测量学 第六章
小地区控制测量
马莉、杨腾峰 制作
本 章 要 点
1、控制测量的概念及控制测量的方法
2、导线测量的外业及内业计算（重点、难点）
3、高程控制测量简介
4、小三角测量简介
2
目 录
?
第
一
节
控
制
测
量
概
念
?
第
二
节
导
线
测
量
?
第
三
节
小
三
角
测
量
?
第
四
节
交
会
法
定
点
?
第
五
节
高
程
控
制
测
量
3
小地区控制测量常用方法的外业工作和有
关的内业计算。
1、控制测量的概念及控制测量的方法
2、导线测量的外业及内业计算（重点、难点）
3、高程控制测量简介
4、小三角测量简介
本 章 内 容
4
§ 6-1 控制测量概念
1,测量控制点,测区内一些有控制意义并较精密
地测算出其平面坐标或高程的点。
2,测量控制网,由控制点构成的几何图形；
按控制网的功能分为：
? 高程控制网：水准网、三角高程网。
? 平面控制网：三角网、导线和导线网。
按控制网的规模分为：
? 国家控制网
? 城市控制网
? 小区域控制网
? 图根控制网。
5
3,控制测量：
用较高的精度测定各控制点位置的测量工作
叫～。
?平面控制测量 测定控制网平面坐标的工作称～ 。
?高程控制测量 测量控制网高程的工作称～ 。
4、测量工作程序,测量工作遵循的是“从整体到局
部、先控制后碎部、由高级到低级”的原则。
5,控制测量目的,可以保证整个测区有一个统一
的, 均匀的测量精度, 而且可以有多个工作面加
快测量进度 。
6
一、国家控制网
? 国家控制网, 又称基本控制网，即在全国范围内按统
一的方案建立的控制网,它是用精密仪器精密方法
测定，并进行严格的数据处理,最后求定控制点的
平面位置和高程。
? 国家控制网级别,按其精度 分为一、二、三、四等
四个级别，而且是由高级向低级逐级加以控制。
? 国家平面控制网的建立,先在全国范围内，沿经纬
线方向布设一等网，作为平面控制骨干。在一等网
内再布设二等全面网，作为全面控制的基础。为了
其它工程建设的需要，再在二等网的基础上加密三、
四等控制网。 （ 图 6-1）
7
8
● 国家平面控制网测量方法
建立国家平面控制网, 主要是用三角测量,
精密导线测量和 GPS测量 。
● 国家高程控制网的建立
首先是在全国范围内布设沿纵, 横方向的一
等水准路线, 在一等水准路线上布设二等水准闭
合或附合路线, 再在二等水准环路上加密三, 四
等闭合或附合水准路线 。
● 国家高程控制测量方法
主要是用精密水准测量 。
国家一, 二级控制网, 除了作为三, 四级控
制网的依据外, 它还为研究地球形状和大小以及
其它学科提供依据 。 (图 6-2)
9
二、城市控制网
? 城市控制网,是在国家控制网的基础上建立起
来的
? 目的,在于为城市规划、市政建设、工业民用
建筑设计和施工放样服务。
? 分级建立,为了满足不同目的和要求，城市控
制网也要分级建立。
国家控制网和城市控制网，均由专门的测
绘单位承担。控制点的平面坐标和高程，由测
绘管理部门统一，为社会各部门服务。
10
三,小区域控制网
1,小区域控制网,是指在面积小于 15平方公里范
围内建立的控制网 。
2,小区域控制网坐标系和高程系,原则上应与国
家或城市控制网相连, 形成统一的坐标系和高程系 。
但当连接有困难时, 为了工程建设的需要, 也可建
立独立控制网 。
3,小区域控制网分级建立,
要根据面积大小分级建立,
主要采用 一, 二, 三级导线, 一, 二级小三角
网或一, 二级小三边网,
其面积和等级的关系, 如 表 6-1。
11
表 6-1小区域控制网的建立
测 区 面 积 首 级 控 制 图根控制
2～ 15 km2 一级小三角或一级导线 二级图根控制
0.5～ 2 km2 二级小三角或二级导线 二级图根控制
0.5 km2以下 图根控制
12
四、图根控制网
? 图根控制网,直接为测图建立的控制网称～ 。
? 图根点,图根控制网的控制点, 又称 ～ 。
? 图根控制网系统,应尽可能与上述各种控制网连
接, 形成统一系统 。 特别困难地区连接有困难时,
也可建立独立图根控制网 。
? 图根点的密度和精度, 由于图根控制专为测图而
做，所以图根点的密度和精度要满足测图要求。
?表 6-2是对平坦开阔地区图根点密度的规定。
对山区或特别困难地区，图根点的密度，可适
当增大。
13
表 6-2开阔地区图根点的密度
测图比例尺 1:500 1:1000 1:2000 1:5000
图根点
个数 ?km2 150 50 15 5
每幅图图根点
个数 9～ 10 12 15 20
14
§ 6~2 导线测量
导线测量适用于平坦地区, 城镇建筑密集区及隐
蔽地区, 是进行平面控制测量的主要方法之一 。
1,导线,将相邻控制点用直线连接起来构成的折
线和多边形 。
导线点：折线的顶点 ；
导线边：相邻点间的连线 。
2,导线测量,就是测量导线各边长和各转折角, 然
后根据已知数据和观测值计算各导线点的平面坐
标 。
15
3、导线分类：
（ 1） 按精度分类
? 精密导线 用于国家或城市平面控制测量 ;
? 普通导线 多用于小区域和图根控制测量 。
? 图根导线 用于测图控制的导线, 此时的
导线点又称图根点 。
（ 2） 按使用仪器分类
? 经纬仪导线,用 经纬仪 测角和钢尺量边的导线
? 光电测距导线,用 光电测距仪 测边和角的导线
16
二、导线的布设形式
?附合导线 （ 图 6-3）
?闭合导线 （ 图 6-4）
?支导线 （ 图 6-5）
? 导线网
结点导线 （ 图 6-6）
导线环 （ 图 6-7）
17
附合导线
导线起始于一个高级控制点，最后附合到
另一高级控制点的，称为 附合导线,具有 自
行检核条件，图形强度好,是小区域控制测
量的 首选方案 。
图 6-3
18
闭合导线
? 布设形式,起、止于同
一已知点，中间经过一
系列的导线点，形成一
闭合多边形，这种导线
称 ~。闭合导线也有图
形自行检核，是小区域
控制测量的 常用形式 。
? 缺点,但由于它起、止
于同一点，产生图形整
体偏转不易发现,因而
图形强度不及附合导线。
图 6-4
19
支导线
? 布设形式,从一已知点
控制点开始，既不附合
到来另一已知点，又不
回到原来起始点的，称
支导线。
? 缺点,支导线没有图形
自行检核条件，因此发
生错误不易发现，一般
只能用在无法布设附合
或闭合导线的少数特殊
情况，并且要 对导线边
长和边数进行限制 。
图 6-5
20
导线网
?可以布设成 结点导线 和 导线环
图 6-6 结点导线 图 6-7 导线环
21
三、导线测量的技术要求
? 表 6-3是, 工程测量规范, 中对小区域和图根导线
测量的技术要求。
? 说明 （图根导线）
表中,图根导线的平均边长和导线的总长度是
根据测图比例尺所定的。
例,测图中又规定点位中误差不大于图上 0.5
㎜,对 1,500地形图上 0.5㎜ 对应的实际点位误差
为 0.25m。如果把 0.25m视为导线的全长闭合差，
根据全长相对闭合差则导线的全长为 500m。
22
等级
测图
比例
尺
附合
导线
长度
m
平均
边长
m
往返丈量
较差相对
中误差
测角
中误
差 ″
导线全长
相对中误
差
测回数 角度闭
合差
″DJ6 DJ2
一级
2500
250 1/20000 ± 5 1/10000 2 4 ± 10
二级 1800 180 1/15000 ± 8 1／ 7000 1 3 ± 16
三级 1200 120 1/10000 ± 12 1／ 5000 1 2 ± 24
图根
1:500 500 75 1／ 3000 ± 20 1／ 2000 1 ± 60
1:1000 1000 110 1／ 3000 ± 20 1／ 2000 1 ± 60
1:2000 2000 180 1／ 3000 ± 20 1／ 2000 1 ± 60
n
n
n
n
n
n
表 6-3 小区域和图根导线测量的技术要求
23
四,导线测量的外业工作
? 导线测量工作分为外业和内业
? 外业工作主要是布设导线，通过实地测量获
取导线的有关数据，其具体工作包括以下几
方面：
? 选点
?测角
?量边
?连测
24
（一）选点
选点时应注意下列几点：
?相邻点间通视要良好，地势平坦，视野开阔。
其目的在于方便量边、测角和有较大的控制范围。
?点位应放在土质坚硬又安全的地方, 其目的在
于能稳固地安置经纬仪和有利于点位的保存 。
? 导线边长应符合 表 6-3的要求, 导线边长应大
致相等, 相邻边长差不宜过大, 点的密度要符合
表 6-2的要求, 且均匀分布于整个测区 。
25
图 6-8 导线桩 图 6-9永久性控制桩
?标志的形式：
临时性标志,如图 6-8所示, 打入 7× 7× 60cm的木桩, 在
桩顶钉一钉子或刻画, 十, 字, 以示点位 。
永久性标志,如图 6-9所示, 即埋设混凝上桩, 在桩中心
的钢筋顶面上刻, 十, 字, 以示点位 。
26
绘制点之记
? 标志埋设好后,对作
为导线点的标志要进
行统一编号，
? 点之记,绘制导线点
与周围固定地物的相
关位置图。
如 图 6-10所示，作
为今后找点的依据。
图 6-10
27
（二）测角
? 测角, 就是测导线的转折角 。
转折角以导线点序号前进方向分为左角和右角 。
