一、正项级数及其审敛法
1.定义,,中各项均有如果级数 0
1
??
?
?
n
n
n uu
这种级数称为正项级数,
?? ???? nsss 212.正项级数收敛的充要条件,
定理
.有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns?
部分和数列 为单调增加数列, }{ ns
且 ),2,1( ??? nvu
nn
,若 ?
?
? 1n
n
v 收敛,则 ?
?
? 1n
n
u 收敛；
反之，若 ?
?
? 1n
n
u 发散，则 ?
?
? 1n
n
v 发散,
证明
nn uuus ???? ?21且
??
?
??
1
)1(
n
nv设,nn vu ??
,??
即部分和数列有界,
1
收敛?
?
?
?
n
nu
均为正项级数，和设 ??
?
?
?
? 11 n
n
n
n vu3.比较审敛法
nvvv ???? ?2
nn s??则
)()2( ???? ns n设,nn vu ?且
?? 不是有界数列
.
1
发散?
?
?
?
n
nv
推论, 若 ?
?
? 1n
n
u 收敛 ( 发散 )
且 ))((
nnnn
vkuNnkuv ???,
则 ?
?
? 1n
nv 收敛 ( 发散 ).
定理证毕,
比较审敛法的不便, 须有参考级数,
例 1 讨论 P- 级数
?? ??????
pppp n
1
4
1
3
1
2
1
1 的收敛性, )0( ?p
解,1?p设,11 nn p ??,级数发散则 ?P
,1?p设
o
y
x
)1(1 ?? pxy p
1 2 3 4
由图可知 ? ?? nn pp xdxn 11
pppn ns
1
3
1
2
11 ????? ?
?? ????? nn pp xdxxdx 1211 ?
??? n pxdx11 )11(111 1????? pnp 111 ??? p
,有界即 ns,级数收敛则 ?P
?
?
?
?
??
发散时当
收敛时当级数
,1
,1
p
pP
重要参考级数, 几何级数,P-级数,调和级数,
例 2 证明级数 ?
?
? ?1 )1(
1
n nn
是发散的,
证明,11)1( 1 ??? nnn?
,11
1
??
? ?n n
发散而级数
.)1( 1
1
??
? ?
?
n nn
发散级数
4.比较审敛法的极限形式,
设 ?
?
? 1 n
n u 与 ?
?
? 1 n
n v 都是正项级数,如果
则 (1) 当 时,二级数有相同的敛散性 ;
(2) 当 时，若 收敛,则 收敛 ;
(3) 当 时,若 ?
?
? 1 n
n v 发散,则 ?
?
? 1 n
n u 发散 ;
,l i m lvu
n
n
n
?
??
???? l0
0?l
???l
?
?
?1n
nv ?
?
?1n
nu
证明 lvu
n
n
n
?
??
l i m)1( 由,0
2 ??
l?对于
,N?,时当 Nn ? 22
ll
v
ull
n
n ????
)(232 Nnvluvl nnn ???即
由比较审敛法的推论,得证,
设 ?
?
? 1n
nu 为正项级数,
如果 0lim ??
??
lnu n
n
( 或 ??
??
n
n
nulim ),
则级数 ?
?
? 1n
nu 发散 ;
如果有 1?p,使得 n
p
n
un
??
l i m 存在,
则级数 ?
?
? 1n
nu 收敛,
5,极限审敛法：
例 3 判定下列级数的敛散性,
(1 ) ?
?
? 1
1
s i n
n n; (2 ) ?
?
? ?1 3
1
n
n n;
解 )1(
n
n
n
n
3
1
3
1
l i m ?
??
? n
n
n 1
1
s i n
l i m
??
?
,1? 原级数发散,
)2(
nnn
1s i nl i m
??
?
n
n n
3
1
1
l i m
?
?
??,1?
,31
1
收敛?
?
?n
n? 故原级数收敛,
6,比值审敛法 ( 达朗贝尔 D ’ A l e m b e r t 判别法 ),
设 ?
?
? 1n
nu 是正项级数,如果 )(l i m
1 ??????
??
