,0 ???? r
,20 ????
.?????? z
一、利用柱面坐标计算三重积分
的柱面坐标．就叫点个数
，则这样的三的极坐标为面上的投影
在为空间内一点，并设点设
Mzr
rPx o y
MzyxM
,,
,
),,(
?
?
规定,
x
y
z
o
),,( zyxM
),( ?rP?
r
?
?
??
?
?
?
?
?
?
.
,s i n
,co s
zz
ry
rx
?
? 柱面坐标与直角坐标的关系为
为常数r
为常数z
为常数?
如图，三坐标面分别为
圆柱面；
半平面；
平 面,
? ),,( zyxM
),( ?rP?? r
z
x
y
z
o
???
?
? d x d y d zzyxf ),,(
.),s i n,c o s(???
?
? dzr d r dzrrf ???
?d
r
x
y
z
o
dzdr
?rd 如图，柱面坐标系中的体积元素为
,dzrd rddv ??
例 1 计算 ???
?
? z d x d y d zI,其中 ? 是球面
4
222
??? zyx 与抛物面 zyx 3
22
??
所围的立体,
解
由
?
?
?
?
?
?
?
?
zz
ry
rx
?
?
s in
c o s
,
?
?
?
?
??
zr
zr
3
4
2
22
,3,1 ??? rz
知交线为
?? ? ?? ??? 2
3
2
42
0
3
0
r
r z d zrdrdI,4
13??
面上，如图，投影到把闭区域 x o y?
.20
,30
4
3
:
2
2
????
??
????
r
rz
r
，
例２ 　 计算 ???
?
?? d x d y d zyxI )(
22
,其中 ?
是 曲线 zy 2
2
?, 0?x 绕 oz 轴旋转一周而成
的曲 面 与两平面,2?z 8?z 所围的立体,
解
由
?
?
?
?
?
0
22
x
zy
绕 oz 轴旋转得，
旋转面方程为,222 zyx ??
所围成的立体如图,
:2D,422 ?? yx
.
2
2
20
20
:
22
?
?
?
?
?
??
??
????
?
z
r
r
:1D,1622 ?? yx
,
8
2
40
20
:
21
?
?
?
?
?
??
??
????
?
z
r
r
所围成立体的投影区域如图,
2D1D
,)()(
21
2222
21
??????
??
????
???
d x d yd zyxd x d yd zyx
III
?? ???
1
2
8
2
1
D
r f d zr d r dI,3
45 ??
?? ???
2
2
2
2
2
D
r f d zr d r dI,6
25 ??
原式 ?I ?34
5
?? 62
5
?? 336,
??? ??? ? 8 24020 22r dzrrdrd
?? ? ??? ? 2 220 20 22r dzrrdrd
二、利用球面坐标计算三重积分
的球面坐标．就叫做点
，，个数面上的投影，这样的三在点
为的角，这里段逆时针方向转到有向线
轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角，
与为有向线段间的距离，与点点
为原来确定，其中，，三个有次序的数
可用为空间内一点，则点设
M
rx o yM
POP
xz
zOMMO
rr
MzyxM
?
?
?
?
??
),,(
,r ????0,20 ????,0 ????
规定,
为常数r
为常数?
为常数?
如图，三坐标面分别为
圆锥面；
球 面；
半平面,
?
?
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
球面坐标与直角坐标的关系为
如图,
Px y
z
o
),,( zyxM
?
r
?
??
z
y
xA
，轴上的投影为在点
，面上的投影为在设点
AxP
PxoyM
.,,zPMyAPxOA ???则
???
?
?d x d y d zzyxf ),,(
???
?
.s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2 ???????? dd rdrrrrf
球面坐标系中的体积元素为
,s i n2 ??? ddrdrdv ?
?d
r
x
y
z
o
dr
??dsinr?rd
?d
?
?d ?sinr
如图,
例 3 计算 ???
