一、全微分方程及其求法
1.定义,
0),(),( ?? dyyxQdxyxP则
dyyxQdxyxPyxdu ),(),(),( ??
若有全微分形式
例如,0?? yd yxdx ),(21),( 22 yxyxu ???
全微分方程
或恰当方程
,),( yd yx d xyxdu ??? 所以是全微分方程,
.xQyP ??????全微分方程
2.解法,
0),(),( ?? dyyxQdxyxP
?应用曲线积分与路径无关, x
Q
y
P
?
??
?
??
通解为 ?? ??
y
y
x
x dyyxQxdyxPyxu 00 ),(),(),( 0
,),(),(
00 0
xdyxPdyyxQ xxyy ?? ?? ;),( Cyxu ?
? 用直接凑 全微分的方法,
全微分方程
.
0)3()3( 2323
的通解
求方程 ???? dyyxydxxyx
解,6 xQxyyP ??????? 是全微分方程,
?? ??? yx dyyxdxyxyxu 0 30 23 )3(),(
.4234
4
22
4
Cyyxx ???原方程的通解为
,4234
4
22
4 y
yxx ???
例 1
.032 4
22
3 的通解求方程 ?
?? dy
y
xydx
y
x
解,6 4 xQy xyP ??????? 是全微分方程,
将左端重新组合 )32(1 4
2
32 dyy
xdx
y
xdy
y ??
)()1( 3
2
y
xd
yd ???
.1 3
2
Cyxy ???原方程的通解为
),1( 3
2
y
x
yd ???
例 2
二、积分因子法
定义,
0),( ?yx? 连续可微函数，使方程
0),(),(),(),( ???? dyyxQyxdxyxPyx 成为全
微分方程, 则称 ),( yx? 为方程的 积分因子,
问题, 如何求方程的积分因子?
1.公式法,,)()( xQyP ????? ???
xQx
Q
yPy
P
?
??
?
??
?
??
?
? ????,两边同除 ?
x
Q
y
P
yPxQ ?
??
?
??
?
??
?
? ?? lnln
求解不容易
特殊地,;,有关时只与当 xa ?,0??
?
y
?,
dx
d
x
?? ?
?
?;,有关时只与当 yb ?
)(1ln xQyPQdxd ??????? ? )( xf?
.)( )(??? dxxfex?
,0???x?,dydy ?? ???
)(1ln yPxQPdyd ??????? ? )( yg?
.)( )(??? dyygey?
2.观察法, 凭观察凑微分得到 ),( yx?
常见的全微分表达式
???????? ??? 2
22 yx
dydyxdx ???????? xydx y dxxd y 2
????????? xydyx y d xx d y a r c t a n22 ? ?xydxy y dxxd y ln??
?????? ???? )l n (21 2222 yxdyx ydyxdx
?????? ????? yx yxdyx yd xx d y ln2122
可选用的积分因子有
.,,1,1,1,1 2222222 等xyyxyxyxxyx ??
.0)()3( 22 的通解
求微分方程
???? dyxyxdxyxy
解,1)(1 xxQyPQ ??????? ??? dxxex
1
)(?,x?
例 3
则原方程为
,0)()3( 2322 ???? dyyxxdxxyyx
,0)()3( 2322 ???? dyyxxdxxyyx
)(3 32 xdyy d xxydyxy d xx ???
))(21( 23 xyyxd ??,0?
原方程的通解为
.)(21 23 Cxyyx ?? (公式法 )
可积组合法
.0)1(2 22 的通解????? dyyxdxyxx
解
将方程左端重新组合,有
例 4 求微分方程
,022 22 ????? dyyxdxyxxx d x
,0)()( 2222 ????? dyyxxdyxxd
,0)()( 222 ???? yxdyxxd
原方程的通解为,)(3
2 2322 Cyxx ???
.0)1(ln2 222 的通解???? dyyyxyd xxy
解 将方程左端重新组合,有
,01)ln2 222 ???? dyyydyxyd xxy（
,1),( yyx ??易知
,01)ln2( 2
2
???? dyyydyyxydxx则
.0)1(31)ln( 2
3
22 ??? ydyxd即
原方程的通解为,)1(3
1ln 2322 Cyyx ???
可积组合法
例 5 求微分方程
.1
32
的通解求微分方程 x yxxdxdy ? ????
解 1 整理得,1 1 2xyxdxdy ????
A 常数变易法,
B 公式法,
.43
43
Cxxxyy ????通解为
.1 xCy ??对应齐方通解
.1 )( xxCy ??设,43)(
43
CxxxC ????
],[ 1
1
21
1
Cdxexey dxxdxx ????? ? ???
例 6
解 2 整理得,0)1()( 32 ????? dyxdxyxx
,1 xQyP ???????,是全微分方程?
A 用曲线积分 法,
,)(),( 00 32 ?? ???? yx dydxyxxyxu
B 凑微分法,
,0)( 32 ????? dxxdxxy d xxdydy
，043)(
43
???? xdxdxyddy
.0)43(
43
???? xxxyyd
C 不定积分 法,,32 yxxxu ??????
? ??? dxyxx )( 32 ),(43
43
yCxyxx ????
),( yCxyu ??????,1 xyu ????又
,1)( xyCx ?????,1)( ?? yC,)( yyC ?
原方程的通解为,43
43
Cxxxyy ????
三、一阶微分方程小结
分离变量法 常数变易法 全微分方程
一阶微分方程
思考题
方程 0
32
4
22
3 ?
?? dy
y
xydx
y
x
是否为全微分方程？
思考题解答
?
?
??
?
?
?
??
?
?
3
2
y
x
yy
P?
,6 4yx??
?
?
??
?
? ?
?
??
?
?
4
22 3
y
xy
xx
Q
,6 4yx??
x
Q
y
P
?
??
?
?? 原方程 是 全微分方程,
一,判别下列方程中哪些是全微分方程,并求全微分方
程的通解,
1, 0)2( ??? dyyxedxe
yy；
2, 0)(
22
??? x y d ydxyx ；
3, 02)1(
22
??? ???
??
dede,
二,利用观察法求出下列方程的积分因子,并求其通
解,
1, 0
2
??? x d xyx d yy d x ；
2, dxyxy d yx d x )(
22
??? ；
3,
0)1()1( ???? x d yxyy d xxy
.
练 习 题
三,验证
)]()([
1
xygxyfxy ?
是微分方程
0)()( ?? dyxyxgdxxyyf 的积分因子,并求方程
0)22()2(
2222
???? dyyxxdxyxy 的通解,
四,已知
2
1
)0( ?f,试确定
)( xf
,使
0)()]([ ??? dyxfy d xxfe
x
为全微分方程,并求此
全微分方程的通解,
练习题答案
一,1, Cyxe
y
??
2； 2,不是全微分方程；
3, Ce ?? )1(
2 ?
?,
二,1, C
x
y
x
??
2
2； 2,
x
Ceyx
222
?? ；
3,
xy
Ce
y
x
1
?,
三、
22
1
2 yx
eCyx ?
,( 或 C
yxy
x
???
222
1
1ln )
四,Cyxexexf
xx
???? )
2
1
(,)
2
1
()(,