第 1 章
模糊集的基本概念
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方
法, 众所周知，经典数学是以精确性为特征的,
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、
没有价值的, 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还
要好,
例如,要你某时到某地去迎接一个, 大胡子高个子
长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人,,
尽管这里只提供了一个精确信息 ―― 男人，而其他
信息 ―― 大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中
年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头
脑的综合分析判断，就可以接到这个人,
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各
个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、
医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的
应用,
§ 1.2 模糊理论的数学基础
经典集合
经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，
即无重复性；范围边界分明,即一个元素 x要么属
于集合 A(记作 x?A),要么不属于集合 (记作 x?A)，
二者必居其一,
集合的表示法：
(1)枚举法,A={x1,x2,…,xn}；
(2)描述法,A={x | P(x)}.
A?B ? 若 x?A,则 x?B；
A?B ?若 x?B,则 x?A；
A=B ? A?B且 A?B.
集合 A的所有子集所组成的集合称为 A的幂集，
记为 ?(A).
并集 A∪ B = { x | x?A或 x?B }；
交集 A∩B = { x | x?A且 x?B }；
余集 Ac = { x | x?A }.
集合的运算规律
幂等律,A∪ A = A,A∩A = A；
交换律,A∪ B = B∪ A,A∩B = B∩A；
结合律,( A∪ B )∪ C = A∪ ( B∪ C )，
( A∩B )∩C = A∩( B∩C )；
吸收律,A∪ ( A∩B ) = A,A∩( A∪ B ) = A；
分配律,( A∪ B )∩C = ( A∩C )∪ ( B∩C )；
( A∩B )∪ C = ( A∪ C )∩( B∪ C )；
0-1律,A∪ U = U, A∩U = A ；
A∪ ? = A, A∩? = ? ；
还原律,(Ac)c = A ；
对偶律,(A∪ B)c = Ac∩Bc,(A∩B)c = Ac∪ Bc；
排中律,A∪ Ac = U,A∩Ac = ?；
U 为全集,?为空集,
集合的直积：
X ? Y = { (x,y )| x?X,y ?Y }.
映射与扩张
映射 f, X ?Y
集合 A的特征函数：
特征函数满足：
?
?
?
?
?
?
.,0;,1
)(
Ax
Ax
xA?
).(1)(
);()()(
);()()(
xx
xxx
xxx
AA
BABA
BABA
c ??
???
???
??
??
??
?
?
取大运算,
如 2∨ 3 = 3
取大运算,
如 2∧ 3 = 2扩张：点集映射 集合变换
二元关系
X ?Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的 二元关系，
特别地，当 X = Y 时,称之为 X 上的 二元关系,
二元关系简称为 关系,
若 (x,y )?R，则 称 x 与 y 有 关系，记为
R (x,y ) = 1；
若 (x,y )?R，则 称 x 与 y 没有 关系，记为
R (x,y ) = 0.
映射
R, X ? Y ?{0,1}
实际上是 X ? Y 的子集 R上的特征函数,
关系的三大特性：
设 R为 X 上的 关系
(1) 自反性,若 X 上的任何元素都与自己有
关系 R，即 R (x,x) =1，则称关系 R 具有自反性；
(2) 对称性,对于 X 上的任意两个元素 x,y，
若 x 与 y 有关系 R 时，则 y 与 x 也有关系 R，即
若 R (x,y ) =1，则 R ( y,x ) = 1,那么称关系 R具
有对称性 ；
(3) 传递性,对于 X上的任意三个元素 x,y,z，
若 x 与 y 有关系 R,y 与 z 也有关系 R 时，则 x与 z
也有关系 R，即若 R (x,y ) = 1,R ( y,z ) =1,则
R ( x,z ) = 1,那么称关系 R具有传递性,
关系的矩阵表示法
设 X = {x1,x2,…,xm},Y={ y1,y2,…,yn},R
为从 X 到 Y 的 二元关系，记
rij =R(xi,yj ),R = (rij)m× n，
则 R为布 尔矩阵 (Boole),称为 R的关系矩阵,
布 尔矩阵 (Boole)是元素只取 0或 1的矩阵,
关系的合成
设 R1 是 X 到 Y 的关系,R2 是 Y 到 Z 的关系,
则 R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系,
(R1° R2) (x,z) = ∨ {[R1 (x,y)∧ R2 (y,z)]| y∈ Y }
关系合成的矩阵表示法
设 X = {x1,x2,…,xm},Y = { y1,y2,…,ys},Z
= {z1,z2,…,zn}，且 X 到 Y 的关系
R1 = (aik)m× s，
Y 到 Z 的关系
R2 = (bkj)s× n，
则 X 到 Z 的关系可表示为矩阵的合成：
R1 ° R2 = (cij)m× n，
其中 cij = ∨ {(aik∧ bkj) | 1≤k≤s}.
