第九章 整周未知数的确定方法
与周跳分析
三,整周未知数的确定方法
在观测站 1和卫星 j之间，载波相位的变化为
当整周未知数确定后，测相伪距与测码伪距的观测
方程在形式上将一致，此时只要同步观测的卫星
数不少于 4，即使观测一个历元，也可获得唯一
定位结果。
因此，在载波相位观测中，如果能预先消去或者快
速地解算整周未知数，将大大缩短必要的观测时
间。
)()()()( 00 tNttNtt jijijiji ????? ??
如果整周未知数作为待定量，与其它未知参数一起
在数据处理中一并求解，则根据情况，将需要长达
1-3小时的观测时间。因为在同步观测 4颗卫星的情
况下，为解算整周未知数，理论上至少观测 3个历
元。但如果同步观测时间很短，所测卫星的几何分
布变化很小，使站星距离变化也很小，将降低不同
历元观测结果的作用，在平差计算中，法方程的性
质将变坏，影响解的可靠性。
准确快速地解算整周未知数，无论对保障相对定位
精度，还是开拓高精度动态定位应用领域，都有重
要意义。
整周未知数解算方法分类,
按 解算时间长短 划分：经典静态相对定位法和快速
解算法。
经典静态相对定位法：将其作为待定量，在平差计
算中求解，为提高解的可靠性，所需观测时间较
长。
快速解算法包括：交换天线法,P码双频技术、滤
波法、搜索法和模糊函数法等，所需观测时间较
短，一般为数分钟。
按 接收机状态 区分；静态法和动态法。前述的快速
算法，虽然观测时间很短，仍属静态法，动态法
是在接收机载体的运动过程中确定整周未知数的
方法。
1.确定整周未知数的经典静态相对定位法
该方法在长距离静态相对定位中是一种常用方法，
其数学模型有单差和双差模型。也可采用三差模
型，首先消除整周未知数，在观测站坐标确定后，
再根据单差和双差模型，求解相应的整周未知数。
在平差计算中，整周未知数的取值分两种情况,
?整数解（固定解）：将平差计算所得的整周未知
数取为相近的整数，并作为已知数代入原方程，
重新解算其它待定参数。当观测误差和外界误差
（或残差）对观测值影响较小时，该方法较有效，
一般应用于基线较短的相对定位中。
?非整数解（实数解或浮动解）：如果外界误差影响较大，
求解的整周未知数精度较低 (误差影响大于半个波长 )，
将其凑成整数，无助于提高解的精度。此时，不考虑
整周未知数的整数性质，平差计算所得的整周未知数，
不再进行凑整和重新计算。一般用于基线较长相对定
位中。
2.交换接收天线法
原理：在观测之前，先在基准站附近 5-10m处选择一个
天线交换点，将两台接收机天线分别安置在该基线两
端，同步观测 2-8个历元后，相互交换天线，并继续观
测若干历元；最后将两天线恢复到原来位置。此时固
定站与天线交换点之间的基线向量视为起始基线向量，
利用天线交换前后的同步观测量，求解基线向量，进
而确定整周未知数。
假设在固定站 1和天线交换点 2的接收机，于历元
t1同步观测了卫星 j,k，在忽略大气折射影响
的情况下，可得单差观测方程,
相应的双差观测方程为
上式中
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1
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111121
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ttfNttt
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0102
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当两接收机交换天线后，于历元 t2同步观测相同卫星 j,k，
则单差观测方程为,
相应的双差观测方程为
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221222
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2 1
Sj(t1) Sk(t1)
1
Sj(t2) Sk(t2)
2
T1 T2 T1 T2
取相应历元 t1,t2的双差之和，则有
其中
上述模型与静态三差模型相类似，区别在于上式是根据不同
历元同步观测量的双差之和而建立的。由于所选起始基线
很短，此时卫星轨道误差和大气折射误差对该模型的影响
可忽略不计。上式的求解条件与双差相同。根据上式确定
起始基线向量后，可根据双差模型确定整周未知数。该方
法观测时间短（数分钟），精度较高，操作方便，在准动
态相对定位中得到应用。
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ttt
ttt
