)()( xQyxPdxdy ??
一阶线性微分方程 的标准形式,
,0)( ?xQ当 上方程称为 齐次的,
上方程称为 非齐次的,,0)( ?xQ当
一、线性方程
例如,2xydxdy ??,s i n 2ttxdtdx ??
,32 ??? xyyy,1c o s ??? yy
线性的 ;
非线性的,
.0)( ?? yxPdxdy
,)( dxxPydy ??,)(?? ?? dxxPydy
,ln)(ln CdxxPy ??? ?
齐次方程的通解为,)(?? ? dxxPCey
1,线性齐次方程
一阶线性微分方程的 解法
(使用分离变量法 )
2,线性非齐次方程 ).()( xQyxPdxdy ??
讨论,)(
)( dxxP
y
xQ
y
dy
??
?
??
? ???
两边积分,)(
)(ln ?? ?? dxxPdx
y
xQy
),()( xvdxyxQ 为设 ?,)()(ln ???? dxxPxvy
.)()( ??? dxxPxv eey即 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比, )( xuC ?
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,
实质, 未知函数的变量代换,
),()( xyxu 原未知函数新未知函数 ?
作变换 ?? ? dxxPexuy )()(
,)]()[()( )()( ??????? ?? dxxPdxxP exPxuexuy
代入原方程得和将 yy ?
,)()( )( CdxexQxu dxxP ??? ?
),()( )( xQexu dxxP ??? ?
积分得
一阶线性非齐次微分方程的通解为,
???? ?? dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
dxexQeCe dxxPdxxPdxxP ?????? ??? )()()( )(
对应齐次
方程通解
非齐次方程特解
.s i n1 的通解求方程 x xyxy ???
,1)( xxP ?,s i n)( x xxQ ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
???
Cdxe
x
x
ey
dx
x
dx
x
11 s i n
?
?
??
?
? ? ??? ? Cdxe
x
xe xx lnln s i n
? ?? ?? Cx d xx s i n1 ? ?.co s
1 Cx
x ???
解
例 1
例 2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲
线 与 截下的线段 PQ之
长数值上等于阴影部分的面积,求曲线,
y
)( xfy ? )0(3 ?? xxy
)(xf
,)()( 230 yxdxxfx ???
? ??x yxy d x0 3,
两边求导得,3 2xyy ???
解
解此微分方程 x
y
o x
P
Q 3xy ?
)( xfy ?
??
?
??
? ???? ?? dxexCey dxdx 23
,663 2 ???? ? xxCe x
,0| 0 ??xy由,6??C得
所求曲线为 ).222(3 2 ????? ? xxey x
23 xyy ???
伯努利 (Bernoulli)方程的标准形式
nyxQyxP
dx
dy )()( ??
)1,0( ?n
方程为 线性微分方程,
方程为 非线性微分方程,
二、伯努利方程
时，当 1,0?n
时，当 1,0?n
解法, 需经过变量代换化为线性微分方程,
,1 nyz ??令,则 dxdyyndxdz n??? )1(
),()( 1 xQyxPdxdyy nn ?? ??
),()1()()1( xQnzxPndxdz ????
求出通解后，将 代入即得 nyz ?? 1
，得两端除以 ny
代入上式
.))1)(((
)()1()()1(
1
? ?????
??
???
?
CdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
.4 2 的通解求方程 yxyxdxdy ??
,41 2xyxdxdyy ??
,yz ?令,
42 2xz
xdx
dz ??
,22 ?????? ?? Cxxz解得,2
2
4 ?
?
??
?
? ?? Cxxy即
解,得两端除以 y
例 3
例 4 用适当的变量代换解下列微分方程,;22.1 22 xxexyyy ????
解,21 1
2 ????? yxexyy x
,2)1(1 yyz ?? ??令,2 dxdyydxdz ?则
,2 2xxexzdxdz ???? ][ 22 2 Cdxexeez x d xxx d x ???? ? ??
所求通解为 ).2(
2
2 2 Cxey x ?? ?;)(s i n 1.2 2 xyxyxdxdy ??
解,xyz ?令,dxdyxydxdz ??则
,s i n1))(s i n 1( 22 zxyxyxxydxdz ????
,42s i n2 Cxzz ???分离变量法得
,代回将 xyz ?
所求通解为,4)2s i n(2 Cxxyxy ???;1.3 yxdxdy ??
解,uyx ??令,1?? dxdudxdy则
代入原式,11 udxdu ??
分离变量法得,)1l n( Cxuu ????
,代回将 yxu ?? 所求通解为
,)1l n( Cyxy ???? 11 ??? yeCx y或
另解,yxdy
dx ??方程变形为
三、小结
1.齐次方程
2.线性非齐次方程
3.伯努利方程
)( xyfy ?? ;xuy ?令;)( )(?? ? dxxPexuy令;1 zy n ??令
思考题
求微分方程 的通解, yxyy
yy
s i n2s i nc o s
c o s
???
思考题解答
y
yxyy
dy
dx
c o s
s i n2s i nc o s ??,ta n2s i n yxy ??
? ?,2s i nt a n yxydydx ????
? ?? ??? ? Cdyeyex yy c o slnc o sln 2s i n
??
?
??
? ?? ? Cdy
y
yyy
co s
co ss i n2co s ? ?
.c o s2c o s yCy ??
一、求下列微分方程的通解,
1,
x
exyy
s i n
c o s
?
??? ；
2, 0)ln(ln ??? dyyxy d xy ；
3, 02)6(
2
??? y
dx
dy
xy,
二,求下列微分方程满足所给初始条件的特解,
1, 4,5c o t
2
c o s
????
?
?
x
x
yexy
dx
dy；
2,
.0,1
32
13
2
??
?
?
?x
yy
x
x
dx
dy
练 习 题
三、设有一质 的量为 m 质点作直线运动从速度等于零
的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正
比 ( 比例
1
k系数为 ) 的力作用于它,此外还受
一与速度成正比 ( 比例
2
k系数为 ) 的阻力作用,求质
点运动的速度与时间的函数关系,
四,求下列伯努利方程的通解,
1,
2
1
2
1
2
1
yxy
x
y
?
??? ；
2, 0)]ln1([
3
???? dxxxyyxdy,
五,用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的
方程,然后求出通解,
1, 1
1
?
?
?
yxdx
dy；
2, 1c o ss i n2s i n)1(s i n2
22
???????? xxxyxyy ；
3,
x
y
xyxdx
dy
??
)(s i n
1
2
.
六,已知微分方程
)( xgyy ???
,其中
?
?
?
?
??
?
0,0
10,2
)(
x
x
xg,试求一连续函数
)( xyy ?
,满
足条件
0)0( ?y
,且在区间
),0[ ??
满足上述方程,
练习题答案
一,1,
x
eCxy
s i n
)(
?
?? ；
2, Cyyx ??
2
lnln2 ；
3,
23
2
1
yCyx ??,
二,1, 15s i n
c o s
??
x
exy ；
2,
1
1
33
2
2
?
??
x
exxy,
三,)1(
0
2
2
1
2
1
t
m
k
e
k
mk
t
k
k
v
?
???,
四,1, Cxxy ?? ；
2, )
3
2
(l n
3
2
3
2
2
??? xxC
y
x
.
五,1, Cxyx ???? 2)(
2；
2,
Cx
xy
?
???
1
s i n1 ；
3, Cxxyxy ??? 4)2s i n (2,
六、
?
?
?
??
???
??
?
?
1,)1(2
10,)1(2
)(
xee
xe
xyy
x
x
.