测量平差 CAI
测绘工程等专业应用
第 三 章
协方差传播律及权
第 三 节 协方差传播律的应用
授课目的要求, 掌握协方差传播律应用方法
重 点、难 点, 测量上精度计算的方法及应用
本次课主要内容,
水准测量的精度
同精度观测算数平均值的精度
若干独立误差的联合影响
平面控制点的点位精度
? 水准测量的精度
设水准测量中每一测站观测高差 hi的精度相同,其
方差均为,则具有 N个测站的水准路线的总高差为
Nhhhh ????,,,21
应用协方差传播公式可得
22222
21 站????? Nnhhhh ????? ?
站?? Nh ?
在平坦地区的水准测量中,每公里的测站数大致相
等,因此,每公里观测高差的方差相等,设其均为,
则 S公里观测高差的方差 和中误差 分别为
2km?
22 kmh S ?? ??
km?? Sh ?
其估值公式 为
22 ?? kmh S ?? ?? km?? ?? Sh ?
例题
? 例题
水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过
10mm，水准路线全长高差中误差不超过 60mm,则该
水准路线长度不应超过多少公里？
解：由公式
22 kmh S ?? ??
可得
361060 2
2
2
2
???
km
hS
?
?
答：该水准路线 长度不应超过 36公里 。
? 同精度独立观测算数平均值的精度
设 L1,L2,…,Ln为一组等精度的独立观测值 (方差均
为 σ2),其算术平均值为
? ?NLLLNx ????,..1 21
NLNLNLN
1.,,11
21 ????
应用协方差传播公式得
Nx
2
2 ?? ?
Nx
?? ?
例题
? 例题
已知某台经纬仪一测回的测角中误差为 ± 6'',如
果要使各测回的平均值的中误差不超过 ± 2'',则至少
应测多少测回？
解：由公式
Nx
2
2 ?? ?
可得
926 2
2
2
2
???
x
N ??
答,至少应测 9测回
? 若干独立误差的联合影响
设若干独立误差的联合影响下观测结果的真误差
为
nz ???????? ?21
由协方差传播律可得,
222212 nZ ???? ???? ?
即,观测结果的方差,等于各独立误差所对应的方
差之和 。
2Z?
? 平面控制点的点位精度
如下图所示导线,A为已知点,α0为 AB方向的方位
角,β为观测角,其方差为 ± 4.0(″)2,观测边长 S为
600.00 m,其方差为 0.5cm2,试求 C点的点位方差 。
解法一 解法二
（ 1）,列函数式,由图知,
? ? ? ??? ?? ?????? 00 s i n,c o s SYYSXX ACAC
（ 2）、线性化
? ? ? ?
? ? ? ?
?
?
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dSdSdY
dSdSdX
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C
00
00
c o ss in
s inc o s
（ 3）,应用协方差传播公式可得坐标方差计算式
? ? ? ?????? ???? 202222022 s i nc o s ???? SX s
c
? ? ? ?????? ???? 202222022 c o ss i n ???? SY s
c
（ 4）,计算点位方差
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2
22
2
2
2
2
2
0
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0
2
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2
2
0
2
0
2222
84.00.4*
2 0 6 2 6 5
10*00.6 0 0 0
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c o ss i n
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cm
S
S
YX
s
sC
cc
?????
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??????
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??????
?
?
?
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?
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解法二, 由 C点纵、横向方差求点位方差
如图 AC边上边长方差称为
纵向方差,而在它的垂直方
向的方差称为横向方差 。
2s?
2u?
横向方差是由 AC边的坐标
方位角 α的方差引起的,由图知
u S S
2 2
2
2
2
2
2?
?
?
?
?
? ?? ?
点位方差为
? ? 222222 84.0 cmSsC ??? ??? ??
