1,光栅衍射
? 光栅 — 大量等宽等间距的平行狭缝 (或反射面 )
构成的光学元件。
d
反射光栅
d
透射光栅
a是透光 （ 或反光 ） 部分的宽度 d=a+b
? 光栅常量b是不透光 (或不反光 )部分的宽度
? 光栅常数
? 种类：
§ 17-11 光栅衍射
1.1 基本概念
1.2 光栅的衍射图样
光栅衍射演示
光栅衍射
1.2 光栅的衍射图样
设光栅的每个缝宽均为 a，在夫琅禾费衍射下，
每个缝的衍射图样位置是相重叠的。
不考虑衍射时,多缝干涉的光强分布图：
sin?
N2
sin2N?/sin2?
0 4-8 -4 8 (?/d)
多光束干涉光强曲线
光栅衍射
λ θad
f
透镜
I
θ
θ
衍射光相干叠加
衍射的影响：
多缝干涉条纹各级主极大的强度不再相等，而
是受到了衍射的调制。主极大的位置没有变化 。
光栅衍射
sin?0
I单I
0单
-2 -1 1 2 (?/a)
单缝衍射光强曲线
I N2I0单
0 4 8-4-8 sin? (?/d)
单缝衍射
轮廓线
光栅衍射
光强曲线
sin?
N2
sin2N?/sin2?
0 4-8 -4 8 (?/d)
多光束干涉光强曲线
a4d
,4
?
?N
光栅衍射
1.3 多光束干涉
o
P
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜
L?
?
dsin?
d ?
?? kd ??s i n
（ k = 0,1,2,3… ）
---光栅方程
设每个缝发的光在对应衍射角 ? 方向的 P点的光振
动的振幅为 Ep
P点为主极大时 ?? k2???
22 pP ENI ?
NEp
Ep
明纹条件：
光栅衍射
暗纹条件：
?? 2 mN ???
由同频率、同方向振
动合成的矢量多边形法则
),2,1 ( Nkm ?? …
o
P
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜
L?
?
dsin?
d ?
??
??
??
??
??
Xo
1a?
2a?
3a?
4a?
5a?
6a?
A?
N??
得：
光栅衍射
暗纹条件：
)1( 2 ?? mN ???
),2,1 ( Nkm ?? …
又 )2(2
s i n ?
?
?? ???? d
由 (1),(2)得
?? Nmd s in ??? )0,( ?? kNkm
暗纹间距 = N
主极大间距
相邻主极大间有 N－ 1个暗纹和 N－ 2个次极大。
光栅衍射
例,N = 4,有三个极小：
? ? ? ? ? ?3k,2k,1k
4
3
,
4
2
,
???
????
ddd
???
?
4
1
s i n
4
3,,????
2??
??
N
md s in ???
?? ?? 2s i n ???? d
光栅衍射
1
2
3
4
????/2
4
1
????
1
2
3
4
???3?/2
0 ?/d-(?/d)-2(?/d) 2?/d
I I
0
sin?
N = 4光强曲线
?/4d-(?/4d)
?? ?? 2s i n ???? d
4
3,,????
2??
?? Nmd s in ???
? ? ? ? ? ?3k,2k,1k
43,42,
???
???? ddd ???? 41s in
光栅衍射
（ 1） 主级大明纹的位置与缝数 N无关, 它们对称
地分布在中央明纹的两侧, 中央明纹光强最大；
（ 2） 在相邻的两个主级大之间, 有 N?1个极小
（ 暗纹 ） 和 N?2=2个光强很小的次极大, 当 N 很大
时, 实际上在相邻的主极大之间形成一片暗区, 即
能获得又细又亮暗区很宽的光栅衍射条纹 。
光 栅 衍射的谱线特点：
光栅衍射
I单
sin?0
I0单
-2 -1 1 2 (? /a)
I N2I0单
sin?0 4 8-4-8 (? /d )
单缝衍射
轮廓线
光栅衍射
光强曲线
N = 4
d = 4a
此图为 N = 4,= 4 的单缝衍射和光栅衍射
的光强分布曲线, 这里主极大缺 ± 4,± 8… 级 。
a
d
为整数比时, 明纹会出现缺级ab1.4 缺级
光栅衍射
?,2,1,0si n ??? kkd,??
