第 4 章
模糊决策
§ 4.1 模糊集中意见决策
为了对论域 U ={u1,u2,…,un}中的元素进行
排序,由 m个专家组成专家小组 M,分别对 U中的元
素排序,得到 m种意见：
V ={v1,v2,…,vm},
其中 vi 是第 i 种意见序列,即 U 中的元素的某一个
排序,
若 uj在第 i 种意见 vi中排第 k位,则令 Bi(uj)=n–k,
称
?
?
?
m
i
jij uBuB
1
)()(
为 uj的 Borda数,此时论域 U的所有元素可按 Borda
数的大小排序,此排序就是是比较合理的,
例 1 设 U ={a,b,c,d,e,f },|M|= m = 4人,
v1,a,c,d,b,e,f ;
v2,e,b,c,a,f,d;
v3,a,b,c,e,d,f ;
v4,c,a,b,d,e,f ;
B(a)=5+2+5+4=16; B(b)=2+4+4+3=13;
B(c)=4+3+3+5=15; B(d)=3+0+1+2=6;
B(e)=1+5+2+1=9; B(f )=0+1+0+0=1;
按 Borda数集中后的排序为：
a,c,b,d,e,f,
例 2 设有 6名运动员 U ={u1,u2,u3,u4,u5,u6 }参加
五项全能比赛,已知他们每项比赛的成绩如下：
200m跑 u1,u2,u4,u3,u6,u5；
1500m跑 u2,u3,u6,u5,u4,u1；
跳远 u1,u2,u4,u3,u5,u6；
掷铁饼 u1,u2,u3,u4,u6,u5；
掷标枪 u1,u2,u4,u5,u6,u3；
B(u1)=5+0+5+5+5=20; B(u2)=4+5+4+4+4=21;
B(u3)=2+4+2+3+0=11; B(u4)=3+1+3+2+3=12;
B(u5)=0+2+1+0+2=5; B(u6)=1+3+0+1+1=6;
按 Borda数集中后的排序为,u2,u1,u4,u3,u6,u5.
若 uj在第 i 种意见 vi中排第 k位，设第 k位的权重
为 ak，则令 Bi(uj)= ak(n – k )，称
?
?
?
m
i
jij uBuB
1
)()(
为 uj的加权 Borda数。
名次 一 二 三 四 五 六
权重 0.35 0.25 0.18 0.11 0.07 0.04
B(u1)=7,B(u2)=5.75,B(u3)=1.98,B(u4)=1.91,
B(u5)=0.51,B(u6)=0.75.
按加权 Borda数集中后的排序为：
u1,u2,u3,u4,u6,u5
设论域 X ={x1,x2,…,xn}为 n个被选方案,在 n
个被选方案中建立一种模糊优先关系,即先两两进
行比较,再将这种比较模糊化, 然后用模糊数学方
法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策,
在 xi与 xj作对比时,用 rij表示 xi比 xj的优先程度,
并且要求 rij满足
① rii = 1(便于计算 )；
② 0≤rij≤1；
③ 当 i≠j 时,rij + rji = 1,
这样的 rij组成的矩阵 R = (rij)n× n称为 模糊优先矩阵,
由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系,
§ 4.2 模糊二元对比决策
模糊二元对比决策的方法与步骤是：
⑴ 建立模糊优先关系,
先两两进行比较，建立模糊优先矩阵：
R = (rij)n× n.
⑵ 排序方法：
① 隶属函数法 即直接对模糊优先矩阵进行
适当的数学加工处理,得到 X上模糊优先集 A的隶属
函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出
一定的优劣次序,通常采用的方法是：
取小法,A(xi) =∧{ rij|1≤ j≤n},i=1,2,…,n;
平均法,A(xi) =(ri1 + ri2 + …+ rin)/n,i =1,
2,…,n,
② ?- 截矩阵法 即取定阈值 ?,确定优先对象,
取定阈值 ?∈ [0,1]得 ?-截矩阵 R? = (rij(?) )n× n,
当 ?由 1逐渐下降时,若 R?中首次出现第 k行的
元素全等于 1时,则认定 xk是第一优先对象 (不一定
唯一 ),再在 R中划去 xk所在的行与列,得到一个
新的 n -1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取的对
象作为第二优先对象；如此进行下去,可将全体
对象排出一定的优劣次序,
③ 下确界法 先求 R每一行的下确界,以最大
下确界所在行对应的 xk是第一优先对象 (不一定唯
一 ),再在 R中划去 xk所在的行与列,得到一个新
的 n -1阶模糊优先矩阵,再以此类推,
§ 4.3 模糊综合评判决策
在实际工作中,对一个事物的评价或评估,常
常涉及多个因素或多个指标,这时就要求根据这
多个因素对事物作出综合评价,而不能只从某一
因素的情况去评价事物,这就是 综合评判,
模糊综合评判决策是对受多种因素影响的事
物作出全面评价的一种十分有效的多因素决策方
法,
经典综合评判决策
评总分法
加权评分法
模糊映射与模糊变换
例 1 设 X = {x1,x2},Y = {y1,y2,y3},令
?
