一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 )
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧
n?
曲面的分类, 1.双侧曲面 ; 2.单侧曲面,
典
型
双
侧
曲
面
莫比乌斯带 典型 单侧曲面,
播放
曲面法 向量的指向 决定曲面的 侧,
决定了侧的曲面称为 有向曲面,
曲面的投影问题,
面在 xoyS?,
在有向曲面 Σ 上取一小块
.
0c o s0
0c o s)(
0c o s)(
)(
?
?
?
?
?
?
???
??
??
时当
时当
时当
?
??
??
xy
xy
xyS
.)( 表示投影区域的面积其中 xy??
为上的投影 xyS )( ?曲面 S?
二、概念的引入
实例, 流向曲面一侧的流量,
(1) 流速场为常向量 v?,有向平面区域 A,求单位
时间流过 A 的流体的质量 ? ( 假定密度为 1),
A
v?
0n?
?
AvnvA
vA
????
?
????
??
0
c o s ?
流量
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 ( 假定密度为 1)
的速度场由
kzyxRjzyxQizyxPzyxv
???
?
),,(),,(),,(),,( ???
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
都在 Σ 上连续,求在单位
时间内流向 Σ 指定侧的流
体的质量 ?,
x
y
z
o
?
x
y
z
o
? ?
iS? ),,( iii ???
iv
?
in?
把曲面 Σ 分成 n 小块
i
s? (
i
s? 同时也代表
第 i 小块曲面的面积 ),
在 is? 上任取一点
),,(
iii
???,
1,分割
则该点流速为, iv?
法向量为, in?
该点处曲面 Σ 的单位法向量
kjin iiii ???? ??? c o sc o sc o s0 ???,
通过 is? 流向指定侧的流量的近似值为
).,,2,1( niSnv iii ????
,),,(),,(),,(
),,(
kRjQiP
vv
iiiiiiiii
iiii ???
?
?????????
???
???
?
2,求和 通过 Σ 流向指定侧的流量?
?
????
n
i
iii Snv
1
iiiii
iiii
n
i
iiii
SR
QP
??
?? ?
?
]c o s),,(
c o s),,(c o s),,([
1
????
????????
]))(,,(
))(,,())(,,([
1
xyiiii
xziiiiyz
n
i
iiii
SR
SQSP
??
???? ?
?
???
??????
3.取极限 0??,的精确值取极限得到流量 ?
]))(,,(
))(,,())(,,([lim
1
0
xyiiii
xziiiiyz
n
i
iiii
SR
SQSP
??
????? ?
?
?
???
??????
?
定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有
界,把Σ分成 n 块小曲面
i
S? (
i
S? 同时又表示第
i 块小曲面的面积 ),
i
S? 在 x o y 面上的投影为
xyi
S )( ?,),,(
iii
??? 是
i
S? 上任意取定的一点,如
果当各小块曲面的直径的最大值 0?? 时,
?
?
?
?
n
i
xyiiii
SR
1
0
))(,,(lim ???
?
存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxR 在有向曲面 Σ 上 对
坐标 yx,的曲面积分 ( 也称 第二类曲面积分 )
三、概念及性质
记作 ??
?
dxdyzyxR ),,(,即
???
???
??
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,( ???
?
被积函数 积分曲面
类似可定义 ???
???
??
n
i
yziiii SPd y d zzyxP
10
))(,,(lim),,( ???
?
???
???
??
n
i
zxiiii SQd z d xzyxQ
10
))(,,(lim),,( ???
?
存在条件,
当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲
面 Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在,
组合形式,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ????
?
物理意义,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ???? ??
?
性质,
????
??
??
???
??????
??
21
21
.1
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z
R d x d yQ d z d xP d y d z
????
????
????
???
???
???
??
??
??
d x d yzyxRd x d yzyxR
d z d xzyxQd z d xzyxQ
d y d zzyxPd y d zzyxP
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(.2
四、计算法
设积分曲面 Σ 是由
方程 ),( yxzz ? 所给
出的曲面上侧,Σ 在
x o y 面上的投影区域
为
xy
D,函数
),( yxzz ? 在
xy
D 上具
有一阶连续偏导数,
被积函数 ),,( zyxR 在
Σ 上连续,
? ),( yxfz ?
xyD
x
y
z
o
xyS)(?
???
???
??
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,( ???
?
),(
,)()(,0co s,
iii
xyxyi
z
S
???
??
?
??????
?
?
又
取上侧
?
?
?
?
?
?
??
??
n
i
xyiiiii
n
i
xyiiii
zR
SR
1
0
1
0
)))(,(,,(lim
))(,,(lim
?????
???
?
?
???? ??
? xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(即
,)()(,0c o s,xyxyiS ?? ??????? 取下侧若 ???? ??
? xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(
则有给出由如果,),( zyxx ?? ???? ??
? yzD
d yd zzyzyxPd yd zzyxP ],),,([),,(
则有给出由如果,),( xzyy ?? ???? ??
? zxD
d z d xzxzyxQd z d xzyxQ ]),,(,[),,(
注意,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,
例 1 计算 ??