衍射暗纹位置,?,3,2,1 si n ?????? kka,??
出现缺级。时,,??? ?? kkad
干涉明纹缺级级次 ?? ka
dk
干涉明纹位置：
光栅衍射
判断缺级条件
思 考
光栅衍射
2,光栅光谱
复色光照射光栅时，谱线按波长向外侧依次分开
排列，形成光栅光谱。
?
光栅分光镜
例题 17-10 利用一个每厘米刻有 4000条缝的光栅，在
白光垂直照射下，可以产生多少完整的光谱？问哪一
级光谱中的哪个波长的光开始与它谱线重叠？
解, 设
mnm
mnm
7
7
106.7760
104400
?
?
???
???
红
紫
?
?
对第 k级光谱，角位置从 到,要产生
完整的光谱，即要求 的第 (k+1)级纹在 的第 k级
条纹之后，亦即
紫?
红k?紫k?
红?
红紫 kk ?? ?
根据光栅方程 ?? kba ?? s i n)(
光栅光谱
红红 ?? kba k ?? si n)(由
紫）（ ?? 1s i n)( 1 ??? ? kba k
bakbak ??? ? ?? )1(红
或
）（ 1104106.7 77 ???? ?? kk
得
紫红 ）（ ?? 1?? kk
所以只有 才满足上式，所以只能产生一
个完整的可见光谱，而第二级和第三级光谱即有
重叠出现。
1?k
光栅光谱
设第二级光谱中波长为 的光与第三级中紫光开始重
叠，这样
???
代入得,2?k
紫?? kk ???? )1(
nmmm 600106104 772323 ????????? ??紫??
光栅光谱
（ 1）平行光线垂直入射时；
（ 2）平行光线以入射角 30?入射时，最多能看见第几
级条纹？总共有多少条条纹？
（ 3）由于钠光谱线实际上是 及
两条谱线的平均波长，求在正入射时最高级条纹此双
线分开的角距离及在屏上分开的线距离。设光栅后透
镜的焦距为 2m.
nm0.5 8 91 ?? nm6.589??
3.589??
例题 17-11 用每毫米刻有 500条栅纹的光栅，观察
钠光谱线（ nm），问
光栅光谱
解 （ 1）根据光栅方程 得 ?? kba ?? s i n)(
?? s inbak ??
1s in ??k的可能最大值相应于可见
按题意知，光栅常数为
mmmba 65 0 01 102 ?????
4.396103.5 8 9 102 ?? ????k代入数值得
k只能取整数,故取 k=3,即垂直入射时能看到第
三级条纹。
光栅光谱
（ 2）如平行光以 角入射时，光程差的计算公式
应做适当的调整，如图所示。在衍射角的方向上，
光程差为
??
斜入射时光栅光程差的计算
A
B
D
C
?
??
O
P
A
B
光栅光谱
?2,1,0)s i n) ( s i n( ??????? kkba ???
由此可得斜入射时的光栅方程为
同样,k的可能最大值相应于 1s in ???
在 O点上方观察到的最大级次为 k1，取 得?90??
170.1 1103.589 )5.01(102)30s i n90) ( s i n(1 96 ???? ?? ? ???? kk ba 取? ??
)s i n) ( s i n(
s i n)(s i n
??
???
????
???????
ba
babaACBD ）（
光栅光谱
而在 O点下方观察到的最大级次为 k2，取 得?90???
509.5 2
103.589
)5.01)((
)30s i n)90) ( s i n ((
2
9 ?????
?
??
???
???
k
k
ba
ba
取
?
??
所以斜入射时，总共有 条明纹。71
21 ??? kk
（ 3）对光栅公式两边取微分
??? dd kba kk ?? c o s)(
光栅光谱
所以
762)(s i n)(s i n 6 9102 103.5 8 93113 ???? ? ?? ????? ?ba k ??
3?
光线正入射时，最大级次为第 3级，相应的角
位置 为
r ad
r ad
9
9
762c o s102
3
3
1093.1
10)0.5893.589(6
?
?
???
??
??? ? ??d
??? d?及波长为 第 k级的两条纹分开的
角距离为 ?? ? dd
kba
kk co s)( ??
钠双线分开的线距离
mmmf 86.31093.12 333 ????? ??? dd
光栅光谱
3,光栅的分辨本领
?