ttt
ttt
jjj
kkk
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3.确定整周未知数的搜索法
1990年 E,Frei和 G,Beutler提出了一种快速解算整周
未知数的方法（ fast ambiguity resolution
approach—— FARA）。基本思想是：以数理统
计理论的参数估计和假设检验为基础，利用初始
平差的解向量（点的坐标和整周未知数的实数解）
及其精度信息（方差与协方差和单位权中误差），
确定在某一置信区间整周未知数可能的整数解的
组合，然后将整周未知数的每一组合作为已知值，
重复进行平差计算，其中使估值的验后方差（或
方差和）为最小的一组整周未知数就是所搜索的
整周未知数的最佳估值。
现以载波相位观测值双差模型为例,
假设在基线两端对同一组卫星（卫星数为 nj）进行
同步观测，观测历元数为 nt，相应的误差方程组
已知为
其中
经过初始平差后，相应整周未知数解向量的协因数
阵为 QNN,
单位权验后方差估算式,
其中 n为观测方程数,u为未知量个数,n-u为自由度。
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jn
T
NNN
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PVV
则任一整周未知数经初始平差后实数解的中误差为
在一定置信水平条件下，相应任一整周未知数的置信
区间为
i=1,2,…,n j-1
其中 t(?/2)为显著水平 ?和自由度的函数。当 ?和自由
度确定后,t(?/2)值可由 t值分布表中查得。例如：
当取 ?=0.001,n-u=40时,得 t(?/2)=3.55。如果初始
平差后得 Ni=9.05,mNi=0.78,则 Ni的置信区间为 6.28?
Ni ? 11.8。其置信水平为 99.9%，在上述区间整数 Ni
的可能取值为 6,7,8,9,10,11,12。
N i N iN mm i Q0?
)2/()2/( ?? tmNNtmN ii NiiNi ????
设 Ci为 Ni的可能取值数，由向量 N=(N1,N2,…,N nj-1),
可得整数组合的总数
如果观测的卫星数为 nj=6,而每个整周未知数在其置信
区间内均有 7个可能的整数取值，按上式可能的组
合数为 75= 16807，对双频接收机则为 33614。
将上述整周未知数的各种可能组合，依次作为固定值，
代入相应的误差方程组中，进行平差计算，最终取
坐标值的验后方差为最小的一组平差结果，作为整
周未知数的最后取值。
121
1
1
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?
??? ? j
j
ni
n
i
CCCCC
四：周跳分析的基本思路
当接收机捕获卫星信号后，只要跟踪不中断（失
锁），接收机便会给出在跟踪期间载波相位整
周数的变化。实际中由于卫星信号被暂时遮挡
或外界干扰因素的影响，经常引起卫星跟踪信
号的暂时中断，导致接收机整周计数中断。
当接收机恢复对该卫星的跟踪后，所测相位的小
数部分不受跟踪中断的影响，仍是连续的，但
整周计数由于失去了在失锁期间载波相位变化
的整周数，不再连续，使其后的相位观测值，
均含有同样的整周误差。
在 GPS定位中，同一观测时段延续的时间越长，产生
周跳的可能性越大。在观测成果平差计算前，必须
对其中可能存在的周跳现象进行检测和修复。
1,在不发生周跳的情况下，随着观测站与卫星间距离
的不断变化，载波相位观测值也将随之不断变化，
但变化应是平缓而有规律。一般情况下，若每 15秒
输出一个相位观测值，则相邻历元整周模糊度之差
可达数万周，那么对于几十周的周跳就难以发觉，
但当取 4至 5次差之后，距离变化对整周数的影响可
忽略，其差值主要是由震荡器的随机误差引起，具
有随机特性。如果在观测过程中产生了周跳现象，
将破坏相位观测量的正常变化，使其高次项的随机
特性受到破坏，利用这一性质，可发现周跳现象。
历元 ?ij(t) 1次差 2次差 3次差 4次差
T1 475833.2251
T2 487441.9784 11608.7531
T3 499450.5455 12008.5671 399.8140
T4 511861.4338 12410.8883 402.3212 2.5072
T5 524676.5710 12815.1372 404.2489 1.9277 -0.5795
T6 537898.8487 13222.2777 407.1405 2.8916 0.9639
T7 551530.8864 13632.0377 409.7600 2.6195 -0.2721
