测量学 第五章
测量误差的基本知识
本 章 要 点
1、测量误差概念（ 重点 ）
2、评定精度的标准（ 重点 ）
3、误差传播定律（ 重点 ）
4、等精度直接观测平差（ 难点 ）
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目 录 ?
第
一
节
测
量
误
差
概
述
?
第
二
节
评
定
精
度
的
指
标
?
第
三
节
误
差
传
播
定
律
?
第
四
节
等
精
度
直
接
观
测
平
差
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§ 5-1 测量误差概述
5.1.1 测量误差及其来源
? 误差存在的现象,观测值与理论值不符, 如高差闭合差 fh。
? 测量误差,观测值 与相应 真值 之差 。
观测值, 测量所获得的数值 。
? 真误差 (△ )关系式
真误差 ?=观测值 L–真值 X,
即 ?= L – X
或 ?= X – L （ 亦可 ）
例,?=（ L1+L2+L3） - 180°
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?观测误差来源,来源于以下三个方面：
观测者的视觉器官的鉴别能力和技术水平；仪器、
工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。
? 观测条件
? 观测条件,观测者的技术水平、仪器的精度和外界条件的变
化这三个方面综合起来称为～ 。
?观测条件与观测成果精度的关系：
若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高；
若观测条件不好，则测量误差大，精度就低；
若观测条件相同，则可认为观测精度相同。
?等精度观测,在相同观测条件下进行的一系列观测
?不等精度观测,在不同观测条件下进行的一系列观测
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 5
?研究误差理论的目的
由于在测量的结果中有误差是不可避免的，研究误差理论
不是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质及其产生
和传播的规律进行研究,以便解决测量工作中遇到的一些实
际问题。
?研究误差理论所解决的问题：
（ 1）在一系列的观测值中,确定观测量的最可靠值；
（ 2）如何来评定测量成果的精度，以及如何确定误差的
限度等；
（ 3）根据精度要求，确定测量方案 （选用测量仪器和确
定测量方法） 。
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5.1.2,测量误差的分类
测量误差按其性质可分为
? 系统误差
? 偶然误差
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1．系统误差
? 系统误差,在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列
观测，若 误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变
化, 这种误差称为～ 。
? 系统误差产生的原因, 仪器工具上的某些缺陷；观测者的
某些习惯的影响；外界环境的影响。
? 系统误差的特点,具有累积性，对测量结果影响较大，应
尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响。
例,水准测量中 LL//CC产生
的 i角误差对尺读数的影响：
即 ?= a′ – a = S tgi
随着 S 的增长而加大 ----系统误差
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 8
系统误差对观测值的准确度（偏离真值的程度）影响很大，
必须消除
? 系统误差 消减方法
?1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施 ;
例,前后视距相等 ——水准测量中 i角误差对 h的影响、
球气差对 h的影响及调焦所产生的影响。
盘左盘右取均值 ——经纬仪的 CC不垂直于 HH； HH不垂
直于 VV；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。
水准测量往返观测取均值 ——仪器和尺垫下沉对 h的影响。
?2、找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。
例,光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。
?3、仔细检校仪器。
例,经纬仪的 LL不垂直于 VV对测角的影响
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 9
2．偶然误差
? 偶然误差,在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系
列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性,即
从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性,这种误差称
为 ～。
? 产生偶然误差的原因,主要是由于 仪器或人的感觉器官能
力的限制, 如观测者的估读误差, 照准误差等, 以及环境中
不能控制的因素 (如不断变化着的温度, 风力等外界环境 )所
造成 。
? 偶然误差的规律,偶然误差在测量过程中是不可避免的,
从单个误差来看, 其大小和符号没有一定的规律性, 但对 大
量的偶然误差 进行统计分析, 就能发现在 观测值内部却隐藏
着统计规律 。
偶然误差就单个而言具有随机性, 但在总体上具有一定
的统计规律, 是服从于正态分布的随机变量 。
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错误
? 测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现
错误 （有时也称之为 粗差 ）。
? 错误产生的原因,较多
? 可能由作业人员疏忽大意、失职而引起，如 大数读错、
读数被记录员记错, 照错了目标 等；
? 也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；
? 还有可能是容许误差取值过小造成的。
? 错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不
允许有错误存在。
? 发现错误的方法, 进行必要的重复观测，通过多余观测
条件，进行检核验算； 严格按照国家有关部门制定的各
种测量规范进行作业等。
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?误差理论研究的主要对象
在测量的成果中,
错误可以发现并剔除,
系统误差能够加以改正,
而偶然误差是不可避免的, 它在测量成果中占
主导地位, 所以测量误差理论主要是处理偶然误
差的影响 。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 12
5.1.3偶然误差的特性
? 偶然误差的特点具有随机性，所以它是一种随机
误差
?偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具
有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变
量。
偶然误差分布的表示方法
表格法
直方图法
误差概率分布曲线 ----正态分布曲线
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 13
1,表格法
例如：?
在相同观测条件下观测了 217个三角形 （ 见 图 5-J1）
的内角, 每一个三角形内角和的真误差为三内角
观测值的和减去 180°,
即,Δ=α+β+γ-180° 。?
将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区
间 d△ （ 如表 5-1中的 3″） ；?
统计出每一个小区间出现的误差个数 k及频率,
频率 = 个数 k/总数 n（ n=217）, 得出统计表 。
图 5-J1
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 14
表 5-1 三角形内角和真误差统计表
误差区间
d△
正 误 差 负 误 差 合 计
个数
k
频 率
k/n 个 数 k
频 率
k/n 个 数 k 频 率 k/n
0″～ 3″
3″～ 6″
6″～ 9″
9″～ 12″
12″～ 15″
15″～ 18″
18″～ 21″
21″～ 24″
24″～ 27″
27″以上
30
21
15
14
12
8
5
2
1
0
0.138
0.097
0.069
0.065
0.055
0.037
0.023
0.009
0.005
0
29
20
18
16
10
8
6
2
0
0
0.134
0.092
0.083
0.073
0.046
0.037
0.028
0.009
0
0
59
41
33
30
22
16
11
4
1
0
0.272
0.189
0.152
0.138
0.101
0.074
0.051
0.018
0.005
0
合 计 108 0.498 109 0.502 217 1.000
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 15
从表 5-1中可以看出，
该组误差的分布表现出如下规律：
? 小误差出现的个数比大误差多；
? 绝对值相等的正, 负误差出现的个数和
频率大致相等；
? 最大误差不超过 27″。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 16
2、直方图法
? 横坐标 —以 偶然误差 为横坐标,
? 纵坐标 —以 频率 ?d△ (频率 /组距 )为纵坐标,
在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形,
各矩形的面积 = 误差出现在该区间的频率 (K? n )
所有区间的矩形构成了直方图, 如 图 5-1所示
统计表和直方图是偶然误差的实际分布 。
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有斜线的矩形面积：
为误差出现在 +6??+9 ?