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???
???
?
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???
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.,
7.03.06.0
,,
5.04.01.0
)(
.},,{
11
,},,{
11
)(
2
321
1
321
231
31
121
21
xx
yyy
xx
yyy
xg
xxyy
yy
xxyy
yy
xf
f (x),g(x)都是从 X 到 Y 的 模糊映射,并且 f (x) 是从
X 到 Y 的点集 映射,
命题 1 设 X ={x1,x2,…,xn},Y ={y1,y2,…,ym},
(1) X 到 Y 的任一个模糊映射 f 可唯一确定 X
到 Y 的一个模糊关系 Rf ；
(2) X 到 Y 的任一个模糊关系 R可唯一确定 X
到 Y 的一个模糊映射 fR,
模糊变换
若 映射 T 将 X 的一个模糊子集 A映射到 Y 的 一
个模糊子集 B,则称 映射 T 为从 X 到 Y 的 模糊变换,
若模糊变换 T 满足
(1) T(A∪ B) = T(A)∪ T(B),
(2) T(?A) = ?T(A),
则称 T 为 模糊线性变换,
命题 2 设 X ={x1,x2,…,xn},Y ={y1,y2,…,ym},
(1) 给定 X 到 Y 的一个模糊关系 R可确定 X 到
Y 的 一个模糊模糊线性变换 TR(A)= A ° R；
(2) 给定 X 到 Y 的一个模糊线性变换 T 可确
定 X 到 Y 的一个模糊关系 RT,
例 2 设 X ={x1,x2,x3,x4,x5},Y ={y1,y2,y3,y4},
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
0000
0013.0
2.04.08.06.0
1.003.01
102.05.0
R
(1) A = {x1,x2},求 TR (A)；
(2) B = (0.5,0.6,0.9,1,0),
求 TR (B)；
TR(A)= A
° RT
R(A)= (1,1,0,0,0) ° R = (1,0.3,0,1)
421
13.01
yyy
???
TR(B)= (0.5,0.6,0.9,1,0) ° R = (0.6,1,0.4,0.5)
4321
5.04.016.0
yyyy
????
例 3 设 X ={x1,x2,x3},Y ={ y1,y2},映射 T 为
从 X 到 Y 的 模糊线性变换,已知
(1) 求由 T 诱导
出 X 到 Y 的 模
糊关系 RT ；
(2) 求由模糊关
系 RT 诱导出 X
到 Y 的模糊映
射 f,,
5.07.08.05.01
,
2.05.01.08.0
,
5.06.07.04.0
,
3.05.06.04.0
21321
2132
2131
2121
yyxxx
T
yyxx
T
yyxx
T
yyxx
T
??
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设,
3231
2221
1211
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?
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rr
rr
rr
R
T 则
,
5.07.0
2.05.0
5.06.0
3.05.0
8.05.01
1.08.00
7.004.0
06.04.0
3231
2221
1211
?
?
?
?
?
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?
?
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rr
rr
rr
?
0.5
0.6 0.5
0.2
0.30.7
模糊综合评判决策的数学模型
设 U ={u1,u2,…,un}为 n种因素 (或指标 ),V
={v1,v2,…,vm}为 m种评判 (或等级 ).