对附合导线和支导线测左角或测右角均可, 但全线必须统一 。
对闭合导线, 测闭合多边形的内角 。
? 导线角度测量的有关技术要求,可参考 表 6-3。
? 图根导线测量, 一般用 J6经纬仪测一个测回。上、下半测
回角差不大于 40″时，即可取平均值作为角值。
测回法观测,当测站上只有两个观测方向,即测单角时使用；
方向测回法观测,当测站上有三个观测方向时, 可以不归零；
当观测方向超过三个时, 方向测回法观测一定要归零 。
28
（三） 量边
1,钢尺 丈量
?导线边长一般要求用检定过的钢尺进行往, 返丈量 。
?图根导线测量：
通常可以在同一方向丈量两次 。
当尺长改正数小于尺长的万分之一；
测量时的温度与钢尺检定时的温度差小于 ± 10℃ ；
边的倾斜小于 1.5％ 时, 可以不加三项改正,
因其相对中误差不大于三千分之一, 直接取平均值即可 。
2,光电测距仪测量, 既能保证精度, 又省力, 省时 。
29
（四）连测
1,目的,在于把已知点的坐标系传递到导线上来,
使导线点的坐标与已知点的坐标形成统一系统 。
由于导线与已知点和已知方向连接的形式不同,
2,连测的内容,
在 图 6— 3,图 6-4,图 6— 5中只测连接角,
在 图 6-11中, 除了测连接角外还要测连接边 。
?与国家网连测：
连测工作可与导线测角, 量边同时进行, 要求相同；
?独立坐标系的导线连测：
则要假定导线任一点的坐标值和某一条边的坐
标方位角已知, 方能进行坐标计算 。
30
图 6-11
31
五,导线测量的内业工作
1,内业工作,内业计算 —— 导线平差计算,
即用科学的方法处理测量成果，合理地分配
测量误差，最后求出各导线点的坐标值。
2,计算前注意,
? 对外业测量成果进行复查, 确认没有问题,
方可在专用计算表格上进行计算；
? 对各项测量数据和计算数据取到足够位数 。
对小区域控制和图根控制测量的所有角度观
测值及其改正数取到整秒：
对距离、坐标增量及其改正数和坐标值
均取到厘米。
取舍原则,,四舍六入，五 前 单进双舍,。
32
图 6-12是 实测图根闭合
导线示意图,图中各项数
据是从外业观测手簿中获
得的。
已知,A2边的坐标方位角为
97° 58′08″ ； A
xA=5032.70,yA=4537.66 图 6-12
（一） 闭合导线计算
33
现结合本例说明闭合导线计算步骤如下：
1,填表,如 表 6-4 中填入已知数据和观测数据,
2,角度闭合差的计算与调整：
内角和理论值, 对于任意多边形, 其内角和理论值
的通项式可写成,Σβ理 =（ n－ 2） × 180°
由于此闭合导线为四边形其内角和的理论值为 360。
1)角度闭合差的计算：
fβ=Σβ测 — Σβ理 =Σβ测 —（ n-2） × 180°
例,fβ=Σβ测 —（ n-2） × 180° =360 o00′58" -360o
= + 58"
34
表 6-4 闭合坐标导线计算表
????f??n=-58/4= -14(-15)
35
2) 角度容许闭合差的计算（公式可查规范 ）
= （ 图根导线）
若,fβ≤ Fβ，则 认为导线的角度测量是符
合要求的，否则要对计算进行全面检查，若
计算没有问题，就要对角度进行重测
本例, fβ=+58″根据表 6-3可知,
= = ± 120″,则有 fβ < Fβ,
所以本观测有效 。
n06 ????F
n06 ????F
36
3) 角度闭合差的调整：
根据误差理论，设法消除 fβ 这项工作叫～ 。 调整前提是假定所
有角的观测误差是相等的,
? 角度改正数,△ β= （ n— 测角个数 ） 。
角度改正数计算按角度闭合差反号平均分配, 余数分给短
边构成的角 。
检核,Σ△ β=
? 改正后的角度值：
检核,Σβ改 =（ n-2） × 180°
n
f??
?f?
ii ??? ??? 测改
37
3．推算导线各边的坐标方位角
推算导线各边坐标方位角公式, 根据已知边坐标方位角和改
正后的角值推算,
(6-2)
式中,, 表示导线前进方向的前一条边的坐标方位角和与
之相连的后一条边的坐标方位角。 为前后两条边所夹的
左角,为前后两条边所夹的右角据此，由式 6-2求得：
前? 后?
左?
右?
?
?
?
???
???
右后前
左后前
???
???
1 8 0
1 8 0
?????????????? ? ????? ???? 234403 6 01546821 8 008581 8 0 2 oo ???
????????????? 3152271360080891180234 o??
??????????? 1906152481360180344 ?? A
242 49511 2 51 8 0 AAA a????????? ?? 已知
38
注意两点：
? 大于 360° 时, 应减去 360° ；
时，应先加 360° 。
? 最后推算出的已知边坐标方位角, 应与已
知值相比, 以此作为计算检核 。
例：
前?
o0 ?后?
242 80859749511 2 51 8 0 AAA a????????????? ???
39
表 6-4 闭合坐标导线计算表
40
4、坐标增量计算（ 表 6-4 ）
在图 6-13中，设
为已知、则 12
边的坐标增量为：
(6-3)
坐标增量的符号取决于
边的坐标方位角的大小。
图 6-13
12D、???
?
?
?
??
??
??
??
?
?
s i n
c o s
1212
1212
Dy
Dx
41
5.坐标增量闭合差计算及其调整 表 6-4
? 坐标增量总和理论值,闭合导线的坐标增量
总和理论上为零, 即：
? 闭合导线坐标增量闭合差, 分别用, 表
示, 即有
(6-4)
坐标增量闭合差可以认为是由导线边长测量误差
引起的；
??
???
???
???
0
0
理
理
y
x
??
?
?
?
????????
?????????
?
测理测
测理测
yyyf
xxxf
y
x
xf yf
42
?导线全长的绝对闭合差 表 6-4
AA’, 用 表示, 可见, 是 在 x,y 轴上的分量,
所以有
?导线全长相对闭合差为：
(6-6)
限差：用 表示, 则当
时,导线边长丈量符合要求 。
Df xf yf Df
22
yxD fff ??
(6-5)
D
fK D
??
容K
容KK ?
图 6-14
43
? 坐标增量闭合差的调整,
? 调整, 将坐标增量闭合差 反符号按边长成正比例 进行调整 。
? 坐标增量改正数,令 为第 条边的～, 则有
? 检核：
? 改正后的坐标增量
将坐标增量加坐标增量改正数后填入 表 6-4中第 9,10栏,
计算检核：此时表 6-4中第 9,10栏的 坐标增量总和为零 。
(6-7)
iyix vv,
i
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
i
y
iy
i
x
ix
D
D
f
v
D
D
f
v
.
.
yiyxix fvfv ????? ＝，
44
6．导线点坐标计算 表 6-4
? 在图 6-15中, A点的坐标是
已知的, 各边的坐标增量
已经求得 。 所以 2点坐标有
? 同理类推, 即可分别求出
3,4点的坐标,
? 计算检核,由 4点推算 A点
的坐标, 应与已知值相等 。
?
?
?
???
???
22
22
AA
AA
yyy
xxx (6-8)
图 6-15
45
（二）附合导线计算 （ 表 6-5）
? 计算方法和计算步骤与闭合导线计算相同, 只
是由于已知条件的不同, 不同之处：
1,角度闭合差的计算及其调整
如图 6-16所示, 附合导线是附合在两条已知坐
标方位角的边上 。 也就是说 是已知的 。
CDBA ??,
图 6-16
46
从 出发经各转折角也可以求得 CD边的坐标方
位角，若用 表示则有
通项公式：
观测了附和导线的左角,cA ????? 和、、,321
BA?
CD??
??
?
?
?
?
???????????
????
????
????
????
1 8 051 8 0
1 8 0
1 8 0
1 8 0
1 8 0
3
3233
21223
1112
1
BACCCD
C
A
ABAA
aaa
aa
aa
aa
aa
?
?
?
??????
??????
右起终
左起终
?
?
1 8 0.
1 8 0.
naa
naa （ 6-9）
式中, n 为测角个数 。
47
由于存在测量误差，致使,二者之差
叫附合导线角度闭合差，如用 表示，则：
? 角度闭合差的计算,（ 表 6-5）
? 容许角度闭合差的计算,
例三级导线测量,当 时,
说明附合导线 角度测量 是符合要求,
? 角度改正数：
当附合导线测的是左角取,—, 号；
当附合导线测的是右角取,+” 号。
检核：
?f
CDCD aa ??
CDBACDCD aaaaf ?????????? ?? 1805
nF 24???
?? Ff ?
n
f
i
?? ???
?? fi ????
(6-10)
48
1,坐标增量闭合差的计算 （ 表 6-5）
坐标增量理论值 （ 图 6-16）
? 坐标增量测量值
由于测量误差的缘故, 致使
?附合导线坐标增量闭合差
ACAC
ACAC
yyy
xxx
???
???
