测量平差 CAI
测绘工程等专业应用
平差应用实例
条件平差应用实例
授课目的要求,熟悉条件平差的计算表格，
掌握条件平差计算表格的使用方法
重 点、难 点,条件平差计算表格的使用方
法。
?本次课主要内容,
?有关内容复习
?条件平差的计算表格及其使用
?算例
?有关内容复习,
已知条件平差的法方程为,0?? WKN
aa
:计算式为PVV T rrbbaaTT kwkwkwKWPVV ??????? ?
又 已知平差值函数的协因数计算式为,
? ? A Q fNA Q fQffpQ aaTT 1
?
??
1 ??? ＝
?
??
令 A Q fNq
aa1??
上式两端同乘以,并移项得,aaN
＿转换系数方程0?? AQ fqN aa
令 A Q ff
e ?
则有 0?? eaa fqN
将其解 A Q fNq
aa1??
代入 平差值函数的协因数计算式 得
rebeae
T
e
T qfqfqf
p
ffqfQff
pQ r?????
?
??
???? ?
21
?
??
1 ＝
?
??
? 条件平差的计算表格及其使用
已知条件平差的函数模型为,
0WV ?? 1,1,,rnnrA
式中
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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n
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v
v
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aaa
A
??????
2
1
2
1
21
21
21
WV
为评定平差问题中某量的精度，所列立的权函数式为,
1,,11,1
LdFd
nn
T ????
式中
F
f
f
f
L
L
L
L
n
?
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1
2
3
1
2
?
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d
d
d
d
依据上述有关数据可编制条件方程及权函数系数表
见表 1。
条件方程及权函数系数表 表 1
观测序
号
ai
bi
,.,
ri
fi
1/pi
vi
1
a1 b1,.,
r1 f1
1/p1
v1
2
a2
b2
,.,
r2 f2
1/p2
v2
┆
┆
┆
┆
┆
┆
┆
┆
n
an bn
,.,
rn fn
1/pn
vn
椐表 1中的数据，便可计算法方程 NK+W=0（转换
系数方程 Naaq－ fe=0）的系数 nji和转换系数方程中的常数
项 fei,以及平差值函数的权倒数计算式
qffpfP1 Te-1T
F
??
将上述计算结果填写在编制好的法方程（转换系数
方程）及其函数 解算表 2中（每计算一个
填写一个，依次计算填写）。
)1,PVV(
F
T P
条件方程及权函数系数表 表 1
观测
序号
ai bi,.,
ri fi
1/pi
vi
1
a1 b1,.,
r1 f1
1/p1
v1
2
a2 b2,.,
r2 f2
1/p2
v2
┆
┆
┆
┆
┆
┆
┆
┆
n
an bn,.,
rn fn
1/pn
vn
法方程未知数及其函数解算表 表 2
?
?
?
?
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0)()()(
)()()()(
)()()(
)()(
1
21
21
21
22221
111
T
r
r
rrrrr
fefefe
www
knnn
knn
kn
?
?
?
????
表中后两行分别是函数
rrT kwkwkw ?????? ?22110pvv
reee
T
F
qfqfqffpfp r????? ? ?211 211
中未知数 Ki和 qi(i=a,b,…,r) 的系数及函数式中的常数项。
上表填写完毕后，即可在表 2中求解 Ki(i=a,b,…,r), -
VTPV及,计算结果填于表 2中相应元素的右边如表 3
所示。
1
PF
法方程及其函数解算表 表 3
?
?
?
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?
?
?
?
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?
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knnnnn
knnn
kn
1
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)0()()()(
)()()()(
)()()(
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221
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1221
)1.(
1221
1222221
11
fpf
pvv
?
?
?
????
求得联系数 Ki(i=a,b,...,r) 后按
vi ＝
),,2,1)((1 nikrkbkaP ribiai
i
??????????
在表 中求改正数 i,按 求得
L L vi i i? ? ? ),.,,,2,1( niL i ??
并按公式,
? 0? ?? v pv
T
r ? ?F Fp
? ?
? ? 0 1
求得单位权中误差和平差值函数的中误差。
? 算 例
如下图所示水准
网，已知 A点的高程
为,mH A 385.124?
观测高差及路线长度
如图中所示。试按条
件平差法求未知点高
程平差值及最弱点高
程平差值的中误差 。
解,1.列立条件式和权函数式
本问题中 n=5,t=3,r =n-t=2，条件方程式为,
? ?
? ???
???
????
???
b
a
hhh
hhh
0
0
542
321
???
???
改正数条件方程常数项计算,
?
