2005.4 北京大学物理学院王稼军编互感和自感 p205 3-25,26,31,34,35
美国物理学家亨利（ J.Henry）
讨论由电流变化而引起的感应电动势中电动势与电流变化率的关系
由于亨利的工作，人们对电磁感应现象的认识又向前跨进了一步。电磁感应还可区分为 自感应 和 互感应
2005.4 北京大学物理学院王稼军编自感现象
自感应：
回路中因自身电流变化引起的感应电动势 S
1与 S2是两个相同的灯泡；
R=RL,
现象,
(a) 接通 K瞬间,S1比 S2先亮
(b) 断开瞬间，灯泡突然亮一下
为什么？
接通 K或切断 K，由于电流变化导致磁场变化
）匝线圈NtItItIB )(()()(
磁通匝链数
2005.4 北京大学物理学院王稼军编自感系数
=LI
比例系数为 L,称为自感系数
L只与线圈大小、几何形状、匝数、以及介质性质有关。
感应电动势还可以表示成
)(tI
比例系数？
dt
dIL
dt
d
总是反抗回路上电流的变化
dt
dIL
I
N
IL
单位,亨利 （ H）
HmHA sVAwbH?63 101011111
2005.4 北京大学物理学院王稼军编例题 P193
例题 8 密绕长直螺线管
例题 9,求长为 l 的 传输线的电感
方法：求 B——?—— L
1
20 ln
2
2
1 R
RIlB l d rB d S R
R
S?
1
20 ln
2 R
Rl
IL?
2005.4 北京大学物理学院王稼军编同轴电缆
同轴电缆中间的线是实心导体圆柱
传输线的结果也可用于同轴电缆，为什么？
由于传输高频信号时有趋肤效应存在电流分布在圆柱体表面
例如一根半径 R＝ 1.0cm
的铜导线，其截面上的电流密度随频率变化的情况如图所示
2005.4 北京大学物理学院王稼军编趋肤效应
为什么在电流变化时会有趋肤效应产生？
I变 —— B变 —— I’ (涡电流 )
在一个周期内大部分时间里轴线附近 I与 I’方向相反
而表面附近 I和 I’同向
所以轴线附近的电流被削弱
表面附近的电流被加强趋肤效应
2005.4 北京大学物理学院王稼军编趋肤效应的后果及应用
传输高频信号时，由于趋肤效应会使导线的 有效截面减少,从而是 等效电阻增加
对铁来说，由于?大，即使频率不太大，趋肤效应也很明显，
对于良导体，在高频下的 趋肤深度 很小，
即电流仅分布在导体表面很薄的一层
工业上可用于金属表面的 淬火
2005.4 北京大学物理学院王稼军编互感应
互感现象
由于其它电路中电流变化在回路中引起的感应电动势的现象
N1 N2
自感磁通匝链数互感磁通匝链数
1 1? I?2 2? I
221 I 112 I
线圈 1 线圈 2
比例系数为 M21和 M12，其值取决于线圈大小、
匝数、几何形状,两线圈的相对位置
2005.4 北京大学物理学院王稼军编互感电动势
线圈 1电流变化在线圈 2
中产生的感应电动势为 dtdIMdtd 112122
线圈 2电流变化在线圈 1
中产生的感应电动势为 dtdIMdtd 221211
互感系数
dt
dI
dt
dIM 2
21
1
12
MMM 1221
可以证明
1
122
I
N
2
211
I
N
例题 7:先算? 再算 M ——?