测
测
yy
xx
AC
AC
?????
?????
ACyy
xx
AC
ACAC
????
????
??
?
?
?
?????
?????
)(
)(
ACy
ACx
yyyf
xxxf
测
测
（ 6-11）
49
表 6-5 附合导线坐标计算表
50
§ 6-5 高程控制测量
? 高程控制测量,主要用水准测量方法。
? 小区域高程控制测量,采用三、四等水准测量、三角
高程测量。
一,三、四等水准准测量
? 三, 四等水准测量, 是 国家高程控制网的加密方法, 也可
用作小区域的首级高程控制 。
? 三, 四等水准测量的外业, 和等外水准测量的外业工作基
本上一样 。
? 三, 四等水准点,可单独埋设标石, 亦可与平面控制点共
用 。
? 三, 四等水准测量应由二等水准点上引测 。
51
52
三、四等水准测量的观测方法、计算和检核
? 双面标尺法
双面标尺在第二章已做了介绍。 强调两点：
一,两根标尺的红面尺底刻划不相同,一般
一根为 4.687，另一根为 4.787；
二,两根标尺应成对使用 。
? 变动仪器高法
53
（一）双面标尺法
1,一个测站上的观测顺序, 记录 。 （ 表 6-11）
※ 三等水准测量一个测站上的观测顺序为,
? 第一步观测 后标尺黑面, 读上, 下, 中三丝, 将读数记录在表
6-11中的相应于 (1),(2),(3)的位置；
? 第二步观测 前标尺的黑面, 读上, 下, 中三丝, 将读数记录在
表 6-11中的相应于 (4), (5),(6)的位置：
? 第三步观测 前标尺的红面, 只读中丝, 将读数记录在表 6-11中
的相应于 (7)的位置；
? 第四步观测 后标尺的红面, 也只读中丝, 将读数记录在表 6-11
中的相应于 (8)的位置 。
上述四步 8个读数,观测顺序归纳为,后 — 前 — 前 — 后 。
※ 四等水准测量,精度较低,可用 后 -后 -前 -前的顺序 。
54
2,一个测站上的计算与检核 （表 6-11）
（ 1） 视距计算与检核：
? 后视距离 (9) = [(1) ? (2)]?100；
? 前视距离 (10) = [(4) ? (5)]?100；
? 前后视距差 (11) = (9) ? (10)；
? 视距差累计 (12)本 =上一站的 (12)+本站 (11)
? 限差检核：
※ 三等水准,(9)和 (10)— 即视距均小于 75m，
(11) — 即 视距差 小于 3m，
(12) — 即视距差累计小于 6m；
※ 四等水准,(9)和 (10)— 即 视距 均小于 100m，
(11) — 即 视距差 小于 5m，
(12) — 即视距差累计小于 10m。
55
（ 2）同一根标尺黑红面零点差检核计算,表 6-11
黑面中丝读数加红面尺底刻划 K（ 4.787或
4.687），减去红面中丝读数，理论上应为零 。 但
由于误差的影响，一般不为零。
水准测量中规定：
? 同一根标尺黑红面尺底刻划差值的检核计算,
( 7 )-( 6 )( 1 3 )
( 8 )-( 3 )( 1 4 )
K
K
??
?? ≤2mm(三等 )或 ≤3mm(四等 )
56
（ 3）高差计算与检核,表 6-11
? 黑面高差, (15)=(3) ? (6)；
? 红面高差,(16)=(8) ? (7)；
? 检核 (17)=(15) ? [(16)± 0.10]=(14) ? (13)
≤3mm(三等 )或 ≤5mm (四等 )
两根标尺尺底红面刻划之差 为 ± 0.10，
当检核符合要求后, 计算：
? 平均高差
]}100.0)16( [)15{(21( 1 8 ) ???
57
3,测段计算与检核 表 6-11
测段：两水准点之间为～ 。
? 测段计算与检核的内容包括, 测段总长度,
总高差和视距累差 。
※ 总长度计算, D=Σ[(9)＋ (10)]；
※ 视距累差检核, 末站的 (12)=?(9)??(10)。
※ 总高差计算与检核,
测段总站数为偶数：
测段总站数为奇数：
)18()}16[()15({21) ] }7()6[( )]8()3[({21 ????????????h
)18(]}100.0)16[()15({21 ???????h
58
双面标尺法测站、测段的 记录、计算 见
表 6-11 四等水准测量记录薄
4,线路成果计算
? 三、四等水准测量成果的计算方法与步骤同第
二章等外水准测量。
59
表 6-11
60
（二）变动仪器高法
这种方法多用于四等水准和等外水准测量 。
? 方法,在同一测站上, 仪器在某一高度测定两点间
的高差后, 又把 仪器的高度变动约 0.1m,再测定两
点间的高差 。 若 两次高差之差不超过 ?5mm,则取
平均值作为两点间的高差 。
? 变动仪器高法中测量采用单面标尺,
仪器在第一高度时的观测顺序和读数与双面尺
法中黑面观测顺序和读数一样；
第二高度时的观测顺序和读数与双面尺法中红
面观测和读数一样 。 计算, 检核较简单 。
? 变动仪器高法的记录及计算形式列在 表 6-12
61
表 6-12
62
二、三角高程测量
1,三角高程测量的原理
在山区当无法采用水准测量作图根高程控制测
量时, 可采用三角高程测量作高程控制测量,精度
可以满足测图要求 。 但是 三角高程测量的起始点
的高程需要用水准测量引测 。
三角高程测量是根据两点间的水平距离和竖直
角 求得两点间的高差 。
63
?在 A点上安置经纬仪, 在 B点
上立一标尺或觇标,
?觇标高度为 v
经纬仪中丝在标尺上的读数
?测得的竖直角 为,
? A点的仪器高 为仪器横轴至地面点 A的高度,
? A,B间的高差为,
? B点的高程为, （ A点的高程已知 ） 则：
? 当 时, 计算更简便 。
?
viDh AB ??? ?t an (6-12)
viDHhHH AABAB ?????? ?t an
vi ?
如图 6-25所示,假设,A,B之间的水平距离 D是已知的，
i
?t anDHhHH AABAB ????
图 6-25
64
? 当两点间距离大于 300m时，应考虑地球曲率
和大气折光对高差的影响 。
消除地球曲率和大气折光影响的方法：
※ 三角高程测量应 进行往, 返观测, 即所谓对
向观测 。
※ 往, 返所测高差之差不大于 0.1D m（ D以 km
为单位 ） 时, 取平均值作为两点间的高差 。
65
? 用三角高程测量作图根高程测量时，应组成
闭合或附合的三角高程路线。
※ 路线闭合差允许值：
式中 h—— 测图基本等高距；
n—— 路线边数 。
※ 高差闭合差的分配,当 时,将 反号按边
长成比例分配 于各高差中。
※ 推算各点高程,
最后用改正后的高差, 由已知高程点开始推算
各点高程 。
nhF h 1.0??
hh Ff ? hf
66
2,光电三角高程测量
在测定 竖直角 的同时, 直接测得 A,B点的斜距,
在求得平距的同时也就确定了高程 。
图 6-26表示了光电三角高程测量的原理 。
? 观测：
?通常采用对向观测 （ 往返观测 ） ；
?竖直角的观测应在盘左, 盘右两个盘位进行,
观测 2～ 3个测回 。
?当 采用组合式红外测距仪时, 应 使测距仪中心与
经纬仪水平轴之间的距离 等于反光镜中心与照准
觇牌中心之间的距离 。
67
图 6-26 光电三角高程测量
fvizSh BAAAB ???? c o s往 fviSh BAAAB ???? ?s i n往 (6-13)
由 A向 B观测时可得：
68
? 光电三角高程测量的计算公式为：
※ 由 A向 B观测时可得：
或
式中,S 为用测距仪测得的斜距；
α 为竖直角； Z为天顶距；
i为仪器高； v为觇牌中心高；
f 为大气折光与地球曲率改正,
D为两点之间的水平距离 。
R
Drpf
243.0
2
???
fvizSh BAAAB ???? c o s往
fviSh BAAAB ???? ?s i n往 (6-13)
69
※ 则由 B向 A观测时可得：
※ 取双向观测的平均值得,
※ 高程：
以上 (6-13)及 （ 6-14） 式的计算通常可由测距仪或全站仪
的有关功能自动计算并显示结果 。
众多的试验研究表明, 如果精心地组织工作, 则 光电三角
高程测量能达到三, 四等水准测量的精度要求, 这就使光电三
角高程测量扩大了其使用范围 。
fviSh ABBBA ???? ?s i n返 （ 6-14）
)(21 BAABAB hhh ??
ABAB hHH ??