由于各种因素所处地位不同,作用也不一样,
可用权重 A = (a1,a2,…,an )来描述,它是因素集 U
的一个模糊子集,对于每一个因素 ui,单独作出的
一个评判 f (ui),可看作是 U到 V 的一个模糊映射
f,由 f 可诱导出 U 到 V 的一个模糊关系 Rf,由 Rf
可诱导出 U 到 V 的 一个模糊线性变换
TR(A)= A ° R = B,
它是评判集 V 的一个模糊子集,即为综合评判,
(U,V,R )构成模糊综合评判决策模型,U,V,
R是此模型的三个要素,
模糊综合评判决策的方法与步骤是：
⑴ 建立因素集 U ={u1,u2,…,un}与决断集 V
={v1,v2,…,vm}.
⑵ 建立模糊综合评判矩阵,
对于每一个因素 ui,先建立单因素评判：
(ri1,ri2,…,rim)
即 rij(0≤ rij≤1) 表示 vj对因素 ui所 作的评判,这样就
得到单因素评判矩阵 R =(rij)n× m.
⑶ 综合评判,
根据各因素权重 A =(a1,a2,…,an )综合评判,
B = A⊕ R = (b1,b2,…,bm )是 V上的一个模糊子集,
根据运算 ⊕ 的不同定义,可得到不同的模型,
模型 Ⅰ, M(∧,∨ )——主因素决定型
bj = ∨ {(ai∧ rij),1≤i≤n } ( j = 1,2,…,m ).
由于综合评判的结果 bj的值仅由 ai与 rij (i = 1,
2,…,n )中的某一个确定 (先取小,后取大运算 ),
着眼点是考虑主要因素,其他因素对结果影响不
大,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况,
模型 Ⅱ, M ( ·,∨ )——主因素突出型
bj = ∨ {(ai · rij),1≤i≤n } ( j = 1,2,…,m ).
M ( ·,∨ )与模型 M (∧,∨ ) 较接近,区别在于
用 ai rij代替了 M (∧,∨ ) 中的 ai∧ rij,
在模型 M ( ·,∨ )中,对 rij乘以小于 1的权重 ai表
明 ai是在考虑多因素时 rij的修正值,与主要因素有
关,忽略了次要因素,
模型 Ⅲ, M(∧,＋ )——主因素突出型
bj = ∑(ai ∧ rij) ( j = 1,2,…,m ).
模型 Ⅲ 也突出了主要因素,
在实际应用中,如果主因素在综合评判中起主
导作用,建议采纳 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,当模型 Ⅰ 失效时可采
用 Ⅱ,Ⅲ.
模型 Ⅳ, M( ·,＋ )——加权平均模型
bj = ∑(ai · rij) ( j = 1,2,…,m ).
模型 M( ·,＋ )对所有因素依权重大小均衡兼
顾,适用于考虑各因素起作用的情况,
例 1,服装评判
因素集 U ={u1(花色 ),u2(式样 ),u3(耐穿程
度 ),u4(价格 )}；
评判集 V ={v1(很欢迎 ),v2(较欢迎 ),v3(不
太欢迎 ),v4(不欢迎 )}.
对各因素所作的评判如下：
u1, (0.2,0.5,0.2,0.1)
u2, (0.7,0.2,0.1,0 )
u3, ( 0,0.4,0.5,0.1)
u4, (0.2,0.3,0.5,0 )
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
05.03.02.0
1.05.04.00
01.02.07.0
1.02.05.02.0
R
对于给定各因素权重 A = (0.1,0.2,0.3,0.4),分
别用各种模型所作的评判如下：
M(∧,∨ ),B = (0.2,0.3,0.4,0.1)
M( ·,∨ ),B = (0.14,0.12,0.2,0.03)
M(∧,＋ ),B = (0.5,0.9,0.9,0.2)
M( ·,＋ ),B = (0.24,0.33,0.39,0.04)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
05.03.02.0
1.05.04.00
01.02.07.0
1.02.05.02.0
R
对于给定各因素权重 A = (0.4,0.35,0.15,0.1),
分别用各种模型所作的评判如下：
M(∧,∨ ),B = (0.35,0.4,0.2,0.1)
M( ·,∨ ),B = (0.245,0.2,0.08,0.04)
M(∧,＋ ),B = (0.65,0.85,0.55,0.2)
M( ·,＋ ),B = (0.345,0.36,0.24,0.055)
例 2,―晋升, 的数学模型,
以高校老师晋升教授为例：因素集 U ={政治
表现及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平 },
评判集 V={好,较好,一般,较差,差 },
因素 好 较好 一般 较差 差
政治表现及工作态度 4 2 1 0 0
教学水平 6 1 0 0 0
科研水平 0 0 5 1 1
外语水平 2 2 1 1 1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
7/17/17/17/27/2
7/17/17/500
0007/17/6
007/17/27/4
R
给定以教学为主的权重 A = (0.2,0.5,0.1,0.2)，
分别用 M(∧,∨ ),M( ·,＋ )模型所作的评判如下：
M(∧,∨ ),B = (0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)
归一化后,B = (0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)
M( ·,＋ ),B = (0.6,0.19,0.13,0.04,0.04)
例 3 利用模糊综合评判对 20家制药厂经济效
益的好坏进行排序 (P209).
