1 面积矩与形心位置
2 惯性矩、惯性积、极惯性矩
3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理
截面的几何性质
4 惯性矩和惯性积的转轴定理 *
截面的主惯性轴和主惯性矩
1 面积矩与形心位置
一、面积（对轴）矩,(与力矩类似 )
是面积与它到轴的距离之积。
P
n
P
n
W
M
GI
M
A
N m a x
m a x
m a x
m a x ; ; ??? ???
yAS x ??dd
xAS y ??dd
??
??
??
??
AA
yy
AA
xx
AxSS
AySS
dd
dd
dA
x
y
y
x
二、形心,(等厚均质板的质心与形心重合。 )
)(,正负面积法公式累加式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
A
Ay
y
A
Ax
x
ii
ii
?
?
??
??
iix
iiy
yAyAS
xAxAS
dA
x
y
y
x
等厚
均质
m
my
y
m
mx
x
m
m
?
?
?
?
d
d
质心：
A
S
A
Ayt
At
Ayt
A
S
A
Axt
At
Axt
xAA
yAA
??
??
??
??
dd
dd
?
?
?
?
等于形心坐标
x
y
21
21 21
AA
AxAx
A
Axx ii
?
??? ?
3.20108011010 1101035 ????? ????
7.34108011010 1101060 ???? ???y
例 1 试确定下图的形心。
解, 组合图形，用正负面积法解之。
1.用正面积法求解，图形分割及坐标
如图 (a)
80
120
10
10 x
y
C2
图 (a)
C1
C1(0,0)
C2(-35,60)
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图 (b)
3.201 1 070801 2 0 )1 1 070(5 ????? ????
图 (b)
C1（ 0,0）
C2（ 5,5）
21
21 21
AA
AxAx
A
Axx ii
?
??? ?C
2
负面积
C1 x
y
2 惯性矩、惯性积、极惯性矩
一、惯性矩,(与转动惯量类似）
是面积与它到轴的距离的平方之积。
?
?
?
?
A
y
A
x
AxI
AyI
d
d
2
2
dA
x
y
y
x
?
二、极惯性矩：
是面积对极点的二次矩。
yx
A
IIAI ???? d2??
dA
x
y
y
x
?
三、惯性积,面积与其到两轴距离之积。
??
A
xy AxyI d
如果 x 或 y 是对称轴，则 Ixy =0
3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理
一、平行移轴定理, （ 与转动惯量的平行移轴定理类似）
?
?
?
??
??
C
C
yby
xax
以形心为原点，建立与原坐标轴平行
的坐标轴如图
0?? CxC yAS AbbSI
Abbyy
Aby
AyI
xCxC
C
A
C
A
C
A
x
2
22
2
2
2
d)2(
d)(
d
???
???
??
?
?
?
?
AbII xCx 2??
dA
x
y
y
x
?
a
b
C
xC
yC
注意, C点必须为形心
AbII xCx 2??
AaII yCy 2??
a b AII x C y Cxy ??
AbaII C 2)( ??? ??
例 2 求图示圆对其切线 AB的惯性矩。
解,求解此题有两种方法：
一是按定义直接积分；
二是用平行移轴定理等知识求。
B 建立形心坐标如图,求图形对形
心轴的惯性矩。
642
4dI
II Pyx ???? 645464
444
2 dddAdII
xAB
??? ?????
A
d x
y
O
xyx III
dI 2
32
4
???? ??
圆
4 惯性矩和惯性积的转轴定理 *
截面的主惯性轴和主惯性矩
??
?
???
??
??
??
c o ss i n
s i nc o s
1
1
yxy
yxx
一,惯性矩和惯性积的转轴定理
dA
x
y
y
x
?
x1
y1
x1 y1
???
?
???
?
?
?
?
?
? ?? 2s i n2c o s
221 xy
yxyx
x I
IIII
I
???
?
???
?
?
?
?
?
? ?? 2s i n2c o s
221 xy
yxyx
y I
IIII
I
???
?
???
?
?
?
? ?? 2c o s2s i n
211 xy
yx
yx I
II
I
yxyx IIII ??? 11
二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩
1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到 ?= ?0 时；恰好有
0)2c o s2s i n2( 00
00
???? ?? xyyxyx IIII
与 ?0 对应的旋转轴 x0 y0 称为 主惯性轴；平面图形对主
轴之惯性矩主惯性矩。
yCxC
x C y C
II
I
?
??
2
2tg 0?
22)
2
(
2
0
0
xy
yxyx
y
x IIIII
I
I
?
?
?
?
?
??
?
?
?
主惯性矩：
2.形心主轴和形心主惯性矩：
主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之
惯性矩，称为形心主惯性矩
yCxC
yCxC
II
I
?
??
2
2tg 0?
22)
2
(
2
0
0
x C y C
yCxCyCxC
yC
xC IIIII
I
I
?
?
?
?
?
?
?
?形心主惯性矩：
3.求截面形心主惯性矩的方法
① 建立坐标系
② 计算面积和面积矩
③ 求形心位置
④ 建立形心坐标系；求,IyC, IxC, IxCyC
⑤ 求形心主轴方向 — ?0
⑥ 求形心主惯性矩
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
A
Ay
A
S
y
A
Ax
A
S
x
iix
iiy
22)
2
(
2
0
0
x C y C
yCxCyCxC
yC
xC IIIII
I
I
?????
??
???
yCxC
x C y C
II
I
???
22tg
0?
例 3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。 (b=1.5d)
解,① 建立坐标系如图。
② 求形心位置。
③ 建立形心坐标系；求,IyC, IxC, I xCy
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
???
?
?
d
d
d
dd
A
Ay
y
AA
Ax
x
ii
ii
1 7 7.0
4
3
42
0
0
2
2
2
?
?
d
b
2d
x
y
O
xC
yC x
1
d
b
2d
x
y
O
xC
yC x
1
])5.0([ 212 ydAIyAIIII xxxCxCxC ??????? 圆圆矩矩圆矩
42
24
22
3
685.0])177.05.0(464[)177.0(312 )2(5.1 ddddddddd ???????? ??
4
43
5 1 3.06412 2)5.1( ddddIII xCxCyC ?????? ?圆矩
便是形心主惯性矩
轴便是形心主轴
yCxC
C
x C y C
II
yx
I
,
C
0
?
?