问题 ? ??dxxe x
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则,
设函数 )( xuu ? 和 )( xvv ? 具有连续导数,
? ?,vuvuuv ????? ? ?,vuuvv ?????
,dxvuuvdxvu ?? ????,duvuvu d v ?? ??
分部积分公式
一、基本内容
例 1 求积分,c o s? xdxx
解（一） 令,c o s xu ? dvdxxdx ?? 221
? x d xx c o s ??? xdxxxx s i n2c o s2
22
显然,选择不当,积分更难进行, vu ?,
解（二） 令,xu? dvxdx d x ?? s i nc o s
? x d xx c o s ?? xxd s i n ??? x d xxx s i ns i n
.c o ss i n Cxxx ???
例 2 求积分,2? dxex x
解,2xu ?,dvdedxe xx ??
? dxex x2 ??? dxxeex xx 22
.)(22 Cexeex xxx ????
（再次使用分部积分法）,xu? dvdxe x ?
总结 若被积函数是幂函数和正 (余 )弦函数
或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函
数为,使其降幂一次 (假定幂指数是正整数 ) u
例 3 求积分,a r ct a n? x d xx
解 令,a r c t a n xu ? dvxdx d x ?? 2
2
? xdxx a r c t a n )( a r c t a n2a r c t a n2
22
xdxxx ???
dxxxxx 2
22
1
1
2a r c t a n2 ???? ?
dxxxx )1 11(21a r c t a n2 2
2
????? ?
.)a r c t a n(21a r c t a n2
2
Cxxxx ????
例 4 求积分,ln3? xdxx
解,ln xu ?,4
4
3 dvxddxx ??
? xdxx ln3 ??? dxxxx 34 41ln41
.161ln41 44 Cxxx ???
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂
函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函
数或反三角函数为, u
例 5 求积分,)s i n ( l n? dxx
解 ? dxx )s i n ( l n ??? )][ s i n ( l n)s i n ( l n xxdxx
? ??? dxxxxxx 1)co s (l n)s i n(l n
???? )][ c o s ( l n)c o s ( l n)s i n ( l n xxdxxxx
???? dxxxxx )s i n ( l n)]c o s ( l n)[ s i n ( l n
?? dxx )s i n ( l n,)]co s (l n)[s i n(l n2 Cxxx ???
例 6 求积分,s i n? xdxe x
解 ? xdxe x s i n ?? xx d es i n
??? )( s i ns i n xdexe xx
??? x d xexe xx c o ss i n ??? xx xdexe c o ss i n
???? )c o sc o s(s i n xdexexe xxx
???? x d xexxe xx s i n)c o s( s i n
?? x d xe x s i n,)c o s( s i n2 Cxxe
x
???
注意循环形式
例 7 求积分 ? ?,1a r c t a n 2 dxx xx
解 ? ?,11 22 xxx ?????
? ?? dxx xx 21a r c t a n? ?? 21a r ct a n xxd
)(a r cta n1a r ct a n1 22 xdxxx ? ????
dxxxxx 222 1 11a rct a n1 ?????? ?
dxxxx ? ???? 22 1 1a r c t a n1
令 tx ta n?
dxx? ? 21 1 ?
?? td tt
2
2 s e ct a n1
1?? tdts e c
Ctt ??? )ta nl n( s ec Cxx ???? )1l n( 2
? ?? dxx xx 21a r c t a n
xx a rct a n1 2??,)1l n( 2 Cxx ????
例 8 已知 )( xf 的一个原函数是 2xe ?,求 ? ? dxxfx )(,
解 ? ? dxxfx )( ?? )( xx d f,)()( ??? dxxfxxf
,)( 2? ??? ? Cedxxf x? ? ),()( xfdxxf ????
两边同时对 求导,得 x,2)( 2xxexf ???
??? ? dxxfx )( ?? dxxfxxf )()(
222 xex ???,Ce ?? ?
合理选择,正确使用分部积
分公式
vu ?,
dxvuuvdxvu ?? ????
二、小结
思考题
在接连几次应用分部积分公式时,
应注意什么？
思考题解答
注意前后几次所选的 应为同类型函数, u
例 ? x d xe x c o s
第一次时若选 xu c o s1 ?
? x d xe x c o s dxxexe xx ??? s i nc o s
第二次时仍应选 xu s in2 ?
一、填空题：
1, ? ?x d xx s i n ____ ___ __ __ ___ __ ；
2, ? ?x d xa r c s i n ____ ___ __ __ ___ _ ；
3,计算 ? x d xx ln
2
,?u可设 _____,?dv ___ __ __ _ ；
4,计算 ?
?
xdxe
x
c o s, ?u可设 __ _ _,?dv __ ___ __ _ ；
5,计算 ? xdxx a r c ta n
2
,?u可设 ____,?dv __ ___ _ ；
6,计算 ? ? dxxe x, ?u可设 _ _ _ _ _ _,?dv _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,求下列不定积分：
1, ? dx
x
x
2
c o s 22 ； 2, ? dx
x
x
2
3)(l n；
练 习 题
3, ? n x d xe
ax
c o s ； 4, ? dxe
x3；
5, ? dxx )c o s (l n ； 6, ?
?
dx
x
xe
x
2
3
2
a r c t a n
)1(
,
三,已知
x
xs i n
是 )( xf 的原函数，求 ? dxxxf )(
'
.
四,设 ? ?? CxFdxxf )()(, )( xf 可微，且 )( xf 的反
函数 )(
1
xf
?
存在，则
? ? CxfFxxfdxxf ??? ???? )()()( 111,
一,1, Cxxx ??? s i nc o s ；
2, Cxxx ??? 21a r c s i n ；
3, dxxx 2,ln ； 4,,xe ? x d xc o s ；
5, dxxx 2,a r c ta n ； 6, dxex x?,.
二,1, Cxxxxx
x
???? s i nc o ss i n
2
1
6
2
3；
2, Cxxx
x
????? ]6ln6)( l n3)[ (l n
1
23；
3, Cnxnnxa
na
e
ax
??
?
)s i nc o s(
22
4, Cxxe
x
??? )22(3
33 2
3；
练习题答案
5, Cxx
x
?? )]s i n (l n)[c o s (l n
2；
6, Ce
x
x
x
?
?
?
a r c t a n
2
12
1；
7, Cexe
x
ex
xx
x
???
? 2
2
.
三,C
x
x
x ??
s i n2
c o s,