70
§ 6-3 小三角测量
将测区内各控制点组成互相连接的若干个三角形就构
成三角网, 这些三角形的顶点称为三角点 。
? 小三角测量：
是指在小范围内布设边长较短的三角网的测量 。 它是平面
控制测量主要方法之一 。
? 小三角测量步骤, 在观测 所有三角形的内角 及测量 若干必
要的边长 之后, 根据起始边的已知坐标方位角和起始点的已
知坐标, 即可求出所有三角点的坐标 。
? 小三角测量的特点：
主要是 测角工作, 而 测距工作极少, 甚至可以没有 。 它适
用于山区或丘陵地区的平面控制 。
71
一, 小三角网的形式
根据测区的范围和地形条件, 以及已有控制点的情
况, 小三角网可布置成：
? 三角锁 （ 图 6-17（ a） ） ；
? 中点多边形 （ 图 6-17（ b） ） ；
? 大地四边形 （ 图 6-17（ c)） 。 ；
? 线形锁 （ 图 6-17（ d)） 。
基线：三角网中直接测量的边称 ～ 。
三角锁,一般在两端都布设一基线,
中点多边形和大地四边形,只需布设一条基线,
线形锁,两端附合在高级点上，故不 需设置基线。
起始边附合在高级点上的三角网,也不需设置基线 。
72图 6-17
73
二, 小三角测量的等级及技术要求
1,小三角测量分类：
分成, 一级小三角
二级小三角
图根小三角三个等级 。
一, 二级小三角,可作为国家等级控制网的加密,
也可作为独立测区的首级控制 。
图根小三角,可作为一, 二级小三角的进一步加密,
在小范围的独立测区, 也可直接作为测图控制 。
各级小三角测量的技术要求见 表 6-6，
图根三角锁的三角形个数 ≤ 12，方位角闭合差 ≤ ± 40″
74
等级
平均
边长
m
测 角
中误差
″
三角形
最大
闭合差
″
三角形
个数
起始边
相对
中误差
最弱边
相对
中误差
测回数
J 2 J 6
一级 1000 ± 5 ± 15 6～ 7 1/40000 1/20000 2 4
二级 500 ± 10 ± 30 6～ 7 1/20000 1/10000 1 2
图根
≤1.7
最大
视距
± 20 ± 60 ≤/2 1/10000 1/10000 1
表 6-6各级小三角测量的主要技术要求
75
项 目 J 2
″
J 6
″
半测归零差 12 18
一测回中 2C互差 18
同方向各测回互差 12 24
表 6-7 小三角测量中水平角观测的限差
76
三、小三角测量的外业
1,选点
? 选点前 应搜集测区内已有的地形图和控制测量资料 。
? 初步拟定布网方案,在已有的地形图上进行, 然后
到实地对照, 修改, 最后确定点位 。 如果测区没有
可利用的地形图, 则须到野外详细踏勘, 综合比较,
最后选定点位 。
? 选点注意,应考虑到各级小三角测量的技术要求,
又要考虑到测图和用图方面的要求, 一般应注意以
下几点 。
77
(1) 三角形应接近等边三角形, 困难地区三角形内角
也不应大于 120° 或小于 30° ；
(2) 三角形的边长应符合规范的规定；
(3) 三角点应选在地势较高, 视野开阔, 便于测图和
加密的地方, 选在便于观测和便于保存点位的地方,
三角点间应通视良好；
(4) 基线应选在地势平坦而无障碍便于量距的地方,
使用测距仪时还应避开发热体和强电磁场的干扰 。
选点注意注意以下几点：
78
小三角网的起始边最好能直接丈量,采用测距仪不难
实现。
? 埋设标志
1,大木桩
2、混凝土标石 。
小三角测量一般不建造觇
标，观测时可用三根竹杆吊
挂一大垂球，为便于观测 ；
照准标志：
可在悬挂线上加设照准用
的竹筒 (a)也可用三根铁丝竖
立一标杆作为照准标志。 (b)
6-18
79
2,角度观测
? 观测前应检校好仪器；
? 观测一般采用方向观测法；当方向数超过三个时应归零 。
? 各级小三角角度观测的测回数可参考 表 6-6的规定,
? 角度观测的各项限差见 表 6-7；三角形闭合差应不超过 表 6-6
中的规定 。
? 应按菲列罗公式计算测角中误差, 即
算出的 应不超过 表 6-6中测角中误差规定的数值 。
?m
允?? mn
wwm ??
3
][ (6-12)
80
项 目
J 2
″
J 6
″
半测归零差 12 18
一测回中 2C互差 18
同方向各测回互差 12 24
表 6-7 小三角测量中水平角观测的限差
81
3、基线测量
基线是计算三角形边长的起算数据, 要求保证必要的精度 。
各级小三角测量对起始边的精度要求见 表 6-6。
?起始边 应优先采用光电测距仪观测, 观测前测距仪应经过
检定, 观测方法同各级光电测距导线的边长测量 。
?观测所得斜距 应加气象, 加常数, 乘常数等改正, 然后化
算成平距 。
?钢尺丈量基线 时, 应按钢尺精密丈量方法进行 。 钢尺应经
过检定 。 丈量可用单尺进行往返丈量或双尺同向丈量 。
?直接丈量三角网起始边 时, 应满足表 6-6中规定的精度要
求 。
82
4.起始边定向
? 与高级网联测的小三角网：
可根据高级点的坐标, 用坐标反算得出的
高级点间的坐标方位角和所测的连接角, 推算
出起始边的坐标方位角 。
? 独立的小三角网：
可直接测定起始边的真方位角或磁方位角
进行定向 。
83
四, 小三角测量的内业计算
?小三角测量内业计算的目的,是要求出各三角点的坐标 。 为
此, 首先要检查和整理好外业资料, 准备好起算数据 。
?计算工作内容,
检验各种闭合差, 进行三角网的平差；
计算边长及其坐标方位角,
最后算出三角点的坐标 。
?平差, 小三角网的图形中存在各种几何关系, 又称几何条件 。
由于观测值中均带有测量误差, 所以往往不能满足这些几
何条件 。 因此, 必须对所测的角度进行改正, 使改正后的
角值能满足这些几何条件 。
?近似平差,在小三角测量中,通常可采用近似平差 。
84
3、大地四边形的近似平差
大地四边形共测量了一条基线和八个角, 如 图 6-17(C)所示 。
?这些观测值应满足的图形条件是：
（ 1） 三个图形条件：
（ 2） 一个边长条件：
平差工作分两步进行 。
?
?
?
??
?
?
???
???
?????
4422
3311
????
????
360??
baba
baba
ba
(6-31)
1?
s i n?s i n?s i n
?s i n?s i n?s i n
21
21 ?
n
n
bbb
aaa
?
?
85
（ 1）闭合差的计算和调整 图 6-17
? 角度闭合差可按下式计算,
? 各角的第一次改正数为, 表 6-J
若闭合差在容许范围内,按相反符号平均分配的原则, 则
?
?
?
?
?
????
????
??????
)(
)(
360
44223
33112
1
babaf
babaf
baf (6-32)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
????
48
48
48
48
31
44
21
33
31
22
21
11
ff
vv
ff
vv
ff
vv
ff
vv
ba
ba
ba
ba
(6-33)
86
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????????
????????
?????????
????????
5
48
1
48
3
48
1
48
31
44
21
33
31
22
21
11
ff
vv
ff
vv
ff
vv
ff
vv
ba
ba
ba
ba -1/8 f1 = +1?
-1/4 f2 = 0
-1/4 f3 = -4 ?
?
?
?
?
?
????????
?????
??????????
61)(
0)(
83 6 0
44223
33112
1
babaf
babaf
baf
而：
则：
[例 ]：
87
? 第一次改正后的角值,表 6-J
各观测值加上第一次改正数 。 即,
ai′=ai+ vai′,bi′=bi+ vbi′,ci′=ci+ vci′
检核,将 ai′,bi′,ci′带入式：
等号两边应该相等。
?
?
?
??
?
?
???
???
?????
4422
3311
????
????
360??
baba
baba
ba
(6-31)
88
（ 2）边长闭合差的计算和调整 表 6-J
图 6-17 (b) 中由对角线交点与四个角点 A,B,C,D组
成的四个三角形,
? 边长闭合差：
? 边长闭合差限差：
当 WD≤W 限 时, 计算第二次改正数 。
1s i ns i ns i n s i ns i ns i n ''
2
'
1
''
2
'
1 ??
n
n
D bbb
aaaW
?
?（ 6-29）
设计容许的测角中误差—式中：
限
?
?
?
m
bc o nac o n
m
W
i
i
i
i
??
???
??
??
?? ??
??
4
1
2
4
1
22
89
? 第二次改正数：
? 第二次改正后角值,表 6-J
检核：将第二次改正后角值应满足式 （ 6-31） 的要求和使
WD=0（ 式 6-29） 。
??
??
???
??
???????? 4
1
4
1
c o tc o t
.
i
i
i
i
D
ibia
ba
W
vv
?（ 6-30）
.?
,?
,?
'
"'
"'
ii
biii
aiii
cc
vbb
vaa
?
??
??
90
（ 3）边长及坐标的计算
根据基线的长度及平差后的角值, 用正弦定理
依次推算出各三角形的边长, 边长计算可在平差
计算表内进行 。
计算三角点的 坐标 时, 可把 各三角点组成一闭
合导线, 按闭合导线计算各点坐标, 只是不需平
差, 故略去不作介绍 。
91
表 6-J
f 反号平均分配
-1/8 f1=+1?
-1/4 f2=0
-1/4 f3=-4 ?
360° 00?00? 360° 00?00?
?????
????
??
??
??
??
??
??
??
4
1
2
4
1
2
4
1
2
4
1
2
206265
10
2
2
i
i
i
i
i
i
i
i
bc o nac o n
bc o nac o n
m
W
?
?
限
表
反号平均分配
° 00?00? ° 00?00?
检核
0 0 0 6 3 5 1 0 5.0520626/113
206265
10
2
2
4
1
2
4
1
2
4
1
2
4
1
2
???????
????
????
??
??
??
??
??
??
??
i
i
i
i
i
i
i
i
bc o nac o n
bc o nac o n
m
W
?
?