企业名称 u1 u2 u3 u4
1 东北制药厂 1.611 10.59 0.69 1.67
2 北京第二制药厂 1.429 9.44 0.61 1.50
……………………
20四川制药厂 1.992 21.63 1.01 1.89
设 cij ( i = 1,2,3,4； j = 1,2,…,20 ) 表示第 j个
制药厂的第 i个因素的值,令
?
?
?
20
1k
ik
ij
ij
c
c
r
得到模糊综合评判
矩 阵 R = (rij)4× 20,
§ 4.4 权重的确定方法
在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的,
它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地
位或所起的作用,它直接影响到综合决策的结果,
凭经验给出的权重,在一定的程度上能反映
实际情况,评判的结果也比较符合实际,但它往往
带有主观性,是不能客观地反映实际情况,评判结
果可能, 失真,,
加权统计方法
因素 uj
权重 aij 1
频数统计方法
(1) 对每一个因素 uj,在 k个专家所给的权重
aij中找出最大值 Mj和最小值 mj,即
Mj =max{aij|1 ≤i ≤k},j =1,2,… n;
mj =min{aij|1 ≤i ≤k},j =1,2,… n.
(2) 选取适当的正整数 p,将因素 uj所对应的
权重 aij从小到大分成 p组,组距为 (Mj - mj)/p.
(3) 计算落在每组内权重的频数与频率
(4) 取最大频率所在分组的组中值 (或邻近的
值 )作为因素 uj的权重,
(5) 将所得的结果归一化,
模糊关系方程法
在模糊综合评判决策问题中,若已知综合决策
B = (b1,b2,…,bm ),单因素评判矩阵 R =(rij)n× m,
试问各因素的权重分配 A是什么？
这就是要求解模糊关系方程 X ° R = B,
定理 模糊关系方程 X ° R = B有解的充要条
件是 ° R = B,其中X
}|{),,...,,(
121 jkjj
m
jkn
brbxxxxX ????
?
约定 ∧ ? =1.且 为 X ° R=B的最大解,X
证明：充分性是显然的,
必要性 设 X ° R = B有解 X = (x1,x2,…,xn ),即
(x1,x2,…,xn ) ° R = (b1,b2,…,bm ).
则 ?j,∨ (xk ∧ rkj) = bj ?? j,k,(xk ∧ rkj) ≤ bj,
??k,xk ≤
kjkjj
m
j
xbrb ???
?
}|{
1? (x
1,x2,…,xn ) ≤ ),...,,( 21 nxxx ? B≤ ° R,X
又 ?j,k,有
当 rkj＞ bj时,=∧ {bj|rkj＞ bj}≤ bj
kx
? ∧ rkj≤ bj∧ rkj= bj ;
kx
当 rkj≤bj时,由 =1,? ∧ rkj= rkj≤bj ;
kxkx
即 ° R≤B.X
例 下列模糊关系方程是否有解？
);2.0,4.0,2.0(
1.06.00
2.002.0
2.05.03.0
),,()1(
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?xxx
).3.0,7.0(
2.01
2.07.0
),()2( 21 ???
?
?
??
?
?
?xx
解：由公式 }|{
1 jkjj
m
jk
brbx ???
?
(1) =(0.2,1,0.4),X 是其最大解,
(2) =(1,0.7),X 不是其最大解,
模糊协调决策法
在模糊综合评判决策问题中,若已知综合决策
B = (b1,b2,…,bm ),单因素评判矩阵 R =(rij)n× m,
试问各因素的权重分配 A是什么？
这就是要求解模糊关系方程 X ° R = B.
这里介绍一个近似处理方法,设有一组可供选
择的权重分配方案 J ={A1,A2,…,As}.
