一、问题的提出
1,计算圆的面积 R
正六边形的面积
正十二边形的面积
1a
21 aa ?
正 形的面积 n23? naaa ??? ?21
naaaA ???? ?21即 ?? ??????
n10
3
1 0 0 0
3
1 0 0
3
10
3
3
1.2
二、级数的概念
1,级数的定义, ?? ????????
?
n
n
n uuuuu 321
1 (常数项 )无穷级数
一般项
部分和数列
?
?
?????
n
i
inn uuuus
1
21 ?
级数的部分和
,11 us ?,212 uus ??,,3213 ?uuus ???
??,21 nn uuus ????
2,级数的收敛与发散,
当 n 无限增大时,如果级数 ?
?
? 1n
n
u 的部分和
数列
n
s 有极限 s,即 ss
n
n
?
??
lim 则称无穷级数
?
?
? 1n
n
u 收敛,这时极限 s 叫做级数 ?
?
? 1n
n
u 的和, 并
写成
?? ?????
321
uuus
如果 ns 没有极限,则称无穷级数 ?
?
? 1n
nu 发散,
即 常数项级数收敛 ( 发散 ) ? n
n
s
??
lim 存在 ( 不存在 )
余项 nn ssr ?? ???? ?? 21 nn uu ?
?
?
??
1i
inu
即 ss n ? 误差为 nr)0l i m( ??? nn r
无穷级数收敛性举例,Koch雪花,
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对
称的产生边长为原边长的 1/3的小正三角形．如此
类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到
了面积有限而周长无限的图形 ——“Koch雪花,,
观察雪花分形过程
第一次分叉,;
9
1
3
,
3
4
112
12
AAA
PP
????
?
面积为
周长为
依次类推;
4
3
,3
1
1
?
?
A
P
面积为
周长为
设三角形
播放
?,2,1)34( 11 ?? ? nPP nn
]})91[(4{3 1121 AAA nnnn ??? ??
1
12
1
2
11 )9
1(43)
9
1(43
9
13 AAAA nn ?? ?????????? ?
?,3,2?n
周长为
面积为
]})94(31)94(31)94(3131[1{ 221 ??????? nA ?
第 次分叉,n
于是有
???? nn Plim )
9
4
1
3
1
1(lim 1
?
??
??
AA n
n,
5
32)
5
31(
1 ??? A
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,
雪花的面积存在极限（收敛）,
例 1 讨论等比级数 ( 几何级数 )
?? ???????
?
?
n
n
n
aqaqaqaaq
2
0
)0( ?a
的收敛性,
解 时如果 1?q
12 ?????? nn aqaqaqas ?
q
aqa n
?
??
1,11 q
aq
q
a n
????
,1时当 ?q 0lim ??? nn q? q
as
nn ??? ?? 1l i m
,1时当 ?q ???? nn qlim? ??? ?? nn slim
收敛
发散
时如果 1?q
,1时当 ?q
,1时当 ??q
??? nas n 发散
????? aaaa级数变为
不存在nn s??? lim 发散
综上 ??
?
?
???
? 发散时当
收敛时当
,1
,1
0 q
q
aq
n
n
例 2 判别无穷级数 ?
?
?
?
1
12 32
n
nn 的收敛性,
解 nnnu ?? 12 32?,344
1?
???????
n
已知级数为等比级数，,34?q公比
,1|| ?q?,原级数发散?
例 3 判别无穷级数
?? ?
???
??
?
?
? )12()12(
1
53
1
31
1
nn
的收敛性,
解 )12)(12(
1
??? nnu n? ),12
1
12
1(
2
1
???? nn
)12()12(
1
53
1
31
1
?????????? nns n ?
)12 112 1(21)5131(21)311(21 ????????? nn?
)12 11(21l i ml i m ????
???? n
s
nnn
),12 11(21 ??? n
,21?
.21,和为级数收敛?
例 4 试把循环小数 ?3171717.2173.2 ? 表示成
分数的形式,
解 ?173.2 ????? 753 1017101710173.2
?
?
?
????????
0
3 100
1
10
173.2
n
n等比级数
100
1?q公比
100
11
1
10
173.2
3
?
???
.4951 1 4 7?
三、基本性质
性质 1 如果级数 ?
?
? 1n
nu 收敛,则 ?
?
? 1n
nku 亦收敛,
性质 2 设两收敛级数 ?
?
?
?
1n
n
us,?
?
?
??
1n
n
v,
则级数 ?
?
?
?
1
)(
n
nn
vu 收敛,其和为 ??s,
结论, 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变,
结论, 收敛级数可以逐项相加与逐项相减,
例 5 求级数 ?
?
?
?
?
??
?
? ?
?1 2
1
)1(
5
n
nnn 的和,
解 ?
?
?
?
?
??
?
? ?
?1 2
1
)1(
5
n
nnn ?
?
? ?
?
1 )1(
5
n nn
??
?
?
1 2
1
n
n
?? ?
?
?
?
?????? ????