之间的频率 (0.069)
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 18
3、误差概率分布曲线 ----正态分布曲线
当直方图中,n → ∞,d△ 各区间的频率也就趋于一 个完
全确定的数值 ——概率,
若 d△ → 0时,则直方图成为误差概率曲线 ——正态分布
曲线。它服从于正态分布。
1) 正态分布曲线的方程式为：
)25(
2
1)( 2
2
2 ???
??
?
??
ef
式中,△ 为偶然误差 ；
σ（ >0）称为标准差,是与观测条件有关的一个参数。它
的大小可以 反映观测精度的高低。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 19
标准差 σ定义为：
2) 误差概率曲线：叫作偶然误差的理论分布 (见图 5-2)
误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于 1
图 5-2 的误差分
布曲线是对应
着某一观测条
件的, 当观测
条件不同, 其
相应的误差分
布曲线的形状
也随之改变 。
)35(][li m ????
?? nn
?
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 20
3) 偶然误差的四个特性
? 特性一 有限性, 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不
会超过一定的限值；
? 特性二 集中性, 即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出
现的概率大；
? 特性三 对称性, 绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相
同；
? 特性四 抵偿性, 当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平
均值趋近于零。即,
? ? ? ? ）（ ?
????
?????????????
n
i
inn n ?21)55(0lim
在数理统计中, (5-5)式也称偶然误差的数学期望为零, 用公式
表示,E(△ )=0.
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 21
4) 不同精度的误差分布曲线：
如图 5-3,曲线 Ⅰ, Ⅱ 对应着不同观测条件得出的两组误差
分布曲线。
? 曲线 I 较陡峭，即分布比较集中，或 称离散度较小，
因而观测精度较高。
? 曲线 II较为平
缓，即离散度较
大，因而观测精
度较低。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 22
?当 △ =0 时,
?上式是两误差分布曲线的峰值 。
其中 曲线 Ⅰ 的峰值较曲线 Ⅱ 的高, 即 σ1<σ2, 故
第 Ⅰ 组观测的小误差出现的概率较第 Ⅱ 组的大 。
由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等
于 1,所以当小误差出现的概率较大时, 大误差出
现的概率必然要小 。
? 曲线 I表现为较陡峭, 即分布比较集中, 或 称离
散度较小, 因而观测精度较高 。
? 曲线 II相对来说较为平缓，即 离散度较大,因而
观测精度较低 。
?? 2
1)(
1
1 ??f ?? 2
1)(
2
2 ??f
如 图 5-3中，曲线 Ⅰ, Ⅱ 对应着不同观测条件得出的
两组误差分布曲线。
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误差理论研究的主要对象 ——偶然误差
在测量的成果中：
?错误可以发现并剔除,
?系统误差能够加以改正,
?偶然误差是不可避免的, 它在测量成
果中占主导地位,
?测量误差理论主要是处理偶然误差的
影响 。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 24
§ 5-2 评定精度的指标
? 精度 ——是指一组观测值的密集与离散程度, 也
可说是一组观测值的误差的密集与离散程度 。
? 例,对 A边三次丈量值为 56.882,56.885,56.884 后对
A边丈量了三次 为 56.882,56.883,56.883，可以看出：
前者离散度大,精度低 ;后者离散度小, 精度高 。 但为
了准确评定观测结果的精度, 需要有一些确定的指标 。
评定精度的指标,
中误差、相对误差、极限误差和容许误差
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 25
一、中误差
? 注意,在一组同精度的观测值中，尽管各观测值的真误
差 ?出现的大小和符号各异，而观测值的中误差却是相同
的，因为中误差反映观测的精度：
只要观测条件相同，则中误差不变 。
中误差代表的是一组观测值的误差分布 。
)65(][? ??????? nm ?
式 （ 5-3） 定义的标准差是衡量精度的一种指标, 是理论
上的表达式 。 在测量实践中观测次数不可能无限多, 因此实
际应用中, 以有限次观测个数 n计算出标准差的估值定义为
中误差 m,作为衡量精度的一种标准, 计算公式为：
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 26
【 例 5-1】
? 有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角
形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和
的真误差）分别为：
甲,+3″,+1″,-2″,-1″,0″,-3″；
乙,+6″,-5″,+1″,-4″,-3″,+5″。
试分析两组的观测精度。
【 解 】 用中误差公式（ 5-6）计算得：
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
3.4
6
534156][
0.2
6
301213][
222222
222222
????
????????
??
??
??
????
????????
??
??
??
）（
乙
甲
n
m
n
m
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 27
? 从上述两组结果中可以看出,甲组 的中误差较
小（ ?2.0），所以观测 精度高于乙组（ ? 4.3） 。
? 而直接从观测误差的分布来看，也可看出 甲组
观测的小误差比较集中，离散度较小，因而观
测精度高于乙组。
? 在测量工作中,普遍采用中误差来评定测量成
果的精度。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 28
二、相对误差
? 绝对误差,有符号，并且有与观测值相同的单位的
误差，被称为～ 。（如真误差和中误差 ）
? 绝对误差：用于衡量 其误差与观测值大小无关的观
测值的精度。 （如角度、方向等）
? 相对误差, 在某些测量工作中,绝对误差不能完全
反映出观测的质量 。
相对误差, K”—— 等于误差的绝对值与相应观测
值的比值。 它是一个不名数，常用分子为 1的分式
表示，即：
T
1??
观测值
误差的绝对值相对误差
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 29
? 相对中误差,当误差的绝对值为中误差 m 的绝对值时，
K称为～ 。
? 相对较差,在距离测量中还常用往返测量结果的
相对较差 来进行检核。
相对较差定义为：
D
DD
D
D
DD
?
?
?
?
?