定义：若 R为 n 阶方阵，定义
R 2 = R ° R,R 3 = R 2 ° R …
例 设 X ={1,2,3,4},Y ={ 2,3,4},Z = {1,2,3},
R1 是 X 到 Y 的关系,R2 是 Y 到 Z 的关系,
R1 ={(x,y) | x + y = 6} = {(2,4),(3,3),(4,2)},
R2 ={(x,y) | y – z = 1} = {(2,1),(3,2),(4,3)},
则 R1与 R2的合成
R1 ° R2={(x,y) | x + z =
5}
= {(2,3),(3,2),(4,1)}.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
001
010
100
000
1
R
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
2
R
合成 (° )运算的性质：
性质 1,(A ° B) ° C = A ° (B ° C)；
性质 2,Ak ° Al = Ak + l,(Am)n = Amn；
性质 3,A ° ( B∪ C ) = ( A ° B )∪ ( A °
C ) ；
( B∪ C ) ° A = ( B ° A )∪ ( C °
A ) ；
性质 4,O ° A = A ° O = O,I ° A=A ° I
=A；
性质 5,A≤B,C≤D ? A ° C ≤B ° D.
O为零矩阵, I 为 n 阶单位方阵,
A≤B ? aij≤bij,
关系三大特性的矩阵表示法：
设 R为 X = {x1,x2,…,xn} 上的 关系，则
其关系 矩阵 R = (rij)n× n 为 n 阶方阵,
(1) R具有 自反性 ? I ≤R；
(2) R具有 对称性 ? RT = R ；
(3) R具有 传递性 ? R2≤R,
若 R具有 自反性，则
I ≤R ≤R2 ≤R3 ≤?
下面证明,R具有 传递性 ? R2≤R,R=(rij)n× n
设 R具有 传递性,即对任意的 i,j,k，若
有 rij =1,rjk=1，则有 rik=1,
对任意的 i,j，若
∨ {(rik∧ rkj) | 1≤k≤n}=0，
则
∨ {(rik∧ rkj) | 1≤k≤n}≤rij,
若 ∨ {(rik∧ rkj) | 1≤k≤n} = 1,则存在
1≤s≤n，使得
(ris∧ rsj) = 1，
即 ris= 1,rsj= 1.
由于 R具有 传递性，则 rij =1，所以
∨ {(rik∧ rkj) | 1≤k≤n} = rij,
综上所述 R2≤R.
设 R2≤R，则对任意的 i,j,k，若有
rij =1,rjk = 1，
即 (rij∧ rjk) = 1，因此
∨ {(ris∧ rsk) | 1≤s≤n}=1，
由 R2≤R，得 rik=1，所以 R具有 传递性,
集合上的等价关系
设 X 上的 关系 R具有 自反性、对称性、传递
性，则称 R为 X 上的等价 关系,
若 x与 y 有等价关系 R，则记为 x ? y.
集合上的等价类
设 R是 X 上的等价 关系,x?X,定义 x的等价
类：
[x]R = { y | y?X, y ? x }.
