一、问题的提出
实例,曲线形构件的质量
o x
y
A
B
1?nM
iM
1?iM
2M
1M
),( ii ?? L
.sM ?? ?匀质之质量
分割,,,,121 in sMMM ????
,),( iii s????取,),( iiii sM ???? ???
求和,),(
1
?
?
???
n
i
iii sM ???
取极限,),(l i m
10
?
??
???
n
i
iii sM ????
近似值
精确值
二、对弧长的曲线积分的概念
,),(
,),(
,
),(,.
,,,.
),(,
1
121
?
?
?
????
????
???
n
i
iii
iii
iii
n
sf
sf
i
si
nLMMMLL
yxfxoyL
并作和
作乘积
点个小段上任意取定的一
为第又个小段的长度为设第个小段
分成把上的点用上有界在
函数面内一条光滑曲线弧为设
?
1.定义
o x
y
A
B
1?nM
iM
1?iM2M1M
),( ii ?? L
.),(lim),(
,),(,
),(,
,0
1
0
??
?
?
??
?????
??
n
i
iii
L
L
sfdsyxf
dsyxf
L
yxf
即记作线积分
第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧
则称此极限为函数这和的极限存在
时长度的最大值如果当各小弧段的
被积函数
积分弧段
积分和式
曲线形构件的质量,),(?? L dsyxM ?
2.存在条件,
.),(
,),(
存在对弧长的曲线积分
上连续时在光滑曲线弧当
? L dsyxf
Lyxf
3.推广
曲线积分为
上对弧长的在空间曲线弧函数 ?),,( zyxf
.),,(lim),,(
10
i
n
i
iii sfdszyxf ??? ??
???
???
?
注意,
)(,)(.1 21 LLLL ??? 是分段光滑的或若
.),(),(),(
2121 ???
??? LLLL dsyxfdsyxfdsyxf
.),(
),(.2
? L dsyxf
Lyxf
曲线积分记为
上对弧长的在闭曲线函数
4.性质
.),(),()],(),([)1( ??? ??? LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf
).(),(),()2( 为常数kdsyxfkdsyxkf LL ?? ?
.),(),(),()3(
21 ???
?? LLL dsyxfdsyxfdsyxf
).( 21 LLL ??
三、对弧长曲线积分的计算
定理
)(
)()()](),([),(
,],[)(),(
)(
),(
),(
,),(
22
??
????
????
??
?
?
?
?
?
????
??
?
?
?
?
?
?? dtttttfdsyxf
tt
t
ty
tx
L
Lyxf
L
且上具有一阶连续导数在
其中的参数方程为
上有定义且连续在曲线弧设
注意,;.1 ?? 一定要小于上限定积分的下限
.,,),(.2 而是相互有关的不彼此独立中 yxyxf
特殊情形
.)(:)1( bxaxyL ??? ?
.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxf baL ?? ??? ??)( ba ?
推广, )().(),(),(,????? ?????? ttztytx
)(
)()()()](),(),([
),,(
222
??
??????
?
?
?
?????? ?
??
dtttttttf
dszyxf
.)(:)2( dycyxL ??? ?
.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxf dcL ?? ??? ??
)( dc ?
例 1 ).(,s in,c o s:,象限第椭圆求 ?
??
?
?
?? ?
tby
taxLx y d sI
L
解 dttbtatbtaI 222
0 )co s()s in(s inco s ???? ?
?
dttbtattab 222220 co ss i nco ss i n ?? ?
?
??? ab duuba ab 222 )c o ss i n( 2222 tbtau ??令
.)(3 )(
22
ba
babaab
?
???
例 2
.)2,1()2,1(,4:
,
2 一段到从其中
求
??
? ?
xyL
y d sI
L
解 dyyyI 22
2 )2(1 ?? ??,0?
例 3
)20(.
,s i n,co s:,
??????
?????? ?
?
的一段
其中求
kz
ayaxx yz d sI
解
.21 222 kaka ????
xy 42 ?
???? dkaka 222 s i nc o s ??? ?? 20I
例 4
?
?
?
???
???
?
? ?
?
.0
,
,
2222
2
zyx
azyx
dsxI
为圆周其中
求
解 由对称性,知,222 ??? ??? ?? dszdsydsx
?? ??? dszyxI )(31 222故
??? dsa3
2
.32
3a?
? ),2( 球面大圆周长?
??? dsa
四、几何与 物理意义
,),()1( 的线密度时表示当 Lyx?;),(?? L dsyxM ?;,1),()2( ??? LdsLyxf 弧长时当
,),(
),()3(
处的高时柱面在点
上的表示立于当
yx
Lyxf
.),(?? L dsyxfS 柱面面积
s
L
),( yxfz ?
,)4( 轴的转动惯量轴及曲线弧对 yx
.,22 ?? ?? LyLx dsyIdsxI ??
曲线弧的重心坐标)5(
.,
?
?
?
? ??
L
L
L
L
ds
dsy
y
ds
dsx
x
?
?
?
?
五、小结
1.对弧长曲线积分的概念
2.对弧长曲线积分的计算
3.对弧长曲线积分的应用
思考题
对弧长的曲线积分的定义中 的符号
可能为负吗？ i
S?
思考题解答
iS? 的符号永远为正，它表示弧段的长度,
一,填空题,
1, 已知曲线形构件 L 的线密度为 ),( yx?,则 L 的质量
M = __ __ _ __ __ _ __ __ _ ；
2, ?
L
ds = __ __ _ __ __ _ __ __ _ ；
3, 对 ________ 的曲线积分与曲线的方向无关；
4, ?
L
dsyxf ),( = ? ???
?
?
???? dtttttf )()()](),([
22
中要
求 ? ________
?
.
二,计算下列求弧长的曲线积分,
1, ?
?
L
yx dse 22
,其中 L 为圆周 222 ayx ??,直线 xy ?
及 x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
练习题
2,
?
?
y z d sx
2
,其中 L 为折线 ABCD,这里 DCBA,,,
依次为点 (0,0,0),( 0,0,2),(1,0,2 ),(1,3,2 ) ；
3,
?
?
L
dsyx )(
22
,其中 L 为曲线
?
?
?
??
??
)c o s(s i n
)s i n(c o s
tttay
tttax
)20( ??? t；
4,计算
?
L
dsy,其中
L
为双纽线
)0()()(
222222
???? ayxayx,
三、设螺旋形弹簧一圈的方程为
tax c o s?
,
tay si n?
,
ktz ?,其中 ??? 20 t,它的线密度
222
),,( zyxzyx ????,求,
1,它关于
Z
轴的转动 Z
I惯量；
2,它的重心,
练习题答案
一,1,
?
L
dsyx ),(? ； 2, 的弧长L ；
3,弧长； 4, <,
二,1, 2)
4
2( ?
?
? ae
a； 2, 9 ；
3,
)21(2
232
??? a； 4, )22(2
2
?a,
三,)43(
3
2
222222
kakaaI
z
????? ；
222
2
43
6
ka
ak
x
??
? ；
222
2
43
6
ka
ak
y
??
??
? ；
222
222
43
)2(3
ka
kak
z
??
???
?,