5 10.2 Bá l ?) ?￥ ?YD?é 1. ) ?/ f ?[) ? ?·? uW ￥Bá l ??b ò  x?[0, 1] ∑ ∞ = ? 0 )1( n n xx ó  ∑ ∞ = ? 0 2 )1( n n xx x?[0, 1] ?  x? ∑ ∞ = ? 0 3 2 e n nx x [ )+∞,0  ?  (i) x? ∑ ∞ = ? 0 2 e n nx x [ )+∞,0  (ii) x?[ )+∞,δ  (# 0 ? ∑ ∞ = + 0 23 1 n xn x  x?(?, ?) × ∑ ∞ = +1 3 44 sin n xn nx  x?(?, ?) ?  x?[0, 1] ∑ ∞ = ?? 0 )1()1( n nn xx ù ∑ ∞ = + ? 1 2 )1( n n xn  x?(?, ?) ú ∑ ∞ =0 3 1 sin2 n n n x  (i) x?(0, ?)(ii) x?[ )+∞,δ  (# 0 ? ∑ ∞ =1 sinsin n n nxx  x?(?, ?) ü ∑ ∞ = + 0 2 2 )1( n n x x  x?(?, ?) Y ∑ ∞ = + ? 0 2 2 )1( )1( n n n x x  x?(?, ?)b 3  1  ∑ = ?= n k k n xxxS 0 )1()( 1 1 + ?= n x ?? { } 1+n x  dBá l ? ?[ ∑  dBá l ?b ]1,0[ ∞ = ? 0 )1( n n xx ]1,0[  2 ! 5  n n xxxu 2 )1()( ?= ]1,0[ ) 2 ()(0 + ≤≤ n n uxu nn 2 )2( 4 + < n  ?? ∑ ∞ = +0 2 )2( 4 n n l ?? Weierstrass ?YE ∑  Bá ∞ = ? 0 2 )1( n n xx ]1,0[ 1 l ?b  3 ! 5? H 2 3 )( nx n exxu ? = 1≥n ),0[ +∞  ) 2 3 ()(0 n uxu nn ≤≤ 2 3 n K =  ? 2 3 4 63 ? = eK b? ? ∑ ∞ =0 2 3 n n K l ? ? Weierstrass ?YE ∑  Bá l ?b ∞ = ? 0 3 2 e n nx x ),0[ +∞  4(i) !  ?i￥?? ? N | 2 )( nx n xexu ? = )(2 Nnnm >= D n x n 1 = ),0[ +∞∈ 5 = ∑ += m nk nk xu 1 )( + +? 2 )1( n xn n ex ++ +? " 2 )2( n xn n ex > ? 2 2 n nx n ex 2 2 n nx n enx ? +∞→= ?2 en )( ∞→n  ?[ ? ?@ $BVDIZ l ?e ?￥Hq?N V?  dBá l ? ∑ ∞ = ? 0 2 e n nx x ∑ ∞ = ? 0 2 e n nx x ),0[ +∞ (ii) ! 5? 2 )( nx n xexu ? = 2 2 1 δ >n H  1? )(xu n x ),[ +∞δ ??h  ?[ n n exu 2 )(0 δ δ ? ≤≤  ?? l ? ? Weierstrass ?YE  ∑ ∞ = ? 0 2 n n e δ δ ∑ ∞ = ? 0 2 e n nx x ),[ +∞δ Bá l ?b  5 ! 23 1 )( xn x xu n + = 5? H1≥n 2 3 2 1 )( n xu n ≤ ?? ∑ ∞ =0 2 3 2 1 n n l ? ? Weierstrass ?YE ∑ ∞ = + 0 23 1 n xn x  ),( +∞?∞ Bá l ?b  6 ! 3 44 sin )( xn nx xu n + = 5? H1≥n 3 4 1 )( n xu n ≤ ?? ∑ ∞ =0 3 4 1 n n l ? 2 ? Weierstrass ?YE ∑ ∞ = +1 3 44 sin n xn nx  ),( +∞?∞ Bá l ?b  7 !  