)( xfqyypy ?????? 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程,0?????? qyypy
通解结构,yYy ??
常见类型 ),( xPm,)( xm exP ?
,c o s)( xexP xm ??,s i n)( xexP xm ??
难点, 如何求特解？ 方法, 待定系数法,
)()( xPexf mx??一,型
设非齐方程特解为 xexQy ?)(? 代入原方程
)()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m????????? ???
不是特征方程的根，若 ?)1(,02 ??? qp ?
),()( xQxQ m?可设
是特征方程的单根，若 ?)2(
,02 ??? qp ??,02 ?? p
),()( xxQxQ m?可设;)( xexQy ??;)( xm exxQy ??
是特征方程的重根，若 ?)3(
,02 ??? qp ??,02 ?? p?
),()( 2 xQxxQ m?可设
综上讨论
,)( xQexy mxk ??设 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
是重根
是单根
不是根
2
,1
0
k
注意 上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性
微分方程（ k是重根次数）,
.)(2 xm exQxy ??
特别地 xAeqyypy ???????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
是特征方程的重根
是特征方程的单根
不是特征方程的根
?
?
?
?
??
?
?
?
x
x
x
ex
A
xe
p
A
e
qp
A
y
2
2
2
,
2
,
.23 2 的通解求方程 xxeyyy ??????
解
对应齐次方程通解
特征方程,0232 ??? rr
特征根,,21 21 ?? rr
,221 xx eCeCY ??
是单根，2???,)( 2 xeBAxxy ??设
代入方程,得 xABAx ??? 22
,
1
2
1
??
?
?
?
??
?
?
B
A
xexxy 2)1
2
1( ??于是
原方程通解为,)12
1( 22
21
xxx exxeCeCy ????
例 1
型二,]s i n)(c o s)([)( xxPxxPexf nlx ??? ??
]s i nco s[)( xPxPexf nlx ??? ??
]22[ ieePeePe
xixi
n
xixi
l
x
????
?
?? ?
???
xinlxinl e
i
PPe
i
PP )()( )
22()22(
???? ?? ????
,)()( )()( xixi exPexP ???? ?? ??
,)( )( xiexPqyypy ?? ???????设,)(1 ximk eQxy ?? ??
利用欧拉公式
,)( )( xiexPqyypy ?? ???????设,)(2 ximk eQxy ?? ??
][ ximximxk eQeQexy ??? ????
],s in)(c o s)([ )2()1( xxRxxRex mmxk ??? ??
次多项式，是其中 mxRxR mm )(),( )2()1( ? ?nlm,m a x?
,10
??
?
?
??
是单根
不是根
??
??
i
ik
注意
上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性微分方程,
.s i n4 的通解求方程 xyy ????
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY ??
作辅助方程,4 ixeyy ????
,是单根i???,* ixA xey ?故
代入上式,42 ?Ai,2 iA ???
,)c o s2(s i n22* ixxxxi xey ix ?????
所求非齐方程特解为,co s2 xxy ??
原方程通解为,c o s2s inc o s 21 xxxCxCy ???
（取虚部）
例 2
.2co s 的通解求方程 xxyy ????
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY ??
作辅助方程,2 ixxeyy ????
,2 不是特征方程的根i???
,)( 2* ixeBAxy ??设 代入辅助方程
??
?
??
??
13
034
A
BAi,
9
4
3
1 iBA ?????,
,)9431( 2* ixeixy ????
例 3
)2s i n2) ( co s9431( xixix ????
所求非齐方程特解为,2s i n942co s31 xxxy ???
原方程通解为,2s i n942co s31s i nco s 21 xxxxCxCy ????
,)2s i n312co s94(2s i n942co s31 ixxxxxx ?????
（取实部）
注意 xAexAe xx ?? ?? s i n,co s
.)( 的实部和虚部分别是 xiAe ?? ?
.t a n 的通解求方程 xyy ????
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY ??
用常数变易法求非齐方程通解
,s i n)(c o s)( 21 xxcxxcy ??设
,1)( ?xw,c o s)( t a ns eclns i n)(
22
11
?
?
?
???
????
Cxxc
Cxxxxc
原方程通解为
.t a ns e clnc o ss i nc o s 21 xxxxCxCy ?????
例 4
三、小结
可以是复数）?? (),()()1( xPexf mx?
);( xQexy mxk ??
],s i n)(co s)([)()2( xxPxxPexf nlx ??? ??
];si n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk ??? ??
(待定系数法 )
只含上式一项解法, 作辅助方程,求特解,取
特解的实部或虚部,得原非齐方程特解,
思考题
写出微分方程 xexyyy 22 8644 ???????
的待定特解的形式,
思考题解答
设 的特解为 2644 xyyy ?????? *1y
xeyyy 2844 ??????设 的特解为 *2y
*2y?*1* yy ?则所求特解为
0442 ??? rr? 特征根 22,1 ?r?
CBxAxy ???? 2*1 xeDxy 22*2 ? （重根）
*2y?*1* yy ? CBxAx ??? 2,22 xeDx?
一,求下列微分方程的通解,
1,
x
eyay ????
2；
2,
x
xeyyy
?
?????? 323 ；
3, xxyy c o s4 ???? ；
4, xyy
2
s i n????,
二,求下列各微分方程满足已给初始条件的特解,
1,
0,1,54
00
????????
?? xx
yyyy；
2,
xx
exeyyy ??????? 2,1,1
11
???
?? xx
yy；
3,
)2c o s(
2
1
4 xxyy ?????
,
0,0
00
???
?? xx
yy
.
练 习 题
三,含源在 CLR,,串联电路中,电动 E势为 的电源对
电 充电容器 C, 已 20?E知 伏,微法2.0?C,
亨1.0?L,欧1 0 0 0?R,试求合上开 后关 K 的电
及流 )( ti )( tu
c
电压,
四,设 )( x?函数 连续,且满足
?? ???
xx
x
dttxdtttex
00
)()()( ???,
)( x?求,
练习题答案
一,1,
221
1
s i nc o s
a
e
axCaxCy
x
?
??? ；
2, )3
2
3
(
22
21
xxeeCeCy
xxx
????
???；
3, xxxxCxCy s i n
9
2
c o s
3
1
2s i n2c o s
21
???? ；
4,
2
1
2c o s
10
1
21
????
?
xeCeCy
xx
.
二,1, xey
x
4
5
)511(
16
1
4
??? ；
2,
xxx
e
x
e
x
ex
ee
y
26
])
1
2
1
(
6
12
[
23
??????；
3, )2s i n1(
8
1
2s i n
16
1
xxxy ????,
三,)105si n (104)(
31052
3
teti
t
???
???
( 安 ),
]105si n ()105[ c o s(2020)(
33105
3
ttetu
t
c
?????
??
( 伏 ),
四,)s i n(c o s
2
1
)(
x
exxx ????,