?
??R
)(s i n)( ??? ???? kba
波长为 ?+??的第 k级主极大的角位置为：
?? )1(s i n)( ???? kNbaN
kNR ??? ??
波长为 ? 的第 kN+1级极小的角位置为：
光栅的分辨本领是指把波长靠得很
近的两条谱线分辨的清楚的本领。
?30??
例题 17-12 设计一光栅，要求 (1)能分辨钠光谱的
5.890× 10-7m和 5.896× 10-7m的第二级谱线；
(2)第二级谱线衍射角 ; (3)第三级谱线缺级。
解（ 1） 按光栅的分辨本领
得
kNR ?? ? ??
条4 9 17710006.02 10893.5 ??? ???? ?? ??kN
条4 9 1?N即必须有
mmmba k 330si n 108 9 3.52si n 1036.27 ??? ????? ????
（ 2） 根据 ?? kba ?? s i n)(
光栅的分辨本领
这样光栅的 N, a, b 均被确定。
（ 3）缺级条件
k
k
a
ba
?
? ?
1??k取
mmma ba 33 1036.23 1079.03 ??? ???? ?
mm
mb
3
33
1057.1
1079.01036.2
?
??
??
????
mmba 31036.2 ????由于,所以?30??
光栅的分辨本领
4.干涉和衍射的区别和联系
单缝衍射
I
?/ (o)0 4 8-4-8
a=14 ? d = 56?双缝衍射中的干涉条纹
双缝衍射中干涉条纹的强度为单缝衍射图样所影响
0 4-8 -4 8
a= ? d = 50 ?
?/(o)
双缝干涉中干涉条纹的强度受单缝衍射的影响小
单缝衍射
I
?/ (o)0 4 8-4-8
a=14 ? d = 56?双缝衍射中的干涉条纹
双缝衍射中干涉条纹的强度为单缝衍射图样所影响
0 4-8 -4 8
a= ? d = 50 ?
?/(o)
双缝干涉中干涉条纹的强度受单缝衍射的影响小
4.干涉和衍射的区别和联系
? 光栅 — 大量等宽等间距的平行狭缝 (或反射面 )
构成的光学元件。
d
反射光栅
d
透射光栅
a是透光 （ 或反光 ） 部分的宽度 d=a+b
? 光栅常量b是不透光 (或不反光 )部分的宽度
? 光栅常数
? 种类：
§ 17-11 光栅衍射
1.1 基本概念
1.2 光栅的衍射图样
光栅衍射演示
光栅衍射
1.2 光栅的衍射图样
设光栅的每个缝宽均为 a，在夫琅禾费衍射下，
每个缝的衍射图样位置是相重叠的。
不考虑衍射时,多缝干涉的光强分布图：
sin?
N2
sin2N?/sin2?
0 4-8 -4 8 (?/d)
多光束干涉光强曲线
光栅衍射
λ θad
f
透镜
I
θ
θ
衍射光相干叠加
衍射的影响：
多缝干涉条纹各级主极大的强度不再相等，而
是受到了衍射的调制。主极大的位置没有变化 。
光栅衍射
sin?0
I单I
0单
-2 -1 1 2 (?/a)
单缝衍射光强曲线
I N2I0单
0 4 8-4-8 sin? (?/d)
单缝衍射
轮廓线
光栅衍射
光强曲线
sin?
N2
sin2N?/sin2?
0 4-8 -4 8 (?/d)
多光束干涉光强曲线
a4d
,4
?
?N
光栅衍射
1.3 多光束干涉
o
P
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜
L?
?
dsin?
d ?
?? kd ??s i n
（ k = 0,1,2,3… ）
---光栅方程
设每个缝发的光在对应衍射角 ? 方向的 P点的光振
动的振幅为 Ep
P点为主极大时 ?? k2???
22 pP ENI ?
NEp
Ep
明纹条件：
光栅衍射
暗纹条件：
?? 2 mN ???
由同频率、同方向振
动合成的矢量多边形法则
),2,1 ( Nkm ?? …
o
P
焦距 f
缝平面 G 观察屏透镜
L?
?
dsin?
d ?
??
??
??
??
??
Xo
1a?
2a?
3a?
4a?