平均平均平均
返往 1
相对较差是相对真误差，它反映的只是往返测的符
合程度,显然，相对较差愈小，观测结果愈可靠。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 30
三、极限误差和容许误差
1,极限误差
? 在一定的观测条件下, 偶然误差的绝对值不会超
过一定的限值 。 这个限值就是 极限误差 。
在一组等精度观测值中, （ ? — 中误差 ）
绝对值大于 ?的偶然误差, 其出现的概率为 31.7%；
绝对值大于 2?的偶然误差, 其出现的概率为 4.5%；
绝对值大于 3?的偶然误差, 出现的概率仅为 0.3%。
? 在测量工作中, 要求对观测误差有一定的限值 。
大于 3m的误差出现的机会只有 3‰, 在有限的观测次
数中, 实际上不大可能出现 。 所以, 可取 3? 作为偶
然误差的极限值, 称 极限误差 。
?3?? 极
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 31
2．容许误差
? 在实际工作中, 测量规范要求观测中不容许存在
较大的误差, 可 由极限误差来确定测量误差的容许
值, 称为 容许误差, 即：
? 当要求严格时, 也可取两倍的中误差作为容许误
差, 即
如果观测值中出现了 大于所规定的容许误差的偶然
误差,则 认为该观测值不可靠，应舍去不用或重测 。
m3?? 容
m2?? 容
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 32
§ 5-3 误差传播定律
在测量工作中一般采用中误差作为评
定精度的指标。
? 误差传播定律：
说明观测值中误差与其函数中误差之间
关系的定律 。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 33
? 间接观测量,
在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是
不便于直接观测的,
由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称为～ 。
例如：用水准仪测量两点间的高差 h，通过直接观测值后
视读数 a 和前视读数 b 来求得的,h =a－ b 。
? 间接观测量的误差：
由于直接观测值 (a,b)中都带有误差,因此
间接观测量 ——函数 (h)也必然受到影响而产生误差。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 34
一、误差传播定律
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
n
n
z m
x
fm
x
fm
x
fm
???
?
???
?
?
???
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
??? ?
ix
f
?
?
设 Z是独立观测量 x1,x2,…, xn的函数，即
式中,x1,x2,…, xn为直接观测量，它们相应的 观
测值的中误差分别为 m1,m 2,…, mn,则 观测值的
函数 Z的中误差 为,
式中 为函数 Z分别对各变量 xi的偏导数，并将观
测值（ xi=Li）代入偏导数后的值，故均为常数。
)( 21 nxxxfZ,，,??
(5-10)
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 35
求任意函数中误差的方法和步骤如下：
? 列出独立观测量的函数式,
? 求出真误差关系式。 对函数式进行全微分,得
? 求出中误差关系式 。只要把真误差换成中误差的
平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：
)( 21 nxxxfZ,，,??
n
n
dx
x
fdx
x
fdx
x
fdZ
?
???
?
??
?
?? ?
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
n
n
z mx
fm
x
fm
x
fm
???
?
???
?
?
???
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
?? ?
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 36
表 5-2 常用函数的中误差公式
kxz ?
nxxxz ???? ?21
nn xkxkxkz ???? ?2211
xz kmm ?
22221 nz mmmm ????? ?
nmmm ??? ?21
nmm z ?
2222222121 nnz mkmkmkm ????? ?
函 数 式 函 数 的 中 误 差
倍数函数
和差函数
线性函数
若
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 37
二、应用举例
【 例 5-2】 在比例尺为 1,500的地形图上，量得
两点的长度为 d=23.4 mm,其中误差 md=± 0.2
mm，求该两点的实际距离 D及其中误差 mD 。
解,函数关系式, D=M d,属倍数函数,M=500是
地形图比例尺分母。
两点的实际距离结果可写为,11.7 m± 0.1 m。
mmmMmm
mmmMdD
dD 1.0100)2.0(500
7.11117004.23500
????????
?????
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 38
【 例 5-3】
水准测量中，已知后视读数 a =1.734 m,前视读
数 b=0.476 m，中误差分别为 ma=± 0.002 m，
mb=± 0.003 m,试求两点的高差及其中误差。
解, 函数关系式为 h=a-b，属和差函数，得
mm
mmm
mbah
bah
004.00 0 3 6.0
003.0002.0
258.1476.0734.1
2222
????
??????
?????
两点的高差结果可写为 1.258 m± 0.004 m。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 39
【 例 5-4】
在斜坡上丈量距离，其斜距为 L=247.50 m，中误
差 mL=± 0.05 m，并测得倾斜角 α=10° 34′,其中
误差 mα=± 3′,求水平距离 D及其中误差 mD
?c o sLD ?
mD 303.243'3410c o s50.247 ????
8 6 4 3.45'3410sin50.2 4 7'3410sin
8 3 0 9.0'3410co s
??????????
?
?
???
?
?
L
D
L
D
?
解, 1）首先列出函数式
2）水平距离
这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分，
3）先求出各偏导值如下
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 40
5）得结果, D=243.30 m± 0.06 m。
m
m
D
m
L
D
m
LD
0 6 3.0
'3 4 3 8
'3
)3 8 6 4.45(05.09 8 3 0.0
2
222
2
2
2
2
???
?
?
?
?
?
??????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
4）写成中误差形式：
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 41
【 例 5-5】
图根水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为
mi=± 2 mm，假定视距平均长度为 50 m，若以 3倍中误
差为容许误差，试求在测段长度为 L km的水准路线
上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。
解,1)每站观测高差为：
2)每站观测高差的中误差：
因视距平均长度为 50 m，则每公里可观测 10个测站，
L公里共观测 10L个测站,L公里高差之和为：
L(km)高差和的中误差为：
bah ??
mm 222 ??? ih mm
Lhhhh 1021 ????? ?
mm 54
221010
L
LmLm h
??
????
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 42
往返高差的较差（即高差闭合差）为：
高差闭合差的中误差为：
以 3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：
在第二章中,取 作为闭合差的容许
值是考虑了除读数误差以外的其它误差的影响 （如外界
环境的影响、仪器的 i角误差等） 。
mm 3810123 LLmf hfh ????容
mm 1042 Lmm hf ?? ?
