一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 (1) 当周期为 ?2 的奇函数 )( xf 展开成傅里叶级数
时,它的傅里叶系数为
),2,1(s i n)(
2
),2,1,0(0
0
?
?
?
?
?
??
?
?
nn x d xxfb
na
n
n定理
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦
项,又含有余弦项,但是,也有一些函数的傅里叶级
数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项,
(2) 当周期为 ?2 的偶函数 )( xf 展开成傅里叶级
数时,它的傅里叶系数为
),2,1(0
),2,1,0(co s)(
2
0
?
?
??
?
?
? ?
?
nb
nn x d xxfa
n
n
证明,)()1( 是奇函数设 xf
??? ? ?? nx d xxfa n co s)(1 0? ),3,2,1,0( ??n
奇函数
??? ?0 s i n)(2 nx d xxf
),3,2,1( ??n
同理可证 (2)
定义
如果 )( xf 为奇函数,傅氏级数 nxb
n
n s i n
1
?
?
?
称为 正弦级数,如果 )( xf 为偶函数,傅氏级数 nxa
a
n
n c o s
2 1
0 ??
?
?
称为 余弦级数,
??? ? ?? nx d xxfb n s i n)(1
偶函数
定理证毕,
例 1 设 )( xf 是周期为 ?2 的周期函数,它在
),[ ??? 上的表达式为 xxf ?)(,将 )( xf 展开成
傅氏级数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
,),2,1,0()12( 处不连续在点 ??????? kkx
2
)0()0( ?????? ff收敛于
2
)( ?????,0?
),())12(( xfkxx 处收敛于在连续点 ???
??
?
??? ?2??2??3 ?3 x
y
0
,2)()12( 为周期的奇函数是以时 ???? xfkx?
和
函
数
图
象
),2,1,0(,0 ???? na n
??? ?0 s i n)(2 nx d xxfb n ??? ?0 s i n2 nx d xx
???
?? 02 ]
s i nco s[2
n
nx
n
nxx
??? nn co s2,)1(2 1??? nn ),2,1( ??n
)3s i n312s i n21( s i n2)( ????? xxxxf
.s i n)1(2
1
1
?
?
?
??
?
n
n
nxn
),3,;( ???????????? xx
)5s i n514s i n413s i n312s i n21( s i n2 xxxxxy ?????
xy?
观
察
两
函
数
图
形
例 2 将周期函数 tEtu s in)( ? 展开成傅氏级数,
其中 E 是正常数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个
数轴上连续,
,)( 为偶函数tu?
,0?? nb
? ??? 00 )(2 dttua
t
)(tu
0 ? ?2????2
E
??? ?0 s i n2 td tE,4?? E
),2,1( ??n
??? ?0 co s)(2 nt d ttua n ??? ?0 co ss i n2 nt d ttE
? ? ????? 0 ])1s i n ()1[ s in ( dttntnE
??
?
?
?
??
?
??
?
?
12,0
2,
]1)2[(
4
2
kn
kn
k
E
当
当
),2,1( ??k
?
??
?
??
?
?
??
?
??
?? 01
)1c o s (
1
)1c o s (
n
tn
n
tnE )1( ?n
??? ?01 co s)(2 tdttua ??? ?0 co ss i n2 t d ttE,0?
)6c o s3514c o s15 12c o s3121(4)( ??????? tttEtu
)( ?????? t
].14 2c o s21[2
1
2?
?
? ?
???
n n
nxE
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓
).(
2,],0[)(
xF
xf
函数
为周期的延拓成以上定义在设 ??
,0)( 0)()(
??
?
????
????
xxg
xxfxF令 ),()2( xFxF ?? ?且
则有如下两种情况,??
?
偶延拓
奇延拓
奇延拓, )()( xfxg ???
??
?
?
?
??????
?
???
?
0)(
00
0)(
)(
xxf
x
xxf
xF则
x
y
0 ???
的傅氏正弦级数)( xf
?? ?
? 1
s i n)(
n n
nxbxf )0( ??? x
偶延拓, )()( xfxg ??
??
?
?????
????
0)(
0)()(
xxf
xxfxF则
的傅氏余弦级数)( xf
??? ?
? 1
0 co s
2)( n n nxa
axf )0( ??? x
x
y
0 ???
例 3 将函数 )0(1)( ????? xxxf 分别展开成
正弦级数和余弦级数,
解 (1)求正弦级数,,)( 进行奇延拓对 xf
??? ?0 s i n)(2 nx d xxfb n ? ??? ?0 s i n)1(2 nx d xx
)co sco s1(2 ??????? nnn
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
,6,4,2
2
,5,3,1
22
n
n
n
n
当
当
]3s i n)2(312s i n2s i n)2[(21 ???????????? xxxx
)0( ??? x
]5s i n)2(514s i n43s i n)2(312s i n2s i n)2[(2 xxxxxy ??????????????
1?? xy
(2)求余弦级数,,)( 进行偶延拓对 xf
? ? ??? 00 )1(2 dxxa,2???
? ??? ?0 co s)1(2 nx d xxa n
)1(co s22 ???? nn ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,5,3,1
4
,6,4,20
2 nn
n
当
当
]5co s5 13co s3 1(c o s4121 22 ?????????? xxxx
)0( ??? x
1?? xy
)7c o s7 15c o s5 13c o s3 1( c o s412 222 xxxxy ????????
三、小结
1、基本内容,
奇函数和偶函数的傅氏系数 ;正弦级数与余
弦级数 ;非周期函数的周期性延拓 ;
2、需澄清的几个问题,(误认为以下三情况正确 )
a.只有周期函数才能展成傅氏级数 ;;2,],0[,的傅氏级数唯一展成周期为上在 ??b
).(
,],[.
xf
c
级数处处收敛于
值点时上连续且只有有限个极在 ???
思考题
.
],[)()(,,
,],[)(
定义的函数
上成为才能使
应如何选择上定义的函数是在设
????? BAtftFBA
baxf
思考题解答
,,)( bBAaBA ???????应使
.2,2 abBabA ?????即
一,设 )( xf 是周期为 ?2 的周期函数,它在 ),[ ??? 上的表
达式为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
??
?
?
?
?????
?
?
?
x
xx
x
xf
2
,
2
22
,
2
,
2
)(,
二,将函数 )0(2)(
2
???? xxxf 分别展开成正弦级数
和余弦级数,
练习题
三,将以 ?2 为周期的函数
2
)(
x
xf ? 在 ),( ??? 内展开成
傅里叶级数,并求级数 ?
?
?
?
?
?
0
1
12
1
)1(
n
n
n
的和,
四,证明, 当
??? x0
时,?
?
?
?
?
?
??
1
22
2
624
c o s
n
xx
n
nx
.
一,nx
n
nn
xf
n
n
s i n]
2
s i n
2)1(
[)(
1
2
1
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?
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?,
),2,1,0,)12(( ??????? nnx
二,nx
nnn
xf
n
s i n]
2
)
2
()1[(
4
)(
3
2
3?
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??
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)0( ??? x ；
)0(c o s
)1(
8
3
2
)(
1
2
2
???
?
??? ?
?
?
xnx
n
xf
n
n
.
三,),(s i n
1
)1(
2
1
1
?????? ?
?
?
?
xnx
n
x
n
n；
4
?
?,
练习题答案