11 1
115
)1(
5
nn nnnn
?
?
?
?????? ???
n
k
n kkg
1 1
115令 ),
1
11(5
??? n
,5)111(lim5lim ?????
???? n
g
nnn
,21
1
是等比级数?
?
?n
n?,首项是公比 2
1,1
2
1 ??q
nn
n
n h??
?
?
?? ? l i m21
1
.61521)1( 5
1
????
?
??
?
? ?
??
?
?n
nnn故
,1
2
1
1
2
1
?
?
?
性质 3 若级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛,则 ?
?
?? 1kn
n
u 也收敛
)1( ?k, 且其逆亦真,
证明 ?? ???? ??? nkkk uuu 21
nkkkn uuu ??? ????? ?21
,kkn ss ?? ?
knknnnn ss ??????? ?? limlimlim ?则,kss ??
类似地可以证明在级数前面加上有限项不
影响级数的敛散性,
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛
于原来的和,
证明 ?????? )()( 54321 uuuuu
,21 s??
.limlim ss nnmm ?? ???? ?则
,52 s??
?
,93 s??
,,nm s???
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,
????? )11()11(例如
????? 1111推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级
数也发散,
收敛
发散
四、收敛的必要条件
级数收敛,0lim ?? ?? nn u
证明 ?
?
?
?
1n
nus?,1??? nnn ssu则
1l i ml i ml i m ??????? ??? nnnnnn ssuss??,0?
即趋于零它的一般项无限增大时当,,nun
级数收敛的必要条件,
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散 ;
?? ??????? ? 1)1(433221 1 n nn例如 发散
2.必要条件不充分,
,0lim 但级数是否收敛有 ??? nn u
?? ????? n131211例如调和级数
讨论
nnnss nn 2
1
2
1
1
1
2 ??????? ??,2
1
2 ?? n
n
.,s其和为假设调和级数收敛
)l i m ( 2 nn
n
ss ?
??
于是 ss??,0?
.级数发散?
)(210 ??? n便有,这是不可能的
???
?
???
?
?
?
??
???????????
?
)
2
1
22
1
12
1
(
)
16
1
10
1
9
1
()
8
1
7
1
6
1
5
1
()
4
1
3
1
()
2
1
1(
1mmm
8项 4项 2项 2项
项 m2
2
1每项均大于
2
1)1(1 ?? mm 项大于即前
.级数发散?
由性质 4推论,调和级数发散,
五、小结
1,由定义,若 ss n ?,则级数收敛 ;
2,当 0lim ?
?? nn
u,则级数发散 ;
3,按基本性质,
常数项级数的基本概念
基本审敛法
思考题
设 ?
?
? 1n
n
b 与 ?
?
? 1n
n
c 都收敛，且
nnn
cab ??
),2,1( ??n,能否推出 ?
?
? 1n
n
a 收敛？
思考题解答
能,由柯西审敛原理即知,
一,填空题,
1, 若
n
n
a
n
242
)12(31
?
?
?
??
?,则 ?
?
5
1n
n
a = ___ __ ___ __ __ ；
2, 若
n
n
n
n
a
!
?,则 ?
?
5
1n
n
a = ___ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ ；
3, 若级数为 ??
??
?
?
?
642422
xxxx
则 ?
n
a __ __ ___ ；
4, 若级数为 ?????
9753
5432
aaaa
则
?
n
a
__ __ ___ _ ；
5, 若级数为 ???????
6
1
5
4
1
3
2
1
1 则当 ?n ____ _
时
?
n
a
___ __ ；当
?n
__ ___ _ 时
?
n
a
___ ___ __ ；
6, 等比级数 ?
?
? 0n
n
aq,当 _ __ __ 时收敛；当 __ __ 时发散,
练习题
三、由定义判别级数
?? ?
??
??
?
?
?
?
? )12)(12(
1
75
1
53
1
31
1
nn
的收敛性,
四、判别下列级数的收敛性,
1, ?? ?????
n3
1
9
1
6
1
3
1；
2, ?? ????????? )
3
1
2
1
()
3
1
2
1
()
3
1
2
1
()
3
1
2
1
(
3322 nn；
3, ?? ???????
n
n
10
1
2
1
20
1
4
1
10
1
2
1
,
五、利用柯西收敛原理判别级数
???????
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1 的敛散性,
练习题答案
一,1,
108642
97531
8642
7531
642
531
42
21
2
1
????
????
?
???
???
?
??
??
?
?
?
? ；
2,
54321
5
!5
4
!4
3
!3
2
!2
1
!1
???? ；
3,
)2(642
2
n
x
n
???? ?； 4,
12
)1(
1
1
?
?
?
?
n
a
n
n；
5,
k
kkk
2
1
,2,12.12 ?? ； 6, 1,1 ?? qq,
三、收敛, 四,1,发散； 2,收敛；
3,发散,[ ?
?
??
n
k
kn
k
s
1
2
)
10
1
2
1
( ],
五、发散, [ 取
np 2?
]