返往 hhf h ????
mm40 Lf h ??容
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 43
三、注意事项
应用误差传播定律应注意以下两点：
1,要正确列出函数式
例,用长 30 m的钢尺丈量了 10个尺段, 若每尺段的中
误差为 ml=± 5 mm,求全长 D及其中误差 mD。
1） 函数式
按倍数函数式求全长中误差, 将得出
2） 实际上全长应是 10个尺段之和, 故 函数式应为
用和差函数式求全长中误差, 因各段中误差均相等,
故得 全长中误差为
按实际情况分析用和差公式是正确的, 而用倍数公式
则是错误的 。
m 300301010 ???? lD
1021 lllD ???? ?
mm 1610 ??? lD mm
mm5010 ??? lD mm
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 44
2．在函数式中各个观测值必须相互独立，即互
不相关 。
如有函数式：
而：
若已知 x的中误差为 mx，求 Z的中误差 mz。
1）直接用公式计算,由（ a）式得：
由（ b）式得：
代入（ c）式得
（上面所得的结果是 错误）
( a) 12 21 ??? yyz
)(223 21 bxyxy ??? ；
xyxy mmmm 23 21 ??,
)(4 21
22 cmmm yyz ???
xxxz mmmm 5)2(4)3( 22 ????
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 45
上面所得的结果是错误的。
? 因为 y1和 y2都是 x的函数, 它们不是互相独立的
观测值, 因此在 （ a） 式的基础上不能应用误差
传播定律 。
? 正确的做法是,先把 (b)式代入 (a)式, 再把同类
项合并, 然后用误差传播定律计算 。
xmxxz 7m 57x 1)22(23 z ????????
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 46
§ 5-4 等精度直接观测平差
? 多余观测,对一个未知量，进行重复观测,
? 多余观测目的,提高观测成果的质量，发现和消除错误。
有一个多余观测，就会产生一个矛盾（闭和差），消除矛
盾的过程，称为 测量平差 。
? 直接观测平差,重复观测,也就产生了观测值之间互不相等
这样的矛盾。如何由这些互不相等的观测值求出观测值的
最佳估值，同时对观测质量进行评估，即对一个未知量的
直接观测值进行平差,
? 根据观测条件，有 等精度直接观测平差 和 不等精度直接观
测平差 。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 47
? 最或然值,平差的结果是得到未知量最可靠
的估值，它最接近真值，平差中一般称这个最
接近真值的估值为,最或然值,，或,最可靠
值,，有时也称,最或是值,，一般用 x 表示。
一、等精度直接观测值的最或然值
? 算术平均值 (最或然值 x)
n
L
x
n
L
X lin
n
][;
][
??
?
??
算术平均值：
真值：?
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 48
二、评定精度
（一）观测值的中误差
1．由真误差来计算
当观测量的真值已知时,可根据中误差估值的定义即由观测值
的真误差来计算其中误差。
nm
][ ????
2．由改正数 （最或然值误差 v） 来计算
在实际工作中，观测量的真值除少数情况外一般是不易求
得的。 因此在多数情况下，我们只能
按观测值的最或然值来求观测值
的中误差。 1][ ??? n vvm
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 49
（ 1）改正数及其特征
? 观测值的改正数, 最或然值 x与各观测值 Li之差 称为 ?,其
表达式为,
在等精度直接观测中，最或然值 x即是各观测值的算术
平均值。即
显然
? 式 是改正数的一个重要特征, 在检核计算中有用 。
11)-(5 n)2,1(,,???? iLxv ii
n
Lx ][?
12)-(5 0][)(][
1
????? ?
?
LnxLxv
n
i
i
0][ ?v
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 50
（ 2）观测值的中误差
? 白塞尔公式
1
][
?
??
n
vv
m
上式即是 等精度观测用改正数计算观测值中误
差的公式 。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 51
（二）最或然值的中误差
? 一组等精度观测值为 L1,L2,… Ln，其中误差
均相同，设为 m，
? 最或然值 x（ 算术平均值 ）的中误差
M为
1 4 )-(5
n
mM ?
15)-(5
)1(
][
?
??
nn
vv
M
n
Lx ][?
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 52
【 例 5-6】 对某角等精度观测 6次，其观测值见 表 5-3。
试求观测值的最或然值、观测值的中误差以及最或
然值的中误差。
解, 观测值的最或然值, x=75° 32′15.5″
观测值的中误差,
"98.1
16
5.17
1
][ ??
?
??
?
??
n
vvm
"8.0
6
"98.1 ?????
n
mM
最或然值的中误差,
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 53
表 5-3 等精度直接观测平差计算
观测值 改正数 v（ ″） vv（ ″2）
L1=75° 32′13″
L2=75° 32′18″
L3=75° 32′15″
L4=75° 32′17″
L5=75° 32′16″
L6=75° 32′14″
2.5″
-2.5″
0.5″
-1.5″
-0.5″
1.5″
6.25
6.25
0.25
2.25
0.25
2.25
x = [L]/n =
75° 32′15.5″ [v]=0 [vv]=17.5
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 54
? 一般 袖珍计算器 都具有统计计算功能（ STAT），
能很方便地进行上述计算（参考各计算器说明书）
? 算术平均值的中误差是观测值中误差的 倍,
这说明 算术平均值的精度比观测值的精度要高，且
观测次数愈多，精度愈高。
? 所以 多次观测取其平均值，是减小偶然误差的影响、
提高成果精度的有效方法。
? 当观测的中误差 m一定时，算术平均值的中误差 M
与观测次数 n的平方根成反比，如 表 5-4及 图 5-4所示。
n/1
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 55
观测次数
n
算术平均值的
中误差 M
2 0.71m
4 0.50m
6 0.41m
10 0.32m
20 0.22m
表 5-4
图 5-4
观测次数与算术平均值中误差的关系
n
mM ?
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 56
n 增加时,M 减小；当 n 达到一定数值
后，再增加观测次数,工作量增加，但提
高精度的效果就不太明显了。 (见 图 5-4)
? 不能单纯靠增加观测次数来提高测量成果
的精度。
? 观测次数 n与 M之间的变化关系,
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 57
1） 应设法提高单次观测的精度,
如, 使用精度较高的仪器、
提高观测技能
在较好的外界条件下进行观测。
2） 进行多余观测
观测值个数大于未知量的个数,
分配闭合差 （ 超限重测 ） ;
求观测值的最可靠值 (算术平均值或改正后平差值 )
? 偶然误差的削弱的方法
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 58
思 考 题 与 习 题（ P98~99）
1,2,3,4,7,8,9,10,11、
12,13,14,15
测量误差的基本知识
本 章 要 点
1、测量误差概念（ 重点 ）
2、评定精度的标准（ 重点 ）
3、误差传播定律（ 重点 ）
4、等精度直接观测平差（ 难点 ）
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 2
目 录 ?