我们从 J中选择一种最佳的权重分配 Ak,使得
由 Ak所决定的综合评判决策 Bk= Ak ° R与 B最贴近,
模糊决策
§ 4.1 模糊集中意见决策
为了对论域 U ={u1,u2,…,un}中的元素进行
排序,由 m个专家组成专家小组 M,分别对 U中的元
素排序,得到 m种意见：
V ={v1,v2,…,vm},
其中 vi 是第 i 种意见序列,即 U 中的元素的某一个
排序,
若 uj在第 i 种意见 vi中排第 k位,则令 Bi(uj)=n–k,
称
?
?
?
m
i
jij uBuB
1
)()(
为 uj的 Borda数,此时论域 U的所有元素可按 Borda
数的大小排序,此排序就是是比较合理的,
例 1 设 U ={a,b,c,d,e,f },|M|= m = 4人,
v1,a,c,d,b,e,f ;
v2,e,b,c,a,f,d;
v3,a,b,c,e,d,f ;
v4,c,a,b,d,e,f ;
B(a)=5+2+5+4=16; B(b)=2+4+4+3=13;
B(c)=4+3+3+5=15; B(d)=3+0+1+2=6;
B(e)=1+5+2+1=9; B(f )=0+1+0+0=1;
按 Borda数集中后的排序为：
a,c,b,d,e,f,
例 2 设有 6名运动员 U ={u1,u2,u3,u4,u5,u6 }参加
五项全能比赛,已知他们每项比赛的成绩如下：
200m跑 u1,u2,u4,u3,u6,u5；
1500m跑 u2,u3,u6,u5,u4,u1；
跳远 u1,u2,u4,u3,u5,u6；
掷铁饼 u1,u2,u3,u4,u6,u5；
掷标枪 u1,u2,u4,u5,u6,u3；
B(u1)=5+0+5+5+5=20; B(u2)=4+5+4+4+4=21;
B(u3)=2+4+2+3+0=11; B(u4)=3+1+3+2+3=12;
B(u5)=0+2+1+0+2=5; B(u6)=1+3+0+1+1=6;
按 Borda数集中后的排序为,u2,u1,u4,u3,u6,u5.
若 uj在第 i 种意见 vi中排第 k位，设第 k位的权重
为 ak，则令 Bi(uj)= ak(n – k )，称
?
?
?
m
i
jij uBuB
1
)()(
为 uj的加权 Borda数。
名次 一 二 三 四 五 六
权重 0.35 0.25 0.18 0.11 0.07 0.04
B(u1)=7,B(u2)=5.75,B(u3)=1.98,B(u4)=1.91,
B(u5)=0.51,B(u6)=0.75.
按加权 Borda数集中后的排序为：
u1,u2,u3,u4,u6,u5
设论域 X ={x1,x2,…,xn}为 n个被选方案,在 n
个被选方案中建立一种模糊优先关系,即先两两进
行比较,再将这种比较模糊化, 然后用模糊数学方
法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策,
在 xi与 xj作对比时,用 rij表示 xi比 xj的优先程度,
并且要求 rij满足
① rii = 1(便于计算 )；
② 0≤rij≤1；
③ 当 i≠j 时,rij + rji = 1,
这样的 rij组成的矩阵 R = (rij)n× n称为 模糊优先矩阵,
由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系,
§ 4.2 模糊二元对比决策
模糊二元对比决策的方法与步骤是：
⑴ 建立模糊优先关系,
先两两进行比较，建立模糊优先矩阵：
R = (rij)n× n.