?
?? d x d yd zyxI )( 22,其中 ? 是 锥面
222 zyx ??, 与 平面 az ? )0( ?a 所围的立体,
解 1 采用球面坐标
az ??,c o s ??? ar
222 zyx ??,4????
,20,40,c o s0,????????????? ar
???
?
?? d x d y d zyxI )( 22
drrdd
a
? ??
?
?? ???? 4
0
c o s
0
342
0 s in
??????? ?
?
da )0c o s(51s in2 5
5
4
0
3
.10 5a??
解 2 采用柱面坐标
,,222 ayxD ??
???
?
?? d x d y d zyxI )( 22 ??? ? ?? a
r
a dzrr d rd 2
0
2
0
? ??? a drrar0 3 )(2 ]54[2
54 aa
a ????,10 5a??
222 zyx ???,rz ??
,20,0,,????????? arazr
例 4 求曲面 2222 2 azyx ??? 与 22 yxz ??
所围 成的立体体积,
解 ? 由锥面和球面围成,采用球面坐标，
由 2222 2 azyx ???
,2 ar ??
22 yxz ??,4????
,20,40,20,??????????? ar
由三重积分的性质知 ???
?
? d x d y d zV,
??? ???? ?? a drrddV 20 2020 s i n4
?
?
????? 4
0
3
3
)2(s in2 da.)12(
3
4 3a???
补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意,
１、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴
的
一般地，当积分区域 ? 关于 x o y 平面对称，且
被积函数 ),,( zyxf 是关于 z 的奇函数，则三重积分
为零，若被积函数 ),,( zyxf 是关于 z 的偶函数，则
三重积分为 ? 在 x o y 平面上方的半个闭区域的三重
积分的两倍,
奇偶性,
例５　 利用对称性简化计算
???
?
???
???
d x d y d z
zyx
zyxz
1
)1l n (
222
222
其中积分区域 }1|),,{(
222
????? zyxzyx,
解 积分域关于三个坐标面都对称,
被积函数是 的 奇函数,z
.01 )1ln( 222
222
???? ??????
?
d x d y d zzyx zyxz
解 2)( zyx ???
)(2222 zxyzxyzyx ??????
例 6 计算 ???
?
?? d x d y d zzyx 2)( 其中 ? 是由抛物
面
22 yxz ??
和球面 2
222 ??? zyx
所围成的空
间闭区域,
其中 yzxy ? 是关于 y 的奇函数,
且 ? 关于 z o x 面对称,???
?
??? 0)( dvyzxy,
同理 ? zx 是关于 x 的奇函数,
且 ? 关于 y o z 面对称,,0???
?
?? x z d v
由对称性知 ??????
??
? dvydvx 22,
则 ???
?
??? d x d y d zzyxI 2)(
,)2( 22???
?
?? d x d yd zzx
在柱面坐标下：
,20 ????,10 ?? r,2 22 rzr ???
,122 ?? yx投影区域 xyD,
?? ? ?? ???? 22 2 22220 10 )c o s2(rr dzzrrdrdI
).89290(60 ???
（ 1） 柱面坐标的体积元素
dzr d r dd x d yd z ??
（ 2） 球面坐标的体积元素
??? ddrdrdx dy dz s i n2?
（ 3） 对称性简化运算
三重积分换元法 ???
柱面坐标
球面坐标
三、小结
思考题
则上的连续函数
为面对称的有界闭区域，中关于为若
,
),,(3
?
? zyxfxyR
???
?
? ;0),,(,_ _ _ _),,( dvzyxfzyxf 为奇函数时关于当
??????
??
?
1
),,(___),,(
,____),,(
dvzyxfdvzyxf
zyxf 为偶函数时关于当
.1 面上方的部分在为其中 xy??
z
z
2
一,填空题,
1, 若 ? 由曲面 和)(3
222
yxz ?? 16
222
??? zyx 所
围,则三重积分
???