限
92
? 作业,P124~125
1,2,3,4,5,6,9,10,11,12,15
小地区控制测量
马莉、杨腾峰 制作
本 章 要 点
1、控制测量的概念及控制测量的方法
2、导线测量的外业及内业计算（重点、难点）
3、高程控制测量简介
4、小三角测量简介
2
目 录
?
第
一
节
控
制
测
量
概
念
?
第
二
节
导
线
测
量
?
第
三
节
小
三
角
测
量
?
第
四
节
交
会
法
定
点
?
第
五
节
高
程
控
制
测
量
3
小地区控制测量常用方法的外业工作和有
关的内业计算。
1、控制测量的概念及控制测量的方法
2、导线测量的外业及内业计算（重点、难点）
3、高程控制测量简介
4、小三角测量简介
本 章 内 容
4
§ 6-1 控制测量概念
1,测量控制点,测区内一些有控制意义并较精密
地测算出其平面坐标或高程的点。
2,测量控制网,由控制点构成的几何图形；
按控制网的功能分为：
? 高程控制网：水准网、三角高程网。
? 平面控制网：三角网、导线和导线网。
按控制网的规模分为：
? 国家控制网
? 城市控制网
? 小区域控制网
? 图根控制网。
5
3,控制测量：
用较高的精度测定各控制点位置的测量工作
叫～。
?平面控制测量 测定控制网平面坐标的工作称～ 。
?高程控制测量 测量控制网高程的工作称～ 。
4、测量工作程序,测量工作遵循的是“从整体到局
部、先控制后碎部、由高级到低级”的原则。
5,控制测量目的,可以保证整个测区有一个统一
的, 均匀的测量精度, 而且可以有多个工作面加
快测量进度 。
6
一、国家控制网
? 国家控制网, 又称基本控制网，即在全国范围内按统
一的方案建立的控制网,它是用精密仪器精密方法
测定，并进行严格的数据处理,最后求定控制点的
平面位置和高程。
? 国家控制网级别,按其精度 分为一、二、三、四等
四个级别，而且是由高级向低级逐级加以控制。
? 国家平面控制网的建立,先在全国范围内，沿经纬
线方向布设一等网，作为平面控制骨干。在一等网
内再布设二等全面网，作为全面控制的基础。为了
其它工程建设的需要，再在二等网的基础上加密三、
四等控制网。 （ 图 6-1）
7
8
● 国家平面控制网测量方法
建立国家平面控制网, 主要是用三角测量,
精密导线测量和 GPS测量 。
● 国家高程控制网的建立
首先是在全国范围内布设沿纵, 横方向的一
等水准路线, 在一等水准路线上布设二等水准闭
合或附合路线, 再在二等水准环路上加密三, 四
等闭合或附合水准路线 。
● 国家高程控制测量方法
主要是用精密水准测量 。
国家一, 二级控制网, 除了作为三, 四级控
制网的依据外, 它还为研究地球形状和大小以及
其它学科提供依据 。 (图 6-2)
9
二、城市控制网
? 城市控制网,是在国家控制网的基础上建立起
来的
? 目的,在于为城市规划、市政建设、工业民用
建筑设计和施工放样服务。
? 分级建立,为了满足不同目的和要求，城市控
制网也要分级建立。
国家控制网和城市控制网，均由专门的测
绘单位承担。控制点的平面坐标和高程，由测
绘管理部门统一，为社会各部门服务。
10
三,小区域控制网
1,小区域控制网,是指在面积小于 15平方公里范
围内建立的控制网 。
2,小区域控制网坐标系和高程系,原则上应与国
家或城市控制网相连, 形成统一的坐标系和高程系 。
但当连接有困难时, 为了工程建设的需要, 也可建
立独立控制网 。
3,小区域控制网分级建立,
要根据面积大小分级建立,
主要采用 一, 二, 三级导线, 一, 二级小三角
网或一, 二级小三边网,
其面积和等级的关系, 如 表 6-1。
11
表 6-1小区域控制网的建立
测 区 面 积 首 级 控 制 图根控制
2～ 15 km2 一级小三角或一级导线 二级图根控制
0.5～ 2 km2 二级小三角或二级导线 二级图根控制
0.5 km2以下 图根控制
12
四、图根控制网
? 图根控制网,直接为测图建立的控制网称～ 。
? 图根点,图根控制网的控制点, 又称 ～ 。
? 图根控制网系统,应尽可能与上述各种控制网连
接, 形成统一系统 。 特别困难地区连接有困难时,
也可建立独立图根控制网 。
? 图根点的密度和精度, 由于图根控制专为测图而
做，所以图根点的密度和精度要满足测图要求。
?表 6-2是对平坦开阔地区图根点密度的规定。
对山区或特别困难地区，图根点的密度，可适
当增大。
13
表 6-2开阔地区图根点的密度
测图比例尺 1:500 1:1000 1:2000 1:5000
图根点
个数 ?km2 150 50 15 5
每幅图图根点
个数 9～ 10 12 15 20
14
§ 6~2 导线测量
导线测量适用于平坦地区, 城镇建筑密集区及隐
蔽地区, 是进行平面控制测量的主要方法之一 。
1,导线,将相邻控制点用直线连接起来构成的折
线和多边形 。
导线点：折线的顶点 ；
导线边：相邻点间的连线 。
2,导线测量,就是测量导线各边长和各转折角, 然
后根据已知数据和观测值计算各导线点的平面坐
标 。
15
3、导线分类：
（ 1） 按精度分类
? 精密导线 用于国家或城市平面控制测量 ;
? 普通导线 多用于小区域和图根控制测量 。
? 图根导线 用于测图控制的导线, 此时的
导线点又称图根点 。
（ 2） 按使用仪器分类
? 经纬仪导线,用 经纬仪 测角和钢尺量边的导线
? 光电测距导线,用 光电测距仪 测边和角的导线
16
二、导线的布设形式
?附合导线 （ 图 6-3）
?闭合导线 （ 图 6-4）
?支导线 （ 图 6-5）
? 导线网
结点导线 （ 图 6-6）
导线环 （ 图 6-7）
17
附合导线
导线起始于一个高级控制点，最后附合到
另一高级控制点的，称为 附合导线,具有 自
行检核条件，图形强度好,是小区域控制测
量的 首选方案 。
图 6-3
18
闭合导线
? 布设形式,起、止于同
一已知点，中间经过一
系列的导线点，形成一
闭合多边形，这种导线
称 ~。闭合导线也有图
形自行检核，是小区域
控制测量的 常用形式 。
? 缺点,但由于它起、止
于同一点，产生图形整
体偏转不易发现,因而
图形强度不及附合导线。
图 6-4
19
支导线
? 布设形式,从一已知点
控制点开始，既不附合
到来另一已知点，又不
回到原来起始点的，称
支导线。
? 缺点,支导线没有图形
自行检核条件，因此发
生错误不易发现，一般
只能用在无法布设附合
或闭合导线的少数特殊
情况，并且要 对导线边
长和边数进行限制 。
图 6-5
20
导线网
?可以布设成 结点导线 和 导线环
图 6-6 结点导线 图 6-7 导线环
21
三、导线测量的技术要求
? 表 6-3是, 工程测量规范, 中对小区域和图根导线
测量的技术要求。
? 说明 （图根导线）
表中,图根导线的平均边长和导线的总长度是
根据测图比例尺所定的。
例,测图中又规定点位中误差不大于图上 0.5
㎜,对 1,500地形图上 0.5㎜ 对应的实际点位误差
为 0.25m。如果把 0.25m视为导线的全长闭合差，
根据全长相对闭合差则导线的全长为 500m。
22
等级
测图
比例
尺
附合
导线
长度
m
平均
边长
m
往返丈量
较差相对
中误差
测角
中误
差 ″
导线全长
相对中误
差
测回数 角度闭
合差
″DJ6 DJ2
一级
2500
250 1/20000 ± 5 1/10000 2 4 ± 10
二级 1800 180 1/15000 ± 8 1／ 7000 1 3 ± 16
三级 1200 120 1/10000 ± 12 1／ 5000 1 2 ± 24
图根
1:500 500 75 1／ 3000 ± 20 1／ 2000 1 ± 60
1:1000 1000 110 1／ 3000 ± 20 1／ 2000 1 ± 60
1:2000 2000 180 1／ 3000 ± 20 1／ 2000 1 ± 60
n
n
n
n
n
n
表 6-3 小区域和图根导线测量的技术要求
23
四,导线测量的外业工作
? 导线测量工作分为外业和内业
? 外业工作主要是布设导线，通过实地测量获
取导线的有关数据，其具体工作包括以下几
方面：
? 选点
?测角
?量边
?连测
24
（一）选点
选点时应注意下列几点：
?相邻点间通视要良好，地势平坦，视野开阔。
其目的在于方便量边、测角和有较大的控制范围。
?点位应放在土质坚硬又安全的地方, 其目的在
于能稳固地安置经纬仪和有利于点位的保存 。
? 导线边长应符合 表 6-3的要求, 导线边长应大
致相等, 相邻边长差不宜过大, 点的密度要符合
表 6-2的要求, 且均匀分布于整个测区 。
25
图 6-8 导线桩 图 6-9永久性控制桩
?标志的形式：
临时性标志,如图 6-8所示, 打入 7× 7× 60cm的木桩, 在
桩顶钉一钉子或刻画, 十, 字, 以示点位 。
永久性标志,如图 6-9所示, 即埋设混凝上桩, 在桩中心
的钢筋顶面上刻, 十, 字, 以示点位 。
26
绘制点之记
? 标志埋设好后,对作
为导线点的标志要进
行统一编号，
? 点之记,绘制导线点
与周围固定地物的相
关位置图。
如 图 6-10所示，作
为今后找点的依据。
图 6-10
27
（二）测角
