代入原方程,得
解法,
特点,.,,)1( ?? kyyy ?及不显含未知函数
)()( xPy k ?令
.,)()()1( knnk PyPy ?? ???则
) ),(,),(,( )1()( xPxPxfP knkn ??? ? ?
P(x)的 (n-k)阶方程
),( xP求得
,)()( 次连续积分将 kxPy k ?可得通解,
),,,( )1()()( ?? nkn yyxfy ?一,型
.0)4()5( 的通解求方程 ?? yxy
解 ),()4( xPy ?设
代入原方程,0??? PPx
xCP 1?解线性方程,得
两端积分,得
原方程通解为
)()5( xPy ??
）（ ?P
,1)4( xCy ?即
,21 221 CxCy ?????,??
,261 2 0 54233251 CxCxCxCxCy ?????
54233251 dxdxdxdxdy ?????
例 1
)( ypy ??设,dydPpdxdydydpy ?????则
阶方程，的代入原方程得到新函数 )1()( ?nyP
求得其解为
原方程通解为,),,,(
11
n
n
CxCCy dy ????
??
特点,.x右端不显含自变量
解法,
,)( 22
2
2
dy
dPP
dy
PdPy ?????
,??
),,,,()( 11 ???? nCCyyPdxdy ?
),,,( )1()()( ?? nkn yyyfy ?二,型
.02 的通解求方程 ????? yyy
解,dydPpy ???则 ),( ypy ??设
代入原方程得,02 ??? PdydPPy,0)( ??? PdydPyP即
，由 0??? PdydPy,1 yCP ?可得
.12 xCeCy ?原方程通解为,1 yCdxdy ??
例 2
特点
.0),,,,(,
),,,,(
)1(
)1(
???
??
?
?
n
n
yyyx
dx
d
x
yyyx
?
?
即的导数对
左端恰为某一函数
解法,类似于全微分方程可降低一阶
,),,,,( )1( Cyyyx n ??? ??
再设法求解这个方程,
三、恰当导数方程
.02 的通解求方程 ????? yyy
解 将方程写成,0)( ??yydxd
,1Cyy ??故有,1 dxCy d y ?即
积分后得通解,212 CxCy ??
注意, 这一段技巧性较高,关键是配导数的方程,
例 3
特点,
解法,
),,,,(),,,,( )()( nkn yyyxFttyyttyxF ?? ???
次齐次函数k ?? z d xey可通过变换
).(,xz得新未知函数将其降阶
,??? zd xzey?,)( 2 ?????? z d xezzy,??
,),,,( )1()( ???? ? z d xnn ezzzy ?
四、齐次方程
,? z d xke代入原方程并消去
阶方程的得新函数 )1()( ?nxz
.0),,,,( )1( ?? ?nzzzxf ?
.)( 22 的通解求方程 yxyyyx ?????
解,?? zd xey设 代入原方程,得,12 2xzxz ???
,1 21xCxz ??解其通解为
.12
1
2
)1( xCdxxCx xeCey ?? ?? ?原方程通解为
例 4
五、小结
解法 通过代换将其化成较低阶的方程来求解,
.02 的通解求方程 ????? yyy
解,1 2y两端同乘不为零因子
,0)(2
2
??????? yydxdy yyy,1 yCy ??故
从而通解为,12 xCeCy ?
例 5
另解 原方程变为,yyyy
??
?
??
两边积分,得,1lnlnln Cyy ???,即 yCy 1??
原方程通解为,12 xCeCy ?
.2 的通解求方程 yyyxyxy ??????
解,?? zd xey设,zxz ??
,xCz ?解其通解为
.212 xCC x d x eCey ?? ?原方程通解为
代入原方程,得
补充题,
思考题
已知 31 ?y,
2
2
3 xy ??,
x
exy ???
2
3
3
都是微分方程
? ? ? ? ? ? ? ?162222 22 ?????????? xyxyxyxx
的解，求此方程所对应齐次方程的通解,
思考题解答
321,,yyy? 都是微分方程的解,
,23 xeyy ???,212 xyy ??
是对应齐次方程的解,
2
12
23
x
e
yy
yy x?
?
?? ?常数
所求通解为 ?
.221 xCeC x ??
? ? ? ?122231 yyCyyCy ????
一、求下列各微分方程的通解,
1,
x
xey ???? ； 2,
2
1 yy ????? ；
3, yyy ??????
3
)( ； 4, 0
1
2
2
??
?
??? y
y
y,
二,求下列各微分方程满足所给初始条件的特解,
1,
0,1,01
11
3
???????
?? xx
yyyy；
2,
1,0,0
00
2
?????????
?? xx
yyyay；
3,
2,1,3
00
??????
?? xx
yyyy
.
三,试求
xy ???
的经过点 )1,0(M 且在此点与直线
1
2
??
x
y 相切的积分曲线,
练 习 题
练习题答案
一,1,
32
1
2
3 CxCx
C
exey
xx
????? ；
2,
21
)c o s(ln CCxy ???? ；
3,
12
)a r c s i n ( CeCy
x
?? ；
4,
xCxC
y
21
1
1
?
??,
二,1,
2
2 xxy ?? ； 2, )1l n (
1
??? ax
a
y ；
3,
4
)1
2
1
( ?? xy,
三,1
2
1
6
1
3
??? xxy,