?
x y z d x d y
其中 Σ 是球面
1
222
??? zyx 外侧
在 0,0 ?? yx 的部分,
解 两部分和分成把 21 ???;1,2211 yxz ?????
,1,2222 yxz ????
x
y
z
2?
?
1? ?
??????
???
??
12
x y z d x d yx y z d x d yx y z d x d y
???? ???????
xyxy DD
dxdyyxxydxdyyxxy )1(1 2222
?? ???
xyD
d x d yyxxy 2212
.1521c o ss i n2 22?? ???
xyD
r d r drr ???
五、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz ? 给出,Σ 在
xoy 面上的投影区域为
xy
D,函数 ),( yxzz ? 在
xy
D
上具有一阶连续偏导数,),,( zyxR 在 Σ 上连续,
对坐标的曲面积分为
??
??
??
?
xyD
d x d yyxzyxR
d x d yzyxR
)],(,,[
),,(
xyD
),( yxfz ?
?
x
y
z
o
dsn?
有向曲面 Σ 的法向量的方向余弦为
在点 ),,( zyx 处的单位法向量为
}c o s,c o s,{ c o s ????n?,
.
1
1
co s
,
1
co s,
1
co s
22
2222
yx
yx
y
yx
x
zz
zz
z
zz
z
??
?
?
??
?
??
?
?
??
??
对面积的曲面积分为
???? ??
? xyD
dxdyyxzyxRdSzyxR )],(,,[co s),,( ?所以 dSzyxRd x d yzyxR ?c o s),,(),,( ????
??
?
( 注意取曲面的两侧均成立 )
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s( ?????
??
?
?
???
??
两类曲面积分之间的联系
对坐标的曲面积分为
???? ??
? xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(
向量形式
????????
????
????? dSAsdAdSnASdA n??????? 或
其中 }c os,c os,{ c os},,,{ ????? nRQPA
??
为
有向曲面 Σ 上点 ),,( zyx 处的单位法向量,
},,{ dx dydz dxdy dzdSnSd ??
??
称为 有 向 曲 面
元,nA 为向量 A
?
在 n
?
上的投影,
例 2 计算 z d xd ydy dzxz ????
?
)(
2
,其中 Σ 是
旋转抛物面 )(
2
1
22
yxz ?? 介于平面 0?z 及
2?z 之间的部分的下侧,
解 ??
?
? d y d zxz )( 2
有上在曲面,?
?
??
?
?? dSxz ?c o s)( 2
??
?
?? dxdyxz ??co sco s)( 2
??
??
?
?
????
???
d x d yzxxz
z d x d yd y d zxz
]))([(
)(
2
2
?? ????????
xyD
d x d yyxxxyx )}(21)(])(41{[ 2222
?? ???
xyD
dxdyyxx )](21[ 222
?? ???? ? 20 22220 )21co s( r d rrrd
.
1
1c o s,
1
c o s 2222
yxyx
x
??
??
??
? ??
.8??
六、小结
1.对坐标曲面积分的物理意义
2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点
a.曲面的侧
b.“一投,二代,三定号,
思考题
设 ? 为球面 1
222
??? zyx,若以其
球面的外侧为正侧，试问
22
1 zxy ???
之左侧 （即 oy 轴与其法线成钝角的一侧）
是正侧吗？那么
22
1 zxy ???? 的左侧
是正侧吗？
思考题解答
此时 的左侧为 负 侧,221 zxy ???
而 的左侧为 正 侧, 221 zxy ????
一,填空题,
1, ????
??
??
? d z d xzyxQd z d xzyxQ ),,(),,(
= _ _ _ __ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __ _,
2,第二类曲面积分 d x d yRQ d z d xP d y d z??
?
?? 化成第
一类曲面积分是 __ _ __ __ __ _,其中
???,,
为有向
曲面
?
上点
),,( zyx
处的 __ __ _ __ _ __ _ 的方向角,
二、计算下列对坐标的曲面积分,
1, ??
?
?? y d z d xx d y d zz d x d y,其中 ? 是柱面 1
22
?? yx
被平面 0?z 及 3?z 所截得的在第一卦限内的部分的
前侧；
练 习 题
2,
??
?
?? y z d z d xx y d y d zx z d x d y,其中 ? 是平面
1,0,0,0 ?????? zyxzyx 所围成的空间区
域的整个边界曲面的外侧；
3, d x d y
yx
e
z
??
?
?
22
,其中
?
为锥面
22
yxz ?? 和
2,1 ?? zz
所围立体整个表面的外侧,
三、把对坐标的曲面积分
??
?
? d z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(
d x d yzyxR ),,(?
化
成对面积的曲面积分,其中
?
是平面
63223 ??? zyx 在第一卦限的部分的上侧,
练习题答案
一,1, 0 ；
2, ??
?
?? dSRQP )co sco sco s( ???,法向量,
二,1, ?
2
3； 2,
8
1； 3,
2
2 e?,
三,dSRQP )
5
32
5
2
5
3
(?? ??,