集合的分类
设 X 是非空集,Xi 是 X 的非空子集，若
∪ Xi = X，且 Xi∩Xj =? (i ? j )，
则称集合族 { Xi }是集合 X 的一个分类,
定理：集合 X 上的任一个等价 关系 R可以确
定 X 的一个分类, 即
(1) 任意 x?X,[x]R非空；
(2) 任意 x,y?X，若 x与 y 没有关系 R，则
[x]R∩[y]R = ? ；
(3) X = ∪ [x]R,
证, (1)由于 R具有自反性，所以 x∈ [x]R，即
[x]R非空,
(2) 假设 [x]R∩[y]R ??,取 z∈ [x]R∩[y]R，则 z与
x有关系 R，与 y也有关系 R,由于 R具有对称性，
所以 x与 z有关系 R,z与 y也有关系 R,又由于 R具有
传递性,x与 y也有关系 R,这与题设矛盾,
(3) 略,
例 设 X = {1,2,3,4},定义关系
R 1, xi＜ xj；
R 2, xi + xj为偶数；
R 3, xi + xj = 5.
则关系 R1是传递的，但不是自反的，也不是
对称的；容易验证关系 R2 是 X上的等价关系；关
系 R3是对称和传递的，但不是自反的,
按关系 R2可将 X分为奇数和偶数两类，即
X = {1,3}∪ {2,4}.
按关系 R3可将 X分为两类，即
X = {1,4}∪ {2,3}.
格
设在集合 L中规定了两种运算 ∨ 与 ∧,并
满足下列运算性质：
幂等律,a∨ a = a, a∧ a = a ；
交换律,a∨ b = b∨ a, a∧ b = b∧ a ；
结合律,( a∨ b )∨ c = a∨ ( b∨ c )，
( a∧ b )∧ c = a∧ ( b∧ c ) ；
吸收律,a∨ ( a∧ b ) = a，
a∧ ( a∨ b ) = a.
则称 L是一个格，记为 (L,∨,∧ ).
设 (L,∨,∧ )是一个格，如果它还满足下
列运算性质：
分配律,( a∨ b )∧ c = ( a∧ c )∨ ( b∧ c ),
( a∧ b )∨ c = ( a∨ c )∧ ( b∨ c ),
则称 (L,∨,∧ )为分配格,
若格 (L,∨,∧ )满足：
0-1律：在 L中存在两个元素 0与 1，且
a∨ 0=a,a∧ 0=0，
a∨ 1=1,a∧ 1=a，
则称 (L,∨,∧ )有最小元 0 与最大元 1，此时
又称 (L,∨,∧ )为完全格,
若在具有最小元 0与最大元 1的分配格
(L,∨,∧ )中规定一种余运算 c，满足：
还原律,(ac)c=a；
互余律,a∨ ac=1,a∧ ac=0，
则称 (L,∨,∧,c )为一个 Boole代数,
若在具有最小元 0与最大元 1的分配格
(L,∨,∧ )中规定一种余运算 c，满足：
还原律,(ac)c = a ；
对偶律,(a∨ b)c = ac∧ bc，
(a∧ b)c = ac∨ bc，
则称 (L,∨,∧,c ) 为一个软代数,
例 1 任一个集合 A的幂集 ?(A)是一个完
全格,
格中的最大元为 A(全集 )，最小元为 ?
(空集 )，并且 (J(A),∪,∩,c ) 既是一个 Boole
代数，也是一个软代数,
例 2 记 [0,1]上的全体有理数集为 Q，则
(Q,∨,∧ )是一个完全格,
格中的最大元为 1，最小元为 0.
若在 Q中定义余运算 c为 ac =1- a，则
(Q,∨,∧,c ) 不是一个 Boole代数，但它是一
个软代数,
§ 1.3 模糊子集及其运算
模糊子集与隶属函数
设 U是论域，称映射
A(x),U→[0,1]
确定了一个 U上的 模糊子集 A，映射 A(x)称为 A的
隶属函数,它表示 x对 A的隶属程度,
使 A(x) = 0.5的点 x称为 A的过渡点，此点最
具模糊性,
当映射 A(x)只取 0或 1时，模糊子集 A就是经
典子集，而 A(x)就是它的特征函数, 可见经典子
集就是模糊子集的特殊情形,
例 设论域 U = {x1 (140),x2 (150),x3 (160),x4
(170),x5 (180),x6 (190)}(单位,cm)表示人的身高，
那么 U上的一个模糊集, 高个子, (A)的隶属函数
A(x)可定义为
14 019 0
14 0)(
?
