第 5 章
模糊线性规划
§ 5.1 普通 线性规划
线性规划是最优化方法中理论完整、方法成
熟、应用广泛的一个重要分支,
线性规划问题的数学模型是将实际问题转化
为一组线性不等式或等式约束下求线性目标函数
的最小 (大 )值问题,它都可以化为如下标准 (矩
阵 )形式：
?
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.0
,
..
min
x
bAx
cx
ts
f
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m
b
b
b
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1
b
A = (aij )m× n
c = (c1,c2,…,cn )
x≥ 0指 x中的每
一个分量 xj ≥ 0
单纯形解法
典型线性规划问题：
?
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?
?
??
?
.0
)0(
..
m a x
x
bAx
cx
ts
f
的单纯形解法是引入 m个松弛变量 xn+1,…,xn+m将
原问题化成如下标准形式：
?
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??
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..
m in
B
B
xx
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n
x
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2
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B
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大 M单纯形解法
不难将一般的线性规划问题化成如下标准形
式：
?
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??
?
.0
,0
..
m in
x
bAx
cx
ts
f
大 M单纯形解法是引入 m个人工变量 xn+1,…,
xn+m将原问题变为
?
?
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?? ?
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.0),(
,
..
m i n
1
B
B
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mn
n
n
x
x
x
?
2
1
B
x
大 M单纯形解法
中的 M为足够大的正
数,起, 惩罚, 作用,
以便排除人工变量,
§ 5.2 模糊线性规划
普通线性规划其约束条件和目标函数都
是确定的，但在一些实际问题中，约束条件
可能带有弹性，目标函数可能不是单一的，
必须借助模糊集的方法来处理,
模糊线性规划是将约束条件和目标函数
模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的
线性规划问题，它的最优解称为原问题的 模
糊最优解,
设普通线性规划的标准形式为
?
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0
)(
..
)(m in
)1(
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x
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x
x
x
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1
x
t0(x) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn,
ti (x) = ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn i = 1,2,…,m.
若约束条件带有弹性，即右端常数 bi可能取
(bi – di,bi + di )
内的某一个值，这里的 di＞ 0，它是决策人根据实
际问题选择的 伸缩指标, 这样的规划称为 模糊线
性规划,
把约束条件带有弹性的模糊线性规划记为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
0
],[)(
..
)(m i n
)2(
0
x
x
x
iii
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ts
tf
这里的 ti (x) =[ bi,di ] 表示当 di = 0(普通约束 )时,ti (x) = bi；
当 di＞ 0(模糊约束 )时,ti (x) 取 (bi - di,bi + di )内的某一个值,
?
?
?
?
?
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????
?
0
)(
..
)(m i n
)3(
0
x
x
x
iiiii
dbtdb
ts
tf
的区别,
请注意模糊线性规划 (2)与普通线性规划
下面将约束条件和目标函数模糊化,
将 (2)中带有弹性的约束条件 (di＞ 0)的隶属函
数定义为
iiiii
i
ii
i dbtdbd
bt
????
?
?? )(,
|)(|
1)( x
x
xA
而将 (2)中普通约束条
件 (di = 0)的隶属函数
定义为
Ai (x) = 1,ti (x) = bi,
其图形如右图
由 Ai (x)定义可知,??∈ [0,1],
Ai (x)≥?? di ?- di≤ti (x) - bi≤di - di ?,
i = 1,2,…,m.
设普通线性规划 (1)和 (3)的最优值分别为 f0,
f1,记
d0 = f 0 - f 1,
则 d0＞ 0,它为模糊线性规划 (2)中目标函数的伸缩
指标,d0也可由决策人确定,
.)(,
)(
)( 0000
0
00 ftdf
d
tf
i ???
?
? x
x
xG
定义模糊线性规划 (2)中目标函数的隶属函数
为
由 Gi (x)定义可知,??∈ [0,1],
Gi (x)≥?? t0 (x) + d0?≤ f0,
要求模糊线性规划 (2)的 模糊最优解 x*，则要
求使所有约束条件及目标函数的隶属函数尽可能
达到最大，即求 x* 满足
Ai (x)≥?及 G(x)≥?，
且使 ?达到最大值,相当于求解普通线性规划问题
?
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0
)(
)(
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000
x
x
x
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iiiiii
ddbtdd
fdt
ts
i = 1,2,…,m.