2005.4 北京大学物理学院王稼军编证明,以单匝线圈为例 MMM
1221
22
21112
LS
ldASdB
1 12
110
1 4)(
L r
ldIpA
1 2 12
2110
4 L L r
ldldI
1 2 12
210
1
12
12 4
L L r
ldld
I
M
线圈 1
激发的 磁场 通过 2的通量同理,有
2 1 21
120
2
21
21 4
L L r
ldld
I
M
单位与自感系数相同
2005.4 北京大学物理学院王稼军编耦合系数
线圈相对位置不同，
M的值不同,设
1212 k 0 12k
2121 k 0 11k
无漏磁1)( 12221112 kkka
漏磁1)( 12221112 kkkb
无耦合000)( 122112 kkc
2121
21
2121212
2112,LLkkII
kkNNMMMM
212121 LLkLLkkM21kkk?令耦合系数几何尺寸相同
2005.4 北京大学物理学院王稼军编两个线圈串联的自感系数
L1＋ L2=?L
一般情况不等，与串联方式有关
串联方式
串联顺接,1尾与 2头接 L =L1＋ L2 +2M
串联反接,1尾与 2尾接 L =L1＋ L2 -2M
2121 2 LLLLL
2121 2 LLLLL
无漏磁时
2005.4 北京大学物理学院王稼军编磁能
自感磁能
开关接通 1 I 增加 Ф增加?L方向与 I方向相反
电源做功
产生焦耳热
因抵消感应电流多做功,
使电路中电流达到 I值
电源克服感应电动势所做的功
dttitdA L )()(
dt
diL
L
L i d ii d tdtdiLdA
I LIL i d idAA 0 21 2
线圈中电流从
0增到
I过程中，电源由于
L中出现感应电动势而多做的功的总和
K 倒向 2,电 流 从 I
减到 0,自感电动势做正功 =A
2005.4 北京大学物理学院王稼军编互感磁能
在建立电流 过程中 电源做功
R上产生焦耳热
抵抗自感电动势做功 － WL
抵抗互感电动势做功－？
互感系数 M
此时线圈 1和 2 互相影响,情况比较复杂,可采取以下做法计算,
先在线圈 1中建立电流 I1,2中无电流,故无互感
在接通线圈 2 并维持 1中电流 I1不变 （ 可用一个外接可调电源平衡掉 2对 1的互感 ） 外接电源需要抵抗互感电动势所做的功 —— 互感电动势
2005.4 北京大学物理学院王稼军编外接电源需要抵抗互感电动势所做的功
同样若先建立 I2，再接通线圈 2则
0 0 2211121 dtdtdiMIdtIA?
维持线圈 1内电流不变
20 1212121
2 IIMdiIMI
这部分功转化成互感磁能储存在线圈内
0 0 1122212' dtdtdiMIdtIA?维持线圈 2内电流不变
21120 1112
2 IIMdiIMI
而总磁能与电流建立的先后次序无关,
A＝ A’,所以便证明了 M21＝ M12＝ M
2005.4 北京大学物理学院王稼军编两个线圈系统总磁能
推广到 k个线圈的普遍情况
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILIL
mW
总磁能
1,2的自感磁能，
大于零互感磁能,
可正可负
21212112
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
1 IIMIIMILIL
mW
对称形式
ji
k
ij
i
ij
k
i
ii IIMILmW
)(
11
2
2
1
2
1
i,j线圈之间的 M
第 i个线圈的自感系数
美国物理学家亨利（ J.Henry）
讨论由电流变化而引起的感应电动势中电动势与电流变化率的关系
由于亨利的工作，人们对电磁感应现象的认识又向前跨进了一步。电磁感应还可区分为 自感应 和 互感应
2005.4 北京大学物理学院王稼军编自感现象
自感应：
回路中因自身电流变化引起的感应电动势 S
1与 S2是两个相同的灯泡；
R=RL,
现象,
(a) 接通 K瞬间,S1比 S2先亮
(b) 断开瞬间，灯泡突然亮一下
为什么？
接通 K或切断 K，由于电流变化导致磁场变化
）匝线圈NtItItIB )(()()(
磁通匝链数
2005.4 北京大学物理学院王稼军编自感系数
=LI
比例系数为 L,称为自感系数
L只与线圈大小、几何形状、匝数、以及介质性质有关。
感应电动势还可以表示成
)(tI
比例系数？
dt
dIL
dt
d
总是反抗回路上电流的变化
dt
dIL
I
N
IL
单位,亨利 （ H）
HmHA sVAwbH?63 101011111
2005.4 北京大学物理学院王稼军编例题 P193
例题 8 密绕长直螺线管
例题 9,求长为 l 的 传输线的电感
方法：求 B——?—— L
1
20 ln
2
2
1 R
RIlB l d rB d S R
R
S?
1
20 ln
2 R
Rl
IL?