?? xxA
1 002 00
1 00)(
?
?? xxA
也可用 Zadeh表示法：
654321
18.06.04.02.00
xxxxxx
??????A
654321
9.08.06.042.02.015.0
xxxxxx
??????A
模糊集的运算
相等, A = B ? A(x) = B(x)；
包含, A?B?A(x)≤B(x)；
并, A∪ B的隶属函数为
(A∪ B)(x)=A(x)∨ B(x)；
交, A∩B的隶属函数为
(A∩B)(x)=A(x)∧ B(x)；
余, Ac的隶属函数为
Ac (x) = 1- A(x).
例 设论域 U = {x1,x2,x3,x4,x5}(商品集 )，
在 U上定义两个模糊集,A =“商品质量好”，
B =“商品质量坏”，并设
A = (0.8,0.55,0,0.3,1).
B = (0.1,0.21,0.86,0.6,0).
则 Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”,
Ac= (0.2,0.45,1,0.7,0).
Bc= (0.9,0.79,0.14,0.4,1).
可见 Ac ?B,Bc ?A.
又 A∪ Ac = (0.8,0.55,1,0.7,1) ?U,
A∩Ac = (0.2,0.45,0,0.3,0) ??,
模糊集的并, 交, 余运算性质
幂等律,A∪ A = A,A∩A = A；
交换律,A∪ B = B∪ A,A∩B = B∩A；
结合律,(A∪ B)∪ C = A∪ (B∪ C)，
(A∩B)∩C = A∩(B∩C) ；
吸收律,A∪ (A∩B) = A,A∩( A∪ B)= A；
分配律,(A∪ B)∩C = (A∩C)∪ (B∩C)；
(A∩B)∪ C = (A∪ C)∩(B∪ C)；
0-1律,A∪ U = U,A∩U = A；
A∪ ? = A,A∩? = ? ；
还原律,(Ac)c = A ；
对偶律,(A∪ B)c = Ac∩Bc，
(A∩B)c = Ac∪ Bc；
对偶律的证明：对于任意的 x?U (论域 )，
(A∪ B)c(x) = 1 - (A∪ B)(x) = 1 - (A(x)∨ B(x))
= (1 - A(x))∧ (1 - B(x)) = Ac(x)∧ Bc(x)
= Ac∩Bc (x)
模糊集的运算性质基本上与经典集合一
致，除了排中律以外，即
A∪ Ac ? U,A∩Ac ??,
模糊集不再具有, 非此即彼, 的特点，
这正是模糊性带来的本质特征,
§ 1.4 模糊集的基本定理
(A)? = A?= {x | A(x) ≥ ? }
?-截集：
模糊集的 ?-截集 A?是一个经典集合，由隶属
度不小于 ?的成员构成,
例：论域 U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(学生集 )，
他们的成绩依次为 50,60,70,80,90,95,A=“学习
成绩好的学生, 的隶属度分别为
0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则
A0.9 (90分以上者 ) = {u5,u6},
A0.6 (60分以上者 ) = {u2,u3,u4,u5,u6}.
定理 1 设 A,B??(U ) (A,B是论域 U 的
两个模糊子集 ),?,??[0,1]，于是有 ?-截集
的性质：
(1) A?B ? A??B?；
(2) ?≤?? A??A?；
(3) (A∪ B)?= A?∪ B?,(A∩B)?= A?∩B?.