设普通线性规划 (4)的最优解为 x*,?,则
模糊线性规划 (2)的模糊最优解为 x*,最优值
为 t0 (x*),
所以，求解模糊线性规划 (2)相当于求
解普通线性规划 (1),(3),(4),
此外，再补充两点说明：
① 若要使某个模糊约束条件尽可能满
足，只需将其伸缩指标降低直至为 0；
② 若模糊线性规划 (2)中的目标函数为
求最大值，或模糊约束条件为近似大 (小 )于
等于，其相应的隶属函数可类似地写出,
例 1 解 模糊 线性规划问题 (P275)：
?
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???
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.0,,
],5.0,4[3
],1,6[6
],2,8[
..
,64m a x
321
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
ts
xxxf
多目标线性规划
在相同的条件下,要求多个目标函数都得到最
好的满足,这便是 多目标规划, 若目标函数和约束
条件都是线性的,则为 多目标线性规划,
一般来说,多个目标函数不可能同时达到其最
优值,因此只能求使各个目标都比较, 满意, 的模
糊最优解,
例 2 解多目标线性规划问题 (P280)：
?
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???
.0,,
,64
,1023
..;32m a x;2m i n
321
321
321
3212
3211
xxx
xxx
xxx
ts
xxxf
xxxf
⑴ 解普通线性规划问题：
?
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???
???
???
.0,,
,64
,1023
..;2m i n
321
321
321
3211
xxx
xxx
xxx
ts
xxxf
得最优解为 x1 = 0,x2 = 2,x3 = 2,最优值
为 2，此时 f 2 = 8,
⑵ 解普通线性规划问题：
?
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?
?
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?
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?
?
?
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???
???
???
.0,,
,64
,1023
..;32m a x
321
321
321
3212
xxx
xxx
xxx
ts
xxxf
得最优解为 x1 = 10,x2 = 0,x3 = 0,最优
值为 20，此时 f 1 = 10,
线性规划问题⑴的最优解 为
x1 = 0,x2 = 2,x3 = 2,
最优值为 2,此时 f 2 = 8.
线性规划问题⑵的最优解 为
x1 = 10,x2 = 0,x3 = 0,
最优值为 20，此时 f 1 = 10,
同时考虑两个目标，合理的方案是使
f 1∈ [ 2,10 ],f 2∈ [ 8,20 ],
可取伸缩指标分别为
d1 = 10 - 2 = 8,d2 = 20 - 8 = 12,
如果认为目标 f 1更重要,可单独缩小 d1; 如果
认为目标 f 2更重要，可单独缩小 d2,
⑶ 再分别将两个目标函数模糊化,变为解普通
线性规划问题：
?
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???
????
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,1023
,81232
,1022
..
,m a x
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
ts
?
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?
得最优解为
x1 = 6.29,x2 = 0.29,x3 = 1.43,? = 0.57.
此时 f 1 = 5.43,
f 2 = 14.86.
模糊线性规划
§ 5.1 普通 线性规划
线性规划是最优化方法中理论完整、方法成
熟、应用广泛的一个重要分支,
线性规划问题的数学模型是将实际问题转化
为一组线性不等式或等式约束下求线性目标函数
的最小 (大 )值问题,它都可以化为如下标准 (矩
阵 )形式：
?
?
?
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.0
,
..
min
x
bAx
cx
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m
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A = (aij )m× n
c = (c1,c2,…,cn )
x≥ 0指 x中的每
一个分量 xj ≥ 0
单纯形解法
典型线性规划问题：
?
?
?
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??
?
.0
)0(
..
m a x
x
bAx
cx
ts
f
的单纯形解法是引入 m个松弛变量 xn+1,…,xn+m将
原问题化成如下标准形式：
?
?
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,
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B
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n
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大 M单纯形解法
不难将一般的线性规划问题化成如下标准形
式：
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m in
x
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大 M单纯形解法是引入 m个人工变量 xn+1,…,
xn+m将原问题变为
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m i n
1
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x
?
2
1
B
x
大 M单纯形解法
中的 M为足够大的正
数,起, 惩罚, 作用,
以便排除人工变量,
§ 5.2 模糊线性规划
普通线性规划其约束条件和目标函数都
是确定的，但在一些实际问题中，约束条件
可能带有弹性，目标函数可能不是单一的，
必须借助模糊集的方法来处理,
模糊线性规划是将约束条件和目标函数
模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的
线性规划问题，它的最优解称为原问题的 模
糊最优解,
设普通线性规划的标准形式为
?
?
?
?
?
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0
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)(m in
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t0(x) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn,
ti (x) = ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn i = 1,2,…,m.