2005.4 北京大学物理学院王稼军编同轴电缆
同轴电缆中间的线是实心导体圆柱
传输线的结果也可用于同轴电缆，为什么？
由于传输高频信号时有趋肤效应存在电流分布在圆柱体表面
例如一根半径 R＝ 1.0cm
的铜导线，其截面上的电流密度随频率变化的情况如图所示
2005.4 北京大学物理学院王稼军编趋肤效应
为什么在电流变化时会有趋肤效应产生？
I变 —— B变 —— I’ (涡电流 )
在一个周期内大部分时间里轴线附近 I与 I’方向相反
而表面附近 I和 I’同向
所以轴线附近的电流被削弱
表面附近的电流被加强趋肤效应
2005.4 北京大学物理学院王稼军编趋肤效应的后果及应用
传输高频信号时，由于趋肤效应会使导线的 有效截面减少,从而是 等效电阻增加
对铁来说，由于?大，即使频率不太大，趋肤效应也很明显，
对于良导体，在高频下的 趋肤深度 很小，
即电流仅分布在导体表面很薄的一层
工业上可用于金属表面的 淬火
2005.4 北京大学物理学院王稼军编互感应
互感现象
由于其它电路中电流变化在回路中引起的感应电动势的现象
N1 N2
自感磁通匝链数互感磁通匝链数
1 1? I?2 2? I
221 I 112 I
线圈 1 线圈 2
比例系数为 M21和 M12，其值取决于线圈大小、
匝数、几何形状,两线圈的相对位置
2005.4 北京大学物理学院王稼军编互感电动势
线圈 1电流变化在线圈 2
中产生的感应电动势为 dtdIMdtd 112122
线圈 2电流变化在线圈 1
中产生的感应电动势为 dtdIMdtd 221211
互感系数
dt
dI
dt
dIM 2
21
1
12
MMM 1221
可以证明
1
122
I
N
2
211
I
N
例题 7:先算? 再算 M ——?
2005.4 北京大学物理学院王稼军编证明,以单匝线圈为例 MMM
1221
22
21112
LS
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1 12
110
1 4)(
L r
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1 2 12
2110
4 L L r
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1 2 12
210
1
12
12 4
L L r
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I
M
线圈 1
激发的 磁场 通过 2的通量同理,有
2 1 21
120
2
21
21 4
L L r
ldld
I
M
单位与自感系数相同
2005.4 北京大学物理学院王稼军编耦合系数
线圈相对位置不同，
M的值不同,设
1212 k 0 12k
2121 k 0 11k
无漏磁1)( 12221112 kkka
漏磁1)( 12221112 kkkb
无耦合000)( 122112 kkc
2121
21
2121212
2112,LLkkII
kkNNMMMM
212121 LLkLLkkM21kkk?令耦合系数几何尺寸相同
2005.4 北京大学物理学院王稼军编两个线圈串联的自感系数
L1＋ L2=?L
一般情况不等，与串联方式有关
串联方式
串联顺接,1尾与 2头接 L =L1＋ L2 +2M
串联反接,1尾与 2尾接 L =L1＋ L2 -2M
2121 2 LLLLL
2121 2 LLLLL
无漏磁时
2005.4 北京大学物理学院王稼军编磁能
自感磁能
开关接通 1 I 增加 Ф增加?L方向与 I方向相反
电源做功
产生焦耳热
因抵消感应电流多做功,
使电路中电流达到 I值
电源克服感应电动势所做的功
dttitdA L )()(
dt
diL
L
L i d ii d tdtdiLdA
I LIL i d idAA 0 21 2
线圈中电流从
0增到
I过程中，电源由于
L中出现感应电动势而多做的功的总和
K 倒向 2,电 流 从 I
减到 0,自感电动势做正功 =A
2005.4 北京大学物理学院王稼军编互感磁能
在建立电流 过程中 电源做功
R上产生焦耳热
抵抗自感电动势做功 － WL
抵抗互感电动势做功－？
互感系数 M
此时线圈 1和 2 互相影响,情况比较复杂,可采取以下做法计算,
先在线圈 1中建立电流 I1,2中无电流,故无互感
在接通线圈 2 并维持 1中电流 I1不变 （ 可用一个外接可调电源平衡掉 2对 1的互感 ） 外接电源需要抵抗互感电动势所做的功 —— 互感电动势
2005.4 北京大学物理学院王稼军编外接电源需要抵抗互感电动势所做的功
同样若先建立 I2，再接通线圈 2则
0 0 2211121 dtdtdiMIdtIA?
维持线圈 1内电流不变
20 1212121
2 IIMdiIMI
这部分功转化成互感磁能储存在线圈内
0 0 1122212' dtdtdiMIdtIA?维持线圈 2内电流不变
21120 1112
2 IIMdiIMI
而总磁能与电流建立的先后次序无关,
A＝ A’,所以便证明了 M21＝ M12＝ M
2005.4 北京大学物理学院王稼军编两个线圈系统总磁能
推广到 k个线圈的普遍情况
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILIL
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总磁能
1,2的自感磁能，
大于零互感磁能,
可正可负
21212112
2
22
2
11 2
1
2
1
2
1
2
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对称形式
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i
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k
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)(
11
2
2
1
2
1
i,j线圈之间的 M
第 i个线圈的自感系数
