? ? ? ? )().(,???? ? bxadyyxfx ???
一、含参变量积分的连续性
是变量 在 上的一个一元连续函数,
设函数 是在矩形
),( yxf ),( ?? ???? bbxaR
? ?? dyyxf ),(],[ ??
上的连续函数, 在 上任意确定 的一个值,于是
),(x?
x
],[ ba x
),( yxf y
从而积分
x
x],[ ba
存在,这个积分的值依赖于取
定的 值, 当 的值改变时,一般来说这个积分的值也
跟着改变, 这个积分确定一个定义在 上的 的函
数,我们把它记作 即
定理 1 如果函数 在矩形
),( yxf
),( ?? ???? bbxaR
? ??? ??? )(),()( bxadyyxfx
],[ ba
上连续，那么由积分
确定的函数 在 上也连续, )(x?
证 设 和 是 上的两点，则 x xx ?? ],[ ba
)1(.)],(),([
)()(
? ????
???
?
?
??
dyyxfyxxf
xxx
这里变量 在积分过程中是一个常量，通常称它为
参变量,
x
由于 在闭区域 上连续，从而一致连续, ),( yxf R
因此对于任意取定的,存在,使得对于 内
的任意两点 及,只要它们之间的距离
小于,即
0?? 0?? R
),( 11 yx ),( 22 yx
?
,)()( 212212 ????? yyxx
就有
.),(),( 1122 ??? yxfyxf
因为点 与 的距离等于,所以当 ),( yxx ?? ),( yx x?
时,就有 ???x
.),(),( ????? yxfyxxf
于是由（ 1）式有
).(),(),(
)()(
???
??
?
?
??????
???
? dyyxfyxxf
xxx
所以 在 上连续, 定理得证 )(x? ],[ ba
注 既然函数 在 上连续,那么它在 上
的积分存在,这个积分可以写为
)(x? ],[ ba ],[ ba
.),(
]),([)(
? ?
? ??
?
?
b
a
b
a
b
a
dyyxfdx
dxdyyxfdxx
?
?
?
?
?
右端积分式函数 先对 后对 的二次积分, ),( yxf y x
定理 2 如果函数 在矩形 ),( yxf
),( ?? ???? ybxaR
上连续,则
)2(.]),([]),([ dydxyxfdxdyyxf baba ? ?? ? ? ????
公式（ 2）也可写成
)2(.),(),( ?? ? ?? ? ???? baba dxyxfdydyyxfdx
我们在实际中还会遇到对于参变量 的不同的值，
积分限也不同的情形，这时积分限也是参变量 的函
数,这样,积分
x
x
? ? ? ?? ?? ? ? ?3,dyyxfx xx??? ??
也是参变量 的函数,下面我们考虑这种更为广泛地
依赖于参变量的积分的某些性质,
x
定理 3 如果函数 在矩形 ),( yxf
),( ?? ???? ybxaR
)(x? )(x?
],[ ba
],[ ba
),()(,)( bxaxx ?????? ??????
)(x?
上连续，又函数 与 在区间 上连续,
并且
则由积分（ 3）确定的函数 在 上也连续,
证 设 和 是 上的两点，则 ],[ bax xx ??
.),(),(
)()(
)(
)(
)(
)(
dyyxfdyyxxf
xxx
x
x
xx
xx ??
????
?????
??
??
?
?
?
?
? ?
,),(
),(),(
),(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
?
??
?
??
??
??
??
???
??????
??
xx
x
x
x
x
xx
xx
xx
dyyxxf
dyyxxfdyyxxf
dyyxxf
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)4(.)],(),([
),(
),()()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
?
?
?
????
???
?????????
??
??
x
x
xx
x
x
xx
dyyxfyxxf
dyyxxf
dyyxxfxxx
?
?
?
?
?
?
当 时，上式右端最后一个积分的积分限不变,0??x
根据证明定理 1时同样的理由，这个积分趋于零,又
.)()(),(
,)()(),(
)(
)(
)(
)(
xxxMdyyxxf
xxxMdyyxxf
x
xx
x
xx
??
??
?
?
?
?
??????
??????
?
?
??
??
其中 是 在矩形 上的最大值, 根据
与 在 上连续的假定，由以上两式可见,
当 时，（ 4）式右端的前两个积分都趋于
零, 于是，当 时,
M ),( yxf R )(x?
)(x? ],[ ba
0??x
0??x
),(0)()( bxaxxx ????????
],[ ba)(x?所以函数 在 上连续, 定理得证
下面考虑由积分 (*)确定的函数 的微分问题, )(x?
x
yxf
?
? ),(定理 4 如果函数 及其偏导数 都在 ),( yxf
),( ?? ???? ybxaR
)(x? ],[ ba
)5(.),(),()( ?? ????? ????? dyx yxfdyyxfdxdx
矩形 上连续,那么由积分 (1)
确定的函数 在 上可微分,并且
二、含参变量的函数的微分
证 因为,)()(lim)( 0 x xxxx x ? ????? ?? ???
为了求,先利用公式 (1)作出增量之比 )(x??
.),(),()()( dyx yxfyxxfx xxx ? ? ????? ??? ????
由拉格朗日中值定理，以及 的一致连续性，我们有 xf??
)6(),,,(
),(
),(),(),(
xyx
x
yxf
x
yxxf
x
yxfyxxf
??