? 测角, 就是测导线的转折角 。
转折角以导线点序号前进方向分为左角和右角 。
对附合导线和支导线测左角或测右角均可, 但全线必须统一 。
对闭合导线, 测闭合多边形的内角 。
? 导线角度测量的有关技术要求,可参考 表 6-3。
? 图根导线测量, 一般用 J6经纬仪测一个测回。上、下半测
回角差不大于 40″时，即可取平均值作为角值。
测回法观测,当测站上只有两个观测方向,即测单角时使用；
方向测回法观测,当测站上有三个观测方向时, 可以不归零；
当观测方向超过三个时, 方向测回法观测一定要归零 。
28
（三） 量边
1,钢尺 丈量
?导线边长一般要求用检定过的钢尺进行往, 返丈量 。
?图根导线测量：
通常可以在同一方向丈量两次 。
当尺长改正数小于尺长的万分之一；
测量时的温度与钢尺检定时的温度差小于 ± 10℃ ；
边的倾斜小于 1.5％ 时, 可以不加三项改正,
因其相对中误差不大于三千分之一, 直接取平均值即可 。
2,光电测距仪测量, 既能保证精度, 又省力, 省时 。
29
（四）连测
1,目的,在于把已知点的坐标系传递到导线上来,
使导线点的坐标与已知点的坐标形成统一系统 。
由于导线与已知点和已知方向连接的形式不同,
2,连测的内容,
在 图 6— 3,图 6-4,图 6— 5中只测连接角,
在 图 6-11中, 除了测连接角外还要测连接边 。
?与国家网连测：
连测工作可与导线测角, 量边同时进行, 要求相同；
?独立坐标系的导线连测：
则要假定导线任一点的坐标值和某一条边的坐
标方位角已知, 方能进行坐标计算 。
30
图 6-11
31
五,导线测量的内业工作
1,内业工作,内业计算 —— 导线平差计算,
即用科学的方法处理测量成果，合理地分配
测量误差，最后求出各导线点的坐标值。
2,计算前注意,
? 对外业测量成果进行复查, 确认没有问题,
方可在专用计算表格上进行计算；
? 对各项测量数据和计算数据取到足够位数 。
对小区域控制和图根控制测量的所有角度观
测值及其改正数取到整秒：
对距离、坐标增量及其改正数和坐标值
均取到厘米。
取舍原则,,四舍六入，五 前 单进双舍,。
32
图 6-12是 实测图根闭合
导线示意图,图中各项数
据是从外业观测手簿中获
得的。
已知,A2边的坐标方位角为
97° 58′08″ ； A
xA=5032.70,yA=4537.66 图 6-12
（一） 闭合导线计算
33
现结合本例说明闭合导线计算步骤如下：
1,填表,如 表 6-4 中填入已知数据和观测数据,
2,角度闭合差的计算与调整：
内角和理论值, 对于任意多边形, 其内角和理论值
的通项式可写成,Σβ理 =（ n－ 2） × 180°
由于此闭合导线为四边形其内角和的理论值为 360。
1)角度闭合差的计算：
fβ=Σβ测 — Σβ理 =Σβ测 —（ n-2） × 180°
例,fβ=Σβ测 —（ n-2） × 180° =360 o00′58" -360o
= + 58"
34
表 6-4 闭合坐标导线计算表
????f??n=-58/4= -14(-15)
35
2) 角度容许闭合差的计算（公式可查规范 ）
= （ 图根导线）
若,fβ≤ Fβ，则 认为导线的角度测量是符
合要求的，否则要对计算进行全面检查，若
计算没有问题，就要对角度进行重测
本例, fβ=+58″根据表 6-3可知,
= = ± 120″,则有 fβ < Fβ,
所以本观测有效 。
n06 ????F
n06 ????F
36
3) 角度闭合差的调整：
根据误差理论，设法消除 fβ 这项工作叫～ 。 调整前提是假定所
有角的观测误差是相等的,
? 角度改正数,△ β= （ n— 测角个数 ） 。
角度改正数计算按角度闭合差反号平均分配, 余数分给短
边构成的角 。
检核,Σ△ β=
? 改正后的角度值：
检核,Σβ改 =（ n-2） × 180°
n
f??
?f?
ii ??? ??? 测改
37
3．推算导线各边的坐标方位角
推算导线各边坐标方位角公式, 根据已知边坐标方位角和改
正后的角值推算,
(6-2)
式中,, 表示导线前进方向的前一条边的坐标方位角和与
之相连的后一条边的坐标方位角。 为前后两条边所夹的
左角,为前后两条边所夹的右角据此，由式 6-2求得：
前? 后?
左?
右?
?
?
?
???
???
右后前
左后前
???
???
1 8 0
1 8 0
?????????????? ? ????? ???? 234403 6 01546821 8 008581 8 0 2 oo ???
????????????? 3152271360080891180234 o??
??????????? 1906152481360180344 ?? A
242 49511 2 51 8 0 AAA a????????? ?? 已知
38
注意两点：
? 大于 360° 时, 应减去 360° ；
时，应先加 360° 。
? 最后推算出的已知边坐标方位角, 应与已
知值相比, 以此作为计算检核 。
例：
前?
o0 ?后?
242 80859749511 2 51 8 0 AAA a????????????? ???
39
表 6-4 闭合坐标导线计算表
40
4、坐标增量计算（ 表 6-4 ）
在图 6-13中，设
为已知、则 12
边的坐标增量为：
(6-3)
坐标增量的符号取决于
边的坐标方位角的大小。
图 6-13
12D、???
?
?
?
??
??
??
??
?
?
s i n
c o s
1212
1212
Dy
Dx
41
5.坐标增量闭合差计算及其调整 表 6-4
? 坐标增量总和理论值,闭合导线的坐标增量
总和理论上为零, 即：
? 闭合导线坐标增量闭合差, 分别用, 表
示, 即有
(6-4)
坐标增量闭合差可以认为是由导线边长测量误差
引起的；
??
???
???
???
0
0
理
理
y
x
??
?
?
?
????????
?????????
?
测理测
测理测
yyyf
xxxf
y
x
xf yf
42
?导线全长的绝对闭合差 表 6-4
AA’, 用 表示, 可见, 是 在 x,y 轴上的分量,
所以有
?导线全长相对闭合差为：
(6-6)
限差：用 表示, 则当
时,导线边长丈量符合要求 。
Df xf yf Df
22
yxD fff ??
(6-5)
D
fK D
??
容K
容KK ?
图 6-14
43
? 坐标增量闭合差的调整,
? 调整, 将坐标增量闭合差 反符号按边长成正比例 进行调整 。
? 坐标增量改正数,令 为第 条边的～, 则有
? 检核：
? 改正后的坐标增量
将坐标增量加坐标增量改正数后填入 表 6-4中第 9,10栏,
计算检核：此时表 6-4中第 9,10栏的 坐标增量总和为零 。
(6-7)
iyix vv,
i
?
?
?
??
?
?
?
??
?
??
i
y
iy
i
x
ix
D
D
f
v
D
D
f
v
.
.
yiyxix fvfv ????? ＝，
44
6．导线点坐标计算 表 6-4
? 在图 6-15中, A点的坐标是
已知的, 各边的坐标增量
已经求得 。 所以 2点坐标有
? 同理类推, 即可分别求出
3,4点的坐标,
? 计算检核,由 4点推算 A点
的坐标, 应与已知值相等 。
?
?
?
???
???
22
22
AA
AA
yyy
xxx (6-8)
图 6-15
45
（二）附合导线计算 （ 表 6-5）
? 计算方法和计算步骤与闭合导线计算相同, 只
是由于已知条件的不同, 不同之处：
1,角度闭合差的计算及其调整
如图 6-16所示, 附合导线是附合在两条已知坐
标方位角的边上 。 也就是说 是已知的 。
CDBA ??,
图 6-16
46
从 出发经各转折角也可以求得 CD边的坐标方
位角，若用 表示则有
通项公式：
观测了附和导线的左角,cA ????? 和、、,321
BA?
CD??
??
?
?
?
?
???????????
????
????
????
????
1 8 051 8 0
1 8 0
1 8 0
1 8 0
1 8 0
3
3233
21223
1112
1
BACCCD
C
A
ABAA
aaa
aa
aa
aa
aa
?
?
?
??????
??????
右起终
左起终
?
?
1 8 0.
1 8 0.
naa
naa （ 6-9）
式中, n 为测角个数 。
47
由于存在测量误差，致使,二者之差
叫附合导线角度闭合差，如用 表示，则：
? 角度闭合差的计算,（ 表 6-5）
? 容许角度闭合差的计算,
例三级导线测量,当 时,
说明附合导线 角度测量 是符合要求,
? 角度改正数：
当附合导线测的是左角取,—, 号；
当附合导线测的是右角取,+” 号。
检核：
?f
CDCD aa ??
CDBACDCD aaaaf ?????????? ?? 1805
nF 24???
?? Ff ?
n
f
i
?? ???
?? fi ????
(6-10)
48
1,坐标增量闭合差的计算 （ 表 6-5）
坐标增量理论值 （ 图 6-16）
? 坐标增量测量值
由于测量误差的缘故, 致使
?附合导线坐标增量闭合差
ACAC
ACAC
yyy
xxx
???
???