数或
n
n
n u
u
则 1?? 时级数收敛 ; 1?? 时级数发散 ; 1?? 时失效,
证明,为有限数时当 ?,0???对
,N?,时当 Nn ?,1 ?????
n
n
u
u有
)(1 Nnuu
n
n ????? ? ????即
,1时当 ??
,1时当 ??
,1 ????取,1?????r使
,11 ??? ? NmmN uru
,12 ?? ? NN ruu,1223 ??? ?? NNN urruu,?
,
1
1
1??
?
?
?
m
N
m ur 收敛而级数
,
11
收敛??
?
??
?
?
? ??
Nn
n
m
mN uu 收敛
,1?? ??取,1??? ??r使
,时当 Nn ?,1 nnn uruu ???,0lim ??? nn u 发散
比值审敛法的优点, 不必找参考级数,
两点注意,
1,当 1?? 时比值审敛法失效 ;
,1
1
发散级数例 ?
?
?n n
,1
1
2 收敛级数 ?
?
?n n
)1( ?
??
? ?
,232 )1(2 nnn
n
n vu ??
????例
,2 )1(2
11
收敛级数 ??
?
?
?
?
????
n
n
n
n
nu
,))1(2(2 )1(2
1
1
nn
n
n
n a
u
u ?
??
??? ??但,
6
1l i m
2 ??? nn a
,23l i m 12 ??
?? nn
a,l i ml i m 1 不存在n
nn
n
n
auu
??
?
??
??
2,条件是充分的,而非必要,
例 4 判别下列级数的收敛性,
(1 ) ?
?
? 1 !
1
n n; (2 ) ?
?
? 1 10
!
n
n
n; (3 ) ?
?
? ??1 2)12(
1
n nn
.
解 )1(
!
1
)!1(
1
1
n
n
u
u
n
n ????
1
1
?? n ),(0 ??? n
.!1
1
收敛故级数 ?
?
?n n
),( ???? n)2( !
10
10
)!1(
1
1
n
n
u
u n
n
n
n ???
?
??
10
1?? n
.10 !
1
发散故级数 ?
?
?n
n
n
)3( )22()12(
2)12(limlim 1
???
???
??
?
?? nn
nn
u
u
nn
n
n
?,1?
比值审敛法失效,改用比较审敛法
,12)12( 1 2nnn ????,1
1
2 收敛级数 ?
?
?n n
?
.)12(2 1
1
收敛故级数 ?
?
? ??n nn
7,根值审敛法 ( 柯西判别法 ),设 ?
?
? 1n
nu 是正项级数,如果 ??
??
n
n
n
ulim
)( ??为数或?,
则 1?? 时级数收敛 ;
,1,
1
??
?n
nn设级数例如
n nn n
nu
1??
n
1? )(0 ??? n 级数收敛,
1?? 时级数发散 ; 1?? 时失效,
二、交错级数及其审敛法
定义, 正、负项相间的级数称为交错级数,
?n
n
n
n
n
n uu ??
?
?
?
?
? ??
11
1 )1()1( 或
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件,
( ⅰ ) ),3,2,1(
1
???
?
nuu
nn;( ⅱ ) 0lim ?
??
n
n
u,
则级数收敛,且其和
1
us ?,其余项
n
r 的绝对值
1?
?
nn
ur,
)0( ?nu其中
证明
nnnn uuuuuus 212223212 )()( ??????? ???又
)()()( 21243212 nnn uuuuuus ??????? ???
1u?
,01 ??? nn uu?
.l i m 12 uss nn ??? ??,0l i m 12 ???? nn u?
,2 是单调增加的数列 ns
,2 是有界的数列 ns
)(limlim 12212 ?????? ??? nnnnn uss,s?
.,1uss ?? 且级数收敛于和
),( 21 ????? ?? nnn uur余项
,21 ???? ?? nnn uur
满足收敛的两个条件,.1??? nn ur
定理证毕,
例 5 判别级数 ?
?
? ?
?
2 1
)1(
n
n
n
n
的收敛性,
解 2)1(2
)1()
1( ?
????
? xx
x
x
x?
)2(0 ?? x
,1 单调递减故函数 ?x x,1??? nn uu
1limlim ?? ???? n
nu
nnn
又,0? 原级数收敛,
三、绝对收敛与条件收敛
定义, 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数, 定理 若 ?