若约束条件带有弹性，即右端常数 bi可能取
(bi – di,bi + di )
内的某一个值，这里的 di＞ 0，它是决策人根据实
际问题选择的 伸缩指标, 这样的规划称为 模糊线
性规划,
把约束条件带有弹性的模糊线性规划记为
?
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0
],[)(
..
)(m i n
)2(
0
x
x
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iii
dbt
ts
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这里的 ti (x) =[ bi,di ] 表示当 di = 0(普通约束 )时,ti (x) = bi；
当 di＞ 0(模糊约束 )时,ti (x) 取 (bi - di,bi + di )内的某一个值,
?
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)(m i n
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x
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iiiii
dbtdb
ts
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的区别,
请注意模糊线性规划 (2)与普通线性规划
下面将约束条件和目标函数模糊化,
将 (2)中带有弹性的约束条件 (di＞ 0)的隶属函
数定义为
iiiii
i
ii
i dbtdbd
bt
????
?
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|)(|
1)( x
x
xA
而将 (2)中普通约束条
件 (di = 0)的隶属函数
定义为
Ai (x) = 1,ti (x) = bi,
其图形如右图
由 Ai (x)定义可知,??∈ [0,1],
Ai (x)≥?? di ?- di≤ti (x) - bi≤di - di ?,
i = 1,2,…,m.
设普通线性规划 (1)和 (3)的最优值分别为 f0,
f1,记
d0 = f 0 - f 1,
则 d0＞ 0,它为模糊线性规划 (2)中目标函数的伸缩
指标,d0也可由决策人确定,
.)(,
)(
)( 0000
0
00 ftdf
d
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i ???
?
? x
x
xG
定义模糊线性规划 (2)中目标函数的隶属函数
为
由 Gi (x)定义可知,??∈ [0,1],
Gi (x)≥?? t0 (x) + d0?≤ f0,
要求模糊线性规划 (2)的 模糊最优解 x*，则要
求使所有约束条件及目标函数的隶属函数尽可能
达到最大，即求 x* 满足
Ai (x)≥?及 G(x)≥?，
且使 ?达到最大值,相当于求解普通线性规划问题
?
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ts
i = 1,2,…,m.
设普通线性规划 (4)的最优解为 x*,?,则
模糊线性规划 (2)的模糊最优解为 x*,最优值
为 t0 (x*),
所以，求解模糊线性规划 (2)相当于求
解普通线性规划 (1),(3),(4),
此外，再补充两点说明：
① 若要使某个模糊约束条件尽可能满
足，只需将其伸缩指标降低直至为 0；
② 若模糊线性规划 (2)中的目标函数为
求最大值，或模糊约束条件为近似大 (小 )于
等于，其相应的隶属函数可类似地写出,
例 1 解 模糊 线性规划问题 (P275)：
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,64m a x
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xxx
xxx
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xxx
ts
xxxf
多目标线性规划
在相同的条件下,要求多个目标函数都得到最
好的满足,这便是 多目标规划, 若目标函数和约束
条件都是线性的,则为 多目标线性规划,
一般来说,多个目标函数不可能同时达到其最
优值,因此只能求使各个目标都比较, 满意, 的模
糊最优解,
例 2 解多目标线性规划问题 (P280)：
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⑴ 解普通线性规划问题：
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,1023
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321
3211
xxx
xxx
xxx
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得最优解为 x1 = 0,x2 = 2,x3 = 2,最优值
为 2，此时 f 2 = 8,
⑵ 解普通线性规划问题：
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,1023
..;32m a x
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321
321
3212
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xxx
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xxxf
得最优解为 x1 = 10,x2 = 0,x3 = 0,最优
值为 20，此时 f 1 = 10,
线性规划问题⑴的最优解 为
x1 = 0,x2 = 2,x3 = 2,
最优值为 2,此时 f 2 = 8.
线性规划问题⑵的最优解 为
x1 = 10,x2 = 0,x3 = 0,
最优值为 20，此时 f 1 = 10,
同时考虑两个目标，合理的方案是使
f 1∈ [ 2,10 ],f 2∈ [ 8,20 ],
可取伸缩指标分别为
d1 = 10 - 2 = 8,d2 = 20 - 8 = 12,
如果认为目标 f 1更重要,可单独缩小 d1; 如果
认为目标 f 2更重要，可单独缩小 d2,
⑶ 再分别将两个目标函数模糊化,变为解普通
线性规划问题：
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xxx
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得最优解为
x1 = 6.29,x2 = 0.29,x3 = 1.43,? = 0.57.
此时 f 1 = 5.43,
f 2 = 14.86.