T8 565574.8817 14043.9953 411.9576 2.1976 -0.4219
历元 ?ij(t) 1次差 2次差 3次差 4次差
T1 475833.2251
T2 487441.9784 11608.7531
T3 499450.5455 12008.5671 399.8140
T4 511861.4338 12410.8883 402.3212 2.5072
T5 524576.5710 12715.1372 304.2489 -98.0723 100.5795
T6 537798.8487 13222.2777 507.1405 202.8916 300.9639
T7 551430.8864 13632.0377 409.7600 -97.3805 300.2721
T8 565474.8817 14043.9953 411.9576 2.1976 99.5781
从上表中可见,4次差的异常与历元 t5观测值的周
跳是相应的。某一历元的周跳发生后，可根据
该历元的前或后的正确观测值，利用高次插值
公式，恢复第一个观测值的正确整周计数。
另外，根据相邻的几个正确的相位观测值，采用
n阶多项式拟合的方法，预估观测值并与实测
值比较，来发现周跳并修正整周计数。该方法
由于受到接收机震荡器的随机误差影响，只能
发现较大的周跳（大于 5周），无法判断只有
几周的小周跳。
2,屏幕扫描法：如果观测值中出现整周跳变，则
相位观测值的变化率将不再连续。凡曲线出现
不规则变换时，就意味着在相应 的观测值中出
现了整周跳变。该方法在早期 GPS相位测量数
据处理中应用，主要靠作业人员依据变化率图
象逐段检查。此外，还可利用在卫星间求差以
及根据平差后的残差来发现和修复周跳。
探测和修复周跳的方法很多，采用何种方法应根
据实际情况而定。一般在开始时采用较简便精
度不高的方法发现和修复大周跳，然后用精度
较高的公式寻找并修复小周跳，并通过残差来
加以检验。
整周跳变与接收机的质量和观测条件密切相关，
必须从选择机型、选点、组织观测时就注意，
以便获得一组质量较好的观测值，这是解决周
跳的根本途径。
一组包含了大量周跳的质量很差的观测数据，想
单纯依靠内业处理的方法加以修复以获取高精
度的结果，几乎是不可能的，而且将大大增加
工作量。因此，决不能因为存在用内业方法修
复周跳的可能性而放松外业观测要求。
与周跳分析
三,整周未知数的确定方法
在观测站 1和卫星 j之间，载波相位的变化为
当整周未知数确定后，测相伪距与测码伪距的观测
方程在形式上将一致，此时只要同步观测的卫星
数不少于 4，即使观测一个历元，也可获得唯一
定位结果。
因此，在载波相位观测中，如果能预先消去或者快
速地解算整周未知数，将大大缩短必要的观测时
间。
)()()()( 00 tNttNtt jijijiji ????? ??
如果整周未知数作为待定量，与其它未知参数一起
在数据处理中一并求解，则根据情况，将需要长达
1-3小时的观测时间。因为在同步观测 4颗卫星的情
况下，为解算整周未知数，理论上至少观测 3个历
元。但如果同步观测时间很短，所测卫星的几何分
布变化很小，使站星距离变化也很小，将降低不同
历元观测结果的作用，在平差计算中，法方程的性
质将变坏，影响解的可靠性。
准确快速地解算整周未知数，无论对保障相对定位
精度，还是开拓高精度动态定位应用领域，都有重
要意义。
整周未知数解算方法分类,
按 解算时间长短 划分：经典静态相对定位法和快速
解算法。
经典静态相对定位法：将其作为待定量，在平差计
算中求解，为提高解的可靠性，所需观测时间较
长。
快速解算法包括：交换天线法,P码双频技术、滤
波法、搜索法和模糊函数法等，所需观测时间较
短，一般为数分钟。
按 接收机状态 区分；静态法和动态法。前述的快速
算法，虽然观测时间很短，仍属静态法，动态法
是在接收机载体的运动过程中确定整周未知数的
方法。
1.确定整周未知数的经典静态相对定位法
该方法在长距离静态相对定位中是一种常用方法，
其数学模型有单差和双差模型。也可采用三差模
型，首先消除整周未知数，在观测站坐标确定后，
再根据单差和双差模型，求解相应的整周未知数。
在平差计算中，整周未知数的取值分两种情况,
?整数解（固定解）：将平差计算所得的整周未知
数取为相近的整数，并作为已知数代入原方程，
重新解算其它待定参数。当观测误差和外界误差
（或残差）对观测值影响较小时，该方法较有效，
一般应用于基线较短的相对定位中。
?非整数解（实数解或浮动解）：如果外界误差影响较大，
求解的整周未知数精度较低 (误差影响大于半个波长 )，
将其凑成整数，无助于提高解的精度。此时，不考虑
整周未知数的整数性质，平差计算所得的整周未知数，
不再进行凑整和重新计算。一般用于基线较长相对定
位中。