5a?
6a?
A?
N??
得：
光栅衍射
暗纹条件：
)1( 2 ?? mN ???
),2,1 ( Nkm ?? …
又 )2(2
s i n ?
?
?? ???? d
由 (1),(2)得
?? Nmd s in ??? )0,( ?? kNkm
暗纹间距 = N
主极大间距
相邻主极大间有 N－ 1个暗纹和 N－ 2个次极大。
光栅衍射
例,N = 4,有三个极小：
? ? ? ? ? ?3k,2k,1k
4
3
,
4
2
,
???
????
ddd
???
?
4
1
s i n
4
3,,????
2??
??
N
md s in ???
?? ?? 2s i n ???? d
光栅衍射
1
2
3
4
????/2
4
1
????
1
2
3
4
???3?/2
0 ?/d-(?/d)-2(?/d) 2?/d
I I
0
sin?
N = 4光强曲线
?/4d-(?/4d)
?? ?? 2s i n ???? d
4
3,,????
2??
?? Nmd s in ???
? ? ? ? ? ?3k,2k,1k
43,42,
???
???? ddd ???? 41s in
光栅衍射
（ 1） 主级大明纹的位置与缝数 N无关, 它们对称
地分布在中央明纹的两侧, 中央明纹光强最大；
（ 2） 在相邻的两个主级大之间, 有 N?1个极小
（ 暗纹 ） 和 N?2=2个光强很小的次极大, 当 N 很大
时, 实际上在相邻的主极大之间形成一片暗区, 即
能获得又细又亮暗区很宽的光栅衍射条纹 。
光 栅 衍射的谱线特点：
光栅衍射
I单
sin?0
I0单
-2 -1 1 2 (? /a)
I N2I0单
sin?0 4 8-4-8 (? /d )
单缝衍射
轮廓线
光栅衍射
光强曲线
N = 4
d = 4a
此图为 N = 4,= 4 的单缝衍射和光栅衍射
的光强分布曲线, 这里主极大缺 ± 4,± 8… 级 。
a
d
为整数比时, 明纹会出现缺级ab1.4 缺级
光栅衍射
?,2,1,0si n ??? kkd,??
衍射暗纹位置,?,3,2,1 si n ?????? kka,??
出现缺级。时,,??? ?? kkad
干涉明纹缺级级次 ?? ka
dk
干涉明纹位置：
光栅衍射
判断缺级条件
思 考
光栅衍射
2,光栅光谱
复色光照射光栅时，谱线按波长向外侧依次分开
排列，形成光栅光谱。
?
光栅分光镜
例题 17-10 利用一个每厘米刻有 4000条缝的光栅，在
白光垂直照射下，可以产生多少完整的光谱？问哪一
级光谱中的哪个波长的光开始与它谱线重叠？
解, 设
mnm
mnm
7
7
106.7760
104400
?
?
???
???
红
紫
?
?
对第 k级光谱，角位置从 到,要产生
完整的光谱，即要求 的第 (k+1)级纹在 的第 k级
条纹之后，亦即
紫?
红k?紫k?
红?
红紫 kk ?? ?
根据光栅方程 ?? kba ?? s i n)(
光栅光谱
红红 ?? kba k ?? si n)(由
紫）（ ?? 1s i n)( 1 ??? ? kba k
bakbak ??? ? ?? )1(红
或
）（ 1104106.7 77 ???? ?? kk
得
紫红 ）（ ?? 1?? kk
所以只有 才满足上式，所以只能产生一
个完整的可见光谱，而第二级和第三级光谱即有
重叠出现。
1?k
光栅光谱
设第二级光谱中波长为 的光与第三级中紫光开始重
叠，这样
???
代入得,2?k
紫?? kk ???? )1(
nmmm 600106104 772323 ????????? ??紫??
光栅光谱
（ 1）平行光线垂直入射时；
（ 2）平行光线以入射角 30?入射时，最多能看见第几
级条纹？总共有多少条条纹？
（ 3）由于钠光谱线实际上是 及
两条谱线的平均波长，求在正入射时最高级条纹此双
线分开的角距离及在屏上分开的线距离。设光栅后透
镜的焦距为 2m.
nm0.5 8 91 ?? nm6.589??
3.589??