定理 2 (分解定理 )设 A??(U ),?x?A，则
A(x) = ∨{ ?,??[0,1],x?A?}
定义 (扩张原理 )设 映射 f, X ?Y，定义
f (A) ( y ) = ∨{ A(x),f (x) = y}
§ 1.5 隶属函数的确定
1,模糊统计方法
与概率统计类似，但有区别：若把概率
统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的
圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”
是否盖住“不动的点”,
2,指派方法
一种主观方法，一般给出隶属函数的解
析表达式。
3,借用已有的“客观”尺度
模糊集的基本概念
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方
法, 众所周知，经典数学是以精确性为特征的,
然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、
没有价值的, 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还
要好,
例如,要你某时到某地去迎接一个, 大胡子高个子
长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人,,
尽管这里只提供了一个精确信息 ―― 男人，而其他
信息 ―― 大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中
年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头
脑的综合分析判断，就可以接到这个人,
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各
个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、
医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的
应用,
§ 1.2 模糊理论的数学基础
经典集合
经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，
即无重复性；范围边界分明,即一个元素 x要么属
于集合 A(记作 x?A),要么不属于集合 (记作 x?A)，
二者必居其一,
集合的表示法：
(1)枚举法,A={x1,x2,…,xn}；
(2)描述法,A={x | P(x)}.
A?B ? 若 x?A,则 x?B；
A?B ?若 x?B,则 x?A；
A=B ? A?B且 A?B.
集合 A的所有子集所组成的集合称为 A的幂集，
记为 ?(A).
并集 A∪ B = { x | x?A或 x?B }；
交集 A∩B = { x | x?A且 x?B }；
余集 Ac = { x | x?A }.
集合的运算规律
幂等律,A∪ A = A,A∩A = A；
交换律,A∪ B = B∪ A,A∩B = B∩A；
结合律,( A∪ B )∪ C = A∪ ( B∪ C )，
( A∩B )∩C = A∩( B∩C )；
吸收律,A∪ ( A∩B ) = A,A∩( A∪ B ) = A；
分配律,( A∪ B )∩C = ( A∩C )∪ ( B∩C )；
( A∩B )∪ C = ( A∪ C )∩( B∪ C )；
0-1律,A∪ U = U, A∩U = A ；
A∪ ? = A, A∩? = ? ；
还原律,(Ac)c = A ；
对偶律,(A∪ B)c = Ac∩Bc,(A∩B)c = Ac∪ Bc；
排中律,A∪ Ac = U,A∩Ac = ?；
U 为全集,?为空集,
集合的直积：
X ? Y = { (x,y )| x?X,y ?Y }.
映射与扩张
映射 f, X ?Y
集合 A的特征函数：
特征函数满足：
?
?
?
?
?
?
.,0;,1
)(
Ax
Ax
xA?
).(1)(
);()()(
);()()(
xx
xxx
xxx
AA
BABA
BABA
c ??
???
???
??
??
??
?
?
取大运算,
如 2∨ 3 = 3
取大运算,
如 2∧ 3 = 2扩张：点集映射 集合变换
二元关系
X ?Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的 二元关系，
特别地，当 X = Y 时,称之为 X 上的 二元关系,
二元关系简称为 关系,
若 (x,y )?R，则 称 x 与 y 有 关系，记为
R (x,y ) = 1；
若 (x,y )?R，则 称 x 与 y 没有 关系，记为
R (x,y ) = 0.
映射
R, X ? Y ?{0,1}
实际上是 X ? Y 的子集 R上的特征函数,
关系的三大特性：
设 R为 X 上的 关系
(1) 自反性,若 X 上的任何元素都与自己有
关系 R，即 R (x,x) =1，则称关系 R 具有自反性；
(2) 对称性,对于 X 上的任意两个元素 x,y，
若 x 与 y 有关系 R 时，则 y 与 x 也有关系 R，即
若 R (x,y ) =1，则 R ( y,x ) = 1,那么称关系 R具
有对称性 ；
(3) 传递性,对于 X上的任意三个元素 x,y,z，
若 x 与 y 有关系 R,y 与 z 也有关系 R 时，则 x与 z
也有关系 R，即若 R (x,y ) = 1,R ( y,z ) =1,则
R ( x,z ) = 1,那么称关系 R具有传递性,
关系的矩阵表示法
设 X = {x1,x2,…,xm},Y={ y1,y2,…,yn},R
为从 X 到 Y 的 二元关系，记
rij =R(xi,yj ),R = (rij)m× n，
则 R为布 尔矩阵 (Boole),称为 R的关系矩阵,
布 尔矩阵 (Boole)是元素只取 0或 1的矩阵,
关系的合成
设 R1 是 X 到 Y 的关系,R2 是 Y 到 Z 的关系,
则 R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系,
(R1° R2) (x,z) = ∨ {[R1 (x,y)∧ R2 (y,z)]| y∈ Y }
关系合成的矩阵表示法
设 X = {x1,x2,…,xm},Y = { y1,y2,…,ys},Z
= {z1,z2,…,zn}，且 X 到 Y 的关系
R1 = (aik)m× s，
Y 到 Z 的关系
R2 = (bkj)s× n，
则 X 到 Z 的关系可表示为矩阵的合成：
R1 ° R2 = (cij)m× n，
其中 cij = ∨ {(aik∧ bkj) | 1≤k≤s}.