第
一
节
测
量
误
差
概
述
?
第
二
节
评
定
精
度
的
指
标
?
第
三
节
误
差
传
播
定
律
?
第
四
节
等
精
度
直
接
观
测
平
差
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 3
§ 5-1 测量误差概述
5.1.1 测量误差及其来源
? 误差存在的现象,观测值与理论值不符, 如高差闭合差 fh。
? 测量误差,观测值 与相应 真值 之差 。
观测值, 测量所获得的数值 。
? 真误差 (△ )关系式
真误差 ?=观测值 L–真值 X,
即 ?= L – X
或 ?= X – L （ 亦可 ）
例,?=（ L1+L2+L3） - 180°
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 4
?观测误差来源,来源于以下三个方面：
观测者的视觉器官的鉴别能力和技术水平；仪器、
工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。
? 观测条件
? 观测条件,观测者的技术水平、仪器的精度和外界条件的变
化这三个方面综合起来称为～ 。
?观测条件与观测成果精度的关系：
若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高；
若观测条件不好，则测量误差大，精度就低；
若观测条件相同，则可认为观测精度相同。
?等精度观测,在相同观测条件下进行的一系列观测
?不等精度观测,在不同观测条件下进行的一系列观测
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 5
?研究误差理论的目的
由于在测量的结果中有误差是不可避免的，研究误差理论
不是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质及其产生
和传播的规律进行研究,以便解决测量工作中遇到的一些实
际问题。
?研究误差理论所解决的问题：
（ 1）在一系列的观测值中,确定观测量的最可靠值；
（ 2）如何来评定测量成果的精度，以及如何确定误差的
限度等；
（ 3）根据精度要求，确定测量方案 （选用测量仪器和确
定测量方法） 。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 6
5.1.2,测量误差的分类
测量误差按其性质可分为
? 系统误差
? 偶然误差
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 7
1．系统误差
? 系统误差,在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列
观测，若 误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变
化, 这种误差称为～ 。
? 系统误差产生的原因, 仪器工具上的某些缺陷；观测者的
某些习惯的影响；外界环境的影响。
? 系统误差的特点,具有累积性，对测量结果影响较大，应
尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响。
例,水准测量中 LL//CC产生
的 i角误差对尺读数的影响：
即 ?= a′ – a = S tgi
随着 S 的增长而加大 ----系统误差
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 8
系统误差对观测值的准确度（偏离真值的程度）影响很大，
必须消除
? 系统误差 消减方法
?1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施 ;
例,前后视距相等 ——水准测量中 i角误差对 h的影响、
球气差对 h的影响及调焦所产生的影响。
盘左盘右取均值 ——经纬仪的 CC不垂直于 HH； HH不垂
直于 VV；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。
水准测量往返观测取均值 ——仪器和尺垫下沉对 h的影响。
?2、找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。
例,光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。
?3、仔细检校仪器。
例,经纬仪的 LL不垂直于 VV对测角的影响
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 9
2．偶然误差
? 偶然误差,在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系
列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性,即
从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性,这种误差称
为 ～。
? 产生偶然误差的原因,主要是由于 仪器或人的感觉器官能
力的限制, 如观测者的估读误差, 照准误差等, 以及环境中
不能控制的因素 (如不断变化着的温度, 风力等外界环境 )所
造成 。
? 偶然误差的规律,偶然误差在测量过程中是不可避免的,
从单个误差来看, 其大小和符号没有一定的规律性, 但对 大
量的偶然误差 进行统计分析, 就能发现在 观测值内部却隐藏
着统计规律 。
偶然误差就单个而言具有随机性, 但在总体上具有一定
的统计规律, 是服从于正态分布的随机变量 。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 10
错误
? 测量成果中除了系统误差和偶然误差以外，还可能出现
错误 （有时也称之为 粗差 ）。
? 错误产生的原因,较多
? 可能由作业人员疏忽大意、失职而引起，如 大数读错、
读数被记录员记错, 照错了目标 等；
? 也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；
? 还有可能是容许误差取值过小造成的。
? 错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不
允许有错误存在。
? 发现错误的方法, 进行必要的重复观测，通过多余观测
条件，进行检核验算； 严格按照国家有关部门制定的各
种测量规范进行作业等。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 11
?误差理论研究的主要对象
在测量的成果中,
错误可以发现并剔除,
系统误差能够加以改正,
而偶然误差是不可避免的, 它在测量成果中占
主导地位, 所以测量误差理论主要是处理偶然误
差的影响 。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 12
5.1.3偶然误差的特性
? 偶然误差的特点具有随机性，所以它是一种随机
误差
?偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具
有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变
量。
偶然误差分布的表示方法
表格法
直方图法
误差概率分布曲线 ----正态分布曲线
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 13
1,表格法
例如：?
在相同观测条件下观测了 217个三角形 （ 见 图 5-J1）
的内角, 每一个三角形内角和的真误差为三内角
观测值的和减去 180°,
即,Δ=α+β+γ-180° 。?
将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区
间 d△ （ 如表 5-1中的 3″） ；?
统计出每一个小区间出现的误差个数 k及频率,
频率 = 个数 k/总数 n（ n=217）, 得出统计表 。
图 5-J1
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 14
表 5-1 三角形内角和真误差统计表
误差区间
d△
正 误 差 负 误 差 合 计
个数
k
频 率
k/n 个 数 k
频 率
k/n 个 数 k 频 率 k/n
0″～ 3″
3″～ 6″
6″～ 9″
9″～ 12″
12″～ 15″
15″～ 18″
18″～ 21″
21″～ 24″
24″～ 27″
27″以上
30
21
15
14
12
8
5
2
1
0
0.138
0.097
0.069
0.065
0.055
0.037
0.023
0.009
0.005
0
29
20
18
16
10
8
6
2
0
0
0.134
0.092
0.083
0.073
0.046
0.037
0.028
0.009
0
0
59
41
33
30
22
16
11
4
1
0
0.272
0.189
0.152
0.138
0.101
0.074
0.051
0.018
0.005
0
合 计 108 0.498 109 0.502 217 1.000
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 15
从表 5-1中可以看出，
该组误差的分布表现出如下规律：
? 小误差出现的个数比大误差多；
? 绝对值相等的正, 负误差出现的个数和
频率大致相等；
? 最大误差不超过 27″。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 16
2、直方图法
? 横坐标 —以 偶然误差 为横坐标,
? 纵坐标 —以 频率 ?d△ (频率 /组距 )为纵坐标,
在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形,
各矩形的面积 = 误差出现在该区间的频率 (K? n )
所有区间的矩形构成了直方图, 如 图 5-1所示
统计表和直方图是偶然误差的实际分布 。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 17
有斜线的矩形面积：
为误差出现在 +6??+9 ?