5 n n xxxa )1()( ?= n n xb )1()( ?= { })(xa n %?￥ 1? ^??￥ O Bá l ?? ,] H ]1,0[∈x n ]1,0[ 1)( 0 ≤ ∑ = n k k xb ? Dirichlet ?YE  Bá l ?b ∑ ∞ = ?? 0 )1()1( n nn xx ]1,0[  8 ! 2 1 )( xn xa n + =  5 n n xb )1()( ?= { })(xa n %?￥ 1? ^??￥ O Bá l ?? , ] H ),( +∞?∞∈x n ),( +∞?∞ 1)( 1 ≤ ∑ = n k k xb ? Dirichlet ?YE ∑ ∞ = + ? 1 2 )1( n n xn  Bá l ?b ),( +∞?∞  9(i) ! x xu n n n 3 1 sin2)( =  | π n n x 3 2 = ),0( +∞∈ 5 +∞→= n nn xu 2)(  '  dBá l ? ?[{})(xu n ),0( +∞ ∑ ∞ =0 3 1 sin2 n n n x  ),0( +∞ dBá l ? (ii) ! x xu n n n 3 1 sin2)( = 5? ),[ +∞∈ δx H n n xu ? ? ? ? ? ? ≤ 3 21 )( δ  ?? n n ? ? ? ? ? ? ∑ ∞ = 3 21 0 δ l ? ? Weierstrass ?YE ∑ ∞ =0 3 1 sin2 n n n x  ),[ +∞δ Bá l ?b  10 ! n xa n 1 )( =  nxxxb n sinsin)( = ? ? D í1 O?? t?)(xa n x 3 , ?[ { %?￥})(xa n ),( +∞?∞∈x 1? ^??￥ O  Bá l ?? ,] H n ),( +∞?∞ = ∑ = n k k xb 1 )( ∑ = n k kx xx 1 sin 2 sin2 2 cos 2 2 cos) 2 1 cos( 2 cos ≤?+?= x xn x  ? Dirichlet ?YE ∑ ∞ =1 sinsin n n nxx  ),( +∞?∞ Bá l ?b  11 ! n n x x xu )1( )( 2 2 + =  | 0 1 2 0 >= e ε  ?i￥?? ? N | D)(2 Nnnm >= n x n 1 = ),( +∞?∞∈ 5 = ∑ += m nk nk xu 1 )( 12 2 )1( + + n n n x x ++ + + + " 22 2 )1( n n n x x n n n x x 22 2 )1( + n n n x nx 22 2 )1( + > 0 2 1 ε=> e  ?[ ∑ ∞ = + 0 2 2 )1( n n x x ? ?@ $BVDIZ l ?e ?￥Hq ?N V? ∑ ∞ = + 0 2 2 )1( n n x x  dBá l ?b ),( +∞?∞  12 ! n n x x xa )1( )( 2 2 + =  5 n n xb )1()( ?= { })(xa n %?￥ 1 ? ^??￥ O Bá l ?? ,] H ),( +∞?∞∈x n ),( +∞?∞ 1)( 1 ≤ ∑ = n k k xb ? Dirichlet ?YE ∑ ∞ = + ? 0 2 2 )1( )1( n n n x x  ),( +∞?∞ Bá l ?b 2. ￡ üf ? ∑ ∞ = + = 0 2 1 cos )( n n nx xf  ( π )  ?? Oμ ??￥?f ?b ￡ ?? 1 1 1 cos 22 + ≤ + nn nx  ∑ ∞ = +0 2 1 1 n n l ? ? Weierstraass ? Y E  ∑ ∞ = +0 2 1 cos n n nx  ( π ) Bá l ? ?[ ∑ ∞ = + = 0 2 1 cos )( n n nx xf  ( π )  ??b ! =)(xσ = + ∑ ∞ = )' 1 cos ( 0 2 n n nx ∑ ∞ = + ? 