设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲面Σ围成,
函数 ),,( zyxP, ),,( zyxQ, ),,( zyxR 在 ? 上具有
一阶连续偏导数,则有公式
?????
??
???
?
?
?
?
?
?
?
?
R dxd yQ dz dxP dy dzdv
z
R
y
Q
x
P
)(一、高 斯 公 式
dSRQP
dv
z
R
y
Q
x
P
)co sco sco s(
)(
??
???
?
?
??????
?
?
?
?
?
?
?
?
或
这里 ? 是 ? 的整个边界曲面的外侧，
??? c o s,c o s,c o s 是 ? 上点 ),,( zyx 处的法向
量的方向余弦,
证明
设闭区域 ? 在面 xoy
上的投影区域为 xyD,
x
y
z
o
? 由 1?,2? 和 3? 三部分组成,
),(1:1 yxzz ??
),(2:2 yxzz ??
?
1?
2?
3?
xyD
为柱面上的一部分．3?
根据三重积分的计算法
d x d ydzzRdvzR
xyD
yxz
yxz??? ?? ?
? ?
??
?
? }{ ),(
),(
2
1
.)]},(,,[)],(,,[{ 12?? ??
xyD
d x d yyxzyxRyxzyxR
根据曲面积分的计算法
,)],(,,[),,( 1
1
???? ??
? xyD
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
这里 ),(),( 21 yxzyxz ?, 1? 取下侧,2? 取上侧,
3? 取外侧,
,)],(,,[),,( 2
2
???? ?
? xyD
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
,)]},(,,[)],(,,[{ 12?? ??
xyD
d x d yyxzyxRyxzyxR
??
?
d x d yzyxR ),,(于是
.0),,(
3
???
?
d x d yzyxR
.),,(?????
??
???? d x d yzyxRdvzR
,),,(?????
??
??? d ydzzyxPdvxP同理
,),,(?????
??
??? d z d xzyxQdvyQ
?????
??
??????????? Rdx d yQd z d xP d ydzdvzRyQxP )(
------------------高斯公式
和并以上三式得,
Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界
曲面上的曲面积分之间的关系,
.)c o sc o sc o s(
)(
??
???
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
dSRQP
dv
z
R
y
Q
x
P
???
由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一
种形式,
二、简单的应用
例 1 计算曲面积分
x d y d zzyd x d yyx )()( ?????
?
其中 Σ 为柱面 1
22
?? yx 及平
面 3,0 ?? zz 所围成的空间闭
区域 ? 的整个边界曲面的外侧,
x
o
z
y11
3
解
,
,0,)(
yxR
QxzyP
??
???
,0,0,?????????? zRyQzyxP
???
?
?? d x d y d zzy )(原式
???
?
???? dzr d r dzr )s i n(
.29???
x
o
z
y11
3
??? ???? ? 301020 )( s in r d zzrdrd
使用 Guass公式时应注意,
1,RQP,,是对什么变量求偏导数 ;
2,是否满足高斯公式的条件 ;
3,Σ 是取闭曲面的外侧,
x
y
z
o
例 2 计算曲面积分
dSzyx )c o sc o sc o s(
222
?????
??
?
,其中 Σ 为
锥面
222
zyx ?? 介于平面
0?z 及 )0( ?? hhz
之间的部分的下侧,
??? c o s,c o s,c o s
是 Σ 在
),,( zyx
处
的法向量的方向余弦, h?
xyD
x
y
z
o
h?1?
解 空间曲面在 面上的投影域为 xoy xyD
)(,2221 hyxhz ????补充
曲面 ?不是封闭曲面,为利用
高斯公式
取上侧，1? ?
构成封闭曲面，1???
.1 ???? 围成空间区域
,上使用高斯公式在 ?
??
???
?????
1
)c o sc o sc o s( 222 dSzyx
???
?
??,0)( dvyx
?????
????
??????? z d vdSzyx 2)c o sc o sc o s(
1
222
.21 4h??
xyDx y
z
o
h?1?
?
根据对称性可知
??? ?? ?? h yxh z d zr d rd 220202
???
?
??? dvzyx )(2
??
?
??
1
)co sco sco s( 222 dSzyx ????
???
xyD
d x d yh 2,4h??
故所求积分为
??
?
?? dSzyx )c o sc o sc o s( 222 ???
4
2
1 h?? 4h??,
2
1 4h???
??
?
?
1
2dSz
例 3 设函数 ),,( zyxu 和 ),,( zyxv 在闭区域 ? 上具
有一阶及二阶连续偏导数，证明
???
?????
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
,)( d x d yd z
z
v
z
u
y
v
y
u
x
v
x
u
dS
n
v
uvd x d yd zu
其中 Σ 是闭区域
?
的整个边界曲面，
n
v
?
?
为函数
),,( zyxv 沿 Σ 的外法线方向的方向导数,
证,c o sc o sc o s ??? zvyvxvnv ????????????
??
? ?
?? dS
n
vu ??
? ?
??
?
??
?
?? dS
z
v
y
v
x
vu )c o sc o sc o s( ???
??