定义：若 R为 n 阶方阵，定义
R 2 = R ° R,R 3 = R 2 ° R …
例 设 X ={1,2,3,4},Y ={ 2,3,4},Z = {1,2,3},
R1 是 X 到 Y 的关系,R2 是 Y 到 Z 的关系,
R1 ={(x,y) | x + y = 6} = {(2,4),(3,3),(4,2)},
R2 ={(x,y) | y – z = 1} = {(2,1),(3,2),(4,3)},
则 R1与 R2的合成
R1 ° R2={(x,y) | x + z =
5}
= {(2,3),(3,2),(4,1)}.
?
?
?
?
?
?
?
?
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001
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1
R
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
2
R
合成 (° )运算的性质：
性质 1,(A ° B) ° C = A ° (B ° C)；
性质 2,Ak ° Al = Ak + l,(Am)n = Amn；
性质 3,A ° ( B∪ C ) = ( A ° B )∪ ( A °
C ) ；
( B∪ C ) ° A = ( B ° A )∪ ( C °
A ) ；
性质 4,O ° A = A ° O = O,I ° A=A ° I
=A；
性质 5,A≤B,C≤D ? A ° C ≤B ° D.
O为零矩阵, I 为 n 阶单位方阵,
A≤B ? aij≤bij,
关系三大特性的矩阵表示法：
设 R为 X = {x1,x2,…,xn} 上的 关系，则
其关系 矩阵 R = (rij)n× n 为 n 阶方阵,
(1) R具有 自反性 ? I ≤R；
(2) R具有 对称性 ? RT = R ；
(3) R具有 传递性 ? R2≤R,
若 R具有 自反性，则
I ≤R ≤R2 ≤R3 ≤?
下面证明,R具有 传递性 ? R2≤R,R=(rij)n× n
设 R具有 传递性,即对任意的 i,j,k，若
有 rij =1,rjk=1，则有 rik=1,
对任意的 i,j，若
∨ {(rik∧ rkj) | 1≤k≤n}=0，
则
∨ {(rik∧ rkj) | 1≤k≤n}≤rij,
若 ∨ {(rik∧ rkj) | 1≤k≤n} = 1,则存在
1≤s≤n，使得
(ris∧ rsj) = 1，
即 ris= 1,rsj= 1.
由于 R具有 传递性，则 rij =1，所以
∨ {(rik∧ rkj) | 1≤k≤n} = rij,
综上所述 R2≤R.
设 R2≤R，则对任意的 i,j,k，若有
rij =1,rjk = 1，
即 (rij∧ rjk) = 1，因此
∨ {(ris∧ rsk) | 1≤s≤n}=1，
由 R2≤R，得 rik=1，所以 R具有 传递性,
集合上的等价关系
设 X 上的 关系 R具有 自反性、对称性、传递
性，则称 R为 X 上的等价 关系,
若 x与 y 有等价关系 R，则记为 x ? y.
集合上的等价类
设 R是 X 上的等价 关系,x?X,定义 x的等价
类：
[x]R = { y | y?X, y ? x }.
