第八章 GPS相对定位原理
一：静态相对定位
用两台接接收机分别安置在基线的两个端点，其位置静
止不动，同步观测相同的 4颗以上卫星，确定两个端点
在协议地球坐标系中的相对位置，这就叫做静态相对
定位。
静态相对定位一般均采用载波相位观测值（或测相伪距）
为基本观测量,对中等长度的基线（ 100-500km），相
对定位精度可达 10-6-10-7甚至更好，静态相对定位是目
前 GPS精度最高的定位方式。
在载波相位观测的数据处理中，为可靠地确定载波相位
整周未知数，静态相对定位一般需要较长的观测时间
（ 1.0-1.5小时），如何缩短观测时间，是研究和关心
的热点。缩短静态相对定位的观测时间关键在于快速
而可靠地确定整周未知数。
在高精度静态相对定位中，当仅有两台接收机时，
一般应考虑将单独测定的基线向量联结成向量
网（三角网或导线网），以增强几何强度，改
善定位精度。当有多台接收机时，应采用网定
位方式，可检核和控制多种误差对观测量的影
响，明显提高定位精度。
卫星
由于当距离不太远的两个测站同步观测相同卫星
时 GPS的各种观测误差具有较强的相关性，所
以一种简单而有效的消除或减弱误差的方法就
是将 GPS的各种观测量进行不同的线形组合。
然后作为相对定位的相关观测量。
优点,
?消除或减弱一些具有系统性误差的影响，如卫星
轨道误差、钟差和大气折射误差等。
?减少平差计算中未知数的个数。
1 静态相对定位的观测方程
（ 1）基本观测量及其线性组合
假设安置在基线端点的接收机 Ti(i=1,2)，对 GPS卫星 sj和
sk，于历元 t1和 t2进行了同步观测，可以得到如下的载
波相位观测量,?1j(t1),?1j(t2), ?1k(t1), ? 1k(t2),
?2j(t1), ? 2j(t2),? 2k(t1),?2k(t2)。若取符号 ??j(t)、
??i(t)和 ??ij(t)分别表示不同接收机之间、不同卫星之间
和不同观测历元之间的观测量之差，则有
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在上式中，观测量的一般形式为,
目前普遍采用的差分组合形式有三种,
?单差（ Single-Difference—— SD）,在不同观测站，同步
观测相同卫星所得观测量之差。表示为
?双差（ Double-Difference—— DD）：在不同观测站，同
步观测同一组卫星，所得单差之差。符号表示为
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?三差（ Triple-Difference—— TD）：于不同历元，
同步观测同一组卫星，所得观测量的双差之差。
表达式为,
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（ 2）单差（ SD）观测方程
根据单差的定义，可得
若取符号,
则单差方程可写为
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在上式中,卫星钟差的影响已经消除，这是单差模型的优
点。 两观测站接收机的相对钟差，对同一历元两站接收
机同步观测量所有单差的影响均为常量。而卫星轨道误
差和大气折射误差，对两站同步观测结果的影响具有相
关性，其对单差的影响明显减弱。
如果对流层对独立观测量的影响已经根据实测大气资料利
用模型进行了修正；而电离层的影响也利用模型或双频
技术进行了修正，则载波相位观测方程中相应项，只是
表示修正后的残差对相位观测量的影响。这些残差的影
响，在组成单差时会进一步减弱。
如果忽略残差影响，则单差方程可简化为,
若取
则单差观测方程改写为,
如果以 ni表示观测站数，以 nj和 nt表示所测卫星数和观测
历元数，并取一个观测站作为固定参考点，则单差观
测方程总数为 (ni-1) nj nt，而未知参数总数为 (ni-1)
(3+nj+nt)，为了通过数据处理得到确定的解，必须满足
条件,(ni-1) nj nt? (ni-1) (3+nj+nt)，由于 (ni-1) ? 1，则
有 nj nt? (3+nj+nt)，即
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上式表明,必要的历元数只与所测的卫星数有关，与观
测站的数量无关。 例如当观测站所测卫星数为 4，可得
观测历元数应大于 7/3，而历元数为整数，故历元数为
3。即在观测卫星数为 4的条件下，在两个或多个测站
上，对同一组 4颗卫星至少同步观测 3个历元，按单差
模型平差计算时，才能唯一确定全部未知参数。
综上，独立观测方程数为 ninjnt，单差观测方程比独立观
测方程减少了 njnt个。例如 2个测站,3个历元，同步观
测 4颗卫星，则独立观测量方程总数为 24，单差观测方
程为 12，单差观测方程比独立观测方程减少了 12个。
（ 3）,双差（ DD）观测方程
将单差观测方程,
应用于两测站、两同步观测卫星，并忽略大气折射残差
的影响，可得双差观测方程,
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双差模型的优点是消除了接收机钟差的影响。 如果取观
测站 T1作为已知参考点，并取符号
则非线性化双差观测方程,
式中
该式中除了含有观测站 T2的位置待定参数外，还包含一
个与整周未知数有关的参数。为了方便构成双差观测
方程，一般取一个观测站为参考点，同时取一颗观测
卫星为参考卫星。
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如果以 ni表示观测站数，以 nj和 nt表示所测卫星数和观测
历元数，则双差观测方程总数为 (ni-1) (nj-1) nt。而待定