之间的频率 (0.069)
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 18
3、误差概率分布曲线 ----正态分布曲线
当直方图中,n → ∞,d△ 各区间的频率也就趋于一 个完
全确定的数值 ——概率,
若 d△ → 0时,则直方图成为误差概率曲线 ——正态分布
曲线。它服从于正态分布。
1) 正态分布曲线的方程式为：
)25(
2
1)( 2
2
2 ???
??
?
??
ef
式中,△ 为偶然误差 ；
σ（ >0）称为标准差,是与观测条件有关的一个参数。它
的大小可以 反映观测精度的高低。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 19
标准差 σ定义为：
2) 误差概率曲线：叫作偶然误差的理论分布 (见图 5-2)
误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于 1
图 5-2 的误差分
布曲线是对应
着某一观测条
件的, 当观测
条件不同, 其
相应的误差分
布曲线的形状
也随之改变 。
)35(][li m ????
?? nn
?
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 20
3) 偶然误差的四个特性
? 特性一 有限性, 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不
会超过一定的限值；
? 特性二 集中性, 即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出
现的概率大；
? 特性三 对称性, 绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相
同；
? 特性四 抵偿性, 当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平
均值趋近于零。即,
? ? ? ? ）（ ?
????
?????????????
n
i
inn n ?21)55(0lim
在数理统计中, (5-5)式也称偶然误差的数学期望为零, 用公式
表示,E(△ )=0.
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 21
4) 不同精度的误差分布曲线：
如图 5-3,曲线 Ⅰ, Ⅱ 对应着不同观测条件得出的两组误差
分布曲线。
? 曲线 I 较陡峭，即分布比较集中，或 称离散度较小，
因而观测精度较高。
? 曲线 II较为平
缓，即离散度较
大，因而观测精
度较低。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 22
?当 △ =0 时,
?上式是两误差分布曲线的峰值 。
其中 曲线 Ⅰ 的峰值较曲线 Ⅱ 的高, 即 σ1<σ2, 故
第 Ⅰ 组观测的小误差出现的概率较第 Ⅱ 组的大 。
由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等
于 1,所以当小误差出现的概率较大时, 大误差出
现的概率必然要小 。
? 曲线 I表现为较陡峭, 即分布比较集中, 或 称离
散度较小, 因而观测精度较高 。
? 曲线 II相对来说较为平缓，即 离散度较大,因而
观测精度较低 。
?? 2
1)(
1
1 ??f ?? 2
1)(
2
2 ??f
如 图 5-3中，曲线 Ⅰ, Ⅱ 对应着不同观测条件得出的
两组误差分布曲线。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 23
误差理论研究的主要对象 ——偶然误差
在测量的成果中：
?错误可以发现并剔除,
?系统误差能够加以改正,
?偶然误差是不可避免的, 它在测量成
果中占主导地位,
?测量误差理论主要是处理偶然误差的
影响 。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 24
§ 5-2 评定精度的指标
? 精度 ——是指一组观测值的密集与离散程度, 也
可说是一组观测值的误差的密集与离散程度 。
? 例,对 A边三次丈量值为 56.882,56.885,56.884 后对
A边丈量了三次 为 56.882,56.883,56.883，可以看出：
前者离散度大,精度低 ;后者离散度小, 精度高 。 但为
了准确评定观测结果的精度, 需要有一些确定的指标 。
评定精度的指标,
中误差、相对误差、极限误差和容许误差
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 25
一、中误差
? 注意,在一组同精度的观测值中，尽管各观测值的真误
差 ?出现的大小和符号各异，而观测值的中误差却是相同
的，因为中误差反映观测的精度：
只要观测条件相同，则中误差不变 。
中误差代表的是一组观测值的误差分布 。
)65(][? ??????? nm ?
式 （ 5-3） 定义的标准差是衡量精度的一种指标, 是理论
上的表达式 。 在测量实践中观测次数不可能无限多, 因此实
际应用中, 以有限次观测个数 n计算出标准差的估值定义为
中误差 m,作为衡量精度的一种标准, 计算公式为：
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 26
【 例 5-1】
? 有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角
形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和
的真误差）分别为：
甲,+3″,+1″,-2″,-1″,0″,-3″；
乙,+6″,-5″,+1″,-4″,-3″,+5″。
试分析两组的观测精度。
【 解 】 用中误差公式（ 5-6）计算得：
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
3.4
6
534156][
0.2
6
301213][
222222
222222
????
????????
??
??
??
????
????????
??
??
??
）（
乙
甲
n
m
n
m
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 27
? 从上述两组结果中可以看出,甲组 的中误差较
小（ ?2.0），所以观测 精度高于乙组（ ? 4.3） 。
? 而直接从观测误差的分布来看，也可看出 甲组
观测的小误差比较集中，离散度较小，因而观
测精度高于乙组。
? 在测量工作中,普遍采用中误差来评定测量成
果的精度。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 28
二、相对误差
? 绝对误差,有符号，并且有与观测值相同的单位的
误差，被称为～ 。（如真误差和中误差 ）
? 绝对误差：用于衡量 其误差与观测值大小无关的观
测值的精度。 （如角度、方向等）
? 相对误差, 在某些测量工作中,绝对误差不能完全
反映出观测的质量 。
相对误差, K”—— 等于误差的绝对值与相应观测
值的比值。 它是一个不名数，常用分子为 1的分式
表示，即：
T
1??
观测值
误差的绝对值相对误差
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 29
? 相对中误差,当误差的绝对值为中误差 m 的绝对值时，
K称为～ 。
? 相对较差,在距离测量中还常用往返测量结果的
相对较差 来进行检核。
相对较差定义为：
D
DD
D
D
DD
?
?
?
?
?
