一、齐次方程
)( xyfdxdy ?形如 的微分方程称为 齐次方程,
2.解法,x
yu ?
作变量代换,xuy ?即
代入原式
,dxduxudxdy ???
),( ufdxduxu ??
.)( x uufdxdu ??即 可分离变量的方程
1.定义
,0)( 时当 ?? uuf,ln)( 1 xCuuf du ???得
,)( uCex ??即 ? ?? ）（ uuf
duu
)()(?
,代入将 xyu ?,)( xyCex ??得通解
,0u?当,0)( 00 ?? uuf使,0 是新方程的解则 uu ?
,代回原方程,0 xuy ?得齐次方程的解
例 1 求解微分方程
.0c o s)c o s( ??? dyxyxdxxyyx
，令 xyu ?,则 u d xxdudy ??
,0)(co s)co s( ???? xduu d xuxdxuuxx
,co s xdxud u ??,lns i n Cxu ???
.lns i n Cxxy ???微分方程的解为
解
22
22
yxyx
xyy
dx
dy
??
??
,
1
2
2
2
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
x
y
x
y
x
y
x
y
,xyu ?令,u d xx d udy ??则
,1 2 2
2
uu
uuuxu
??
????
.2 222 xyy dyyxyx dx ????例 2 求解微分方程
解
,lnlnln21)2l n(23)1l n( Cxuuu ??????
.
)2(
1
2
3 Cxuu
u ?
?
?
微分方程的解为,)2()( 32 xyCyxy ???
,]1122)121(21[ xdxduuuuu ???????
例 3 抛物线的光学性质
实例, 车灯的反射镜面 ------旋转抛物面
解 轴设旋转轴 ox如图
),0,0(光源在 )(,xyyL ?
x
y
o
M
T
N
R
L
上任一点，为设 LyxM ),(
,,yMT ?斜率为为切线
,1,yMN ??斜率为为法线
,N M RO M N ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
y
N M R
yx
y
x
y
y
O M N
1
t a n
1
1
t a n
,022 ????? yyxyy
得微分方程,1)( 2 ?????
y
x
y
xy即
,t a nt a n N M RO M N ????
由夹
角正
切公
式得
x
y
o
M
T
N
R
L
，令 xyu ?,11 2
u
u
dx
duxu ?????得
分离变量,1)1( 22 x
dx
uu
ud u ??
???
，令 221 tu ??,)1( xdxtt td t ???
积分得,ln1ln xCt ??,112 ??? xCu即
平方化简得,22
2
2
x
C
x
Cu ??
得代回,xyu ? )2(22 CxCy ?? 抛物线
轴的旋转抛物面方程为所求旋转轴为 ox
).2(222 CxCzy ???
二、可化为齐次的方程
的微分方程形如 )(
111 cybxa
cbyaxf
dx
dy
??
???
为齐次方程,,01 时当 ?? cc
，
令
kYy
hXx
??
??,
（其中 h和 k是待定的常数）
dYdydXdx ??,
否则为非齐次方程,
)(
11111 ckbhaYbXa
cbkahbYaXf
dX
dY
????
?????
2.解法
1.定义
?
?
?
???
???
,0
,0
111 ckbha
cbkah
,0)1(
11
??? ba ba有唯一一组解,
)(
11 YbXa
bYaXf
dX
dY
?
??
得通解代回 ??
?
??
??
，kyY
hxX,
,0)2( ??未必有解,上述方法不能用,
,01 时当 ?b,1 中必至少有一个为零与 ba
,11 ??? bbaa令
),)((
1cbyax
cbyaxf
dx
dy
???
???方程可化为
,byaxz ??令
，则 dxdybadxdz ?? ).()(1
1cz
czfa
dx
dz
b ??
???
,0?b若 可分离变量的微分方程,
,0,0 1 ?? ab若 ),(
1 a
dx
dz
bdx
dy ??
)()(1
1c
czfa
dx
dz
b
???
可分离变量的微分方程,
,01 时当 ?b
,byaxz ??令
可分离变量,
.314 的通解求例 ?? ??? yx yxdxdy
解,0211
11 ??????
??
?
???
???
,03
01
kh
kh方程组
,2,1 ??? kh
.2,1 ???? YyXx令
,YX YXdXdY ???
代入原方程得
，令 XYu ?
,11 uudXduXu ???? 分离变量法得
,)12( 22 CuuX ???,2 22 CXXYY ???即
代回，将 2,1 ???? yYxX
得原方程的通解
,)1()2)(1(2)2( 22 Cxyxy ???????
.622 122 Cyxyxyx ?????或
方程变为
例 5 求解微分方程
0co s)3s i n42()3s i n2( ?????? yd yyxdxyx
解 0)(s i n)3s i n42()3s i n2( ?????? ydyxdxyx
令 zy ?sin,342 32 ?? ???? zx zxdxdz
再令 uzx ?? 2,23 6 udxdu ???
两边积分后得,63 2 Cxuu ???
变量还原得,6)sin2()sin2(3 2 Cxyxyx ?????
例 6 求解微分方程,823
732
32
23
yyyx
xxyxy
??
????
解,823
732
22
22
??
???
yx
yx
x d x
yd y?
,823 732)( )( 22
22
2
2
??
????
yx
yx
xd
yd
令,,22 yx ?? ??
,823 732 ?? ???? ?? ????dd
,120823 0732
??
?
?
??
??
?
???
???
k
h
kh
kh由
令 1,2 ???? ?? YX
YX
YX
dX
dY
23
32
?
???
,
23
32
X
Y
X
Y
?
?
?
令 XYu ? XdXduuu ???? )1(2 23 2
两边同时积分得,)1( 1 45 CXuu ???
变量还原后得通解
.)2()1(3 4252222 ?????? xyxCyx
利用变量代换求微分方程的解
.)(7 2 的通解求例 yxdxdy ??
解,uyx ??令 1?? dxdudxdy 代入原方程
21 u
dx
du ??,a r c t a n Cxu ??解得
得代回,yxu ??,)a r ct a n( Cxyx ???
原方程的通解为,)t a n ( xCxy ???
三、小结
齐次方程 ).( x
yf
dx
dy ?
齐次方程的解法,x
yu ?令
可化为齐次方程的方程,??
?
??
??
kYy
hXx令
思考题
方程 ? ? )()()(20 22 xxydttyttyx ????
是否为齐次方程?
思考题解答
方程两边同时对 求导, x
,2 22 yxyyxy ?????
,22 yyxyx ????,1
2
x
y
x
yy ??
?
??
?
????
原方程 是 齐次方程,
一,求下列齐次方程的通解,
1, 0)(
22
??? x y d ydxyx ；
2, 0)1(2)21( ???? dy
y
x
edxe
y
x
y
x
.
二,求下列齐次方程满足所给初始条件的特解,
1,
1,02)3(
0
22
????
?x
yx y d xdyxy；
2,,0)2()2(
2222
?????? dyxxyydxyxyx
1
1
?
?x
y,
三、化下列方程为齐次方程,并求出通解,
1,
3
1
??
??
??
yx
yx
y；
2,
0)642()352( ?????? dyyxdxyx
.
练 习 题
练习题答案
一,1, )ln2(
22
Cxxy ?? ；
2, Cyex
y
x
?? 2,
二,1,
322
yxy ?? ；
2, yxyx ???
22
.
三,1, Cyx
x
y
?????
?
?
])2()1l n [(
2
1
1
2
a r c ta n
22；
2, Cxyxy ?????
2
)32)(34(,