2 ?? bhbh
b
h
A
Q
3
433.1
mm a x ?? tt 32
3
1
DW
z
??
1
32
2 1, 1 8 6
)(
6 zz W
RbhW ??? ?
mm a x 5.1 tt ?
)2/( ;,4 12
2
1 DRaaD ?? ?? 时当
强度：正应力,剪应力：
1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面
? ? ss ??
zW
M ? ?tt ??
z
z
bI
QS *
其它材料与其它截面形状梁的合理截面
z
D
za
a
mtt 2m a x ?
1
4
3
3 75.2 )0, 8-(132 zz W
DW ?? ?
1
222
1 67.1,
4
])8.0([
4 DD
DDD ??? 时当 ??
11
2
1
2
1 2,2
4 Daa
D ?? ?? 时当
1
3
1
2
4 67.1 6
4
6 zz W
abhW ???
mtt 5.1m a x ?
z D
0.8
D
a1
2a
1 z
)(= 3.2 mm a x
fA
Qtt ?
工字形截面与框形截面类似。
15 57.4 zz WW ?
12
2
2
2
2
2
1 05.1,6.18.02
4 Daaa
D ???? 时当 ?
0.8a2
a2
1.6
a 22a 2 z
对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用 T字形类的截
面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，
而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：
2、根据材料特性选择截面形状
s
G
z
（二）采用变截面梁,如下图：
最好是等强度梁，即
][)( )()(m a x ss ?? xW xMx
若为等强度矩形截面，则高为
][
)(6)(
sb
xMxh ?
同时
][)(5.1m a x tt ?? xbh Q
][5.1)( tb
Qxh ??
P
x
§ 5-5 非对称截面梁的平面弯曲 ? 开口薄壁截面的弯曲中心
轴过形心中性 )( z 0 ??zS
0dd)d( ????? ?? ?? ???s yzAAAy EIAyzEAE yzzAM
0dd)d( ????? ?? ?? ???s zAAA ESAyEAEyAN
外力要与主轴共线。轴必须为截面主惯性轴、,0 zyI yz ??
几何方程与物理方程不变。P
x
y
z
O
MEIAyEAEyyAM z
AAAz
????? ?? ?? ???s dd)d( 2
2
exdAM Ax 轴到杆轴的距离依此确定力臂,0)d(? ? ?? t
依此确定正应力计算公式。 剪应力研究方法与公式形式不变。
弯曲中心 (剪力中心 )：使杆不发生扭转的横向力作用点。
（如前述坐标原点 O）P
x
y
z
O
槽钢：
非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面
内，中性轴为形心主轴，,若是横向力，还必须过弯曲中心。
x
y
z
P
P
s
M
QRR
z
z
bI
QS ?*?,合力为腹板上 ; t
。合力为翼缘上 H
zI
QA; 21
*
?t
0)d(? ? ?? Ax dAM 力臂t RHhe ?
Q
e
z
z
bI
QSτ *?,求任意一点剪应力
弯曲中心的确定,
??? AC dAM 力臂向形心简化 )d(,t
(1)双对称轴截面，弯心与形心重合。
(2)反对称截面，弯心与反对称中心重合。
(3)若截面由两个狭长矩形组成，
弯心与两矩形长中线交点重合。
(4)求弯心的普遍方法：
yC eQMe ?,求弯心到形心距离
C
C
C
Qy
e
C
ss
ss
§ 5-6 考虑材料塑性时的极限弯矩
（一）物理关系为：
sx ss ??
全面屈服后,平面假设不再成立 ;仍做纵向纤维互不挤压假设。
s
?
s s
s s
理想弹塑性材料的
s??图
ss
ss
弹性极限
分布图
塑性极限
分布图
（二）静力学关系：
)( 依此确定中性轴的位置CS AA ??
0)(dd)(d ???+??? ??? ? CSsA sA sA AAAAAN
SC
ssss
)( 轴的位置依此确定 yCySy SS ??