平均平均平均
返往 1
相对较差是相对真误差，它反映的只是往返测的符
合程度,显然，相对较差愈小，观测结果愈可靠。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 30
三、极限误差和容许误差
1,极限误差
? 在一定的观测条件下, 偶然误差的绝对值不会超
过一定的限值 。 这个限值就是 极限误差 。
在一组等精度观测值中, （ ? — 中误差 ）
绝对值大于 ?的偶然误差, 其出现的概率为 31.7%；
绝对值大于 2?的偶然误差, 其出现的概率为 4.5%；
绝对值大于 3?的偶然误差, 出现的概率仅为 0.3%。
? 在测量工作中, 要求对观测误差有一定的限值 。
大于 3m的误差出现的机会只有 3‰, 在有限的观测次
数中, 实际上不大可能出现 。 所以, 可取 3? 作为偶
然误差的极限值, 称 极限误差 。
?3?? 极
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 31
2．容许误差
? 在实际工作中, 测量规范要求观测中不容许存在
较大的误差, 可 由极限误差来确定测量误差的容许
值, 称为 容许误差, 即：
? 当要求严格时, 也可取两倍的中误差作为容许误
差, 即
如果观测值中出现了 大于所规定的容许误差的偶然
误差,则 认为该观测值不可靠，应舍去不用或重测 。
m3?? 容
m2?? 容
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 32
§ 5-3 误差传播定律
在测量工作中一般采用中误差作为评
定精度的指标。
? 误差传播定律：
说明观测值中误差与其函数中误差之间
关系的定律 。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 33
? 间接观测量,
在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是
不便于直接观测的,
由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出的量称为～ 。
例如：用水准仪测量两点间的高差 h，通过直接观测值后
视读数 a 和前视读数 b 来求得的,h =a－ b 。
? 间接观测量的误差：
由于直接观测值 (a,b)中都带有误差,因此
间接观测量 ——函数 (h)也必然受到影响而产生误差。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 34
一、误差传播定律
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
n
n
z m
x
fm
x
fm
x
fm
???
?
???
?
?
???
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
??? ?
ix
f
?
?
设 Z是独立观测量 x1,x2,…, xn的函数，即
式中,x1,x2,…, xn为直接观测量，它们相应的 观
测值的中误差分别为 m1,m 2,…, mn,则 观测值的
函数 Z的中误差 为,
式中 为函数 Z分别对各变量 xi的偏导数，并将观
测值（ xi=Li）代入偏导数后的值，故均为常数。
)( 21 nxxxfZ,，,??
(5-10)
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 35
求任意函数中误差的方法和步骤如下：
? 列出独立观测量的函数式,
? 求出真误差关系式。 对函数式进行全微分,得
? 求出中误差关系式 。只要把真误差换成中误差的
平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：
)( 21 nxxxfZ,，,??
n
n
dx
x
fdx
x
fdx
x
fdZ
?
???
?
??
?
?? ?
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
n
n
z mx
fm
x
fm
x
fm
???
?
???
?
?
???
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
?? ?
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 36
表 5-2 常用函数的中误差公式
kxz ?
nxxxz ???? ?21
nn xkxkxkz ???? ?2211
xz kmm ?
22221 nz mmmm ????? ?
nmmm ??? ?21
nmm z ?
2222222121 nnz mkmkmkm ????? ?
函 数 式 函 数 的 中 误 差
倍数函数
和差函数
线性函数
若
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 37
二、应用举例
【 例 5-2】 在比例尺为 1,500的地形图上，量得
两点的长度为 d=23.4 mm,其中误差 md=± 0.2
mm，求该两点的实际距离 D及其中误差 mD 。
解,函数关系式, D=M d,属倍数函数,M=500是
地形图比例尺分母。
两点的实际距离结果可写为,11.7 m± 0.1 m。
mmmMmm
mmmMdD
dD 1.0100)2.0(500
7.11117004.23500
????????
?????
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 38
【 例 5-3】
水准测量中，已知后视读数 a =1.734 m,前视读
数 b=0.476 m，中误差分别为 ma=± 0.002 m，
mb=± 0.003 m,试求两点的高差及其中误差。
解, 函数关系式为 h=a-b，属和差函数，得
mm
mmm
mbah
bah
004.00 0 3 6.0
003.0002.0
258.1476.0734.1
2222
????
??????
?????
两点的高差结果可写为 1.258 m± 0.004 m。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 39
【 例 5-4】
在斜坡上丈量距离，其斜距为 L=247.50 m，中误
差 mL=± 0.05 m，并测得倾斜角 α=10° 34′,其中
误差 mα=± 3′,求水平距离 D及其中误差 mD
?c o sLD ?
mD 303.243'3410c o s50.247 ????
8 6 4 3.45'3410sin50.2 4 7'3410sin
8 3 0 9.0'3410co s
??????????
?
?
???
?
?
L
D
L
D
?
解, 1）首先列出函数式
2）水平距离
这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分，
3）先求出各偏导值如下
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 40
5）得结果, D=243.30 m± 0.06 m。
m
m
D
m
L
D
m
LD
0 6 3.0
'3 4 3 8
'3
)3 8 6 4.45(05.09 8 3 0.0
2
222
2
2
2
2
???
?
?
?
?
?
??????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
4）写成中误差形式：
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 41
【 例 5-5】
图根水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为
mi=± 2 mm，假定视距平均长度为 50 m，若以 3倍中误
差为容许误差，试求在测段长度为 L km的水准路线
上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。
解,1)每站观测高差为：
2)每站观测高差的中误差：
因视距平均长度为 50 m，则每公里可观测 10个测站，
L公里共观测 10L个测站,L公里高差之和为：
L(km)高差和的中误差为：
bah ??
mm 222 ??? ih mm
Lhhhh 1021 ????? ?
mm 54
221010
L
LmLm h
??
????
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 42
往返高差的较差（即高差闭合差）为：
高差闭合差的中误差为：
以 3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：
在第二章中,取 作为闭合差的容许
值是考虑了除读数误差以外的其它误差的影响 （如外界
环境的影响、仪器的 i角误差等） 。
mm 3810123 LLmf hfh ????容
mm 1042 Lmm hf ?? ?