? ?
??
?
??
?
?? dS
z
vu
y
vu
x
vu ]c o s)(c o s)(c o s)[( ???
利用高斯公式，即得
??
? ?
? dS
n
vu ???
? ?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
??,)]()()([ d x d yd z
z
vu
zy
vu
yx
vu
x
符号 2
2
2
2
2
2
zyx ?
?
?
?
?
?
?
?
??,称为拉普拉斯 ( L a p l a c e )
算子，这个公式叫做格林第一公式,
??????
?? ?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
????,)( d x d yd z
z
v
z
u
y
v
y
u
x
v
x
uvd x d yd zu
???
?????
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
,)( d x d y d z
z
v
z
u
y
v
y
u
x
v
x
u
dS
n
v
uv d x d y d zu
沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
的边界曲线？无关而只取决于与曲面
，曲面积分问题：在怎样的条件下
??
????
?
R d x d yQ d z d xP d yd z
为零？
任意闭曲面的曲面积分即在怎样的条件下，沿
内恒成立．在是等式
件分为零）的充分必要条内任一闭曲面的曲面积
的边界曲线（或沿无关而只取决于取曲面
内与所在则曲面积分
，内具有一阶连续偏导数在、
、，是空间二维单连通区域设定理
G
z
R
y
Q
x
P
G
GR d x d yQ d z d xPd yd z
GzyxRzyxQ
zyxPG
0
),,(),,(
),,(2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
我们有以下结论,
三、物理意义 ----通量与散度
设有向量场
kzyxRjzyxQizyxPzyxA
????
),,(),,(),,(),,( ???
沿场中某一有向曲面 Σ 的第二类曲面积分为
1,通量的定义,
??
????
?
??
???
?????
R d x d yQ d z d xP d yd z
dSnASdA 0
????
称为向量场 ),,( zyxA? 向正侧穿过曲面 Σ 的 通量,
设有向量场 ),,( zyxA
?
,在场内作包围点 M
的闭曲面 ?,? 包围的区域为 V,记体积为 V, 若
当 V 收缩成点 M 时,极限
V
SdA
MV
??
?
?
?
??
lim 存在,
则称此极限值为 A? 在点 M 处的 散度,记为 Adiv ?,
2,散度的定义,
散度在直角坐标系下的形式
?????
??
????????? dSvdvzRyQxP n)(
?????
??
????????? dSvVdvzRyQxPV n1)(1
??
?
????????? dSvVzRyQxP n1)( ),,( ???
??
???
????????? dSvVzRyQxP n
M
1l im
积分中值定理,
两边取极限,
z
R
y
Q
x
PAdi v
?
??
?
??
?
???
高斯公式可写成 ?????
??
? dSAdvAd iv n?
)co sco sco s( 0 ??? RQPnAA n ????? ??
的边界曲面，是空间闭区域其中 ??
.的外侧法向量上的投影在曲面是向量 ?AA n ?
四、小结
?????
??
? dSAdvAd iv n?3．应用的条件 4．物理意义
2．高斯公式的实质
1．高斯公式
?????
??
??????????? Rdx d yQd z d xP d ydzdvzRyQxP )(
思考题
曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？
思考题解答
曲面应是分片光滑的 闭 曲面,
一,利用高斯公式计算曲面积分,
1, d x d yzd z d xyd y d zx
333
??
??
?
,其中 ? 为球面
2222
azyx ??? 外侧；
2,
??
?
?? z d x d yy d z d xx d y d z,其中
?
是界于 0?z 和
3?z
之间的圆柱体 9
22
?? yx 的整个表面的外
侧；
3, ??
?
x z d y d z,?其中 是上半球面
222
yxRz ???
的上侧,
练 习 题
二、证明, 由封闭曲面所包围的体积为
??
?
??? dSzyxV )c o sc o sc o s(
3
1
???,式中
??? c o s,c o s,c o s 是曲面的外法线的方向余弦,
三、求向量 kxzjyxizxA
22
)2( ????,穿过曲面 ?, 为
立方体
ayax ???? 0,0
,az ??0 的全表面,流
向外侧的通量,
四、求向量场
kxzjxyieA
xy
??
)c o s ()c o s (
2
???
的散
度,
五、设 ),,(,),,( zyxvzyxu 是两个定义在闭区域 ? 上的
具有二阶连续偏导数的函数,
n
v
n
u
?
?
?
?
,依次表示
),,(,),,( zyxvzyxu 沿 ? 的外法线方向的方向导
数,
证 明,
dS
n
u
v
n
v
ud x d y d zuvvu )()(
?
?
?
?
?
????
??? ??
? ?
其中
?
是空间闭区域
?
的整个边界曲 面,
( 注
2
2
2
2
2
2
zyx ?
?
?
?
?
?
?
?
??
,称为拉普拉斯算子 )
练习题答案
一,1,
5
5
12
a? ； 2, ?81 ； 3,
4
4
R
?
.
三,)
6
2(
2
3 a
a ?,
四,)s i n (2)s i n (
2
xzxzxyxyeAd i v
xy
???
?
.