一、方向场 积分曲线
设 (1) 中右端的函数 ),( yxf 在区域 D 内
有定义，那么过 D 内每一点 ),( yxM 作一条以
),( yxf 为斜率的直线，并把向量
}),(,1{),( yxfyx ??
所指的方向定义为直线的方向, 这样，对于 D 内
每一点 　 ),( yx,方程 ( 1) 都确定一个方向与之对应，
于是我们说方程 (1) 在 D 内确定了一个 方向场,
)1(),( yxfy ??一阶微分方程
定义 1
过 D 内任一点 ),( yxM,做一个以 M 为起点
长度等于 ? 的向量
}),(,1{)],([1),( 20 yxfyxfyx ?? ???
如图所示,
可形象地表示方向场,
xo
y
定义 2
等斜线的方程为,),( Cyxf ?
在这条等斜线上的各点处 },1{1 20 CC?? ???
方向场中具有同一方向 )( Cy ?? 的点
的轨迹叫做方程 (1) 的 等斜线,
方向场画法
适当画出若干条等斜线,再在每条
等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量
0
??,这样即可画出这个方向场,
例 1 画出方程 22 yxy ??? 所确定的方向
解 方程的等斜线为,22 Cyx ??
,2,5.1,1,5.0,0?C取
画出五条等斜线,
再在
每条等斜线上适当选取
若干个点画出对应的向
量
0
??,如图方向场,
xo
y
场示意图,
xo
y
的积分曲线．的曲线就是方程
点处的方向一致，这样线方向都和方向场在该
处的切内的一条曲线在任一点如果
)1(
D
定义 3
如图,
)1,0(),0,0(),1,0( ?
的三条积分曲线,
经过点
根据方向场即可大致
描绘出积分曲线,
二、欧拉 -柯西近似法
问题,
一阶微分方程的初值问题
?
?
?
?
??
?
,
),,(
00
yy
yxfy
xx
的解不能或不易用初等积分法求出时,怎么办？
方法,近似积分法 —— 欧拉 — 柯西近似法,
一阶微分方程初值问题的解存在及唯一的
充分条件如下定理,
．样的积分曲线是唯一的
上也连续，那末这在线一定存在．如果
的积分曲通过点上，微分方程闭区域
的内点，那末在是上连续，点
在闭区域右端的函数设方程定理
D
y
f
MD
DyxMD
yxf
?
?
0
000
)1(
),(
),()1(
注意
上连续．闭区域
在及下面总假定函数
D
yxf
y
yxf ),(),(
?
?
内．的一段积分曲线位于
时，对应，并设当
的积分曲线为经过点设方程
D
HxxHxxy
yxM
????? 00
000
)(
),()1(
?
:],[ 00 上作欧拉折线在 Hxx ?
，如图
轴的直线作平行于
，为步长；记
称，等分，记把区间
),,2,1,0(
],[
0
00
nixx
y
ihxx
h
n
H
hnHxx
i
i
???
??
??
1x 2x 1?nx
y
xo 0x H；则
，交于点，与直线段
为斜率的直线作以，过点值
．求出函数上取点在直线
001
111110
00000
0000
),(
),(
),(
yhyy
yxMxxMM
yMyyxf
yxMxx
???
?
???
?；，则于点
，交直线
为斜率的直线段作以
，过点
求出函数值
)(),(
),(
100112222
221
1
1111
yyhyyhyyyxM
xxMM
y
Myyxf
????????
?
?
??
1x 2x 1?nx
y
xo 0x H
0M
1M
2M
1x 2x 1?nx
y
xo 0x H
0M
1M
2M
如此一段接一段地
作下去，得一条折线,
称欧拉折线,
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
??
????
.),(
,),(
,),(
)(
1111
21111
10000
nnnnn
n
xxxxxyy
xxxxxyy
xxxxxyy
xy
??????
?
方程为
).,(,
,)(
,
10011
0
iii
iiii
i
yxfy
n
H
h
hyyyhyyy
ihxx
???
?????????
??
???
?
其中
．函数
表示的一个表（函数表）来可列出
)(
,
xy
yx
n
ii
??
注意
．内，且于
应位折线
)()(lim
)()( 00
xxD
Hxxxxy
nn
n
??
?
?
????
??
初值问题的近似解
例 2
．，计算到四位小数取步长的近似解
上求初值问题在
)1.0(
,
1
]1,0[
0
22
?
?
?
?
??
???
?
h
y
yxy
x
解
.
1.0
11.01.0
22
11
0
ii
iii
i
yxy
yyy
yixh
???
???
????
??,
，，，
列表计算如下
.,数表两列就表示近似解的函其中 ii yx
i ix iy iy?
1
2
4
7
0
3
5
6
8
9
10
1.0
2.0
4.0
7.0
0.0
3.0
5.0
6.0
8.0
9.0
0.1
9000.0?
8094.0?
6474.0?
4176.0?
0 0 0 0.1?
7260.0?
5713.0?
4954.0?
3 3 6 1.0?
2493.0?
1559.0?
9055.0
8337.0
7610.0
8151.0
0000.1
7855.0
7592.0
7781.0
8677.0
9339.0
三、小结
欧拉－柯西近似法是图形与分析相结合的
近似积分方法,
基本概念 方向场、等斜线、积分曲线,
欧拉－柯西近似法,
练 习 题
.
]1.0,0[02.01,32
.
]0,5.0[1.01,1
0
2
0
求近似解
上在；按．
近似解
上求在；按．
位小数）：上的近似解（计算到三
程初值问题在指定区间求下列各题所给微分方
?????
??????
?
?
hyyxy
hyyxy
x
x
练习题答案
681.05.0
712.04.0
758.03.0
820.02.0
900.01.0
000.10.0
1
?
?
?
?
?
yx．
1 2 1.110.0
0 9 2.108.0
0 6 6.106.0
0 4 2.104.0
0 2 0.102.0
0 0 0.100.0
2 yx．