0)(dd)()d( ???+??? ??? ? cySysA sA sAy SSAzAzzAM
LC
ssss
（一）物理关系为：
sx ss ??
y
z
x
ss
Mjx
横截面图正应力分布图
??? ? ?+?? 压拉 A SA SAz AyAyyAM dd)d( sss
jxzzS MSS ??? )( 压拉s
y
z
x
ss
Mjx
横截面图正应力分布图 )(
zzSjx SSM 压拉 ?? s SSW s?
例 4 试求矩形截面梁的弹性极限弯矩 M max与塑性极限弯矩 Mjx之
比。
解：
ss
bhWM ss
6
2
m a x ??
ssszsSjx
bhhbhSWM ssss
44222
2
?????? 拉
3
2m a x ?
jxM
M
41
2
§ 5–1 引言
§ 5–2 平面 弯曲时梁横截面上的正应力
§ 5–3 梁横截面上的剪应力
§ 5–4 梁的正应力和剪应力强度条件 ? 梁的合理截面
§ 5–5 非对称截面梁的平面弯曲 ?开口薄壁截面的弯曲中心
§ 5–6 考虑材料塑性时的极限弯矩
第五章 弯曲应力
§ 5－１ 引言
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力
内力
剪力 Q 剪应力 t
弯矩 M 正应力 s
平面弯曲时横截面 s 纯弯曲梁 (横截面上只有 M而无 Q的情况 )
平面弯曲时横截面 t 剪切弯曲 (横截面上既有 Q又有 M的情况 )
2、研究方法
纵向对称面
P1 P2例如：
某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变
形称为纯弯曲。如 AB段。
P Pa a
A B
Q
M
x
x
纯弯曲 (Pure Bending):
§ 5－ 2 平面 弯曲时梁横截面上的正应力
1.梁的纯弯曲实验
横向线 (a b,c d）变
形后仍为直线，但有转动；
纵向线变为曲线，且上缩
下伸；横向线与纵向线变
形后仍正交。
（一）变形几何规律：
一,纯弯曲时梁横截面
上的正应力
中性层
纵向对称面
中性轴
b d
a c
a
b
c
d
MM
?横截面上只有正应力。
?平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，
距中性轴等高处，变形相等。
（可由对称性及无限分割法证明）
3.推论
2.两个概念
?中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不
受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。
?中性轴：中性层与横截面的交线。
A1 B1O1O
4,几何方程：
( 1 ),,,,,,
?
? yx ?
a b
c dA B
dq ?
x
y
11111 OOBA
AB
ABBA
x
?????
) ) )
OO1)
?q?
q?q? yy ??+?
d
dd)(
（二）物理关系：
假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应
力状态。
( 2 ),....,??s EyE xx ??
sxsx
（三）静力学关系：
0ddd ????? ???? ???s zAAAx ESAyEAEyAN
轴过形心中性 )( 0 zS z ??
0dd)d( ????? ???? ???s yz
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EIAyzEAE yzzAM
（对称面）
MEIAyEAEyyAM z
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????? ???? ???s dd)d( 2
2
z
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EI
M?
?
1
… …(3) EIz 杆的抗弯刚度。
(4 ),....,
z
x I
M y?s
（四）最大正应力：
zW
M?
m a xs
… …(5)
D
d
D
d?a
)1(32 4
3
m a x
a? ????? Dy IW zz圆环
b
B
)1(6 3
32
m a x BH
bhBH
y
IW z
z ?????回字框
m a xy
I W z
z ? 抗弯截面模量。?