?
?
?
?
???
?
?
???
?
?
其中, 可小于任意给定的正数,只要 10 ?? ? ? ?
x? ? 小于某个正数, 因此
),()(),,( ?????? ???? ?????? ?? xdydyxyx
这就是说,0),,(lim
0 ?????
?
? ? dyxyxx
综上所述有
,),,(),()()( ?? ?????? ???? ???? ??? dyxyxdyx yxfx xxx
令 取上式的极限，即得公式（ 5）, 0??x
定理 5 如果函数 及其偏导数 都在 ),( yxf
),( ?? ???? ybxaR )(x?
)(x?
],[ ba
],[ ba
),()(,)( bxaxx ?????? ??????
)(x?则由积分 (3)确定的函数 在 上可微，并且
x
yxf
?
? ),(
矩形上 连续，又函数
与 在区间 上可微，并且
)7().()](,[)()](,[
),(
),()(
)(
)(
)(
)(
xxxfxxxf
dy
x
yxf
dyyxf
dx
d
x
x
x
x
x
????
?
?
?
?
????
?
?
??? ? ??
三、莱布尼茨公式
证 由 (4)式有
)8(.),(
1
),(
1
),(),()()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
dyyxxf
x
dyyxxf
x
dy
x
yxfyxxf
x
xxx
x
xx
xx
x
x
x
?
?
?
??
??
??
?
?
??
?
?
?
???
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
当 时，上式右端的第一个积分的积分限
不变，则
0??x
.),(),(),( )( )()( )( dyx yxfdyx yxfyxxf xxxx ?? ???? ??? ????
对于 (8)右端的第二项，应用积分中值定理得
),,()]()([
1
),(
1 )(
)(
???
?
?
xxfxxx
x
dyyxxf
x
xx
x
?????
?
?
??
?
?
??
?其中 在 与 之间, 当 时,)(x? )( xx ??? 0??x
)],(,[),(
),()]()([
1
xxfxxf
xxxx
x
??
???
???
?????
?
类似地可证,当 时,0??x
).()](,[),(1 )( )( xxxfdyyxxfx xxx ???? ????? ? ??
因此，令,取 (8)式的极限便得公式 (7),0??x
公式 (7)称为 莱布尼茨公式,
于是 ).()](,[),(1 )(
)( xxxfdyyxxfx
xx
x ??
?
?
????? ? ??
应用莱布尼茨公式，得
1s in2s inc o s)(
2
2
22
?????? ? ? x xxx xx y d yx x
x
例 1 ???
2
,s i n)( x
x
dyy xyx ).(x??设 求
x
x
x
x
x
xy x
x
23 s i ns i n2s i n 2
???
?
?
??
??
.s in2s in3
23
x
xx ??
解
例 2 求 ).0(ln1
0 badxx
xxI ab ???? ?
解,ln]ln[ xxxyxdyx
ab
b
a
yb
a
y ?????
.10 ???? ba y dyxdxI
这里函数 在矩形 yxyxf ?),(
)0,10( byaxR ?????
上连续，根据定理 2，可交换积分次序，由此有
? ?? ba y dyxdyI 10,11ln11 ????? ? abdyyba dyyxba
y 1
0
1
1? ??
?
??
?
??
?
例 3 计算定积分,1 )1l n(10 2? ? ?? dxx xI
考虑含参变量 的积分所确定的函数 ?
.1 )1l n()( 10 2? ??? dxx x???
显然,根据公式 (5)得,)1(,0)0( I?? ??
.)1)(1()( 1
0 2? ??
?? dxxx x???
解
把被积函数分解为部分分式,得到
].111[1 1)1)(1( 2222 xxxxxx x ?????????? ?????
]111[1 1)( 1
0 2
1
0 2
1
02 ??? ?
???????? xdxxx d xxdx ??????
于是
],42ln21)1l n ([1 1 2 ???? ???????
上式在 上对 积分,得到 ]1,0[ ?
,
141
2ln
2
1
1
)1l n (
)0()1(
1
0 2
1
0 2
1
0 2
??
?
??
???
?
??
?
?
?
??
??
?????
dd
d
即,2 2ln42 2ln442 2ln ???????????? III
从而,2ln8??I
1、含参变量的积分所确定的函数的定义 ；
四、小结
2、含参变量的积分所确定的函数的连续性；
3、含参变量的积分所确定的函数的微分；
4、莱布尼茨公式及其应用,
练 习 题
.)c o s (l i m2;
1
l i m1
2
0
2
0
1
220 ?? ?
?
? ??
dyxyy
yx
dy
x
x
xx
．．
限：积分所确定的函数的极一、求下列含参变量的
.)(2;)1l n ()(1
2
2
0 ??
???? x
x
xyx dyexdy
y
xyx ??,．
：二、求下列函数的导数
．求
为可微函数，，其中三、设
)(
)()()()(
0
xF
xfdyyfyxxF x
??
?? ?
).1(c o sc o s1 c o s1ln2
0
????? ?
?
axdxxya xaI四、计算积分：
练习题答案
.382;41,．一,?
.22);1l n (21 2 235 22 ? ??? ??? xx xyxx dyeyexexx,．二、
．三,)(2)(3 xfxxf ??
.a r c s in a?四、