参数总数为 3(ni-1)+ (ni-1)(nj-1)，式中第一项为待定点
坐标未知数，第二项为双差模型中出现的整周未知数
数量。为了通过数据处理得到确定的解，必须满足条
件,(ni-1) (nj-1) nt ? 3(ni-1)+ (ni-1)(nj-1)，由于 (ni-1) ? 1，
则有 (nj-1) nt ? nj+2，,即
1
2
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j
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上式表明,双差观测的必要历元数只与同步观测的卫星
数有关，与观测站的数量无关。 当同步观测的卫星数
为 4，则可算得观测历元数大于等于 2。说明，为了解
算观测站的坐标未知数和载波相位的整周未知数，在
由两个或多个观测站同步观测 4颗卫星时，至少必须观
测 2个历元。 双差观测方程的缺点是可能组成的双差观
测方程数将进一步减少。 双差观测方程数与独立观测
方程总数相比减少了 (ni + nj-1) nt，与单差相比减少了
(ni-1) nt 。 例如 2个测站,2个历元，同步观测 4颗卫星，
则独立观测量方程总数为 16，双差观测方程为 6，双差
观测方程比独立观测方程减少了 10个，比单差减少 2个。
（ 4）,三差（ TD）观测方程
根据三差定义和二差观测方程,
可得
仍以观测站 T1为参考点，取
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则非线性三差方程为,
可见出现在方程右端的未知数只有观测站 T2 的坐标,三
差模型的优点是消除了整周未知数的影响,但使观测
方程的数量进一步减少。当观测站数为 ni，相对某一已
知参考点可得未知参数总量为 3(ni-1)，此外，在组成三
差观测方程时，若取一观测卫星为参考卫星，并取某
一历元为参考历元，则三差观测方程总数为 (ni-1) (nj-
1)(nt-1)。为确定观测站未知数，必须满足 (ni-1) (nj-
1)(nt-1) ? 3(ni-1)，即 (nj-1)(nt-1) ? 3，或 nt ? (nj+2)/(nj-1)。
说明为确定未知参数所必需的观测历元数与观测站数
无关，只与同步观测卫星数有关。
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三差观测方程的数量与独立观测量方程相比减少了 nj nt +
(ni-1)(nj +nt-1),与单差观测方程相比减少了 (ni-1)(nj
+nt-1),与双差相比减少了 (ni-1)(nj -1) 。
当 ni=2,nj=4,nt =2时，三差观测方程数比独立观测量减
少了 13个，比单差减少了 5个，比双差减少了 3个。
注意,由于三差模型使观测方程数目明显减少，对未知
参数的解算可能产生不利影响。一般认为，实际定位
工作中，采用双差模型较为适宜。
载波相位原始观测量的不同线性组合，都可作为相对定位
的相关观测量,缺点,
?原始独立观测量通过求差将引起差分量之间的相关性。
?平差计算中，差分法将使观测方程数明显减少。
?在一个时间段的观测中，为了组成观测量的差分，通常
应选择一个参考观测站和一颗参考卫星。如果某一历元，
对参考站或参考卫星的观测量无法采用，将使观测量的
差分产生困难。参加观测的接收机数量越多，情况越复
杂，此时将不可避免地损失一些观测数据。
因此,应用原始观测量的非差分模型，进行高精度定位研
究，也日益受到重视。
2 静态相对定位的单基线平差模型
假设在同一观测时段，只有两台接收机在一条基线上进
行了同步观测工作。从这一条件出发，根据间接平差
原理，讨论载波相位观测量不同线性组合的平差模型。
这些模型易于推广到多台接收机观测情况。
（ 1）观测方程线性化及平差模型
在协议地球坐标系中，若观测站 Ti待定坐标的近似向量为
Xi0=[Xi0 Yi0 Zi0]T,其改正数向量为 ?Xi=[?Xi ?Yi ?Zi]T，
则观测站 Ti至所测卫星 sj的距离按泰勒级数展开并取其
一次微小项,
可得
上式中 Xj(t),Yj(t),Zj(t)为卫星 sj于历元 t的瞬时坐标。
下面所讲的平差模型是假设所测卫星的瞬时坐标和起始
点坐标已知的情况下。
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（ 2）单差模型
任取两观测站 T1和 T2，并以 T1为已知起始点，根据载波相
位单差模型
可得单差观测方程线性化形式
取符号
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相应的误差方程为
若两观测站同步观测卫星数为 nj,则误差方程组为,
或
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若进一步假设同步观测同一组卫星的历元数为 nt，则相应
的误差方程组为
相应的法方程式及其解
其中
P为单差观测量的权矩阵 。
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（ 3） 双差模型
两观测站，同步观测卫星 sj和 sk，并以 sj为参考卫星，则双
差观测方程
线性化的形式为
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上式中
若取符号
则得误差方程式,
若同步观测卫星数为 nj,则有误差方程组
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若在基线两端同步观测同一组卫星的历元数为 nt，
则相应的误差方程组为