0 2 1 sin n n nxn ? ? ? ? ? ? ? ? +1 2 n n ?? t? , O ? i￥ πδ <<0 ? x∈ ]2,[ H δπδ ? ∑ = n k kx 1 sin = 2 sin2 2 cos 2 1 cos x x xn ? ? ? ? ? ? ? + ≤ 2 sin 1 δ  4 ? Dirichlet ?YE V? ∑ ∞ = + ? 0 2 1 sin n n nxn  ]2,[ δπδ ? Bá l ?' ∑ ∞ = + ? 0 2 1 sin n n nxn  )2,0( π  =>Bá l ?yN =)(xσ ∑ ∞ = + ? 0 2 1 sin n n nxn  ( π )  ??b??[ p?? ? V? )()(' xxf σ=  ( π ) ? ?' ∑ ∞ = + = 0 2 1 cos )( n n nx xf  ( π ) μ ??￥?f ?b 3. ￡ üf ?  ∑ ∞ = ? = 1 e)( n nx nxf ),0( +∞  ?? Oμò¨ ???f ?b ￡  ?i￥ 0 aA< <<+∞? [, ]xaA∈ ? ? 0 nx an ne ne ? ? <≤ O 0 an n ne ∞ ? = ∑ l ? ? Weierstraass ? Y E   [, Bá l ? '  0 nx n ne ∞ ? = ∑ ]aA 0 nx n ne ∞ ? = ∑ (0, )+∞  =>Bá l ? ?[ 0 () nx n f xne ∞ ? = = ∑  (0, )+∞  ??b ! =)(xσ 0 ()' nx n ne ∞ ? = = ∑ 2 0 nx n ne ∞ ? = ? ∑ D  ? ? ? V￡ ü   =>Bá l ?yN 2 0 nx n ne ∞ ? = ? ∑ (0, )+∞ =)(xσ 2 0 nx n ne ∞ ? = ? ∑  (0, )+∞  ??b?? [ p?? ? V? )()(' xxf σ=  (0, )+∞ ? ? ' 0 () nx n f xne ∞ ? = = ∑  μ ??￥?f ?b (0, )+∞ ?i? ),2,1()1( 1 1 "=? ∑ ∞ = ?+ ken n nxkk ),0( +∞ ? ^ =>Bá l ?￥ ?[  ?V? V[?Qé?/ ? ? ?DB ,E V?  μò¨ ???f ?b ∑ ∞ = ? = 1 e)( n nx nxf ),0( +∞ 4. ￡ üf ? ∑ ∞ =1 1 n x n  (1, ?)  ?? Oμò¨ ???f ? f ? ∑ ∞ = ? 1 )1( n x n n  ),0( +∞  ?? Oμò¨ ???f ?b ￡ ! =)(xf ∑ ∞ =1 1 n x n  ?i 1 aA< <<+∞? [, ]xaA∈ ? ? 11 0 xa nn <≤ O 1 1 a n n ∞ = ∑ l ?? Weierstraass ?YE ∑ ∞ =1 1 n x n  [, Bá l ?' ]aA ∑ ∞ =1 1 n x n  (1  =>Bá l ? ?[, )+∞ =)(xf ∑ ∞ =1 1 n x n  (1, )+∞  ??b ? xx n n ndx d ln1 ?= ? ? ? ? ? ?  O  ? i 1 aA< <<+∞ ∑ ∞ = ? 1 ln n x n n  [, Bá l]aA 5 ?' ∑ ∞ = ? 1 ln n x n n   =>Bá l ?5(1, )+∞ ∑ ∞ = ? 1 ln n x n n   ??b ??[ p?? ? V? (1, )+∞ =)(' xf ∑ ∞ = ? 1 ln n x n n ' )(xf (1, )+∞ μ ??? f ?b ?¨ x k k xk k n n ndx d ln )1( 1 ?= ? ? ? ? ? ? ),2,1("=k  V[￡ ü ∑ ∞ = ? 1 ln )1( n x k k n n  (1  =>Bá l ?] ? V¤  , )+∞ )(xf ),1( +∞ μò¨ ???f ?b ! =)(xg ∑ ∞ = ? 