例题 17-11 用每毫米刻有 500条栅纹的光栅，观察
钠光谱线（ nm），问
光栅光谱
解 （ 1）根据光栅方程 得 ?? kba ?? s i n)(
?? s inbak ??
1s in ??k的可能最大值相应于可见
按题意知，光栅常数为
mmmba 65 0 01 102 ?????
4.396103.5 8 9 102 ?? ????k代入数值得
k只能取整数,故取 k=3,即垂直入射时能看到第
三级条纹。
光栅光谱
（ 2）如平行光以 角入射时，光程差的计算公式
应做适当的调整，如图所示。在衍射角的方向上，
光程差为
??
斜入射时光栅光程差的计算
A
B
D
C
?
??
O
P
A
B
光栅光谱
?2,1,0)s i n) ( s i n( ??????? kkba ???
由此可得斜入射时的光栅方程为
同样,k的可能最大值相应于 1s in ???
在 O点上方观察到的最大级次为 k1，取 得?90??
170.1 1103.589 )5.01(102)30s i n90) ( s i n(1 96 ???? ?? ? ???? kk ba 取? ??
)s i n) ( s i n(
s i n)(s i n
??
???
????
???????
ba
babaACBD ）（
光栅光谱
而在 O点下方观察到的最大级次为 k2，取 得?90???
509.5 2
103.589
)5.01)((
)30s i n)90) ( s i n ((
2
9 ?????
?
??
???
???
k
k
ba
ba
取
?
??
所以斜入射时，总共有 条明纹。71
21 ??? kk
（ 3）对光栅公式两边取微分
??? dd kba kk ?? c o s)(
光栅光谱
所以
762)(s i n)(s i n 6 9102 103.5 8 93113 ???? ? ?? ????? ?ba k ??
3?
光线正入射时，最大级次为第 3级，相应的角
位置 为
r ad
r ad
9
9
762c o s102
3
3
1093.1
10)0.5893.589(6
?
?
???
??
??? ? ??d
??? d?及波长为 第 k级的两条纹分开的
角距离为 ?? ? dd
kba
kk co s)( ??
钠双线分开的线距离
mmmf 86.31093.12 333 ????? ??? dd
光栅光谱
3,光栅的分辨本领
?
?
??R
)(s i n)( ??? ???? kba
波长为 ?+??的第 k级主极大的角位置为：
?? )1(s i n)( ???? kNbaN
kNR ??? ??
波长为 ? 的第 kN+1级极小的角位置为：
光栅的分辨本领是指把波长靠得很
近的两条谱线分辨的清楚的本领。
?30??
例题 17-12 设计一光栅，要求 (1)能分辨钠光谱的
5.890× 10-7m和 5.896× 10-7m的第二级谱线；
(2)第二级谱线衍射角 ; (3)第三级谱线缺级。
解（ 1） 按光栅的分辨本领
得
kNR ?? ? ??
条4 9 17710006.02 10893.5 ??? ???? ?? ??kN
条4 9 1?N即必须有
mmmba k 330si n 108 9 3.52si n 1036.27 ??? ????? ????
（ 2） 根据 ?? kba ?? s i n)(
光栅的分辨本领
这样光栅的 N, a, b 均被确定。
（ 3）缺级条件
k
k
a
ba
?
? ?
1??k取
mmma ba 33 1036.23 1079.03 ??? ???? ?
mm
mb
3
33
1057.1
1079.01036.2
?
??
??
????
mmba 31036.2 ????由于,所以?30??
光栅的分辨本领
4.干涉和衍射的区别和联系
单缝衍射
I
?/ (o)0 4 8-4-8
a=14 ? d = 56?双缝衍射中的干涉条纹
双缝衍射中干涉条纹的强度为单缝衍射图样所影响
0 4-8 -4 8
a= ? d = 50 ?
?/(o)
双缝干涉中干涉条纹的强度受单缝衍射的影响小
单缝衍射
I
?/ (o)0 4 8-4-8
a=14 ? d = 56?双缝衍射中的干涉条纹
双缝衍射中干涉条纹的强度为单缝衍射图样所影响
0 4-8 -4 8
a= ? d = 50 ?
?/(o)
双缝干涉中干涉条纹的强度受单缝衍射的影响小
4.干涉和衍射的区别和联系