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其中
P为双差观测的权矩阵。
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（ 4）三差模型
假设于基线两端，同步观测 GPS卫星的历元为 t1,t2，则
三差方程线性化形式为
上式中
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当同步观测卫星数为 nj，并以某一卫星为参考卫
星时，可得误差方程组为
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如果两观测站对同一组卫星同步观测历元数为 nt，并以某
一历元为参考历元，则误差方程组为,
相应法方程组及其解为,
其中 P为相应三差观测量的权矩阵。
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二,动态相对定位
用一台接收机安置在基准站上固定不动，另一台接收
机安置在运动载体上，两台接收机同步观测相同卫
星，以确定运动点相对基准站的实时位置。
动态相对定位根据采用的观测量不同，分为以测码伪
距为观测量的动态相对定位和以测相伪距为观测量
的动态相对定位。
测码伪距动态相对定位，目前实时定位精度为米级。
以相对定位原理为基础的实时差分 GPS可有效减弱卫
星轨道误差、钟差、大气折射误差以及 SA政策影响，
定位精度远远高于测码伪距动态绝对定位。
测相伪距动态相对定位是以预先初始化或动态解
算载波相位整周未知数为基础的一种高精度动
态相对定位法，目前在较小范围内（小于
20km），定位精度达 1-2cm。
动态相对定位中，根据 数据处理方式不同，可分
为实时处理和后处理 。
数据的实时处理要求在观测过程中实时地获得定
位结果，无需存储观测数据，但在流动站和基
准站之间必须实时地传输观测数据或观测量的
修正数据，这种处理方式对运动目标的导航、
监测和管理具有重要意义。
数据的后处理要求在观测过程结束后，通过数据
处理而获得定位结果。该处理方式可以对观测
数据进行详细分析，易于发现粗差，不需要实
时传输数据，但需要存储观测数据。后处理方
式主要应用于基线较长，不需实时获得定位结
果的测量工作。
由于建立和维持一个数据实时传输系统（包括无
线电信号的发射和接收设备），不仅技术复杂，
而且花费较大，一般除非必须获得实时定位结
果外，均采用观测数据的测后处理方式。
差分定位
差分 GPS根据其系统构成的基准站个数可分为单基
准差分、多基准的局部区域差分和广域差分。而
根据信息的发送内容又可分为伪距差分、相位差
分及位置差分等。
基本原理：由用户接受基准站发送的改正数，并
对观测站的测量成果进行改正以获得精密定位的
结果。
以上差分的区别就在于发送改正数内容的不同，
差分数学模型的不同结果导致定位精度的不同。
1 位置差分原理
安置在已知点基准站上的 GPS接收机经对 4颗或 4颗以上的
卫星观测，便可实现定位，求出基准站的坐标。由于
存在着卫星星历、时钟误差、大气折射误差等，该坐
标与已知坐标不一样，存在误差
将上述坐标改正数利用数据链将坐标改正数发送给用户
站，用户站用接受到的坐标改正数对其坐标进行改正
即,
iZZX
YYY
XXX
???
???
???
'
'
ZZZ
YYY
XXX
kk
kk
kk
???
???
???
'
'
'
如果考虑数据传送时间所引起的用户站位置的瞬间变化，
则可写为,
位置差分定位的优点：可以提高精度，而且数据传输量
小，计算方法简单。
缺点是（ 1） 难以确保基准站和用户站观测同一组卫星。
（ 2）位置差分定位效果不如伪距差分好。
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)(
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)(
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tt
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kk
k
kk
k
kk
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2 伪距差分原理
伪距差分的基本原理：它是通过在基准站上利用
基准站的已知坐标求出测站至卫星的距离，并
将其与与含有误差的伪距观测值比较，然后利
用一个滤波器将此差值滤波并求出其偏差，并
将所有卫星的测距误差传输给用户，用户利用
此测距误差改正伪距观测值，并利用改正后的
伪距值求出自身的坐标。
设测站 i与卫星 j之间在 t时刻的伪距为
根据基准站的三维已知坐标和 GPS卫星星历，可以算得该
时刻两者之间的几何距离
故由基准站接收机测得的包含各种误差的伪距与几何距
离之间存在差值
将该伪距的改正值发给用户的接收机，则用户接收机改
正后的伪距值为
jijijijijiji dTItttc ??????? ?????? )](['
21222 }][][]{[ ijijijji ZZYYXX ???????
jijiji ???? ?? '
jijkjk ???? ?? ''
若考虑信号传送的伪距改正数的时间变化率，则有
当用户运动站与基准站之间的距离小于 100km,则有
因此，改正后的伪距应为,
)( 0'' ttdtd jijijkjk ???? ??????
jj
j
i
j
k
j
i
j
k
j
i
j
k
tt
TT
II
dd
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??