?
? 1n
nu 收敛,则 ?
?
? 1n
nu 收敛,
证明 ),,2,1()(21 ???? nuuv nnn令
,0?nv显然,nn uv ?且,
1
收敛?
?
?
?
n
nv
),2(
11
?? ?
?
?
?
??
n
nn
n
n uvu?又 ?
?
?
?
1n
nu 收敛,
上定理的作用,
任意项级数 正项级数
定义, 若 ?
?
? 1n
nu 收敛,则称 ?
?
? 1n
nu 为绝对收敛 ;
若 ?
?
? 1n
nu 发散,而 ?
?
? 1n
nu 收敛,则称 ?
?
? 1n
nu 为条件收敛,
例 6 判别级数 ?
?
? 1
2
s i n
n n
n
的收敛性,
解,
1s i n
22 nn
n ??,1
1
2 收敛而 ?
?
? n
,s in
1
2?
?
?
?
n n
n 收敛
故由定理知原级数绝对收敛,
四、小结
正 项 级 数 任意项级数
审
敛
法
1,
2,
4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数
(莱布尼茨定理 )
3.按基本性质 ;;,则级数收敛若 SS n ?;,0,则级数发散当 ??? nun
思考题
设正项级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛,能否推得 ?
?
? 1
2
n
n
u 收敛?
反之是否成立?
思考题解答
由正项级数 ?
?
? 1n
nu 收敛，可以推得 ?
?
? 1
2
n
nu 收敛,
n
n
n u
u 2lim
??
?
nn u??? lim 0?
由比较审敛法知 收敛, ?
?
?1
2
n
nu
反之不成立, 例如,?
?
?1
2
1
n n
收敛,?
?
?1
1
n n
发散,
一,填空题,
1, ?p 级数当 __ __ __ _ 时收敛,当 __ __ __ _ 时发散；
2,若正项级数 ?
?
? 1n
n
u 的后项与前项之比值的根 ?等于,
则当 _ __ _ __ __ 时级数收敛； __ __ __ _ _ 时级数发散；
__ __ __ __ _ __ _ 时级数可能收敛也可能发散,
二,用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛
性,
1, ?? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
222
1
1
31
31
21
21
1
n
n；
2, )0(
1
1
1
?
?
?
?
?
a
an
n
,
练 习 题
三,用比值审敛法判别下列级数的收敛性,
1, ?? ?
?
??
?
?
?
?
?
n
n
n 2
3
23
3
22
3
21
3
3
3
2
2； 2, ?
?
?
?
1
!2
n
n
n
n
n
.
四,用根值审敛法判别下列级数的收敛性,
1, ?
?
?
?
1
)]1[l n (
1
n
n
n； 2,
12
1
)
13
(
?
?
?
?
?
n
n
n
n
.
五,判别下列级数的收敛性,
1, ?? ?
?
???
n
n 1
2
3
2 ；
2, ?
?
? 1
3
s i n2
n
n
n
?； 3, )0(
)
1
(
)2l n (
1
?
?
?
?
?
?
a
n
a
n
n n
.
六,判别下列级数是否收敛? 如果是收敛的,是绝对收
敛还是条件收敛?
1, ?
?
?
?
?
?
1
1
1
3
)1(
n
n
n
n；
2, ?????
5ln
1
4ln
1
3ln
1
2ln
1；
3, ?
?
?
?
?
2
ln
)1(
n
n
nn
.
七、若
n
n
un
2
l i m
???
存在,证明, 级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛,
八、证明,
0
!
lim
3
?
??
n
n
n
an
b
.
练习题答案
一,1, 1,1 ?? pp ；
2, 1),l i m(1,1
1
?????
?
??
???
n
n
n u
u
或,
二,1,发散； 2,发散,
三,1,发散； 2,收敛,
四,1,收敛； 2,收敛,
五,1,发散； 2,收敛； 3,
?
?
?
?
?
?
??
?
.,1;,10;,1
发散
发散
收敛
a
a
a
六,1,绝对收敛； 2,条件收敛； 3,条件收敛,