?
?
?????
????
mmhhhw
mmhhhw
b
a
6
8
542
321
改正数条件方程,? ?
? ???
?
?????
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b
a
vvv
vvv
0
0
6
8
542
321
最弱点平差值函数式为,
权函数式为,
41 ???? hhHH AD ?????
d d d d?? ? ? ?? ? ?H h hD 1 4
2.建立条件方程系数及权函数系数表
取 1公里水准观测高差为单位权观测值 (也可另取它
值，要看计算是否方便而定 )。
条件方程系数及权函数系数表 表 1
序号 ai bi fi ＝ Si vi (mm) (m)
1
2
3
4
5
1
1
1
－ 1
1
1
1
1
4
1p
i
2
4
4
2
hi?
3.组成并解算法方程,求未知数及其函数
由上表中的数值计算法方程（转换系数方程）系数和
转换系数方程常数项，将计算结果依次填入法方程未知数
及其函数解算表中，并在表中解算 和 之值，见
下表
PVV T,k 1p
??
序号 ai bi fi ＝ Si vi (mm) (m)
1 1
1 4
2 1 － 1
2
3 1 4
4
1 1 4
5
1
2
1p
i
法方程未知数及其函数解算表 表 2
( ) k1=
( ) ( ) k2=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
10.0
-2.0
8.0
-4.0
8.0
6.0
-4.0
7.6
7.6
-4.8
0.0
8.0
-14
3.37
-1
-1
hi?
4.计算观测值改正数 vi及平差值
由 V=P-1 BT K,顾及 P为对角阵，按
hi?
＝iv 1P
i
? ?ribiai krkbka ?????? (i=1,2,...,n)
计算观测值改正数，结果见表 。
条件方程系数及权函数系数表 表 1
序号 ai
Ka=-1
bi
Kb=-1
fi ＝ Si vi
(mm)
(m)
1 1
1 4
2 1 － 1
2
3 1
4
4
1 1 4
5
1
2
－ 4
0
－ 4
－ 4
－ 2
2.346
0.389
2.735
2.196
－ 1.807
1p
i hi
?
5 计算待定点高程平差值
m731.126346.2385.124? 1 ????? hHH AB ＋
m1 2 0.1 2 7)7 3 5.2(3 8 5.1 2 4? 3 ??????? hHH AC
m9 2 7.1 2 8)8 0 7.1(7 3 5.23 8 5.1 2 4?? 53 ????????? hhHH AD
6.精度评定
单位权中误差为,
( m m )65.22 0.14
0
???????? ? r KWrPVV TT?
D点高程平差值的中误差为,
( m m )86.437.365.21 00 ??????? ?
?
?
???
DD HH
Q
p
???
?
? 小 结
? 作 业,
习题 1、如 图测角三角
网 各观测值如下
209182,341565,501347
639156,848431,358440
449176,723464,249467
231271,127558,120239
339373,348056,229566
15105
1494
1383
1272
1161
???????????????
???????????????
???????????????
???????????????
???????????????
LLL
LLL
LLL
LLL
LLL
试按条件平差法求观测值的平差值，并求出单位权
中误差。
测绘工程等专业应用
平差应用实例
条件平差应用实例
授课目的要求,熟悉条件平差的计算表格，
掌握条件平差计算表格的使用方法
重 点、难 点,条件平差计算表格的使用方
法。
?本次课主要内容,
?有关内容复习
?条件平差的计算表格及其使用
?算例
?有关内容复习,
已知条件平差的法方程为,0?? WKN
aa
:计算式为PVV T rrbbaaTT kwkwkwKWPVV ??????? ?
又 已知平差值函数的协因数计算式为,
? ? A Q fNA Q fQffpQ aaTT 1
?
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1 ??? ＝
?
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令 A Q fNq
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上式两端同乘以,并移项得,aaN
＿转换系数方程0?? AQ fqN aa
令 A Q ff
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则有 0?? eaa fqN
将其解 A Q fNq
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代入 平差值函数的协因数计算式 得
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? 条件平差的计算表格及其使用
已知条件平差的函数模型为,
0WV ?? 1,1,,rnnrA
式中
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2
1
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为评定平差问题中某量的精度，所列立的权函数式为,
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式中
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f
f
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L
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1
2
3
1
2
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d
d
d
d
依据上述有关数据可编制条件方程及权函数系数表
见表 1。
条件方程及权函数系数表 表 1
观测序
号
ai
bi
,.,
ri
fi
1/pi
vi
1
a1 b1,.,
r1 f1
1/p1
v1
2
a2
b2
,.,
r2 f2
1/p2
v2
┆
┆
┆
┆
┆
┆
┆
┆
n
an bn
,.,
rn fn
1/pn
vn
椐表 1中的数据，便可计算法方程 NK+W=0（转换
系数方程 Naaq－ fe=0）的系数 nji和转换系数方程中的常数
项 fei,以及平差值函数的权倒数计算式
qffpfP1 Te-1T
F
??