⑵ 排序方法：
① 隶属函数法 即直接对模糊优先矩阵进行
适当的数学加工处理,得到 X上模糊优先集 A的隶属
函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出
一定的优劣次序,通常采用的方法是：
取小法,A(xi) =∧{ rij|1≤ j≤n},i=1,2,…,n;
平均法,A(xi) =(ri1 + ri2 + …+ rin)/n,i =1,
2,…,n,
② ?- 截矩阵法 即取定阈值 ?,确定优先对象,
取定阈值 ?∈ [0,1]得 ?-截矩阵 R? = (rij(?) )n× n,
当 ?由 1逐渐下降时,若 R?中首次出现第 k行的
元素全等于 1时,则认定 xk是第一优先对象 (不一定
唯一 ),再在 R中划去 xk所在的行与列,得到一个
新的 n -1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取的对
象作为第二优先对象；如此进行下去,可将全体
对象排出一定的优劣次序,
③ 下确界法 先求 R每一行的下确界,以最大
下确界所在行对应的 xk是第一优先对象 (不一定唯
一 ),再在 R中划去 xk所在的行与列,得到一个新
的 n -1阶模糊优先矩阵,再以此类推,
§ 4.3 模糊综合评判决策
在实际工作中,对一个事物的评价或评估,常
常涉及多个因素或多个指标,这时就要求根据这
多个因素对事物作出综合评价,而不能只从某一
因素的情况去评价事物,这就是 综合评判,
模糊综合评判决策是对受多种因素影响的事
物作出全面评价的一种十分有效的多因素决策方
法,
经典综合评判决策
评总分法
加权评分法
模糊映射与模糊变换
例 1 设 X = {x1,x2},Y = {y1,y2,y3},令
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7.03.06.0
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5.04.01.0
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.},,{
11
,},,{
11
)(
2
321
1
321
231
31
121
21
xx
yyy
xx
yyy
xg
xxyy
yy
xxyy
yy
xf
f (x),g(x)都是从 X 到 Y 的 模糊映射,并且 f (x) 是从
X 到 Y 的点集 映射,
命题 1 设 X ={x1,x2,…,xn},Y ={y1,y2,…,ym},
(1) X 到 Y 的任一个模糊映射 f 可唯一确定 X
到 Y 的一个模糊关系 Rf ；
(2) X 到 Y 的任一个模糊关系 R可唯一确定 X
到 Y 的一个模糊映射 fR,
模糊变换
若 映射 T 将 X 的一个模糊子集 A映射到 Y 的 一
个模糊子集 B,则称 映射 T 为从 X 到 Y 的 模糊变换,
若模糊变换 T 满足
(1) T(A∪ B) = T(A)∪ T(B),
(2) T(?A) = ?T(A),
则称 T 为 模糊线性变换,
命题 2 设 X ={x1,x2,…,xn},Y ={y1,y2,…,ym},
(1) 给定 X 到 Y 的一个模糊关系 R可确定 X 到
Y 的 一个模糊模糊线性变换 TR(A)= A ° R；
(2) 给定 X 到 Y 的一个模糊线性变换 T 可确
定 X 到 Y 的一个模糊关系 RT,
例 2 设 X ={x1,x2,x3,x4,x5},Y ={y1,y2,y3,y4},
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0000
0013.0
2.04.08.06.0
1.003.01
102.05.0
R
(1) A = {x1,x2},求 TR (A)；
(2) B = (0.5,0.6,0.9,1,0),
求 TR (B)；
TR(A)= A
° RT
R(A)= (1,1,0,0,0) ° R = (1,0.3,0,1)
421
13.01
yyy
???
TR(B)= (0.5,0.6,0.9,1,0) ° R = (0.6,1,0.4,0.5)
4321
5.04.016.0
yyyy
????
例 3 设 X ={x1,x2,x3},Y ={ y1,y2},映射 T 为
从 X 到 Y 的 模糊线性变换,已知
(1) 求由 T 诱导
出 X 到 Y 的 模
糊关系 RT ；
(2) 求由模糊关
系 RT 诱导出 X
到 Y 的模糊映
射 f,,
5.07.08.05.01
,
2.05.01.08.0
,
5.06.07.04.0
,
3.05.06.04.0
21321
2132
2131
2121
yyxxx
T
yyxx
T
yyxx
T
yyxx
T
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3231
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rr
rr
rr
R
T 则
,
5.07.0
2.05.0
5.06.0
3.05.0
8.05.01
1.08.00
7.004.0
06.04.0
3231
2221
1211
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rr
rr
rr
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0.5
0.6 0.5
0.2
0.30.7
模糊综合评判决策的数学模型
设 U ={u1,u2,…,un}为 n种因素 (或指标 ),V
={v1,v2,…,vm}为 m种评判 (或等级 ).
由于各种因素所处地位不同,作用也不一样,
可用权重 A = (a1,a2,…,an )来描述,它是因素集 U
的一个模糊子集,对于每一个因素 ui,单独作出的
一个评判 f (ui),可看作是 U到 V 的一个模糊映射
f,由 f 可诱导出 U 到 V 的一个模糊关系 Rf,由 Rf
可诱导出 U 到 V 的 一个模糊线性变换
TR(A)= A ° R = B,
它是评判集 V 的一个模糊子集,即为综合评判,
(U,V,R )构成模糊综合评判决策模型,U,V,
R是此模型的三个要素,
模糊综合评判决策的方法与步骤是：
⑴ 建立因素集 U ={u1,u2,…,un}与决断集 V
={v1,v2,…,vm}.