??
?
?
?
?
)(*}][][]{[' 21222 ikkjkjkjjk ttCZZYYXX ??? ????????
当基准站同用户站同时观测四颗以上相同的卫星，
即可实现用户站的定位。
由于差分定位是利用两站的公共误差的抵消来提
高精度，而误差的公共性又与两站距离相关，
所以，随着两站距离的增加，效果会变差。
2 载波相位差分原理
2.1 改正法
与伪距差分相同，基准站将载波相位的改正量发送给用
户站，以对用户站的载波相位进行改正实现定位。
在载波相位测量中，卫星到测站点之间的相位差值主要
由三部分组成,
（ 1）
将上式乘以载波波长，则卫星至测站点之间的距离
（ 2）
iijijiji ttNtN ??????? )()( 00
))()(( 00' iijijiji ttNtN ???? ????
在基准站利用已知坐标和卫星星历可求得基准站到卫
星之间的真实距离，则测量得到的伪距可表示为
（ 3）
在基准站求出的伪距改正数为
（ 4）
如果用户用伪距改正数对伪距观测值进行修正，则
（ 5）
iijijijiji
ji VMTItttc ??????? ??????? )](['
iijijijijijiji VMTItttc ???????? ????????? )](['
)()()()(][' ikikjijkjijkikjkjijk VVMMTTIIttc ???????????? ????????????
当基准站与用户站之间的距离小于 30km时，则有
因此上式（ 5）可变为
（ 6）
式中,
j
i
j
k
j
i
j
k
TT
II
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k
j
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j
k
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)()(][ ikikik VVMMttc ??????? ??????
将载波相位伪距值（ 3）式代入观测方程，则可得
（ 7）
令 在整个测量过程中，只要保持卫星
不失锁，则为常数，同时令
为载波相位测量差
值，则公式（ 7）可表示为
（ 8）
或,
??
????????
???????
????????
?????????
????
21222
0000
'''
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k
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)())()(( 00 iiikjijk ttNttN ??????? ???????
????? ??????????? 212220 }][][]{[)( kjkjkjjji ZZYYXXtN
)(}][][]{[ 021222 tNZZYYXX jkjkjkjji ????? ???????????
2.2 求差法
所谓求差法就是将基准站观测的载波相位观测值实时地发送
给用户观测站，在用户站对载波相位观测值求差，获得诸如
静态相对定位的单差、双差和三差解算模型。定位程序为,
（ 1）用户站在保持不动的情况下，静态观测若干历元，并将
基准站上的观测数据通过数据链传送给用户站，按静态相对
定位法求出整周未知数，这一过程称为初始化阶段。
（ 2）将求出的整周未知数代入双差模型，此时双差只包括三
个坐标增量，只要 3颗以上卫星的一个历元的观测值，就可实
时地求解出三个位置分量。
（ 3）将求出的坐标增量加入已知的基准站坐标即可得到用户
站的空间位置。
单基准站差分
单基准站差分 GPS是根据一个基准站所提供的差分改正信息
对用户站进行改正的差分 GPS系统，该系统由基准站、
无线电数据通信链和用户站三部分组成。
1：基准站：在已知点上配备能同步跟踪视场内所有 GPS卫
星信号接收机一台，并具有计算差分改正和编码功能的
软件。
2：无线电数据通信链：该设备用于将差分改正信息传给用
户站，包括信号解调器、无线电发射机和发射天线。
3：用户站：包括 GPS接收机以及接受差分改正信息的无线
电接收机、信号解调器、计算机软件等。
优点：结构和算法相对简单。
缺点：可靠性差、精度较差。
局部区域差分
在一个较大的区域布设多个基准站，以构成基准站网，
其中常包含一个或数个监控站，位于该区域中的用户
根据多个基准站所提供的改正信息经平差计算后求得
用户站定位改正数。
优点：精度和可靠性有所提高
缺点：所需的基准站个数多，且有些地方不能布设基准
站
广域差分
在一个相当大的区域中用相对较少的基准站组成差分
GPS网，各基准站将求得的距离改正数发送给数据处理
中心，由数据处理中心统一处理，将各种 GPS观测误差
源加以区分，然后再传给用户。
优点：精度高且分布均匀
基准站个数较少
缺点：技术复杂，花费大
一：静态相对定位
用两台接接收机分别安置在基线的两个端点，其位置静
止不动，同步观测相同的 4颗以上卫星，确定两个端点
在协议地球坐标系中的相对位置，这就叫做静态相对
定位。
静态相对定位一般均采用载波相位观测值（或测相伪距）
为基本观测量,对中等长度的基线（ 100-500km），相
对定位精度可达 10-6-10-7甚至更好，静态相对定位是目
前 GPS精度最高的定位方式。
在载波相位观测的数据处理中，为可靠地确定载波相位
整周未知数，静态相对定位一般需要较长的观测时间
（ 1.0-1.5小时），如何缩短观测时间，是研究和关心
的热点。缩短静态相对定位的观测时间关键在于快速
而可靠地确定整周未知数。
在高精度静态相对定位中，当仅有两台接收机时，
一般应考虑将单独测定的基线向量联结成向量
网（三角网或导线网），以增强几何强度，改
善定位精度。当有多台接收机时，应采用网定
位方式，可检核和控制多种误差对观测量的影
响，明显提高定位精度。
卫星
由于当距离不太远的两个测站同步观测相同卫星