2.交换接收天线法
原理：在观测之前，先在基准站附近 5-10m处选择一个
天线交换点，将两台接收机天线分别安置在该基线两
端，同步观测 2-8个历元后，相互交换天线，并继续观
测若干历元；最后将两天线恢复到原来位置。此时固
定站与天线交换点之间的基线向量视为起始基线向量，
利用天线交换前后的同步观测量，求解基线向量，进
而确定整周未知数。
假设在固定站 1和天线交换点 2的接收机，于历元
t1同步观测了卫星 j,k，在忽略大气折射影响
的情况下，可得单差观测方程,
相应的双差观测方程为
上式中
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tNtNN
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当两接收机交换天线后，于历元 t2同步观测相同卫星 j,k，
则单差观测方程为,
相应的双差观测方程为
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221222
221222
ttfNttt
ttfNttt
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2 1
Sj(t1) Sk(t1)
1
Sj(t2) Sk(t2)
2
T1 T2 T1 T2
取相应历元 t1,t2的双差之和，则有
其中
上述模型与静态三差模型相类似，区别在于上式是根据不同
历元同步观测量的双差之和而建立的。由于所选起始基线
很短，此时卫星轨道误差和大气折射误差对该模型的影响
可忽略不计。上式的求解条件与双差相同。根据上式确定
起始基线向量后，可根据双差模型确定整周未知数。该方
法观测时间短（数分钟），精度较高，操作方便，在准动
态相对定位中得到应用。
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)()()(
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21222
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3.确定整周未知数的搜索法
1990年 E,Frei和 G,Beutler提出了一种快速解算整周
未知数的方法（ fast ambiguity resolution
approach—— FARA）。基本思想是：以数理统
计理论的参数估计和假设检验为基础，利用初始
平差的解向量（点的坐标和整周未知数的实数解）
及其精度信息（方差与协方差和单位权中误差），
确定在某一置信区间整周未知数可能的整数解的
组合，然后将整周未知数的每一组合作为已知值，
重复进行平差计算，其中使估值的验后方差（或
方差和）为最小的一组整周未知数就是所搜索的
整周未知数的最佳估值。
现以载波相位观测值双差模型为例,
假设在基线两端对同一组卫星（卫星数为 nj）进行
同步观测，观测历元数为 nt，相应的误差方程组
已知为
其中
经过初始平差后，相应整周未知数解向量的协因数
阵为 QNN,
单位权验后方差估算式,
其中 n为观测方程数,u为未知量个数,n-u为自由度。
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? ?
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PVV
则任一整周未知数经初始平差后实数解的中误差为
在一定置信水平条件下，相应任一整周未知数的置信
区间为
i=1,2,…,n j-1
其中 t(?/2)为显著水平 ?和自由度的函数。当 ?和自由
度确定后,t(?/2)值可由 t值分布表中查得。例如：
当取 ?=0.001,n-u=40时,得 t(?/2)=3.55。如果初始
平差后得 Ni=9.05,mNi=0.78,则 Ni的置信区间为 6.28?
Ni ? 11.8。其置信水平为 99.9%，在上述区间整数 Ni
的可能取值为 6,7,8,9,10,11,12。
N i N iN mm i Q0?
)2/()2/( ?? tmNNtmN ii NiiNi ????
设 Ci为 Ni的可能取值数，由向量 N=(N1,N2,…,N nj-1),
可得整数组合的总数
如果观测的卫星数为 nj=6,而每个整周未知数在其置信
区间内均有 7个可能的整数取值，按上式可能的组
合数为 75= 16807，对双频接收机则为 33614。
将上述整周未知数的各种可能组合，依次作为固定值，
代入相应的误差方程组中，进行平差计算，最终取
坐标值的验后方差为最小的一组平差结果，作为整
周未知数的最后取值。
121
1
1
.,, ??