⑵ 建立模糊综合评判矩阵,
对于每一个因素 ui,先建立单因素评判：
(ri1,ri2,…,rim)
即 rij(0≤ rij≤1) 表示 vj对因素 ui所 作的评判,这样就
得到单因素评判矩阵 R =(rij)n× m.
⑶ 综合评判,
根据各因素权重 A =(a1,a2,…,an )综合评判,
B = A⊕ R = (b1,b2,…,bm )是 V上的一个模糊子集,
根据运算 ⊕ 的不同定义,可得到不同的模型,
模型 Ⅰ, M(∧,∨ )——主因素决定型
bj = ∨ {(ai∧ rij),1≤i≤n } ( j = 1,2,…,m ).
由于综合评判的结果 bj的值仅由 ai与 rij (i = 1,
2,…,n )中的某一个确定 (先取小,后取大运算 ),
着眼点是考虑主要因素,其他因素对结果影响不
大,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况,
模型 Ⅱ, M ( ·,∨ )——主因素突出型
bj = ∨ {(ai · rij),1≤i≤n } ( j = 1,2,…,m ).
M ( ·,∨ )与模型 M (∧,∨ ) 较接近,区别在于
用 ai rij代替了 M (∧,∨ ) 中的 ai∧ rij,
在模型 M ( ·,∨ )中,对 rij乘以小于 1的权重 ai表
明 ai是在考虑多因素时 rij的修正值,与主要因素有
关,忽略了次要因素,
模型 Ⅲ, M(∧,＋ )——主因素突出型
bj = ∑(ai ∧ rij) ( j = 1,2,…,m ).
模型 Ⅲ 也突出了主要因素,
在实际应用中,如果主因素在综合评判中起主
导作用,建议采纳 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,当模型 Ⅰ 失效时可采
用 Ⅱ,Ⅲ.
模型 Ⅳ, M( ·,＋ )——加权平均模型
bj = ∑(ai · rij) ( j = 1,2,…,m ).
模型 M( ·,＋ )对所有因素依权重大小均衡兼
顾,适用于考虑各因素起作用的情况,
例 1,服装评判
因素集 U ={u1(花色 ),u2(式样 ),u3(耐穿程
度 ),u4(价格 )}；
评判集 V ={v1(很欢迎 ),v2(较欢迎 ),v3(不
太欢迎 ),v4(不欢迎 )}.
对各因素所作的评判如下：
u1, (0.2,0.5,0.2,0.1)
u2, (0.7,0.2,0.1,0 )
u3, ( 0,0.4,0.5,0.1)
u4, (0.2,0.3,0.5,0 )
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05.03.02.0
1.05.04.00
01.02.07.0
1.02.05.02.0
R
对于给定各因素权重 A = (0.1,0.2,0.3,0.4),分
别用各种模型所作的评判如下：
M(∧,∨ ),B = (0.2,0.3,0.4,0.1)
M( ·,∨ ),B = (0.14,0.12,0.2,0.03)
M(∧,＋ ),B = (0.5,0.9,0.9,0.2)
M( ·,＋ ),B = (0.24,0.33,0.39,0.04)
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05.03.02.0
1.05.04.00
01.02.07.0
1.02.05.02.0
R
对于给定各因素权重 A = (0.4,0.35,0.15,0.1),
分别用各种模型所作的评判如下：
M(∧,∨ ),B = (0.35,0.4,0.2,0.1)
M( ·,∨ ),B = (0.245,0.2,0.08,0.04)
M(∧,＋ ),B = (0.65,0.85,0.55,0.2)
M( ·,＋ ),B = (0.345,0.36,0.24,0.055)
例 2,―晋升, 的数学模型,
以高校老师晋升教授为例：因素集 U ={政治
表现及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平 },
评判集 V={好,较好,一般,较差,差 },
因素 好 较好 一般 较差 差
政治表现及工作态度 4 2 1 0 0
教学水平 6 1 0 0 0
科研水平 0 0 5 1 1
外语水平 2 2 1 1 1
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7/17/17/17/27/2
7/17/17/500
0007/17/6
007/17/27/4
R
给定以教学为主的权重 A = (0.2,0.5,0.1,0.2)，
分别用 M(∧,∨ ),M( ·,＋ )模型所作的评判如下：
M(∧,∨ ),B = (0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)
归一化后,B = (0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)
M( ·,＋ ),B = (0.6,0.19,0.13,0.04,0.04)
例 3 利用模糊综合评判对 20家制药厂经济效
益的好坏进行排序 (P209).