测
测
yy
xx
AC
AC
?????
?????
ACyy
xx
AC
ACAC
????
????
??
?
?
?
?????
?????
)(
)(
ACy
ACx
yyyf
xxxf
测
测
（ 6-11）
49
表 6-5 附合导线坐标计算表
50
§ 6-5 高程控制测量
? 高程控制测量,主要用水准测量方法。
? 小区域高程控制测量,采用三、四等水准测量、三角
高程测量。
一,三、四等水准准测量
? 三, 四等水准测量, 是 国家高程控制网的加密方法, 也可
用作小区域的首级高程控制 。
? 三, 四等水准测量的外业, 和等外水准测量的外业工作基
本上一样 。
? 三, 四等水准点,可单独埋设标石, 亦可与平面控制点共
用 。
? 三, 四等水准测量应由二等水准点上引测 。
51
52
三、四等水准测量的观测方法、计算和检核
? 双面标尺法
双面标尺在第二章已做了介绍。 强调两点：
一,两根标尺的红面尺底刻划不相同,一般
一根为 4.687，另一根为 4.787；
二,两根标尺应成对使用 。
? 变动仪器高法
53
（一）双面标尺法
1,一个测站上的观测顺序, 记录 。 （ 表 6-11）
※ 三等水准测量一个测站上的观测顺序为,
? 第一步观测 后标尺黑面, 读上, 下, 中三丝, 将读数记录在表
6-11中的相应于 (1),(2),(3)的位置；
? 第二步观测 前标尺的黑面, 读上, 下, 中三丝, 将读数记录在
表 6-11中的相应于 (4), (5),(6)的位置：
? 第三步观测 前标尺的红面, 只读中丝, 将读数记录在表 6-11中
的相应于 (7)的位置；
? 第四步观测 后标尺的红面, 也只读中丝, 将读数记录在表 6-11
中的相应于 (8)的位置 。
上述四步 8个读数,观测顺序归纳为,后 — 前 — 前 — 后 。
※ 四等水准测量,精度较低,可用 后 -后 -前 -前的顺序 。
54
2,一个测站上的计算与检核 （表 6-11）
（ 1） 视距计算与检核：
? 后视距离 (9) = [(1) ? (2)]?100；
? 前视距离 (10) = [(4) ? (5)]?100；
? 前后视距差 (11) = (9) ? (10)；
? 视距差累计 (12)本 =上一站的 (12)+本站 (11)
? 限差检核：
※ 三等水准,(9)和 (10)— 即视距均小于 75m，
(11) — 即 视距差 小于 3m，
(12) — 即视距差累计小于 6m；
※ 四等水准,(9)和 (10)— 即 视距 均小于 100m，
(11) — 即 视距差 小于 5m，
(12) — 即视距差累计小于 10m。
55
（ 2）同一根标尺黑红面零点差检核计算,表 6-11
黑面中丝读数加红面尺底刻划 K（ 4.787或
4.687），减去红面中丝读数，理论上应为零 。 但
由于误差的影响，一般不为零。
水准测量中规定：
? 同一根标尺黑红面尺底刻划差值的检核计算,
( 7 )-( 6 )( 1 3 )
( 8 )-( 3 )( 1 4 )
K
K
??
?? ≤2mm(三等 )或 ≤3mm(四等 )
56
（ 3）高差计算与检核,表 6-11
? 黑面高差, (15)=(3) ? (6)；
? 红面高差,(16)=(8) ? (7)；
? 检核 (17)=(15) ? [(16)± 0.10]=(14) ? (13)
≤3mm(三等 )或 ≤5mm (四等 )
两根标尺尺底红面刻划之差 为 ± 0.10，
当检核符合要求后, 计算：
? 平均高差
]}100.0)16( [)15{(21( 1 8 ) ???
57
3,测段计算与检核 表 6-11
测段：两水准点之间为～ 。
? 测段计算与检核的内容包括, 测段总长度,
总高差和视距累差 。
※ 总长度计算, D=Σ[(9)＋ (10)]；
※ 视距累差检核, 末站的 (12)=?(9)??(10)。
※ 总高差计算与检核,
测段总站数为偶数：
测段总站数为奇数：
)18()}16[()15({21) ] }7()6[( )]8()3[({21 ????????????h
)18(]}100.0)16[()15({21 ???????h
58
双面标尺法测站、测段的 记录、计算 见
表 6-11 四等水准测量记录薄
4,线路成果计算
? 三、四等水准测量成果的计算方法与步骤同第
二章等外水准测量。
59
表 6-11
60
（二）变动仪器高法
这种方法多用于四等水准和等外水准测量 。
? 方法,在同一测站上, 仪器在某一高度测定两点间
的高差后, 又把 仪器的高度变动约 0.1m,再测定两
点间的高差 。 若 两次高差之差不超过 ?5mm,则取
平均值作为两点间的高差 。
? 变动仪器高法中测量采用单面标尺,
仪器在第一高度时的观测顺序和读数与双面尺
法中黑面观测顺序和读数一样；
第二高度时的观测顺序和读数与双面尺法中红
面观测和读数一样 。 计算, 检核较简单 。
? 变动仪器高法的记录及计算形式列在 表 6-12
61
表 6-12
62
二、三角高程测量
1,三角高程测量的原理
在山区当无法采用水准测量作图根高程控制测
量时, 可采用三角高程测量作高程控制测量,精度
可以满足测图要求 。 但是 三角高程测量的起始点
的高程需要用水准测量引测 。
三角高程测量是根据两点间的水平距离和竖直
角 求得两点间的高差 。
63
?在 A点上安置经纬仪, 在 B点
上立一标尺或觇标,
?觇标高度为 v
经纬仪中丝在标尺上的读数
?测得的竖直角 为,
? A点的仪器高 为仪器横轴至地面点 A的高度,
? A,B间的高差为,
? B点的高程为, （ A点的高程已知 ） 则：
? 当 时, 计算更简便 。
?
viDh AB ??? ?t an (6-12)
viDHhHH AABAB ?????? ?t an
vi ?
如图 6-25所示,假设,A,B之间的水平距离 D是已知的，
i
?t anDHhHH AABAB ????
图 6-25
64
? 当两点间距离大于 300m时，应考虑地球曲率
和大气折光对高差的影响 。
消除地球曲率和大气折光影响的方法：
※ 三角高程测量应 进行往, 返观测, 即所谓对
向观测 。
※ 往, 返所测高差之差不大于 0.1D m（ D以 km
为单位 ） 时, 取平均值作为两点间的高差 。
65
? 用三角高程测量作图根高程测量时，应组成
闭合或附合的三角高程路线。
※ 路线闭合差允许值：
式中 h—— 测图基本等高距；
n—— 路线边数 。
※ 高差闭合差的分配,当 时,将 反号按边
长成比例分配 于各高差中。
※ 推算各点高程,
最后用改正后的高差, 由已知高程点开始推算
各点高程 。
nhF h 1.0??
hh Ff ? hf
66
2,光电三角高程测量
在测定 竖直角 的同时, 直接测得 A,B点的斜距,
在求得平距的同时也就确定了高程 。
图 6-26表示了光电三角高程测量的原理 。
? 观测：
?通常采用对向观测 （ 往返观测 ） ；
?竖直角的观测应在盘左, 盘右两个盘位进行,
观测 2～ 3个测回 。
?当 采用组合式红外测距仪时, 应 使测距仪中心与
经纬仪水平轴之间的距离 等于反光镜中心与照准
觇牌中心之间的距离 。
67
图 6-26 光电三角高程测量
fvizSh BAAAB ???? c o s往 fviSh BAAAB ???? ?s i n往 (6-13)
由 A向 B观测时可得：
68
? 光电三角高程测量的计算公式为：
※ 由 A向 B观测时可得：
或
式中,S 为用测距仪测得的斜距；
α 为竖直角； Z为天顶距；
i为仪器高； v为觇牌中心高；
f 为大气折光与地球曲率改正,
D为两点之间的水平距离 。
R
Drpf
243.0
2
???
fvizSh BAAAB ???? c o s往
fviSh BAAAB ???? ?s i n往 (6-13)
69
※ 则由 B向 A观测时可得：
※ 取双向观测的平均值得,
※ 高程：
以上 (6-13)及 （ 6-14） 式的计算通常可由测距仪或全站仪
的有关功能自动计算并显示结果 。
众多的试验研究表明, 如果精心地组织工作, 则 光电三角
高程测量能达到三, 四等水准测量的精度要求, 这就使光电三
角高程测量扩大了其使用范围 。
fviSh ABBBA ???? ?s i n返 （ 6-14）
)(21 BAABAB hhh ??
ABAB hHH ??