1 )1( n x n n ? Dirichlet ?YE V? ?i 0 aA<<<+∞ ∑ ∞ = ? 1 )1( n x n n  [, Bá l ? ']aA ∑ ∞ = ? 1 )1( n x n n  (0, )+∞  =>Bá l ? ? [ =)(xg ∑ ∞ = ? 1 )1( n x n n   ??b (0, )+∞ ? x n x n n n n dx d ln)1()1( 1+ ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ]"? Dirichlet ?YE V? ?i 0 aA<<<+∞ ∑ ∞ = + ? 1 1 ln)1( n x n n n  [, Bá l ? ']aA ∑ ∞ = + ? 1 1 ln)1( n x n n n   =>Bá l ? ?[ (0, )+∞ ∑ ∞ = + ? 1 1 ln)1( n x n n n  (0, )+∞  ??b ??[ p?? ? V? =)(' xg ∑ ∞ = + ? 1 1 ln)1( n x n n n ' )(xg (0, )+∞ μ ???f ?b ?¨ x kkn x n k k n n ndx d ln)1()1( + ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ),2,1("=k ]"? Dirichlet ?YE V[￡ ü ∑ ∞ = + ? 1 ln)1( n x kkn n n  (0, )+∞  =>Bá l ?] ? V¤  μò¨ ???f ?b )(xg ),0( +∞ 5. ￡ üf ?[) ? ∑ ∞ = = 1 2 arctan)( n n x xf V[?[ p?' xd d f (x) = )(arctan d d 1 2 ∑ ∞ =n n x x b 6 ￡ f ?[) ? ∑ ∞ = = 1 2 arctan)( n n x xf B M ),( +∞?∞∈x l ? O =)(arctan 2 n x dx d 2 2 2 1 n x n +  ?? 2 2 2 2 11 n n x n ≤ + ? Weierstraass ?YE V? ∑ ∞ =1 2 )(arctan n n x dx d  Bá l ???[ p?? ?' V?? ),( +∞?∞ xd d f (x) = )(arctan d d 1 2 ∑ ∞ =n n x x b 6. ! ?[) ? l ?￡ ü ∑ ∞ =1n n a ò +→0 lim x ∑ ∞ =1n x n n a =  ó = ∑ ∞ =1n n a ∫ ∑ ∞ = 1 0 1 d xxa n n n ∑ ∞ = + 1 1 n n n a b ￡ (1) n5? ?B%?￥ ),0[ δ∈x )0( >δ  x n 1 1? ?? O? B M n ),0[ δ∈x DB M n? ? 1 1 0 ≤< x n ?y1 ^ ?[) ? ?￥ l ?i?"1? ￥Bá l ?? ? ^? Abel ? Y E  ∑ ∞ =1n n a x ∑ ∞ =1n x n n a  [ )δ,0  Bá l ?yN?f ? ∑ ∞ =1n x n n a 1? x [ )δ,0 ??V7? ? +→0 lim x ∑ ∞ =1n x n n a = b ∑ ∞ =1n n a (2) ? è5 10.2.4 ∑  ∞ =1n n n xa [ ]1,0 Bá l ? ??[s? ? ¤ ? ∫ ∑ ∞ = 1 0 1 d xxa n n n = ∑ ∞ = + 1 1 n n n a b 7. ! u n (x)v n (x) uW (a, b) ?? O? u n (x)? ≤v n (x) B M n?N + 7 ? ?b￡ ü ?  (a, b) ? ? l ??B? ??f ?5 9A ? l ??B? ??f ?b ∑ ∞ =1 )( n n xv ∑ ∞ =1 )( n n xu ￡ ! ?i> uW b??  ???f ? ),(],[ badc ? 