企业名称 u1 u2 u3 u4
1 东北制药厂 1.611 10.59 0.69 1.67
2 北京第二制药厂 1.429 9.44 0.61 1.50
……………………
20四川制药厂 1.992 21.63 1.01 1.89
设 cij ( i = 1,2,3,4； j = 1,2,…,20 ) 表示第 j个
制药厂的第 i个因素的值,令
?
?
?
20
1k
ik
ij
ij
c
c
r
得到模糊综合评判
矩 阵 R = (rij)4× 20,
§ 4.4 权重的确定方法
在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的,
它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地
位或所起的作用,它直接影响到综合决策的结果,
凭经验给出的权重,在一定的程度上能反映
实际情况,评判的结果也比较符合实际,但它往往
带有主观性,是不能客观地反映实际情况,评判结
果可能, 失真,,
加权统计方法
因素 uj
权重 aij 1
频数统计方法
(1) 对每一个因素 uj,在 k个专家所给的权重
aij中找出最大值 Mj和最小值 mj,即
Mj =max{aij|1 ≤i ≤k},j =1,2,… n;
mj =min{aij|1 ≤i ≤k},j =1,2,… n.
(2) 选取适当的正整数 p,将因素 uj所对应的
权重 aij从小到大分成 p组,组距为 (Mj - mj)/p.
(3) 计算落在每组内权重的频数与频率
(4) 取最大频率所在分组的组中值 (或邻近的
值 )作为因素 uj的权重,
(5) 将所得的结果归一化,
模糊关系方程法
在模糊综合评判决策问题中,若已知综合决策
B = (b1,b2,…,bm ),单因素评判矩阵 R =(rij)n× m,
试问各因素的权重分配 A是什么？
这就是要求解模糊关系方程 X ° R = B,
定理 模糊关系方程 X ° R = B有解的充要条
件是 ° R = B,其中X
}|{),,...,,(
121 jkjj
m
jkn
brbxxxxX ????
?
约定 ∧ ? =1.且 为 X ° R=B的最大解,X
证明：充分性是显然的,
必要性 设 X ° R = B有解 X = (x1,x2,…,xn ),即
(x1,x2,…,xn ) ° R = (b1,b2,…,bm ).
则 ?j,∨ (xk ∧ rkj) = bj ?? j,k,(xk ∧ rkj) ≤ bj,
??k,xk ≤
kjkjj
m
j
xbrb ???
?
}|{
1? (x
1,x2,…,xn ) ≤ ),...,,( 21 nxxx ? B≤ ° R,X
又 ?j,k,有
当 rkj＞ bj时,=∧ {bj|rkj＞ bj}≤ bj
kx
? ∧ rkj≤ bj∧ rkj= bj ;
kx
当 rkj≤bj时,由 =1,? ∧ rkj= rkj≤bj ;
kxkx
即 ° R≤B.X
例 下列模糊关系方程是否有解？
);2.0,4.0,2.0(
1.06.00
2.002.0
2.05.03.0
),,()1(
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?xxx
).3.0,7.0(
2.01
2.07.0
),()2( 21 ???
?
?
??
?
?
?xx
解：由公式 }|{
1 jkjj
m
jk
brbx ???
?
(1) =(0.2,1,0.4),X 是其最大解,
(2) =(1,0.7),X 不是其最大解,
模糊协调决策法
在模糊综合评判决策问题中,若已知综合决策
B = (b1,b2,…,bm ),单因素评判矩阵 R =(rij)n× m,
试问各因素的权重分配 A是什么？
这就是要求解模糊关系方程 X ° R = B.
这里介绍一个近似处理方法,设有一组可供选
择的权重分配方案 J ={A1,A2,…,As}.
我们从 J中选择一种最佳的权重分配 Ak,使得
由 Ak所决定的综合评判决策 Bk= Ak ° R与 B最贴近,