集合的分类
设 X 是非空集,Xi 是 X 的非空子集，若
∪ Xi = X，且 Xi∩Xj =? (i ? j )，
则称集合族 { Xi }是集合 X 的一个分类,
定理：集合 X 上的任一个等价 关系 R可以确
定 X 的一个分类, 即
(1) 任意 x?X,[x]R非空；
(2) 任意 x,y?X，若 x与 y 没有关系 R，则
[x]R∩[y]R = ? ；
(3) X = ∪ [x]R,
证, (1)由于 R具有自反性，所以 x∈ [x]R，即
[x]R非空,
(2) 假设 [x]R∩[y]R ??,取 z∈ [x]R∩[y]R，则 z与
x有关系 R，与 y也有关系 R,由于 R具有对称性，
所以 x与 z有关系 R,z与 y也有关系 R,又由于 R具有
传递性,x与 y也有关系 R,这与题设矛盾,
(3) 略,
例 设 X = {1,2,3,4},定义关系
R 1, xi＜ xj；
R 2, xi + xj为偶数；
R 3, xi + xj = 5.
则关系 R1是传递的，但不是自反的，也不是
对称的；容易验证关系 R2 是 X上的等价关系；关
系 R3是对称和传递的，但不是自反的,
按关系 R2可将 X分为奇数和偶数两类，即
X = {1,3}∪ {2,4}.
按关系 R3可将 X分为两类，即
X = {1,4}∪ {2,3}.
格
设在集合 L中规定了两种运算 ∨ 与 ∧,并
满足下列运算性质：
幂等律,a∨ a = a, a∧ a = a ；
交换律,a∨ b = b∨ a, a∧ b = b∧ a ；
结合律,( a∨ b )∨ c = a∨ ( b∨ c )，
( a∧ b )∧ c = a∧ ( b∧ c ) ；
吸收律,a∨ ( a∧ b ) = a，
a∧ ( a∨ b ) = a.
则称 L是一个格，记为 (L,∨,∧ ).
设 (L,∨,∧ )是一个格，如果它还满足下
列运算性质：
分配律,( a∨ b )∧ c = ( a∧ c )∨ ( b∧ c ),
( a∧ b )∨ c = ( a∨ c )∧ ( b∨ c ),
则称 (L,∨,∧ )为分配格,
若格 (L,∨,∧ )满足：
0-1律：在 L中存在两个元素 0与 1，且
a∨ 0=a,a∧ 0=0，
a∨ 1=1,a∧ 1=a，
则称 (L,∨,∧ )有最小元 0 与最大元 1，此时
又称 (L,∨,∧ )为完全格,
若在具有最小元 0与最大元 1的分配格
(L,∨,∧ )中规定一种余运算 c，满足：
还原律,(ac)c=a；
互余律,a∨ ac=1,a∧ ac=0，
则称 (L,∨,∧,c )为一个 Boole代数,
若在具有最小元 0与最大元 1的分配格
(L,∨,∧ )中规定一种余运算 c，满足：
还原律,(ac)c = a ；
对偶律,(a∨ b)c = ac∧ bc，
(a∧ b)c = ac∨ bc，
则称 (L,∨,∧,c ) 为一个软代数,
例 1 任一个集合 A的幂集 ?(A)是一个完
全格,
格中的最大元为 A(全集 )，最小元为 ?
(空集 )，并且 (J(A),∪,∩,c ) 既是一个 Boole
代数，也是一个软代数,
例 2 记 [0,1]上的全体有理数集为 Q，则
(Q,∨,∧ )是一个完全格,
格中的最大元为 1，最小元为 0.
若在 Q中定义余运算 c为 ac =1- a，则
(Q,∨,∧,c ) 不是一个 Boole代数，但它是一
个软代数,
§ 1.3 模糊子集及其运算
模糊子集与隶属函数
设 U是论域，称映射
A(x),U→[0,1]
确定了一个 U上的 模糊子集 A，映射 A(x)称为 A的
隶属函数,它表示 x对 A的隶属程度,
使 A(x) = 0.5的点 x称为 A的过渡点，此点最
具模糊性,
当映射 A(x)只取 0或 1时，模糊子集 A就是经
典子集，而 A(x)就是它的特征函数, 可见经典子
集就是模糊子集的特殊情形,
例 设论域 U = {x1 (140),x2 (150),x3 (160),x4
(170),x5 (180),x6 (190)}(单位,cm)表示人的身高，
那么 U上的一个模糊集, 高个子, (A)的隶属函数
A(x)可定义为
14 019 0
14 0)(
?