0)( ≥xv n ],[ dc ∑ ∞ =1 )( n n xv  ??5? Dini? ? V?  Bá l ?b? ],[ dc ∑ ∞ =1 )( n n xv ],[ dc ^? Cauchy l ?e ? V? 0>?ε  N?  Nnm >>?  ? ],[ dcx∈? ? )()()( 21 xuxuxu mnn +++ ++ "ε<+++≤ ++ )()()( 21 xvxvxv mnn " N' a ü  Bá l ?yN  ??b?? ￥ ?i?'¤?  ??b ∑ ∞ =1 )( n n xu ],[ dc ∑ ∞ =1 )( n n xu ],[ dc ),(],[ badc ? ∑ ∞ =1 )( n n xu ),( ba 8. !f ?[) ?  x = aD x = b l ? OB M n?N ∑ ∞ =1 )( n n xu +  u n (x)> uW ??9F￡ ü ∑  [a, b] Bá l ?b ],[ ba ∞ =1 )( n n xu ￡ ??  x = aD x = b l ?? Cauchy l ?e ? V? ∑ ∞ =1 )( n n xu 0>?ε   ? ?N? Nnm >>? ε< ∑ += m nk k au 1 )( D ε< ∑ += m nk k bu 1 )( b ? u n (x) ￥??9F? V?B M],[ ba ],[ bax∈ ? ? ? ? ? ? ? ? ≤ ∑∑∑ +=+=+= m nk k m nk k m nk k buauxu 111 )(,)(max)( ε<  N' a ü  [a, b] Bá l ?b ∑ ∞ =1 )( n n xu 9. !B M n?N + u n (x) x= a· ?? O ∑  x = a? ?￡ ü  ?i(# 0  (a, a ( ) A?dBá l ?b ∞ =1 )( n n xu ∑ ∞ =1 )( n n xu 8 ￡ ?¨Q￡Eb !  ∑ ∞ =1 )( n n xu ),( δ+aa Bá l ? , 5 ,,0 N?>?ε Nnm >>?  ),( δ+∈? aax , ? ? 2 )( 1 ε < ∑ += m nk k xu b  7 +→ ax ,¤? ε ε <≤ ∑ += 2 )( 1 m nk k au , ? a ü  ∑ ∞ =1 )( n n xu ax = l ? DHq ± ?[  (a, a ( ) A?dBá l ?b ∑ ∞ =1 )( n n xu 10￡ üf ?[) ? ∑ ∞ = ? ? ? ? ? ? + 2 2 ln 1ln n nn x  [ ]aa,?  ^Bá l ?￥ ? ^ l? ￥ ?i%?? ?b a 2ln2 2 ￡ ? ? ? ? ? ? + nn x 2 ln 1ln  [ ??9F ?[ ]aa,? ≤ ? ? ? ? ? ? +≤ ? ? ? ? ? ? ? nn x nn a 22 ln 1ln ln 1ln ? ? ? ? ? ? + nn a 2 ln 1ln  ? ? ? ? ? ? ± nn a 2 ln 1ln j nn a 2 ln ± )( ∞→n b ?? ∑ ∞ =2 2 lnn nn a l ? ?[ ∑ ∞ = ? ? ? ? ? ? ± 2 2 ln 1ln n nn a l ??5 8 V? ∑ ∞ = ? ? ? ? ? ? + 2 2 ln 1ln n nn x  Bá l ?b [aa,? ] 11 ! ∑ ∞ = = 1 2 tan 2 1 )( n nn x xf b  1 ￡ ü )(xf [2/,0 ]π  ??  2 9 ? ∫ 2 6 )( π π dxxf b 3  1B M ] 2 ,0[ π ∈x μ nn x 2 tan 2 1 0 ≤ n 2 1 ≤  9 ?? ∑ ∞ =1 2 1 n n l ?? Weierstraass ?YE V? ∑ ∞ =1 2 tan 2 1 n nn x  ] 2 ,0[ π B á l ?V7 ∑ ∞ = = 1 2 tan 2 1 )( n nn x xf  ] 2 ,0[ π ??b  2? 