70
§ 6-3 小三角测量
将测区内各控制点组成互相连接的若干个三角形就构
成三角网, 这些三角形的顶点称为三角点 。
? 小三角测量：
是指在小范围内布设边长较短的三角网的测量 。 它是平面
控制测量主要方法之一 。
? 小三角测量步骤, 在观测 所有三角形的内角 及测量 若干必
要的边长 之后, 根据起始边的已知坐标方位角和起始点的已
知坐标, 即可求出所有三角点的坐标 。
? 小三角测量的特点：
主要是 测角工作, 而 测距工作极少, 甚至可以没有 。 它适
用于山区或丘陵地区的平面控制 。
71
一, 小三角网的形式
根据测区的范围和地形条件, 以及已有控制点的情
况, 小三角网可布置成：
? 三角锁 （ 图 6-17（ a） ） ；
? 中点多边形 （ 图 6-17（ b） ） ；
? 大地四边形 （ 图 6-17（ c)） 。 ；
? 线形锁 （ 图 6-17（ d)） 。
基线：三角网中直接测量的边称 ～ 。
三角锁,一般在两端都布设一基线,
中点多边形和大地四边形,只需布设一条基线,
线形锁,两端附合在高级点上，故不 需设置基线。
起始边附合在高级点上的三角网,也不需设置基线 。
72图 6-17
73
二, 小三角测量的等级及技术要求
1,小三角测量分类：
分成, 一级小三角
二级小三角
图根小三角三个等级 。
一, 二级小三角,可作为国家等级控制网的加密,
也可作为独立测区的首级控制 。
图根小三角,可作为一, 二级小三角的进一步加密,
在小范围的独立测区, 也可直接作为测图控制 。
各级小三角测量的技术要求见 表 6-6，
图根三角锁的三角形个数 ≤ 12，方位角闭合差 ≤ ± 40″
74
等级
平均
边长
m
测 角
中误差
″
三角形
最大
闭合差
″
三角形
个数
起始边
相对
中误差
最弱边
相对
中误差
测回数
J 2 J 6
一级 1000 ± 5 ± 15 6～ 7 1/40000 1/20000 2 4
二级 500 ± 10 ± 30 6～ 7 1/20000 1/10000 1 2
图根
≤1.7
最大
视距
± 20 ± 60 ≤/2 1/10000 1/10000 1
表 6-6各级小三角测量的主要技术要求
75
项 目 J 2
″
J 6
″
半测归零差 12 18
一测回中 2C互差 18
同方向各测回互差 12 24
表 6-7 小三角测量中水平角观测的限差
76
三、小三角测量的外业
1,选点
? 选点前 应搜集测区内已有的地形图和控制测量资料 。
? 初步拟定布网方案,在已有的地形图上进行, 然后
到实地对照, 修改, 最后确定点位 。 如果测区没有
可利用的地形图, 则须到野外详细踏勘, 综合比较,
最后选定点位 。
? 选点注意,应考虑到各级小三角测量的技术要求,
又要考虑到测图和用图方面的要求, 一般应注意以
下几点 。
77
(1) 三角形应接近等边三角形, 困难地区三角形内角
也不应大于 120° 或小于 30° ；
(2) 三角形的边长应符合规范的规定；
(3) 三角点应选在地势较高, 视野开阔, 便于测图和
加密的地方, 选在便于观测和便于保存点位的地方,
三角点间应通视良好；
(4) 基线应选在地势平坦而无障碍便于量距的地方,
使用测距仪时还应避开发热体和强电磁场的干扰 。
选点注意注意以下几点：
78
小三角网的起始边最好能直接丈量,采用测距仪不难
实现。
? 埋设标志
1,大木桩
2、混凝土标石 。
小三角测量一般不建造觇
标，观测时可用三根竹杆吊
挂一大垂球，为便于观测 ；
照准标志：
可在悬挂线上加设照准用
的竹筒 (a)也可用三根铁丝竖
立一标杆作为照准标志。 (b)
6-18
79
2,角度观测
? 观测前应检校好仪器；
? 观测一般采用方向观测法；当方向数超过三个时应归零 。
? 各级小三角角度观测的测回数可参考 表 6-6的规定,
? 角度观测的各项限差见 表 6-7；三角形闭合差应不超过 表 6-6
中的规定 。
? 应按菲列罗公式计算测角中误差, 即
算出的 应不超过 表 6-6中测角中误差规定的数值 。
?m
允?? mn
wwm ??
3
][ (6-12)
80
项 目
J 2
″
J 6
″
半测归零差 12 18
一测回中 2C互差 18
同方向各测回互差 12 24
表 6-7 小三角测量中水平角观测的限差
81
3、基线测量
基线是计算三角形边长的起算数据, 要求保证必要的精度 。
各级小三角测量对起始边的精度要求见 表 6-6。
?起始边 应优先采用光电测距仪观测, 观测前测距仪应经过
检定, 观测方法同各级光电测距导线的边长测量 。
?观测所得斜距 应加气象, 加常数, 乘常数等改正, 然后化
算成平距 。
?钢尺丈量基线 时, 应按钢尺精密丈量方法进行 。 钢尺应经
过检定 。 丈量可用单尺进行往返丈量或双尺同向丈量 。
?直接丈量三角网起始边 时, 应满足表 6-6中规定的精度要
求 。
82
4.起始边定向
? 与高级网联测的小三角网：
可根据高级点的坐标, 用坐标反算得出的
高级点间的坐标方位角和所测的连接角, 推算
出起始边的坐标方位角 。
? 独立的小三角网：
可直接测定起始边的真方位角或磁方位角
进行定向 。
83
四, 小三角测量的内业计算
?小三角测量内业计算的目的,是要求出各三角点的坐标 。 为
此, 首先要检查和整理好外业资料, 准备好起算数据 。
?计算工作内容,
检验各种闭合差, 进行三角网的平差；
计算边长及其坐标方位角,
最后算出三角点的坐标 。
?平差, 小三角网的图形中存在各种几何关系, 又称几何条件 。
由于观测值中均带有测量误差, 所以往往不能满足这些几
何条件 。 因此, 必须对所测的角度进行改正, 使改正后的
角值能满足这些几何条件 。
?近似平差,在小三角测量中,通常可采用近似平差 。
84
3、大地四边形的近似平差
大地四边形共测量了一条基线和八个角, 如 图 6-17(C)所示 。
?这些观测值应满足的图形条件是：
（ 1） 三个图形条件：
（ 2） 一个边长条件：
平差工作分两步进行 。
?
?
?
??
?
?
???
???
?????
4422
3311
????
????
360??
baba
baba
ba
(6-31)
1?
s i n?s i n?s i n
?s i n?s i n?s i n
21
21 ?
n
n
bbb
aaa
?
?
85
（ 1）闭合差的计算和调整 图 6-17
? 角度闭合差可按下式计算,
? 各角的第一次改正数为, 表 6-J
若闭合差在容许范围内,按相反符号平均分配的原则, 则
?
?
?
?
?
????
????
??????
)(
)(
360
44223
33112
1
babaf
babaf
baf (6-32)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
????
48
48
48
48
31
44
21
33
31
22
21
11
ff
vv
ff
vv
ff
vv
ff
vv
ba
ba
ba
ba
(6-33)
86
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????????
????????
?????????
????????
5
48
1
48
3
48
1
48
31
44
21
33
31
22
21
11
ff
vv
ff
vv
ff
vv
ff
vv
ba
ba
ba
ba -1/8 f1 = +1?
-1/4 f2 = 0
-1/4 f3 = -4 ?
?
?
?
?
?
????????
?????
??????????
61)(
0)(
83 6 0
44223
33112
1
babaf
babaf
baf
而：
则：
[例 ]：
87
? 第一次改正后的角值,表 6-J
各观测值加上第一次改正数 。 即,
ai′=ai+ vai′,bi′=bi+ vbi′,ci′=ci+ vci′
检核,将 ai′,bi′,ci′带入式：
等号两边应该相等。
?
?
?
??
?
?
???
???
?????
4422
3311
????
????
360??
baba
baba
ba
(6-31)
88
（ 2）边长闭合差的计算和调整 表 6-J
图 6-17 (b) 中由对角线交点与四个角点 A,B,C,D组
成的四个三角形,
? 边长闭合差：
? 边长闭合差限差：
当 WD≤W 限 时, 计算第二次改正数 。
1s i ns i ns i n s i ns i ns i n ''
2
'
1
''
2
'
1 ??
n
n
D bbb
aaaW
?
?（ 6-29）
设计容许的测角中误差—式中：
限
?
?
?
m
bc o nac o n
m
W
i
i
i
i
??
???
??
??
?? ??
??
4
1
2
4
1
22
89
? 第二次改正数：
? 第二次改正后角值,表 6-J
检核：将第二次改正后角值应满足式 （ 6-31） 的要求和使
WD=0（ 式 6-29） 。
??
??
???
??
???????? 4
1
4
1
c o tc o t
.
i
i
i
i
D
ibia
ba
W
vv
?（ 6-30）
.?
,?
,?
'
"'
"'
ii
biii
aiii
cc
vbb
vaa
?
??
??
90
（ 3）边长及坐标的计算
根据基线的长度及平差后的角值, 用正弦定理
依次推算出各三角形的边长, 边长计算可在平差
计算表内进行 。
计算三角点的 坐标 时, 可把 各三角点组成一闭
合导线, 按闭合导线计算各点坐标, 只是不需平
差, 故略去不作介绍 。
91
表 6-J
f 反号平均分配
-1/8 f1=+1?
-1/4 f2=0
-1/4 f3=-4 ?
360° 00?00? 360° 00?00?
?????
????
??
??
??
??
??
??
??
4
1
2
4
1
2
4
1
2
4
1
2
206265
10
2
2
i
i
i
i
i
i
i
i
bc o nac o n
bc o nac o n
m
W
?
?
限
表
反号平均分配
° 00?00? ° 00?00?
检核
0 0 0 6 3 5 1 0 5.0520626/113
206265
10
2
2
4
1
2
4
1
2
4
1
2
4
1
2
???????
????
????
??
??
??
??
??
??
??
i
i
i
i
i
i
i
i
bc o nac o n
bc o nac o n
m
W
?
?
限
92
? 作业,P124~125
1,2,3,4,5,6,9,10,11,12,15