时 GPS的各种观测误差具有较强的相关性，所
以一种简单而有效的消除或减弱误差的方法就
是将 GPS的各种观测量进行不同的线形组合。
然后作为相对定位的相关观测量。
优点,
?消除或减弱一些具有系统性误差的影响，如卫星
轨道误差、钟差和大气折射误差等。
?减少平差计算中未知数的个数。
1 静态相对定位的观测方程
（ 1）基本观测量及其线性组合
假设安置在基线端点的接收机 Ti(i=1,2)，对 GPS卫星 sj和
sk，于历元 t1和 t2进行了同步观测，可以得到如下的载
波相位观测量,?1j(t1),?1j(t2), ?1k(t1), ? 1k(t2),
?2j(t1), ? 2j(t2),? 2k(t1),?2k(t2)。若取符号 ??j(t)、
??i(t)和 ??ij(t)分别表示不同接收机之间、不同卫星之间
和不同观测历元之间的观测量之差，则有
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12
12
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ttt
ttt
j
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k
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???
???
??
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在上式中，观测量的一般形式为,
目前普遍采用的差分组合形式有三种,
?单差（ Single-Difference—— SD）,在不同观测站，同步
观测相同卫星所得观测量之差。表示为
?双差（ Double-Difference—— DD）：在不同观测站，同
步观测同一组卫星，所得单差之差。符号表示为
)()()( 12 ttt jjj ??? ???
? ?)()()()()()()( 1212 ttttttt jjkkjkk ??????? ??????????
)]()([)()]()([)()( 0 tTtIcftNttttftcft jipjijijijiji ???????? ????
?三差（ Triple-Difference—— TD）：于不同历元，
同步观测同一组卫星，所得观测量的双差之差。
表达式为,
? ?
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)()()()(
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11121112
21222122
12
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tttt
ttt
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????
????
????
????????
（ 2）单差（ SD）观测方程
根据单差的定义，可得
若取符号,
则单差方程可写为
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12
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12
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j
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在上式中,卫星钟差的影响已经消除，这是单差模型的优
点。 两观测站接收机的相对钟差，对同一历元两站接收
机同步观测量所有单差的影响均为常量。而卫星轨道误
差和大气折射误差，对两站同步观测结果的影响具有相
关性，其对单差的影响明显减弱。
如果对流层对独立观测量的影响已经根据实测大气资料利
用模型进行了修正；而电离层的影响也利用模型或双频
技术进行了修正，则载波相位观测方程中相应项，只是
表示修正后的残差对相位观测量的影响。这些残差的影
响，在组成单差时会进一步减弱。
如果忽略残差影响，则单差方程可简化为,
若取
则单差观测方程改写为,
如果以 ni表示观测站数，以 nj和 nt表示所测卫星数和观测
历元数，并取一个观测站作为固定参考点，则单差观
测方程总数为 (ni-1) nj nt，而未知参数总数为 (ni-1)
(3+nj+nt)，为了通过数据处理得到确定的解，必须满足
条件,(ni-1) nj nt? (ni-1) (3+nj+nt)，由于 (ni-1) ? 1，则
有 nj nt? (3+nj+nt)，即
? ? jjjj Nttfttcft ??????? )()()()( 12 ???
)()()( 1 tcfttF jjj ?? ????
jjj NttftcftF ?????? )()()( 2?
1
3
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j
j
t n
nn
上式表明,必要的历元数只与所测的卫星数有关，与观
测站的数量无关。 例如当观测站所测卫星数为 4，可得
观测历元数应大于 7/3，而历元数为整数，故历元数为
3。即在观测卫星数为 4的条件下，在两个或多个测站
上，对同一组 4颗卫星至少同步观测 3个历元，按单差
模型平差计算时，才能唯一确定全部未知参数。
综上，独立观测方程数为 ninjnt，单差观测方程比独立观
测方程减少了 njnt个。例如 2个测站,3个历元，同步观
测 4颗卫星，则独立观测量方程总数为 24，单差观测方
程为 12，单差观测方程比独立观测方程减少了 12个。
（ 3）,双差（ DD）观测方程
将单差观测方程,
应用于两测站、两同步观测卫星，并忽略大气折射残差
的影响，可得双差观测方程,
? ? ? ? ? ?