1 ∑ ∞ =1 2 tan 2 1 n nn x  ] 2 , 6 [ ππ Bá l ???[s? ? ∫ = 2 6 )( π π dxxf ∫ 2 6 22 tan π π nn x d x 1 1 1 2 cos 23 cos ln + +∞ = ? = ∑ n n n π π 1 1 1 1 2 cos 23 cos ln + ∞ = + ∞ = ∏ ∏ ? = n n n n π π   ?¨ è5 9.5.3￥2T ∏ ∞ = = 1 sin 2 cos n n x xx ¤? ∫ 2 6 )( π π dxxf ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 2 sin 2 6 6 sin ln π π π π 2 3 ln= b 12 ! ∑ ∞ = + = 1 3 cos )( n nn nx xf b  1 ￡ ü )(xf ),( ∞+?∞  ??  2: ￡ ü ∫ = x dttfxF 0 )()( 2 2 215 1 2 2 < ? ? ? ? ? ? <? π F b ￡  1B M μ ∈x ),( ∞+?∞ 2 3 3 1cos n nn nx < +  ?? ∑ ∞ =1 2 3 1 n n l ?? Weierstraass ?YE V? ∑ ∞ = + 1 3 cos n nn nx   Bá l ? ?[ ),( ∞+?∞ ∑ ∞ = + = 1 3 cos )( n nn nx xf  ),( ∞+?∞  ??  2?? ∑ ∞ = + 1 3 cos n nn nx  ),( ∞+?∞ Bá l ???[s? ? =)(xF = ∫ x dttf 0 )( = + ∫ ∑ ∞ = x n dt nn nt 0 3 1 cos ∑ ∞ = + 1 3 sin n nnn nx , 10 ? ^ = + = ? ? ? ? ? ? ∑ ∞ =1 3 2 sin 1 2 n n nnn F ππ ∑ ∞ = ? ?+?? ? 1 3 1 )12()12()12( )1( n n nnn  ? ^B? Leibniz) ? , ?￥ - [1 2 2 D 303 1 ?  ?[ 2 2 2 303 1 2 2 15 1 2 2 < ? ? ? ? ? ? <?<? π F b 13 ! ∑ ∞ = + = 0 2 1 )( n n x xf b  1 ￡ ü )(xf ),0[ ∞+  V? OBá ??  2 ￡ üQès ? ?b ∫ ∞+ 0 )( dxxf ￡  1? nn x 2 1 2 1 ≤ +  ∑ ∞ =0 2 1 n n l ? V? ∑ ∞ = +0 2 1 n n x  ? ? l ? ? ),0[ ∞+ = ? ? ? ? ? ? + x dx d n 2 1 2 )2( 1 x n + ?  OB M ∈x ),0[ ∞+  nn x 22 2 1 )2( 1 ≤ + ?  ∑ ∞ =0 2 2 1 n n l ? ?[ ∑ ∞ = ? ? ? ? ? ? +0 2 1 n n x dx d  ),0[ ∞+ Bá l ?b ??[ p?? ?  ∑ ∞ = + = 0 2 1 )( n n x xf   V?b ),0[ ∞+ ?? =? )()( 21 xfxf ∑∑ ∞ = ∞ = + ? +00 21 2 1 2 1 nn nn xx ∑ ∞ = ??≤ 0 21 4 1 n n xx  V? )(xf ),0[ ∞+ Bá ??b  2 ∫ = A dxxf 0 )( dx xn n A ) 2 1 ( 0 0 ∑ ∫ ∞ = + ∑ ∫ = + > n k A k x dx 0 0 2 ∑ = ? ? ? ? ? ? += n k k A 0 2 1ln  ?? +∞= ? ? ? ? ? ? + ∑ = +∞→ n k k A A 0 2 1lnlim  V?  ?[Qès ? ?b ∞+= ∫ +∞→ A A dxxf 0 )(lim ∫ ∞+ 0 )( dxxf 11