例 1 受均布载荷作用的简支梁
如图所示，试求：
（ 1） 1——1截面上 1,2两点
的正应力；
（ 2）此截面上的最大正应力；
（ 3）全梁的最大正应力；
（ 4）已知 E=200GPa，求 1—1
截面的曲率半径。
Q=60kN/m
A B
1m 2m
1
1
x
M
+
8
2qL
M1 Mmax
1 2
120
180z
y
解,?画 M图求截面弯矩
k N m60)22( 1
2
1 ??? ?x
qxq L xM
30
Q=60kN/m
A B
1m 2m
1
1
x
M
+
8
2qL
M1 Mmax
1 2
120
z
y
k N m5.678/3608/ 22m a x ???? qLM
4512
33
m108 3 2.51012 1 8 01 2 012 ?? ?????? bhI z
34 m1048.62/ ???? zz IW
MP a7.6110
8 3 2.5
6060
5
1
21
??
??
?
??
zI
yM
ss
?求应力
180
30
M P a6.921048.6 60 41m a x1 ????
zW
Ms
m4.1 9 41060 8 3 2.52 0 0
1
1 ??
???
M
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M P a2.1041048.6 5.67 4m a xm a x ????
zW
Ms
?求曲率半径
Q=60kN/m
A B
1m 2m
1
1
x
M
+
8
2qL
M1 Mmax
1 2
120
180
30
§ 5－ 3 梁横截面上的剪应力
一,矩形截面 梁横截面上的剪应力
1、两点假设：
?剪应力与剪力平行；
?矩中性轴等距离处，剪应力
相等。
2、研究方法：分离体平衡。
?在梁上取微段如图 b；
?在微段上取一块如图 c，平衡
0)(112 ????? dxbNNX t
dxx
Q(x)+d Q(x)M(x)
y
M(x)+d M(x)Q(x) dx
s
x
y
z
s1
t1
t
图 a
图 b
图 c
dxx
Q(x)+d Q(x)M(x)
y
M(x)+d M(x)Q(x) dx
s
x
y
z
s1
t1
t
图 a
图 b
图 c
z
z
AzA I
MSAy
I
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** dd1 s
z
z
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2
z
z
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z
bI
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S
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d
d
1t
由剪应力互等
zbI
QSy *???
1)( ttt
)
4
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2
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2
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2
2 22 yhbyhb
yh
AyS cz ???
+
?? ***
tt 5.123m a x ?? AQ
)4(2 2
2
yhIQ
z
??? 矩t
Q
t方向：与横截面上剪力方向相同；
t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度 h分布为抛物线。
最大剪应力为平均剪应力的 1.5倍。
二、其它截面梁 横截面上的剪应力
1、研究方法与矩形截面同 ;剪应力的计算公式亦为：
z
z
bI
QS *?
1
t
其中 Q为截面剪力； Sz 为 y点以下的面积对中性轴之静矩；*
2、几种常见截面的最大弯曲剪应力
Iz为整个截面对 z轴之惯性矩； b为 y点处截面宽度。
① 工字钢截面：
maxt
mint;?max A Qt
f
结论,翼缘部分 tmax?腹板上的 tmax,只计算腹板上的 tmax。
铅垂剪应力主要腹板承受（ 95~97%），且 tmax≈ tmin
故工字钢最大剪应力
Af —腹板的面积。;?max A
Qt
f
② 圆截面：
tt 3434m a x ?? AQ
③ 薄壁圆环：
tt 22m a x ?? AQ
④ 槽钢：
x
y
z
P
QRR
z
z
bI
QS ?*?,合力为腹板上 ; t
。合力为翼缘上 H
zI
QA; 21
*
?t
0)d(? ? ?? Ax dAM 力臂t
R
Hhe ?
Q
e
Q
e
h
§ 5-4 梁的正应力和剪应力强度条件 ? 梁的合理截面
1、危险面与危险点分析：
?一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上
下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中
性轴处。
Q
tss
s
M
t
一、梁的正应力和剪应力强度条件
2、正应力和剪应力强度条件：
?带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上
述相同；还有一个可能危险的点，在 Q和 M均很大的截面
的腹、翼相交处。（以后讲）
? ?tt ?? *
z
z
Ib
SQ m a xm a x
m a x? ?
ss ??
zW
M m a x
m a x
3、强度条件应用,依此强度准则可进行三种强度计算：
s
M Q
t t
s
4、需要校核剪应力的几种特殊情况：
?铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相
应比值时，要校核剪应力。
?梁的跨度较短,M 较小，而 Q较大时，要校核剪应力。
?各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差,要校核剪应力。
、校核强度：? 校核强度,
? 设计截面尺寸：
? 设计载荷：
][ ];[ m a xm a x ttss ??