?
??? ? j
j
ni
n
i
CCCCC
四：周跳分析的基本思路
当接收机捕获卫星信号后，只要跟踪不中断（失
锁），接收机便会给出在跟踪期间载波相位整
周数的变化。实际中由于卫星信号被暂时遮挡
或外界干扰因素的影响，经常引起卫星跟踪信
号的暂时中断，导致接收机整周计数中断。
当接收机恢复对该卫星的跟踪后，所测相位的小
数部分不受跟踪中断的影响，仍是连续的，但
整周计数由于失去了在失锁期间载波相位变化
的整周数，不再连续，使其后的相位观测值，
均含有同样的整周误差。
在 GPS定位中，同一观测时段延续的时间越长，产生
周跳的可能性越大。在观测成果平差计算前，必须
对其中可能存在的周跳现象进行检测和修复。
1,在不发生周跳的情况下，随着观测站与卫星间距离
的不断变化，载波相位观测值也将随之不断变化，
但变化应是平缓而有规律。一般情况下，若每 15秒
输出一个相位观测值，则相邻历元整周模糊度之差
可达数万周，那么对于几十周的周跳就难以发觉，
但当取 4至 5次差之后，距离变化对整周数的影响可
忽略，其差值主要是由震荡器的随机误差引起，具
有随机特性。如果在观测过程中产生了周跳现象，
将破坏相位观测量的正常变化，使其高次项的随机
特性受到破坏，利用这一性质，可发现周跳现象。
历元 ?ij(t) 1次差 2次差 3次差 4次差
T1 475833.2251
T2 487441.9784 11608.7531
T3 499450.5455 12008.5671 399.8140
T4 511861.4338 12410.8883 402.3212 2.5072
T5 524676.5710 12815.1372 404.2489 1.9277 -0.5795
T6 537898.8487 13222.2777 407.1405 2.8916 0.9639
T7 551530.8864 13632.0377 409.7600 2.6195 -0.2721
T8 565574.8817 14043.9953 411.9576 2.1976 -0.4219
历元 ?ij(t) 1次差 2次差 3次差 4次差
T1 475833.2251
T2 487441.9784 11608.7531
T3 499450.5455 12008.5671 399.8140
T4 511861.4338 12410.8883 402.3212 2.5072
T5 524576.5710 12715.1372 304.2489 -98.0723 100.5795
T6 537798.8487 13222.2777 507.1405 202.8916 300.9639
T7 551430.8864 13632.0377 409.7600 -97.3805 300.2721
T8 565474.8817 14043.9953 411.9576 2.1976 99.5781
从上表中可见,4次差的异常与历元 t5观测值的周
跳是相应的。某一历元的周跳发生后，可根据
该历元的前或后的正确观测值，利用高次插值
公式，恢复第一个观测值的正确整周计数。
另外，根据相邻的几个正确的相位观测值，采用
n阶多项式拟合的方法，预估观测值并与实测
值比较，来发现周跳并修正整周计数。该方法
由于受到接收机震荡器的随机误差影响，只能
发现较大的周跳（大于 5周），无法判断只有
几周的小周跳。
2,屏幕扫描法：如果观测值中出现整周跳变，则
相位观测值的变化率将不再连续。凡曲线出现
不规则变换时，就意味着在相应 的观测值中出
现了整周跳变。该方法在早期 GPS相位测量数
据处理中应用，主要靠作业人员依据变化率图
象逐段检查。此外，还可利用在卫星间求差以
及根据平差后的残差来发现和修复周跳。
探测和修复周跳的方法很多，采用何种方法应根
据实际情况而定。一般在开始时采用较简便精
度不高的方法发现和修复大周跳，然后用精度
较高的公式寻找并修复小周跳，并通过残差来
加以检验。
整周跳变与接收机的质量和观测条件密切相关，
必须从选择机型、选点、组织观测时就注意，
以便获得一组质量较好的观测值，这是解决周
跳的根本途径。
一组包含了大量周跳的质量很差的观测数据，想
单纯依靠内业处理的方法加以修复以获取高精
度的结果，几乎是不可能的，而且将大大增加
工作量。因此，决不能因为存在用内业方法修
复周跳的可能性而放松外业观测要求。