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双差模型的优点是消除了接收机钟差的影响。 如果取观
测站 T1作为已知参考点，并取符号
则非线性化双差观测方程,
式中
该式中除了含有观测站 T2的位置待定参数外，还包含一
个与整周未知数有关的参数。为了方便构成双差观测
方程，一般取一个观测站为参考点，同时取一颗观测
卫星为参考卫星。
? ?)()(1)()( 11 ttttF jkk ???? ???????
? ? kkk NtttF ??????? )()(1)( 12 ???
jkk NNN ??????
如果以 ni表示观测站数，以 nj和 nt表示所测卫星数和观测
历元数，则双差观测方程总数为 (ni-1) (nj-1) nt。而待定
参数总数为 3(ni-1)+ (ni-1)(nj-1)，式中第一项为待定点
坐标未知数，第二项为双差模型中出现的整周未知数
数量。为了通过数据处理得到确定的解，必须满足条
件,(ni-1) (nj-1) nt ? 3(ni-1)+ (ni-1)(nj-1)，由于 (ni-1) ? 1，
则有 (nj-1) nt ? nj+2，,即
1
2
?
??
j
j
t n
nn
上式表明,双差观测的必要历元数只与同步观测的卫星
数有关，与观测站的数量无关。 当同步观测的卫星数
为 4，则可算得观测历元数大于等于 2。说明，为了解
算观测站的坐标未知数和载波相位的整周未知数，在
由两个或多个观测站同步观测 4颗卫星时，至少必须观
测 2个历元。 双差观测方程的缺点是可能组成的双差观
测方程数将进一步减少。 双差观测方程数与独立观测
方程总数相比减少了 (ni + nj-1) nt，与单差相比减少了
(ni-1) nt 。 例如 2个测站,2个历元，同步观测 4颗卫星，
则独立观测量方程总数为 16，双差观测方程为 6，双差
观测方程比独立观测方程减少了 10个，比单差减少 2个。
（ 4）,三差（ TD）观测方程
根据三差定义和二差观测方程,
可得
仍以观测站 T1为参考点，取
? ? kjkjk
jkk
Nttttfc
ttt
??????
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jkjk
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????
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? ?)()()()(1)( 11112121 tttttF jkjkk ???????? ?????????
则非线性三差方程为,
可见出现在方程右端的未知数只有观测站 T2 的坐标,三
差模型的优点是消除了整周未知数的影响,但使观测
方程的数量进一步减少。当观测站数为 ni，相对某一已
知参考点可得未知参数总量为 3(ni-1)，此外，在组成三
差观测方程时，若取一观测卫星为参考卫星，并取某
一历元为参考历元，则三差观测方程总数为 (ni-1) (nj-
1)(nt-1)。为确定观测站未知数，必须满足 (ni-1) (nj-
1)(nt-1) ? 3(ni-1)，即 (nj-1)(nt-1) ? 3，或 nt ? (nj+2)/(nj-1)。
说明为确定未知参数所必需的观测历元数与观测站数
无关，只与同步观测卫星数有关。
? ?)()()()(1 12122222 ttttF jkjk ?????? ??????
三差观测方程的数量与独立观测量方程相比减少了 nj nt +
(ni-1)(nj +nt-1),与单差观测方程相比减少了 (ni-1)(nj
+nt-1),与双差相比减少了 (ni-1)(nj -1) 。
当 ni=2,nj=4,nt =2时，三差观测方程数比独立观测量减
少了 13个，比单差减少了 5个，比双差减少了 3个。
注意,由于三差模型使观测方程数目明显减少，对未知
参数的解算可能产生不利影响。一般认为，实际定位
工作中，采用双差模型较为适宜。
载波相位原始观测量的不同线性组合，都可作为相对定位
的相关观测量,缺点,
?原始独立观测量通过求差将引起差分量之间的相关性。
?平差计算中，差分法将使观测方程数明显减少。
?在一个时间段的观测中，为了组成观测量的差分，通常
应选择一个参考观测站和一颗参考卫星。如果某一历元，
对参考站或参考卫星的观测量无法采用，将使观测量的
差分产生困难。参加观测的接收机数量越多，情况越复
杂，此时将不可避免地损失一些观测数据。
因此,应用原始观测量的非差分模型，进行高精度定位研
究，也日益受到重视。
2 静态相对定位的单基线平差模型
假设在同一观测时段，只有两台接收机在一条基线上进
行了同步观测工作。从这一条件出发，根据间接平差
原理，讨论载波相位观测量不同线性组合的平差模型。
这些模型易于推广到多台接收机观测情况。
（ 1）观测方程线性化及平差模型
在协议地球坐标系中，若观测站 Ti待定坐标的近似向量为
Xi0=[Xi0 Yi0 Zi0]T,其改正数向量为 ?Xi=[?Xi ?Yi ?Zi]T，
则观测站 Ti至所测卫星 sj的距离按泰勒级数展开并取其
一次微小项,
可得
上式中 Xj(t),Yj(t),Zj(t)为卫星 sj于历元 t的瞬时坐标。
下面所讲的平差模型是假设所测卫星的瞬时坐标和起始
点坐标已知的情况下。
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（ 2）单差模型
任取两观测站 T1和 T2，并以 T1为已知起始点，根据载波相
位单差模型
可得单差观测方程线性化形式
取符号
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相应的误差方程为
若两观测站同步观测卫星数为 nj,则误差方程组为,
或
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tv
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若进一步假设同步观测同一组卫星的历元数为 nt，则相应