?? xxA
1 002 00
1 00)(
?
?? xxA
也可用 Zadeh表示法：
654321
18.06.04.02.00
xxxxxx
??????A
654321
9.08.06.042.02.015.0
xxxxxx
??????A
模糊集的运算
相等, A = B ? A(x) = B(x)；
包含, A?B?A(x)≤B(x)；
并, A∪ B的隶属函数为
(A∪ B)(x)=A(x)∨ B(x)；
交, A∩B的隶属函数为
(A∩B)(x)=A(x)∧ B(x)；
余, Ac的隶属函数为
Ac (x) = 1- A(x).
例 设论域 U = {x1,x2,x3,x4,x5}(商品集 )，
在 U上定义两个模糊集,A =“商品质量好”，
B =“商品质量坏”，并设
A = (0.8,0.55,0,0.3,1).
B = (0.1,0.21,0.86,0.6,0).
则 Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”,
Ac= (0.2,0.45,1,0.7,0).
Bc= (0.9,0.79,0.14,0.4,1).
可见 Ac ?B,Bc ?A.
又 A∪ Ac = (0.8,0.55,1,0.7,1) ?U,
A∩Ac = (0.2,0.45,0,0.3,0) ??,
模糊集的并, 交, 余运算性质
幂等律,A∪ A = A,A∩A = A；
交换律,A∪ B = B∪ A,A∩B = B∩A；
结合律,(A∪ B)∪ C = A∪ (B∪ C)，
(A∩B)∩C = A∩(B∩C) ；
吸收律,A∪ (A∩B) = A,A∩( A∪ B)= A；
分配律,(A∪ B)∩C = (A∩C)∪ (B∩C)；
(A∩B)∪ C = (A∪ C)∩(B∪ C)；
0-1律,A∪ U = U,A∩U = A；
A∪ ? = A,A∩? = ? ；
还原律,(Ac)c = A ；
对偶律,(A∪ B)c = Ac∩Bc，
(A∩B)c = Ac∪ Bc；
对偶律的证明：对于任意的 x?U (论域 )，
(A∪ B)c(x) = 1 - (A∪ B)(x) = 1 - (A(x)∨ B(x))
= (1 - A(x))∧ (1 - B(x)) = Ac(x)∧ Bc(x)
= Ac∩Bc (x)
模糊集的运算性质基本上与经典集合一
致，除了排中律以外，即
A∪ Ac ? U,A∩Ac ??,
模糊集不再具有, 非此即彼, 的特点，
这正是模糊性带来的本质特征,
§ 1.4 模糊集的基本定理
(A)? = A?= {x | A(x) ≥ ? }
?-截集：
模糊集的 ?-截集 A?是一个经典集合，由隶属
度不小于 ?的成员构成,
例：论域 U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(学生集 )，
他们的成绩依次为 50,60,70,80,90,95,A=“学习
成绩好的学生, 的隶属度分别为
0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则
A0.9 (90分以上者 ) = {u5,u6},
A0.6 (60分以上者 ) = {u2,u3,u4,u5,u6}.
定理 1 设 A,B??(U ) (A,B是论域 U 的
两个模糊子集 ),?,??[0,1]，于是有 ?-截集
的性质：
(1) A?B ? A??B?；
(2) ?≤?? A??A?；
(3) (A∪ B)?= A?∪ B?,(A∩B)?= A?∩B?.
定理 2 (分解定理 )设 A??(U ),?x?A，则
A(x) = ∨{ ?,??[0,1],x?A?}
定义 (扩张原理 )设 映射 f, X ?Y，定义
f (A) ( y ) = ∨{ A(x),f (x) = y}
§ 1.5 隶属函数的确定
1,模糊统计方法
与概率统计类似，但有区别：若把概率
统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的
圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”
是否盖住“不动的点”,
2,指派方法
一种主观方法，一般给出隶属函数的解
析表达式。
3,借用已有的“客观”尺度