][
m a x
s
MW
z ?
)(][ ];[ m a xm a x MfPWM z ?? s
解,?画内力图求危面内力
例 2 矩形 (b?h=0.12m?0.18m） 截面
木梁如图,[s]=7MPa,[t]=0,9 M
Pa，试求最大 正应力和最大剪应力
之比,并校核梁的强度。
N5 4 002 33 6 002m a x ???? qLQ
Nm4 0 5 08 33 6 0 08
22
m a x ?
??? qLM
q=3.6kN/m
x
M
+
8
2qL
A B
L=3m
Q
2
qL
2
qL
–
+
x
?求最大应力并校核强度
?应力之比
7.1632m a x
m a x
m a x ???
h
L
Q
A
W
M
zt
s
q=3.6kN/m
x
M
+
8
2qL
Q
2
qL
2
qL
–
+
x
][7 M P a6, 2 5M P a
18.012.0
4 05 066
22
m a xm a x
m a x
s
s
???
?
?
???
bh
M
W
M
z
][0, 9 M P a0, 3 7 5 M P a
18.012.0
54005.15.1 m a x
m a x
t
t
???
?
???
A
Q
y1
y2
G
A1
A2
A3
A4
解,?画弯矩图并求危面内力
例 3 T 字形截面的铸铁梁受力如
图，铸铁的 [sL]=30MPa,[sy]=60
MPa，其截面形心位于 C点，
y1=52mm,y2=88mm，
Iz=763cm4,试校核此梁的强度。
并说明 T字梁怎样放置更合理？
???? kN5.10;kN5.2 BA RR
)(k N m5.2 下拉、上压?CM
（上拉、下压）k N m4??BM
4
?画危面应力分布图，找危险点
P1=9kN
1m 1m 1m
P2=4kN
A BC D
x
2.5kNm
-4kNm
M
?校核强度
M P a2.2810763 885.2 822 ????? ?
z
C
LA I
yMs
M P a2.271076 3 524 813 ????? ?
z
B
LA I
yMs
M P a2.461076 3 884 824 ????? ?
z
B
yA I
yMs
? ?LL ss ?? 2.28m a x
? ?yy ss ?? 2.46m a x
?T字头在上面合理。
y1
y2
G
A1
A2
A3
A4
x
2.5kNm
-4kNm
M
y1
y2
G
A3
A4
二、梁的合理截面
（一）矩形木梁的合理高宽比
R
北宋李诫于 1100年著 ?营造法式 ?一书中指出,
矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5
英 (T.Young)于 1807年著 ?自然哲学与机械技术讲义 ?一书中指出,
矩形木梁的合理高宽比 为
刚度最大。时强度最大时,3 ;,2 ?? bhbh
b
h
A
Q
3
433.1
mm a x ?? tt 32
3
1
DW
z
??
1
32
2 1, 1 8 6
)(
6 zz W
RbhW ??? ?
mm a x 5.1 tt ?
)2/( ;,4 12
2
1 DRaaD ?? ?? 时当
强度：正应力,剪应力：
1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面
? ? ss ??
zW
M ? ?tt ??
z
z
bI
QS *
其它材料与其它截面形状梁的合理截面
z
D
za
a
mtt 2m a x ?
1
4
3
3 75.2 )0, 8-(132 zz W
DW ?? ?
1
222
1 67.1,
4
])8.0([
4 DD
DDD ??? 时当 ??