? 小结,
? 作业,
3-11、水准测量中若要求每公里观测高差中误差不
超过 10mm，水准路线全长高差中误差不超过 100mm,则
该水准路线长度不应超过多少公里？
3-12、已知某台经纬仪一测回的测角中误差为 ± 3",
如果要使各测回的平均值的中误差不超过 ± 1.5",则至
少应测多少测回？
3-13、在１ km的水准测量中，高差观测值的中误
差为２ mm,Ａ点为己知水准点，其中误差为３ mm，为
了从Ａ点起敷设水准路线以测定Ｂ点高程,使Ｂ点高程
中误差为１ cm,该水准路线有多长？
3-14、在含有九条边的闭合导线内，观测每一内角
的中误差为１０秒．己知 n边形的内角之和为（ n－２）
× １８０，所测的导线各内角之和期望值在怎样的范围
内？
3－ 15 已知圆周长的中误差为 10毫米，求圆半
径的中误差等于多少？
3－ 16 已知正方形每边边长测量中误差相等，其
周长中误差为 16毫米，求其面积的中误差等于多少？
测绘工程等专业应用
第 三 章
协方差传播律及权
第 三 节 协方差传播律的应用
授课目的要求, 掌握协方差传播律应用方法
重 点、难 点, 测量上精度计算的方法及应用
本次课主要内容,
水准测量的精度
同精度观测算数平均值的精度
若干独立误差的联合影响
平面控制点的点位精度
? 水准测量的精度
设水准测量中每一测站观测高差 hi的精度相同,其
方差均为,则具有 N个测站的水准路线的总高差为
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在平坦地区的水准测量中,每公里的测站数大致相
等,因此,每公里观测高差的方差相等,设其均为,
则 S公里观测高差的方差 和中误差 分别为
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其估值公式 为
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例题
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水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过
10mm，水准路线全长高差中误差不超过 60mm,则该
水准路线长度不应超过多少公里？
解：由公式
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可得
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答：该水准路线 长度不应超过 36公里 。
? 同精度独立观测算数平均值的精度
设 L1,L2,…,Ln为一组等精度的独立观测值 (方差均
为 σ2),其算术平均值为
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已知某台经纬仪一测回的测角中误差为 ± 6'',如
果要使各测回的平均值的中误差不超过 ± 2'',则至少
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解：由公式
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2
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可得
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答,至少应测 9测回
? 若干独立误差的联合影响
设若干独立误差的联合影响下观测结果的真误差
为
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由协方差传播律可得,
222212 nZ ???? ???? ?
即,观测结果的方差,等于各独立误差所对应的方
差之和 。
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? 平面控制点的点位精度
如下图所示导线,A为已知点,α0为 AB方向的方位
角,β为观测角,其方差为 ± 4.0(″)2,观测边长 S为
600.00 m,其方差为 0.5cm2,试求 C点的点位方差 。
解法一 解法二
（ 1）,列函数式,由图知,
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（ 2）、线性化
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解法二, 由 C点纵、横向方差求点位方差
如图 AC边上边长方差称为
纵向方差,而在它的垂直方
向的方差称为横向方差 。
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横向方差是由 AC边的坐标
方位角 α的方差引起的,由图知
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3-11、水准测量中若要求每公里观测高差中误差不
超过 10mm，水准路线全长高差中误差不超过 100mm,则
该水准路线长度不应超过多少公里？
3-12、已知某台经纬仪一测回的测角中误差为 ± 3",
如果要使各测回的平均值的中误差不超过 ± 1.5",则至
少应测多少测回？
3-13、在１ km的水准测量中，高差观测值的中误
差为２ mm,Ａ点为己知水准点，其中误差为３ mm，为
了从Ａ点起敷设水准路线以测定Ｂ点高程,使Ｂ点高程
中误差为１ cm,该水准路线有多长？
3-14、在含有九条边的闭合导线内，观测每一内角
的中误差为１０秒．己知 n边形的内角之和为（ n－２）
× １８０，所测的导线各内角之和期望值在怎样的范围
内？
3－ 15 已知圆周长的中误差为 10毫米，求圆半
径的中误差等于多少？
3－ 16 已知正方形每边边长测量中误差相等，其
周长中误差为 16毫米，求其面积的中误差等于多少？