的误差方程组为
相应的法方程式及其解
其中
P为单差观测量的权矩阵 。
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（ 3） 双差模型
两观测站，同步观测卫星 sj和 sk，并以 sj为参考卫星，则双
差观测方程
线性化的形式为
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上式中
若取符号
则得误差方程式,
若同步观测卫星数为 nj,则有误差方程组
jkk
jk
jk
jk
k
k
k
NNN
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tltl
tn
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tl
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若在基线两端同步观测同一组卫星的历元数为 nt，
则相应的误差方程组为
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相应的法方程式及其解可表示为
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P为双差观测的权矩阵。
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（ 4）三差模型
假设于基线两端，同步观测 GPS卫星的历元为 t1,t2，则
三差方程线性化形式为
上式中
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其中
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则得误差方程
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当同步观测卫星数为 nj，并以某一卫星为参考卫
星时，可得误差方程组为
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如果两观测站对同一组卫星同步观测历元数为 nt，并以某
一历元为参考历元，则误差方程组为,
相应法方程组及其解为,
其中 P为相应三差观测量的权矩阵。
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二,动态相对定位
用一台接收机安置在基准站上固定不动，另一台接收
机安置在运动载体上，两台接收机同步观测相同卫
星，以确定运动点相对基准站的实时位置。
动态相对定位根据采用的观测量不同，分为以测码伪
距为观测量的动态相对定位和以测相伪距为观测量
的动态相对定位。
测码伪距动态相对定位，目前实时定位精度为米级。
以相对定位原理为基础的实时差分 GPS可有效减弱卫
星轨道误差、钟差、大气折射误差以及 SA政策影响，
定位精度远远高于测码伪距动态绝对定位。
测相伪距动态相对定位是以预先初始化或动态解
算载波相位整周未知数为基础的一种高精度动
态相对定位法，目前在较小范围内（小于
20km），定位精度达 1-2cm。
动态相对定位中，根据 数据处理方式不同，可分
为实时处理和后处理 。
数据的实时处理要求在观测过程中实时地获得定
位结果，无需存储观测数据，但在流动站和基
准站之间必须实时地传输观测数据或观测量的
修正数据，这种处理方式对运动目标的导航、
监测和管理具有重要意义。
数据的后处理要求在观测过程结束后，通过数据
处理而获得定位结果。该处理方式可以对观测
数据进行详细分析，易于发现粗差，不需要实
时传输数据，但需要存储观测数据。后处理方
式主要应用于基线较长，不需实时获得定位结
果的测量工作。
由于建立和维持一个数据实时传输系统（包括无
线电信号的发射和接收设备），不仅技术复杂，
而且花费较大，一般除非必须获得实时定位结
果外，均采用观测数据的测后处理方式。
差分定位
差分 GPS根据其系统构成的基准站个数可分为单基
准差分、多基准的局部区域差分和广域差分。而
根据信息的发送内容又可分为伪距差分、相位差
分及位置差分等。
基本原理：由用户接受基准站发送的改正数，并
对观测站的测量成果进行改正以获得精密定位的
结果。
以上差分的区别就在于发送改正数内容的不同，
差分数学模型的不同结果导致定位精度的不同。
1 位置差分原理
安置在已知点基准站上的 GPS接收机经对 4颗或 4颗以上的
卫星观测，便可实现定位，求出基准站的坐标。由于
存在着卫星星历、时钟误差、大气折射误差等，该坐
标与已知坐标不一样，存在误差
将上述坐标改正数利用数据链将坐标改正数发送给用户
站，用户站用接受到的坐标改正数对其坐标进行改正
即,
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如果考虑数据传送时间所引起的用户站位置的瞬间变化，
则可写为,
位置差分定位的优点：可以提高精度，而且数据传输量
小，计算方法简单。
缺点是（ 1） 难以确保基准站和用户站观测同一组卫星。
（ 2）位置差分定位效果不如伪距差分好。
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2 伪距差分原理
伪距差分的基本原理：它是通过在基准站上利用
基准站的已知坐标求出测站至卫星的距离，并
将其与与含有误差的伪距观测值比较，然后利
用一个滤波器将此差值滤波并求出其偏差，并
将所有卫星的测距误差传输给用户，用户利用
此测距误差改正伪距观测值，并利用改正后的
伪距值求出自身的坐标。
设测站 i与卫星 j之间在 t时刻的伪距为
根据基准站的三维已知坐标和 GPS卫星星历，可以算得该
时刻两者之间的几何距离
故由基准站接收机测得的包含各种误差的伪距与几何距
离之间存在差值
将该伪距的改正值发给用户的接收机，则用户接收机改
正后的伪距值为
jijijijijiji dTItttc ??????? ?????? )](['
21222 }][][]{[ ijijijji ZZYYXX ???????