?
dvzyxf ),,( 表示成直角坐标下
的三次积分是 __ __ _ __ __ __ __ _ __ _ ; 在柱面坐标下
的三次积分是 __ __ _ __ __ __ __ _ __ _ ; 在球面坐标下
的三次积分是 __ __ _ __ __ __ __ _ __ __,
2, 若
?
由曲面
及
22
2 yxz ???
22
yxz ?? 所围,
将 ???
?
z d v 表为柱面坐标下的三次积分 __ __ _ __ __,
其值为 _______,
练 习 题
3,若空间区域 ? 为二曲面 azyx ??
22
及
22
2 yxaz ??? 所围,则其体积可表为三重积分
___ __ ___ __ ___ __ ; 或二重积分 ___ __ ___ _ _ _ _ __ ;
或柱面坐标下的三次积分 ___ ___ __ __ __ _ _ _ ___ _,
4,若由不等式
2222
)( aazyx ????,
222
zyx ??
所确定,将 ???
?
z d v 表为球面坐标下的三次积分为
___ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ _ ；其值为 ___ _ _ _ __ __,
二、计算下列三重积分,
1, ???
?
? dvyx )( 22,其中 ? 是由曲面 ?24 z )(25 22 yx ?
及平面 5?z 所围成的闭区域,
2,
???
?
? dvyx )(
22
,其中 ? 由不等式
0,0
222
?????? zAzyxa 所确定,
3, ???
?
?? d x d y d z
c
z
b
y
a
x
)(
2
2
2
2
2
2
,
其中
??
?
?
?
?
?
?
??? 1),,(
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
zyx,
三、求曲面
22
5 yxz ???
及 zyx 4
22
?? 所围成的立
体的体积,
四、曲面
222
4 aazyx ??? 将球体 azzyx 4
222
??? 分
成两部分,试求两部分的体积之比,
五、求由曲面,0,,22 ????? xayxyxz 0,0 ?? zy
所围成立体的重心 ( 设密度 1?? ).
六、求半径为 a,高为 h 的均匀圆柱体对于过中心而垂
直于母线的轴的转动惯量 ( 设密度 )1??,
一,1,
???
??
?
?
???
22
22
2
2
16
)(3
4
4
2
2
),,(
yx
yx
x
x
dzzyxfdydx
???
??
???
?
???
?
)(3
16
4
4
2
2
22
22
2
2
),,(
yx
yx
x
x
dzzyxfdydx,
???
??
???
2
16
3
2
0
2
0
),s i n,c o s(
r
r
dzzrrfr d rd
???
?
??
?
????
r
r
dzzrrfr d rd
3
16
2
0
2
0
2
),s i n,c o s(,
???
????
?
? 4
0
6
0
2
0
,c o ss i n( rfdd
drrrr ???? s i n)c o s,s i ns i n
2
???
?????
?
?
? 4
0
6
5
2
0
,c o ss i n( rfdd
drrrr ???? s i n)c os,s i ns i n
2；
练习题答案
2,
???
??
?
2
2
21
0
2
0
r
r
z d zr d rd,
12
7 ?；
3,
???
?
dv,
??
?
???
D
d x d y
a
yx
yxa )2(
22
22
,
???
??
?
ra
a
r
a
dzr d rd
2
0
2
0
2；
4,
4
c o s2
0
3
4
0
2
0
6
7
,c o ss i n adrrdd
a
?????
???
?
?
?
.
二,1,
?8； 2, )(
15
4
55
aA ?
?；
3, a b c?
5
4
.
三,)455(
3
2
??,
四、
27
37
6
27
6
37
3
3
2
1
?
?
?
?
a
a
V
V
.
五,)
30
7
,
5
2
,
5
2
(
2
aaa,
六,)
3
(
4
2
2
h
a
M
? ( 其中 ??? haM
2
为圆柱体的质量 ).