将上述计算结果填写在编制好的法方程（转换系数
方程）及其函数 解算表 2中（每计算一个
填写一个，依次计算填写）。
)1,PVV(
F
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条件方程及权函数系数表 表 1
观测
序号
ai bi,.,
ri fi
1/pi
vi
1
a1 b1,.,
r1 f1
1/p1
v1
2
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1/p2
v2
┆
┆
┆
┆
┆
┆
┆
┆
n
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rn fn
1/pn
vn
法方程未知数及其函数解算表 表 2
?
?
?
?
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?
?
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表中后两行分别是函数
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中未知数 Ki和 qi(i=a,b,…,r) 的系数及函数式中的常数项。
上表填写完毕后，即可在表 2中求解 Ki(i=a,b,…,r), -
VTPV及,计算结果填于表 2中相应元素的右边如表 3
所示。
1
PF
法方程及其函数解算表 表 3
?
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?
?
?
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?
?
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求得联系数 Ki(i=a,b,...,r) 后按
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),,2,1)((1 nikrkbkaP ribiai
i
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在表 中求改正数 i,按 求得
L L vi i i? ? ? ),.,,,2,1( niL i ??
并按公式,
? 0? ?? v pv
T
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? ? 0 1
求得单位权中误差和平差值函数的中误差。
? 算 例
如下图所示水准
网，已知 A点的高程
为,mH A 385.124?
观测高差及路线长度
如图中所示。试按条
件平差法求未知点高
程平差值及最弱点高
程平差值的中误差 。
解,1.列立条件式和权函数式
本问题中 n=5,t=3,r =n-t=2，条件方程式为,
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b
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改正数条件方程,? ?
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最弱点平差值函数式为,
权函数式为,
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2.建立条件方程系数及权函数系数表
取 1公里水准观测高差为单位权观测值 (也可另取它
值，要看计算是否方便而定 )。
条件方程系数及权函数系数表 表 1
序号 ai bi fi ＝ Si vi (mm) (m)
1
2
3
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5
1
1
1
－ 1
1
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1
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4
1p
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2
4
4
2
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3.组成并解算法方程,求未知数及其函数
由上表中的数值计算法方程（转换系数方程）系数和
转换系数方程常数项，将计算结果依次填入法方程未知数
及其函数解算表中，并在表中解算 和 之值，见
下表
PVV T,k 1p
??
序号 ai bi fi ＝ Si vi (mm) (m)
1 1
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2 1 － 1
2
3 1 4
4
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5
1
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法方程未知数及其函数解算表 表 2
( ) k1=
( ) ( ) k2=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
10.0
-2.0
8.0
-4.0
8.0
6.0
-4.0
7.6
7.6
-4.8
0.0
8.0
-14
3.37
-1
-1
hi?
4.计算观测值改正数 vi及平差值
由 V=P-1 BT K,顾及 P为对角阵，按
hi?
＝iv 1P
i
? ?ribiai krkbka ?????? (i=1,2,...,n)
计算观测值改正数，结果见表 。
条件方程系数及权函数系数表 表 1
序号 ai
Ka=-1
bi
Kb=-1
fi ＝ Si vi
(mm)
(m)
1 1
1 4
2 1 － 1
2
3 1
4
4
1 1 4
5
1
2
－ 4
0
－ 4
－ 4
－ 2
2.346
0.389
2.735
2.196
－ 1.807
1p
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5 计算待定点高程平差值
m731.126346.2385.124? 1 ????? hHH AB ＋
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m9 2 7.1 2 8)8 0 7.1(7 3 5.23 8 5.1 2 4?? 53 ????????? hhHH AD
6.精度评定
单位权中误差为,
( m m )65.22 0.14
0
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D点高程平差值的中误差为,
( m m )86.437.365.21 00 ??????? ?
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? 小 结
? 作 业,
习题 1、如 图测角三角
网 各观测值如下
209182,341565,501347
639156,848431,358440
449176,723464,249467
231271,127558,120239
339373,348056,229566
15105
1494
1383
1272
1161
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LLL
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试按条件平差法求观测值的平差值，并求出单位权
中误差。