jijiji ???? ?? '
jijkjk ???? ?? ''
若考虑信号传送的伪距改正数的时间变化率，则有
当用户运动站与基准站之间的距离小于 100km,则有
因此，改正后的伪距应为,
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当基准站同用户站同时观测四颗以上相同的卫星，
即可实现用户站的定位。
由于差分定位是利用两站的公共误差的抵消来提
高精度，而误差的公共性又与两站距离相关，
所以，随着两站距离的增加，效果会变差。
2 载波相位差分原理
2.1 改正法
与伪距差分相同，基准站将载波相位的改正量发送给用
户站，以对用户站的载波相位进行改正实现定位。
在载波相位测量中，卫星到测站点之间的相位差值主要
由三部分组成,
（ 1）
将上式乘以载波波长，则卫星至测站点之间的距离
（ 2）
iijijiji ttNtN ??????? )()( 00
))()(( 00' iijijiji ttNtN ???? ????
在基准站利用已知坐标和卫星星历可求得基准站到卫
星之间的真实距离，则测量得到的伪距可表示为
（ 3）
在基准站求出的伪距改正数为
（ 4）
如果用户用伪距改正数对伪距观测值进行修正，则
（ 5）
iijijijiji
ji VMTItttc ??????? ??????? )](['
iijijijijijiji VMTItttc ???????? ????????? )](['
)()()()(][' ikikjijkjijkikjkjijk VVMMTTIIttc ???????????? ????????????
当基准站与用户站之间的距离小于 30km时，则有
因此上式（ 5）可变为
（ 6）
式中,
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将载波相位伪距值（ 3）式代入观测方程，则可得
（ 7）
令 在整个测量过程中，只要保持卫星
不失锁，则为常数，同时令
为载波相位测量差
值，则公式（ 7）可表示为
（ 8）
或,
??
????????
???????
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????? ??????????? 212220 }][][]{[)( kjkjkjjji ZZYYXXtN
)(}][][]{[ 021222 tNZZYYXX jkjkjkjji ????? ???????????
2.2 求差法
所谓求差法就是将基准站观测的载波相位观测值实时地发送
给用户观测站，在用户站对载波相位观测值求差，获得诸如
静态相对定位的单差、双差和三差解算模型。定位程序为,
（ 1）用户站在保持不动的情况下，静态观测若干历元，并将
基准站上的观测数据通过数据链传送给用户站，按静态相对
定位法求出整周未知数，这一过程称为初始化阶段。
（ 2）将求出的整周未知数代入双差模型，此时双差只包括三
个坐标增量，只要 3颗以上卫星的一个历元的观测值，就可实
时地求解出三个位置分量。
（ 3）将求出的坐标增量加入已知的基准站坐标即可得到用户
站的空间位置。
单基准站差分
单基准站差分 GPS是根据一个基准站所提供的差分改正信息
对用户站进行改正的差分 GPS系统，该系统由基准站、
无线电数据通信链和用户站三部分组成。
1：基准站：在已知点上配备能同步跟踪视场内所有 GPS卫
星信号接收机一台，并具有计算差分改正和编码功能的
软件。
2：无线电数据通信链：该设备用于将差分改正信息传给用
户站，包括信号解调器、无线电发射机和发射天线。
3：用户站：包括 GPS接收机以及接受差分改正信息的无线
电接收机、信号解调器、计算机软件等。
优点：结构和算法相对简单。
缺点：可靠性差、精度较差。
局部区域差分
在一个较大的区域布设多个基准站，以构成基准站网，
其中常包含一个或数个监控站，位于该区域中的用户
根据多个基准站所提供的改正信息经平差计算后求得
用户站定位改正数。
优点：精度和可靠性有所提高
缺点：所需的基准站个数多，且有些地方不能布设基准
站
广域差分
在一个相当大的区域中用相对较少的基准站组成差分
GPS网，各基准站将求得的距离改正数发送给数据处理
中心，由数据处理中心统一处理，将各种 GPS观测误差
源加以区分，然后再传给用户。
优点：精度高且分布均匀
基准站个数较少
缺点：技术复杂，花费大