11
2
1
2
1 2,2
4 Daa
D ?? ?? 时当
1
3
1
2
4 67.1 6
4
6 zz W
abhW ???
mtt 5.1m a x ?
z D
0.8
D
a1
2a
1 z
)(= 3.2 mm a x
fA
Qtt ?
工字形截面与框形截面类似。
15 57.4 zz WW ?
12
2
2
2
2
2
1 05.1,6.18.02
4 Daaa
D ???? 时当 ?
0.8a2
a2
1.6
a 22a 2 z
对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用 T字形类的截
面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，
而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：
2、根据材料特性选择截面形状
s
G
z
（二）采用变截面梁,如下图：
最好是等强度梁，即
][)( )()(m a x ss ?? xW xMx
若为等强度矩形截面，则高为
][
)(6)(
sb
xMxh ?
同时
][)(5.1m a x tt ?? xbh Q
][5.1)( tb
Qxh ??
P
x
§ 5-5 非对称截面梁的平面弯曲 ? 开口薄壁截面的弯曲中心
轴过形心中性 )( z 0 ??zS
0dd)d( ????? ?? ?? ???s yzAAAy EIAyzEAE yzzAM
0dd)d( ????? ?? ?? ???s zAAA ESAyEAEyAN
外力要与主轴共线。轴必须为截面主惯性轴、,0 zyI yz ??
几何方程与物理方程不变。P
x
y
z
O
MEIAyEAEyyAM z
AAAz
????? ?? ?? ???s dd)d( 2
2
exdAM Ax 轴到杆轴的距离依此确定力臂,0)d(? ? ?? t
依此确定正应力计算公式。 剪应力研究方法与公式形式不变。
弯曲中心 (剪力中心 )：使杆不发生扭转的横向力作用点。
（如前述坐标原点 O）P
x
y
z
O
槽钢：
非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面
内，中性轴为形心主轴，,若是横向力，还必须过弯曲中心。
x
y
z
P
P
s
M
QRR
z
z
bI
QS ?*?,合力为腹板上 ; t
。合力为翼缘上 H
zI
QA; 21
*
?t
0)d(? ? ?? Ax dAM 力臂t RHhe ?
Q
e
z
z
bI
QSτ *?,求任意一点剪应力
弯曲中心的确定,
??? AC dAM 力臂向形心简化 )d(,t
(1)双对称轴截面，弯心与形心重合。
(2)反对称截面，弯心与反对称中心重合。
(3)若截面由两个狭长矩形组成，
弯心与两矩形长中线交点重合。
(4)求弯心的普遍方法：
yC eQMe ?,求弯心到形心距离
C
C
C
Qy
e
C
ss
ss
§ 5-6 考虑材料塑性时的极限弯矩
（一）物理关系为：
sx ss ??
全面屈服后,平面假设不再成立 ;仍做纵向纤维互不挤压假设。
s
?
s s
s s
理想弹塑性材料的
s??图
ss
ss
弹性极限
分布图
塑性极限
分布图
（二）静力学关系：
)( 依此确定中性轴的位置CS AA ??
0)(dd)(d ???+??? ??? ? CSsA sA sA AAAAAN
SC
ssss
)( 轴的位置依此确定 yCySy SS ??
0)(dd)()d( ???+??? ??? ? cySysA sA sAy SSAzAzzAM
LC
ssss
（一）物理关系为：
sx ss ??
y
z
x
ss
Mjx
横截面图正应力分布图
??? ? ?+?? 压拉 A SA SAz AyAyyAM dd)d( sss
jxzzS MSS ??? )( 压拉s
y
z
x
ss
Mjx
横截面图正应力分布图 )(
zzSjx SSM 压拉 ?? s SSW s?
例 4 试求矩形截面梁的弹性极限弯矩 M max与塑性极限弯矩 Mjx之
比。
解：
ss
bhWM ss
6
2
m a x ??
ssszsSjx
bhhbhSWM ssss
44222
2
?????? 拉
3
2m a x ?
jxM
M
41