返往 hhf h ????
mm40 Lf h ??容
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 43
三、注意事项
应用误差传播定律应注意以下两点：
1,要正确列出函数式
例,用长 30 m的钢尺丈量了 10个尺段, 若每尺段的中
误差为 ml=± 5 mm,求全长 D及其中误差 mD。
1） 函数式
按倍数函数式求全长中误差, 将得出
2） 实际上全长应是 10个尺段之和, 故 函数式应为
用和差函数式求全长中误差, 因各段中误差均相等,
故得 全长中误差为
按实际情况分析用和差公式是正确的, 而用倍数公式
则是错误的 。
m 300301010 ???? lD
1021 lllD ???? ?
mm 1610 ??? lD mm
mm5010 ??? lD mm
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 44
2．在函数式中各个观测值必须相互独立，即互
不相关 。
如有函数式：
而：
若已知 x的中误差为 mx，求 Z的中误差 mz。
1）直接用公式计算,由（ a）式得：
由（ b）式得：
代入（ c）式得
（上面所得的结果是 错误）
( a) 12 21 ??? yyz
)(223 21 bxyxy ??? ；
xyxy mmmm 23 21 ??,
)(4 21
22 cmmm yyz ???
xxxz mmmm 5)2(4)3( 22 ????
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 45
上面所得的结果是错误的。
? 因为 y1和 y2都是 x的函数, 它们不是互相独立的
观测值, 因此在 （ a） 式的基础上不能应用误差
传播定律 。
? 正确的做法是,先把 (b)式代入 (a)式, 再把同类
项合并, 然后用误差传播定律计算 。
xmxxz 7m 57x 1)22(23 z ????????
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 46
§ 5-4 等精度直接观测平差
? 多余观测,对一个未知量，进行重复观测,
? 多余观测目的,提高观测成果的质量，发现和消除错误。
有一个多余观测，就会产生一个矛盾（闭和差），消除矛
盾的过程，称为 测量平差 。
? 直接观测平差,重复观测,也就产生了观测值之间互不相等
这样的矛盾。如何由这些互不相等的观测值求出观测值的
最佳估值，同时对观测质量进行评估，即对一个未知量的
直接观测值进行平差,
? 根据观测条件，有 等精度直接观测平差 和 不等精度直接观
测平差 。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 47
? 最或然值,平差的结果是得到未知量最可靠
的估值，它最接近真值，平差中一般称这个最
接近真值的估值为,最或然值,，或,最可靠
值,，有时也称,最或是值,，一般用 x 表示。
一、等精度直接观测值的最或然值
? 算术平均值 (最或然值 x)
n
L
x
n
L
X lin
n
][;
][
??
?
??
算术平均值：
真值：?
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 48
二、评定精度
（一）观测值的中误差
1．由真误差来计算
当观测量的真值已知时,可根据中误差估值的定义即由观测值
的真误差来计算其中误差。
nm
][ ????
2．由改正数 （最或然值误差 v） 来计算
在实际工作中，观测量的真值除少数情况外一般是不易求
得的。 因此在多数情况下，我们只能
按观测值的最或然值来求观测值
的中误差。 1][ ??? n vvm
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 49
（ 1）改正数及其特征
? 观测值的改正数, 最或然值 x与各观测值 Li之差 称为 ?,其
表达式为,
在等精度直接观测中，最或然值 x即是各观测值的算术
平均值。即
显然
? 式 是改正数的一个重要特征, 在检核计算中有用 。
11)-(5 n)2,1(,,???? iLxv ii
n
Lx ][?
12)-(5 0][)(][
1
????? ?
?
LnxLxv
n
i
i
0][ ?v
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 50
（ 2）观测值的中误差
? 白塞尔公式
1
][
?
??
n
vv
m
上式即是 等精度观测用改正数计算观测值中误
差的公式 。
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 51
（二）最或然值的中误差
? 一组等精度观测值为 L1,L2,… Ln，其中误差
均相同，设为 m，
? 最或然值 x（ 算术平均值 ）的中误差
M为
1 4 )-(5
n
mM ?
15)-(5
)1(
][
?
??
nn
vv
M
n
Lx ][?
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 52
【 例 5-6】 对某角等精度观测 6次，其观测值见 表 5-3。
试求观测值的最或然值、观测值的中误差以及最或
然值的中误差。
解, 观测值的最或然值, x=75° 32′15.5″
观测值的中误差,
"98.1
16
5.17
1
][ ??
?
??
?
??
n
vvm
"8.0
6
"98.1 ?????
n
mM
最或然值的中误差,
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 53
表 5-3 等精度直接观测平差计算
观测值 改正数 v（ ″） vv（ ″2）
L1=75° 32′13″
L2=75° 32′18″
L3=75° 32′15″
L4=75° 32′17″
L5=75° 32′16″
L6=75° 32′14″
2.5″
-2.5″
0.5″
-1.5″
-0.5″
1.5″
6.25
6.25
0.25
2.25
0.25
2.25
x = [L]/n =
75° 32′15.5″ [v]=0 [vv]=17.5
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 54
? 一般 袖珍计算器 都具有统计计算功能（ STAT），
能很方便地进行上述计算（参考各计算器说明书）
? 算术平均值的中误差是观测值中误差的 倍,
这说明 算术平均值的精度比观测值的精度要高，且
观测次数愈多，精度愈高。
? 所以 多次观测取其平均值，是减小偶然误差的影响、
提高成果精度的有效方法。
? 当观测的中误差 m一定时，算术平均值的中误差 M
与观测次数 n的平方根成反比，如 表 5-4及 图 5-4所示。
n/1
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 55
观测次数
n
算术平均值的
中误差 M
2 0.71m
4 0.50m
6 0.41m
10 0.32m
20 0.22m
表 5-4
图 5-4
观测次数与算术平均值中误差的关系
n
mM ?
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 56
n 增加时,M 减小；当 n 达到一定数值
后，再增加观测次数,工作量增加，但提
高精度的效果就不太明显了。 (见 图 5-4)
? 不能单纯靠增加观测次数来提高测量成果
的精度。
? 观测次数 n与 M之间的变化关系,
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 57
1） 应设法提高单次观测的精度,
如, 使用精度较高的仪器、
提高观测技能
在较好的外界条件下进行观测。
2） 进行多余观测
观测值个数大于未知量的个数,
分配闭合差 （ 超限重测 ） ;
求观测值的最可靠值 (算术平均值或改正后平差值 )
? 偶然误差的削弱的方法
2011-3-30 第五章测量误差的基本知识 58
思 考 题 与 习 题（ P98~99）
1,2,3,4,7,8,9,10,11、
12,13,14,15
